5.7三角函数的应用同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“三角函数模型应用”为核心，通过基础概念辨析、生活情境应用、数据拟合分析三层设计，构建从单一参数到综合建模的知识巩固路径，培养数学眼光与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|三角函数基本参数（振幅、周期、初相）|以弹簧振子、电流强度为情境，通过选择题（1-4题）强化概念辨析| |中档层|生活情境中的函数应用|结合车流量、温度变化等实际问题（5-7题），培养数学思维与应用意识| |提升层|模型拟合与综合应用|通过数据表格（8题）、潮汐问题（15题）等，提升数据分析与建模能力，体现数学语言表达现实世界的素养|

5.7　三角函数的应用 考点一　三角函数模型在物理学中的应用 1.已知一个弹簧振子的运动方程为y=3sin,则该弹簧振子的 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.振幅是3,初相是 B.振幅是3,初相是 C.振幅是4,初相是 D.振幅是4,初相是 2.电流强度I(单位:A)随时间t(单位:s)变化的关系式是I=5sin,则当t=s时,电流强度为 (　 ) A.5 A B.2.5 A C.2 A D.-5 A 3.[教材P248T1变式] 如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图,经过周期后,乙的位置在 (　 ) A.甲 B.戊 C.丙 D.丁 4.用作调频无线电信号的载波以y=Asin(1.83×108πt)为模型,其中t的单位是秒,则此载波的周期为　　　　秒,频率为　　　　赫兹.  考点二　三角函数模型在日常生活中的应用 5.[2026·福州高一检测] 天上有些恒星的亮度是会变化的,其中一种称为造父(型)变星,本身体积会膨胀收缩造成亮度周期性的变化.如图所示为一造父变星的亮度(用“视星等”衡量)随时间(单位:天)的变化记录图,视星等越小,亮度越高.由记录图可知,从第7天开始计算,该造父变星的亮度首次达到最高时,大约需要经过的天数为 (　 ) A.2 B.4 C.6 B.8 6.据长期观察,某学校周边早上6时到晚上18时之间的车流量y与时间t满足函数关系式y=Asin+300(A为常数,6≤t≤18).已知早上8:30(即t=8.5)时的车流量为500,则下午15:30(即t=15.5)时的车流量约为(参考数据:≈1.41,≈1.73) (　 ) A.441 B.159 C.473 D.127 7.已知某地一天的温度y(单位:℃)与时间t(单位:h)近似地满足y=10-8sin(0≤t≤24),则该地这一天的最大温差为　　　　℃.  考点三　三角函数模型的拟合 8.弹簧振子的振动是简谐振动.下表给出了振子在完成一次全振动的过程中的时间t(单位:秒)与位移s(单位:厘米)之间的测量数据,那么能与这些数据拟合的振动函数的解析式为 (　 ) t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 s -20.0 -17.8 -10.1 0.1 10.3 17.7 20.0 17.7 10.3 0.1 -10.1 -17.8 -20.0 A.s=20sin,t∈[0,+∞) B.s=20cos C.s=-20cos D.s=-20cos,t∈[0,+∞) 9.车流量被定义为单位时间内通过某路段的车辆数,若上班高峰期某十字路口的车流量F(t)(单位:辆/分钟)与时间t(单位:分钟)的函数关系式为F(t)=50+4sin(0≤t≤20),则下列时间段中,车流量增加的是 (　 ) A.[0,5] B.[5,10] C.[10,15] D.[15,20] 10.智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声,然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声(如图).已知噪声的声波曲线y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,0≤φ<2π)的振幅为1,周期为2π,初相为,则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为 (　 ) A.y=sin x B.y=cos x C.y=-sin x D.y=-cos x 11.由于潮汐,某港口一天24 h的海水水位H(单位:m)随时间t(单位:h,0≤t<24)的变化近似满足关系式H(t)=A+Bsin(B>0),若一天中最高水位为14 m,最低水位为6 m,则该港口一天内水位不小于8 m的时长为 (　 ) A.12 h B.14 h C.16 h D.18 h 12.(多选题)[教材P249第2题变式] 如图,弹簧挂着的小球做上下振动,小球的最高点与最低点间的距离为10(单位:cm),它在t(单位:s)时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度h(单位:cm)由关系式h=Asin确定,其中A>0,t≥0,则下列说法正确的是 (　 ) A.小球在往复振动一次的过程中,从最高点运动至最低点用时2 s B.小球在往复振动一次的过程中,经过的路程为20 cm C.小球从初始位置开始振动,重新回到初始位置时所用的最短时间为 s D.小球从初始位置开始振动,若经过最高点和最低点的次数均为10,则所用时间的取值范围是 13.如图,点O为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的方向为物体位移的正方向,若已知振幅为3 cm,周期为3 s,且物体向右运动到距平衡位置最远处(点A处)时开始计时,则物体相对平衡位置的位移x(单位:cm)和时间t(单位:s)之间的函数关系式为　　　　　　　　.  14.在近期某学校组织的论文展示大赛中,同学们发现数学在音乐欣赏中起着重要的作用.纯音的数学模型是三角函数.如音叉发出的纯音振动可表示为y=Asin ωx,其中x表示时间,y表示纯音振动时音叉的位移.我们听到的每个音是由纯音合成的,若某合音的数学模型为函数f(x)=且声音的质感与y=f(x)的参数有关,比如:音调与声波的振动频率有关,频率低的声音低沉,频率高的声音尖利. (1)当n=1时,函数f(x)的图象的对称中心为　　　　;  (2)当n=50时,合音f(x)的音调比纯音φ(x)=sin 49x的音调　　　　(填“高”或“低”).  15.在月亮和太阳的引力作用下,海水水面发生的周期性涨落现象叫作潮汐.通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某天在某港口记录的水面深度y与时间x的关系表: x(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 (1)请从y=ax+b,y=Asin(ωx+φ)+B,y=cos(ωx+φ)这3个函数中选择一个函数近似描述某天这个港口的水面深度y与时间x的函数关系,不需要说明理由. (2)请根据你对(1)的判断以及所给信息,写出你选择的函数模型的解析式. (3)依照(2)中的函数模型,若一艘货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙(船底与海底的距离),则该货船在某天什么时间段能安全进出港口?要使该货船能在某天卸完货并安全离港,卸货最多只能用多长时间? 16.(多选题)从出生之日起,人的体力、情绪、智力呈周期性变化,在前30天内,它们的变化规律如图所示(均为可向右无限延伸的正弦型曲线模型): 记智力曲线为I,情绪曲线为E,体力曲线为P,且三条曲线的起点位于坐标系的同一点处,则 (　 ) A.体力曲线P的最小正周期是三个曲线中最小的 B.第462天时,智力曲线I与情绪曲线E都处于上升期 C.智力、情绪、体力三条曲线存在无数个公共点 D.不存在正整数n,使得第n天时,智力、情绪、体力三条曲线同时处于最高点或最低点 17.阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.由物理学知识可知,某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动,其离开平衡位置的位移y(m)和时间t(s)的函数关系为y=sin(ωt+φ)(ω>0,|φ|<π),如图.若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为t1,t2,t3(0<t1<t2<t3),且t1+t2=2,t2+t3=6,则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于或等于0.5 m的总时间为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 5.7　三角函数的应用 1.B　[解析] 由弹簧振子的运动方程y=3sin,得该弹簧振子的振幅是3、初相是.故选B. 2.B　[解析] 将t=代入I=5sin,得I=2.5,故电流强度为2.5 A. 3.D　[解析] 因为最小值和最大值之间的横坐标相差周期,而乙在最低点,所以经过周期后,乙的位置在丁处.故选D. 4. 1.09×10-8　 9.15×107　[解析] 由题意可得,该载波的周期T=≈1.09×10-8(秒),频率f==9.15×107(赫兹). 5.B　[解析] 观察图象可知,在第7天之后,视星等首次达到最小值的位置对应的横坐标大约在第11天,所以大约经过的天数为4.故选B. 6.A　[解析] 由题意可得500=Asin+300,可得200=Asin,解得A=200,所以y=200sin+300.当t=15.5时,y=200sin+300=200sinπ+300=100+300≈100×1.41+300=441.故选A. 7.16　[解析] 因为0≤t≤24,所以0≤≤2π,所以ymax=18,ymin=2,所以该地这一天的最大温差为18-2=16(℃). 8.D　[解析] 设简谐振动的解析式为s=Asin(ωt+φ),t∈[0,+∞),其中A>0,ω>0.由表格可知,振幅A=20,周期T=12,由T==12,且ω>0,可得ω=,当t=0时,20sin φ=-20,即sin φ=-1,得φ=2kπ-,k∈Z,则s=20sin=20sin=-20cos,t∈[0,+∞),k∈Z,所以该简谐振动的解析式为s=-20cos,t∈[0,+∞).故选D. 9.C　[解析] 令2kπ-≤≤2kπ+(k∈Z),得4kπ-π≤t≤4kπ+π(k∈Z),因为0≤t≤20,所以函数y=F(t)的单调递增区间为[0,π],[3π,5π].因为[10,15]⊆[3π,5π],所以车流量在时间段[10,15]内是增加的.故选C. 10.D　[解析] 由噪声的声波曲线y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,0≤φ<2π)的振幅为1,周期为2π,初相为,可得ω===1,A=1,φ=,所以噪声的声波曲线的解析式为y=sin=cos x,所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为y=-cos x.故选D. 11.C　[解析] 由题知解得所以H(t)=10+4sin.令H(t)≥8,即sin≥-,因为0≤t<24,所以-≤t-<,由正弦函数的图象与性质可知,-≤t-≤,解得6≤t≤22,所以该港口一天内水位不小于8 m的时长为22-6=16(h).故选C. 12.BC　[解析] 由题意可知,A===5,则h=5sin.对于A选项,函数h=5sin的最小正周期T==2,所以小球在往复振动一次的过程中,从最高点运动至最低点用时1 s,故A错误;对于B选项,小球在往复振动一次的过程中,经过的路程为20 cm,故B正确;对于C选项,因为当t=0时,h=5sin=,由h=5sin=可得πt+=2kπ+(k∈Z)或πt+=2nπ+(n∈Z),解得t=2k(k∈Z)或t=2n+(n∈Z),易知t≥0,则t的可能取值为0,,2,,4,,…,小球从初始位置开始振动,重新回到初始位置时所用的最短时间为 s,故C正确;对于D选项,由πt+=可得t=,则当t= s时,小球第一次到达最高点,以后每隔一个周期都出现一次最高点,因为小球在t s内经过最高点和最低点的次数均为10,所以+9T+T≤t<+10T,因为T=2,所以19≤t<20,所以小球从初始位置开始振动,若经过最高点和最低点的次数均为10,则所用时间的取值范围是,故D错误.故选BC. 13.x=3cos(t≥0)　[解析] 设x=Asin(ωt+φ)(ω>0),则A=3,T=3=,所以ω=,所以x=3sin.又函数图象过点(0,3),所以3=3sin φ,解得φ=2kπ+,k∈Z,所以x=3sin=3cos(t≥0). 14.(1)(kπ,0)(k∈Z)　(2)低　[解析] (1)当n=1时,函数f(x)=sin x的图象的对称中心为(kπ,0)(k∈Z). (2)所以f(x)比φ(x)的频率低,即合音f(x)的音调比纯音φ(x)=sin 49x的音调低. 15.解:(1)以时间为横坐标,以水深为纵坐标,在平面直角坐标系中作出对应的各点,如图所示, 根据图象可考虑用函数y=Asin(ωx+φ)+B近似描述这个港口的水面深度与时间的函数关系. (2)由已知数据结合图象可得A=2.5,B=5,T=12,ω==,故y=2.5sin+5. 又当x=0时,y=2.5sin φ+5=5, 所以可取φ=0, 所以y=2.5sinx+5. (3)由题意可得y=2.5sinx+5,令2.5sinx+5≥6.25,得sinx≥, 所以+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,解得1+12k≤x≤5+12k,k∈Z, 又0≤x≤24,所以1≤x≤5或13≤x≤17, 所以该船可以1点进港,5点离港,或13点进港,17点离港, 所以卸货最多只能用4小时. 16.ACD　[解析] 对于A,由题图知,智力曲线I的最小正周期T1=33,情绪曲线E的最小正周期T2=28,体力曲线P的最小正周期T3=23,因此体力曲线P的最小正周期是三个曲线中最小的,A正确;对于B,462除以33余数为0,462除以28余数为14,此时情绪曲线E处于周期处,处于下降期,而智力曲线I刚好处于周期的起点处,处于上升期,B错误;对于C,智力曲线I的对称中心的横坐标x1=16.5k1,k1∈N,情绪曲线E的对称中心的横坐标x2=14k2,k2∈N,体力曲线P的对称中心的横坐标x3=11.5k3,k3∈N,取16.5,14,11.5的公倍数即得3条曲线公共对称中心的横坐标,有无数个,即三条曲线存在无数个公共的对称中心,因此智力、情绪、体力三条曲线存在无数个公共点,C正确;对于D,智力曲线I的对称轴方程t1=8.25+16.5n1,n1∈N,情绪曲线E的对称轴方程t2=7+14n2,n2∈N,体力曲线P的对称轴方程t3=5.75+11.5n3,n3∈N,令8.25+16.5n1=7+14n2=5.75+11.5n3,由8.25+16.5n1=7+14n2,得165n1-140n2=-12.5,而165n1∈N,140n2∈N,-12.5∉Z,因此不存在自然数使得方程8.25+16.5n1=7+14n2成立,即三条曲线不存在公共的对称轴,因此不存在正整数n,使得第n天时,智力、情绪、体力三条曲线同时处于最高点或最低点,D正确.故选ACD. 17. s　[解析] 由t1+t2=2,t2+t3=6,得T=t3-t1=4,则ω==,由t1+t2=2,得直线t=1是函数y=sin的图象的一条对称轴,则+φ=+kπ,k∈Z,得φ=kπ,k∈Z,又|φ|<π,所以y=sint.令sint≥0.5(0≤t≤4),得≤t≤,解得≤t≤,所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于或等于0.5 m的总时间为-=(s). 学科网（北京）股份有限公司 $