5.7 三角函数的应用 课时作业-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本练习通过“基础全面练”与“综合应用练”分层设计，基础层巩固三角函数模型参数求解与简单应用，综合层提升数据拟合与跨情境分析能力，适配新授课知识内化与核心素养培养需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础全面练|三角函数模型参数（A,ω,φ,B）、图像性质、简谐运动/气温变化等简单应用|以选择/填空为主，结合地域检测题，强化概念理解与基本运算，体现数学眼光与推理意识| |综合应用练|数据表格分析、多模型比较、优化问题与经济情境应用|解答题占比提升，如摩天轮高度预测、生猪价格成本分析，培养模型意识与应用能力，深化数学思维与语言表达|

　三角函数的应用 (时间:45分钟　分值:65分) 【基础全面练】 1.(5分)(2026·沈阳高一检测)已知被弹簧牵引的小球相对于平衡位置的位移h cm与时间t s之间的函数关系式为h=2sin (ωt+)(ω>0),t∈[0,+∞),若小球1 s内运动4次,则ω= (　　) A.4 B.8 C.4π D.8π 2.(5分)(2026·重庆高一检测)近日重庆气温波动较大,假设渝中区某天8~18时的温度变化近似满足函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<),已知8时气温最低,为10 ℃,14时气温最高,为20 ℃,则f(x)的解析式可以是 (　　) A.f(x)=5sin (x+)+15,x∈[8,18] B.f(x)=5sin (x-)+15,x∈[8,18] C.f(x)=5sin (x+)+15,x∈[8,18] D.f(x)=5sin (x-)+15,x∈[8,18] 3.(5分)在图中,点O为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的方向为物体位移的正方向,若已知振幅为3 cm,周期为3 s,且物体向右运动到距离平衡位置最远处时开始计时.则物体对平衡位置的位移x(单位:cm)和时间t(单位:s)之间的函数关系式为 (　　) A.x=sin(t-) B.x=3sin(t) C.x=sin(3t+) D.x=3sin(t+) 4.(5分)(多选)如图是某市夏季某一天的温度变化曲线,若该曲线近似地满足函数y=Asin(ωx+φ)+B(0<φ<π),则下列说法正确的是 (　　) A.该函数的周期是16 B.该函数图象的一条对称轴是直线x=14 C.该函数的解析式是y=10sin(x+)+20(6≤x≤14) D.该市这一天中午12时天气的温度大约是27℃ 5.(5分)(多选)(2026·恩施高一检测)函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示,则下列说法正确的是 (　　) A.f(x)=cos (2x-) B.点(-,0)是函数f(x)的图象的一个对称中心 C.函数g(x)=sin (x+)图象上的所有点的横坐标缩短为原来的,得到函数f(x)的图象 D.函数f(x)的图象向右平移个单位长度,得到的图象关于y轴对称 6.(5分)若电流I(单位:A)与时间t(单位:s)之间的函数关系如图所示,则函数的最小正周期为 　　,当t= s时的电流为　　A.  7.(5分)如图所示是一个地铁站入口的双翼闸机.它的双翼展开时,双翼边缘的端点A与B之间的距离为10 cm,双翼的边缘AC=BD=54 cm,且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°.当双翼收起时,可以通过闸机的物体的最大宽度为　　cm.  8.(10分)把如图中的一段半径为R的圆木锯成横截面为矩形的木料,怎样截取才能使横截面面积最大? 【综合应用练】 9.(5分)(2026·成都高一检测)某同学坐旋转摩天轮时距地面的高度y(m)与时间t(s)的部分数据如表: t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 6 9 5.9 3 6 9 6.1 3 6 用函数模型y=Asin ωt+B近似刻画y与t之间的对应关系,则该同学在第25秒时距地面的高度约为 (　　) A.7.5 m B.6.5 m C.8.5 m D.5. 5 m 10.(5分)李华以18千米/时的速度骑着一辆车轮直径为24寸(1米等于3尺,1尺等于10寸)的自行车行驶在一条平坦的公路上,自行车前轮胎上有一块红色的油漆印(图中点P),则点P滚动一周所用的时间为　　秒(用π表示);若刚开始骑行时,油漆印离地面0.6米,在前行的过程中油漆印离地面的高度h(单位:米)与时间(单位:秒)的函数关系式可以用h=f(t)=Asin(ωt+φ) +b(A>0,ω>0,-<φ<)来刻画,则f(t)=　　.  11.(10分)某地农业检测部门统计发现:该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现,但生猪养殖成本逐月递增.下表是今年前四个月的统计情况: 月份 1月份 2月份 3月份 4月份 收购价格(元/斤) 6 7 6 5 养殖成本(元/斤) 3 4 4.6 5 现打算从以下两个函数模型:①y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,-π<φ<π);②y=log2(x+a)+b中选择适当的函数模型,分别来拟合今年生猪收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系、养殖成本(元/斤)与相应月份之间的函数关系. (1)请分别求出这两个函数模型解析式; (2)由模型①来拟合今年生猪收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系,由模型②来拟合养殖成本(元/斤)与相应月份之间的函数关系,帮助该部门分析一下,今年该地区生猪养殖户在接下来的月份里有没有可能亏损? 　答案解析 【基础全面练】 1.(5分)(2026·沈阳高一检测)已知被弹簧牵引的小球相对于平衡位置的位移h cm与时间t s之间的函数关系式为h=2sin (ωt+)(ω>0),t∈[0,+∞),若小球1 s内运动4次,则ω= (　　) A.4 B.8 C.4π D.8π 【解析】选D.因为小球1 s内运动4次,即小球运动的频率为4, 所以f==4,则ω=4×2π=8π. 2.(5分)(2026·重庆高一检测)近日重庆气温波动较大,假设渝中区某天8~18时的温度变化近似满足函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<),已知8时气温最低,为10 ℃,14时气温最高,为20 ℃,则f(x)的解析式可以是 (　　) A.f(x)=5sin (x+)+15,x∈[8,18] B.f(x)=5sin (x-)+15,x∈[8,18] C.f(x)=5sin (x+)+15,x∈[8,18] D.f(x)=5sin (x-)+15,x∈[8,18] 【解析】选A.依题意,解得,又=14-8=6,所以T=12=,所以ω=, 所以f(x)=5sin (x+φ)+15,又f(8)=5sin (×8+φ)+15=10, 所以sin (+φ)=-1,所以+φ=+2kπ,k∈Z,所以φ=+2kπ,k∈Z, 又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=5sin (x+)+15,x∈[8,18]. 3.(5分)在图中,点O为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的方向为物体位移的正方向,若已知振幅为3 cm,周期为3 s,且物体向右运动到距离平衡位置最远处时开始计时.则物体对平衡位置的位移x(单位:cm)和时间t(单位:s)之间的函数关系式为 (　　) A.x=sin(t-) B.x=3sin(t) C.x=sin(3t+) D.x=3sin(t+) 【解析】选D.设位移x关于时间t的函数为x=f(t)=Asin(ωt+φ)(ω>0), 根据题中条件,可得A=3,周期T==3,故ω=, 由题意可知当x=0时,f(t)取得最大值3,故3sin φ=3,则φ=+2kπ(k∈Z), 所以x=3sin(t++2kπ)=3sin(t+). 4.(5分)(多选)如图是某市夏季某一天的温度变化曲线,若该曲线近似地满足函数y=Asin(ωx+φ)+B(0<φ<π),则下列说法正确的是 (　　) A.该函数的周期是16 B.该函数图象的一条对称轴是直线x=14 C.该函数的解析式是y=10sin(x+)+20(6≤x≤14) D.该市这一天中午12时天气的温度大约是27℃ 【解析】选ABD.由题意以及函数的图象可知,A+B=30,-A+B=10,所以A=10,B=20. 因为=14-6,所以T=16,A正确; 因为T=,所以ω=,所以y=10sin(x+φ)+20, 因为图象经过点(14,30),所以30=10sin(×14+φ)+20, 所以sin(×14+φ)=1,所以φ可以取,所以y=10sin(x+)+20(0≤x≤24),B正确,C错误; 当x=12时,y=10sin(×12+)+20=10×+20≈27,故D正确. 综上,A,B,D正确. 5.(5分)(多选)(2026·恩施高一检测)函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示,则下列说法正确的是 (　　) A.f(x)=cos (2x-) B.点(-,0)是函数f(x)的图象的一个对称中心 C.函数g(x)=sin (x+)图象上的所有点的横坐标缩短为原来的,得到函数f(x)的图象 D.函数f(x)的图象向右平移个单位长度,得到的图象关于y轴对称 【解析】选ACD.对于A:由题图可知:-,T=π=⇒ω=2, 用“五点法”代入点(,0),可得φ=+2kπ,k∈Z,不妨取φ=,则f(x)=sin (2x+), sin (2x+)=sin (2x-+)=cos (2x-),故A正确; 对于B:sin [2×(-)+]≠0,故B错误; 对于C:由于g(x)伸缩变换后的函数就是f(x),故C正确; 对于D:f(x)的图象向右平移个单位长度后的函数y=sin [2×(x-)+]=sin (2x-), 因为sin (2x-)=-cos 2x,所以y=sin (2x-)为偶函数,故D正确. 6.(5分)若电流I(单位:A)与时间t(单位:s)之间的函数关系如图所示,则函数的最小正周期为 　　,当t= s时的电流为　0　A.  【解析】由题中图象,可知该函数的最小正周期是,设I=f(t),由函数的最小正周期是, 可知f()=f(+10×)=f()=0,故t= s时的电流是0 A. 7.(5分)如图所示是一个地铁站入口的双翼闸机.它的双翼展开时,双翼边缘的端点A与B之间的距离为10 cm,双翼的边缘AC=BD=54 cm,且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°.当双翼收起时,可以通过闸机的物体的最大宽度为　64　cm.  【解析】如图,连接AB,CD,过点A作AE⊥CD于E,过点B作BF⊥CD于F. 因为AB∥EF,AE∥BF,所以四边形ABFE是平行四边形, 因为∠AEF=90°,所以四边形AEFB是矩形,所以EF=AB=10 cm, 因为AE∥PC,所以∠PCA=∠CAE=30°,所以CE=AC·sin 30°=27 cm, 同理DF=27 cm,所以CD=CE+EF+DF=27+10+27=64(cm). 8.(10分)把如图中的一段半径为R的圆木锯成横截面为矩形的木料,怎样截取才能使横截面面积最大? 【解析】如图所示,连接AC,设∠DAC=α. AD=2Rcos α,CD=2Rsin α,S矩形ABCD=AD·CD=4R2sin αcos α=2R2sin 2α. 当α=时,矩形ABCD的面积取得最大值2R2,此时四边形ABCD为正方形. 【综合应用练】 9.(5分)(2026·成都高一检测)某同学坐旋转摩天轮时距地面的高度y(m)与时间t(s)的部分数据如表: t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 6 9 5.9 3 6 9 6.1 3 6 用函数模型y=Asin ωt+B近似刻画y与t之间的对应关系,则该同学在第25秒时距地面的高度约为 (　　) A.7.5 m B.6.5 m C.8.5 m D.5. 5 m 【解析】选A.根据表格数据可知最大高度为9 m,最小高度为3 m,不妨取A>0,因此可得A+B=9,-A+B=3,解得A=3,B=6. 数据完成一个周期用时为12 s,因此周期T==12,可得ω=, 因此函数模型为y=3sin (t)+6. 代入t=25,可得y=3sin (×25)+6=3sin +6=+6=7.5. 10.(5分)李华以18千米/时的速度骑着一辆车轮直径为24寸(1米等于3尺,1尺等于10寸)的自行车行驶在一条平坦的公路上,自行车前轮胎上有一块红色的油漆印(图中点P),则点P滚动一周所用的时间为　　秒(用π表示);若刚开始骑行时,油漆印离地面0.6米,在前行的过程中油漆印离地面的高度h(单位:米)与时间(单位:秒)的函数关系式可以用h=f(t)=Asin(ωt+φ) +b(A>0,ω>0,-<φ<)来刻画,则f(t)=　sin(t+)+　.  【解析】由题得李华的速度为18千米/时=5米/秒,车轮直径为米,周长为米,故滚动一周所用时间为秒,即最小正周期T=,于是ω=, 依题意知A=,b=,f(0)=⇒sin φ=,又-<φ<,所以φ=,故f(t)=sin(t+)+. 11.(10分)某地农业检测部门统计发现:该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现,但生猪养殖成本逐月递增.下表是今年前四个月的统计情况: 月份 1月份 2月份 3月份 4月份 收购价格(元/斤) 6 7 6 5 养殖成本(元/斤) 3 4 4.6 5 现打算从以下两个函数模型:①y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,-π<φ<π);②y=log2(x+a)+b中选择适当的函数模型,分别来拟合今年生猪收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系、养殖成本(元/斤)与相应月份之间的函数关系. (1)请分别求出这两个函数模型解析式; 【解析】(1)对于模型①,由点(1,6)及(3,6)可得函数周期满足=3-1=2,即=4, 所以ω=,又函数最大值为A+B=7,最小值为-A+B=5,解得A=1,B=6, 所以y=sin(x+φ)+6,又+φ=2kπ,k∈Z,所以φ=-+2kπ,k∈Z, 又-π<φ<π,所以φ=-,所以模型①y=sin(x-)+6; 对于模型②,y=log2(x+a)+b图象过点(1,3),(2,4), 所以,解得,所以模型②y=log2x+3; (2)由模型①来拟合今年生猪收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系,由模型②来拟合养殖成本(元/斤)与相应月份之间的函数关系,帮助该部门分析一下,今年该地区生猪养殖户在接下来的月份里有没有可能亏损? 【解析】(2)由(1)设y1=sin(x-)+6,y2=log2x+3, 若y1>y2,则盈利,若y1<y2,则亏损; 当x=5时,y1=6>y2=log25+3; 当x=6时,y1=7>y2=log26+3; 当x=7时,y1=6>y2=log27+3; 当x=8时,y1=5<y2=log28+3; 当x=9时,y1=6<y2=log29+3; 当x=10时,y1=7>y2=log210+3; 当x=11时,y1=6<y2=log211+3; 当x=12时,y1=5<y2=log212+3, 这说明8月份,9月份,11月份,12月份这四个月收购价格低于养殖成本,生猪养殖户出现亏损.所以今年该地区生猪养殖户在接下来的月份里有可能亏损. 学科网（北京）股份有限公司 $