5.7三角函数的应用同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册）

**基本信息** 聚焦三角函数应用，通过基础概念辨析、情境问题解决、综合建模层层递进，强化数学建模与实际应用能力，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|振幅/初相/频率等概念|单选1-3直接考查定义，填空12-13强化公式直接应用| |能力提升|几何/物理情境应用|单选4-9结合时钟、仰角等模型，多选10-11综合图像与性质辨析| |综合应用|实际问题建模|解答题18-21涉及港口水深、气温拟合等，需构建三角函数模型解决|

5.7 三角函数的应用 同步练习（附解析） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知一个弹簧振子的运动方程为，则该弹簧振子的振幅、初相分别是（   ） A．振幅是2，初相是 B．振幅是4，初相是 C．振幅是2，初相是 D．振幅是4，初相是 2．某简谐运动的函数解析式为，则这个简谐运动的频率和相位分别为（    ） A．， B．2， C．， D．2， 3．某简谐运动的函数解析式为，则这个简谐运动的频率和相位分别为（   ） A． B． C． D． 4．记某时钟的中心点为，分针针尖对应的端点为．已知分针长，且分针从12点位置开始绕中心点顺时针匀速转动．若以中心点为原点，3点和12点方向分别为轴和轴正方向建立平面直角坐标系，则点到轴的距离（单位：）与时间t（单位：min）的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 5．天上有些恒星的亮度是会变化的，其中一种称为造父变星，本身体积会膨胀收缩造成亮度周期性的变化．如图所示为一造父变星的亮度（用“视星等”衡量）随时间（单位：天）的变化记录图，视星等越小，亮度越高．由记录图可知，从第7天开始计算，该星的亮度首次达到最高时，大约需要经过的天数是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．如图所示，角（）的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，其终边与单位圆的交点为，分别过点作轴的垂线，过点作轴的垂线交角的终边于，，根据三角函数的定义，．现在定义余切函数，满足，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在某个位置A处测得一旗杆ED的仰角为，对着旗杆在平行地面上前进60米到达点B，测得旗杆ED的仰角为原来的2倍.继续在平行地面上前进a米到达点C，测得旗杆ED的仰角为原来的4倍，其中A，B，C，D四点共线.若旗杆ED的高度为30米，则（    ） A． B． C． D． 8．下表给出了某港口在某天几个时刻的水深： 时刻 水深／m 时刻 水深／m 时刻 水深／m 0:00 5.0 9:00 2.5 18:00 5.0 3:00 7.5 12:00 5.0 21:00 2.5 6:00 5.0 15:00 7.5 24:00 5.0 以下函数中最能刻画水深与时刻之间的关系的是（   ） A．幂函数 B．指数函数 C．三角函数 D．对数函数 9．如图，点P为射线与以原点O为圆心的单位圆的交点，一动点在圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每2秒转一圈．则该动点横坐标关于运动时间t的函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（多选）已知简谐运动的图象经过点，则该简谐运动的最小正周期和初相分别为（   ） A． B． C． D． 11．图1所示的是一段根据正弦曲线设计安装的过山车轨道，建立平面直角坐标系，如图2，（单位：m）表示在时间（单位：s）时，过山车（看作质点）离地平面的高度，轨道最高点距离地平面60m，最低点距离地平面10m，当时，过山车到达最高点，当时，过山车到达最低点，设，则（   ） A． B． C．入口处距离地平面 D．一个周期内过山车距离地平面的高度不大于的时长是 三、填空题 12．已知一简谐振动满足函数，则该振动的振幅为______． 13．电流随时间变化的关系式是，则当时，电流为_____. 14．已知点A是两平行直线之间的一定点，并且点A到的距离分别是3，5，是直线上的动点，作，且使与直线交于点．则的面积的最小值是______． 15．如图，点为作简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为，周期为，且物体向右运动到距平衡位置最远处（点处）时开始计时，则物体相对平衡位置的位移（单位：）和时间（单位：）之间的函数关系为______． 16．是轮子（半径为）外边沿上的一点，若轮子从图中位置（A恰为轮子和地面的切点）向左匀速无滑动滚动，当滚动的水平距离为时，点A距离地面的高度为，若，则的最小值为__________. 17．如图，圆的半径为2，为圆外一条直线，圆心到直线的距离，为圆周上的点，，点从处开始以每圈2秒的速度在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动．秒后，点到直线的距离用表示为______． 四、解答题 18．交流电的电压E（单位：伏）与时间t（单位：秒）的关系可用来表示，求： (1)开始时的电压； (2)电压的最大值和第一次获得这个最大值的时间. 19．某港口相邻两次高潮发生的时间间隔为，低潮时入口处水的深度为，高潮时为，已知一次高潮发生在10月3日2：00. (1)若从10月3日0：00开始计算时间，选用一个三角函数模型来近似描述这个港口入口处的水深和时间之间的函数关系； (2)求出10月4日15：00入口处水的深度. 20．下表是某地某年月平均气温（华氏）： 月份 1 2 3 4 5 6 平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 月份 7 8 9 10 11 12 平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7 以月份为x轴（月份），以平均气温为y轴. (1)描点作图，用正弦曲线去拟合这些数据； (2)估计这个正弦曲线的周期T和振幅A； (3)下面三个函数模型中，哪一个最适合这些数据？ ①；②；③. 21．如图，为一个水轮的轴截面示意图，水轮的半径为1米，水轮圆心距离水面米.以圆心为坐标原点，平行于水面为轴，垂直于水面为轴建系.已知水轮每分钟逆时针转动5圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间. (1)当，点在转动过程中第一次使得时，记水轮与轴交于点，求此时的值； (2)当时，求点距离水面的高度米，表示为时间秒的函数，并求点第一次到达最高点所需要的时间. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《5.7 三角函数的应用 同步练习（附解析）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D D B D B C C AD 题号 11 答案 ACD 1．C 【知识点】三角函数在物理学中的应用 【详解】由题意，振幅是2，初相是. 2．A 【知识点】三角函数在物理学中的应用、求正弦（型）函数的最小正周期 【详解】，这个简谐运动的周期为，频率为，相位为. 3．D 【知识点】三角函数在物理学中的应用、正、余弦型三角函数图象的应用 【详解】的频率为，相位为． 4．D 【知识点】几何中的三角函数模型、三角函数在生活中的应用、任意角的概念、诱导公式五、六 【分析】画出图像，由题意分析得， 利用已知条件求解出化简即可. 【详解】如图所示： 由题意得分针每分钟转rad， 则分钟后转了rad， 则点到轴的距离与时间t的关系可设为： ， 当时，点在钟表的12点处，此时， 所以， 所以可以取， 此时， 故选：D. 5．B 【知识点】三角函数在生活中的应用 【分析】明确视星等与亮度关系，确定找亮度最高即视星等最小处. 【详解】观察图象可知，在第7天之后，视星等首次达到最小值的位置对应的横坐标大约在第11天， 所以从第7天开始到大约第11天，经过的天数为4天. 故选：B. 6．D 【知识点】三角函数新定义、三角函数线的应用 【分析】利用三角形相似，即可求解. 【详解】由图象可知，， 则，即， 所以. 故选：D 7．B 【知识点】三角函数在生活中的应用 【分析】根据题意，在三角形EBC中，利用余弦定理可求. 【详解】如图，在直角三角形EBD中，，，所以， 在三角形EBC中，由余弦定理得，，解得. 故选：B. 8．C 【知识点】三角函数在生活中的应用 【分析】根据因变量的数据的规律判断即可. 【详解】根据表格的数据可以看出，因变量水深从0：00到3：00上升，从3：00到6：00下降， 从6：00到9：00下降，从9：00到12：00上升，从12：00到15：00上升，从15：00到18：00下降， 可以看出，符合三角函数的单调性规律，而幂函数、指数函数和对数函数没有这样的规律. 故选：C. 9．C 【知识点】几何中的三角函数模型 【分析】动点的运动速度为，射线对应的角度为，故动点行程的射线对应的角度为，得到答案. 【详解】动点的运动速度为，射线对应的角度为， 故动点行程的射线对应的角度为，故， 故选：C 10．AD 【知识点】三角函数在物理学中的应用、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】由即可求周期，将点代入即可得到． 【详解】，代入点得． 又． 故选：AD. 11．ACD 【知识点】三角函数在生活中的应用、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】利用图象中的五点法可判断A，利用代入最高点可求判断B，利用赋值可判断C，利用解三角不等式可判断D． 【详解】对于A，设的最小正周期为，则，解得， 由题意得，得，则，A正确． 对于B，由上面解答过程知，令， 可得，又， 解得，B错误． 对于C，因为，所以，C正确． 对于D，由，得，所以， 解得，D正确． 故选：ACD 12． 2 【知识点】三角函数在物理学中的应用 【详解】因为正弦型简谐振动函数（）的振幅为， 所以满足函数的简谐振动的振幅为2. 13． 【知识点】三角函数在物理学中的应用 【分析】将自变量代入解析式求值即可. 【详解】由时，. 故答案为： 14．15 【知识点】几何中的三角函数模型、求含sinx(型)函数的值域和最值、二倍角的正弦公式 【分析】设，则，分别表示出，根据三角形面积公式及二倍角公式得出，再根据正弦函数的性质求解即可． 【详解】设，则， 所以， 所以， 因为，所以， 所以当，即时，的面积的最小值为15， 故答案为：15． 15．（） 【知识点】三角函数在物理学中的应用 【分析】由题可设，再求相关参数即可. 【详解】设， 则，，所以，即． 又函数过点，所以，得，． 故（）． 故答案为：  ． 16． 【知识点】三角函数在生活中的应用、正、余弦型三角函数图象的应用 【分析】设轮子滚动了后到达点,即，点作垂直地面，过点作，求得函数解析式为，结合余弦函数的性质，即可求解. 【详解】 由题意可知，轮子的半径为，则轮子滚动一周的水平距离为， 如图所示，设轮子滚动了后到达点,即，所以， 过点作垂直地面，过点作， 则， 所以， 由，可得， 所以，解得， 令 所以，，且， 所以当时，可得取最小值为， 故答案为：. 17．， 【知识点】几何中的三角函数模型 【分析】由题意，周期为2，秒钟后，旋转角为，求出点的横坐标，从而求出点到直线的距离. 【详解】设， 由题意得，所以，由起始位置得， 故点到直线的距离，. 故答案为：，. 18．(1)伏 (2)伏， 【知识点】三角函数在生活中的应用 【分析】（1）求时的函数值即可； （2）解方程即可. 【详解】（1）当时，（伏）， 即开始时的电压为伏； （2）电压的最大值为伏， 令，得， 故当秒时第一次获得这个最大值. 19．(1) (2)8.4米 【知识点】求函数值、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】（1）根据正弦型函数的性质，结合正弦型函数的周期公式、最值性质进行求解即可； （2）利用代入法进行求解即可. 【详解】（1）设此三角函数模型是，根据题意可知周期. 所以，，， 所以， 又因为当时，d取得最大值， 所以， 所以可取， 所以. （2）10月4日15：00相当于，此时入口处水的深度（米）. 20．(1)答案见解析 (2)， (3)③ 【知识点】五点法画正弦（型）函数的图象、三角函数在生活中的应用 【分析】（1）根据特殊角的正弦函数值画图象即可； （2）根据函数的图象，结合正弦型函数的周期和最值性质进行求解即可； （3）利用代入法逐一判断即可. 【详解】（1）如图. （2）最低气温为1月份21.4，最高气温为7月份73.0， 故，所以. 因为的值等于最高气温与最低气温的差， 即，所以. （3）因为月份， 所以不妨取，. 代入①得，故①不适合. 代入②得，故②不适合. 代入③得，所以③最适合. 21．(1) (2)，4秒 【知识点】三角函数在生活中的应用、由单位圆求三角函数值、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）根据任意角定义可得，再由三角函数定义计算可得； （2）由水轮旋转速度求出其角速度，再由三角函数定义求出表达式，解方程可求出相应时间. 【详解】（1）由，得， ， ， 又由，则， 故. （2）水轮每分钟逆时针转动5圈，则每秒逆时针转动， 由，可得， 可知秒后点， 则点到水面的高度为， 当第一次到达最高点时，即时，， 即可得 故点第一次到达最高点所需要的时间为4秒. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $