4.5.2 用二分法求方程的近似解同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦二分法核心概念与操作，通过选择、填空、解答题梯度设计，实现从概念理解到近似计算再到综合应用的知识巩固路径，适配新授课基础夯实与能力初步提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解层|二分法概念、零点判断、误差分析|结合图像判断零点个数（数学眼光），基础选择填空巩固核心定义| |技能应用层|区间确定、数据表格分析、实际问题|通过数据表格计算近似解（数学思维），多选与填空强化操作步骤| |综合提升层|方程解判断、函数单调性与二分法综合|解答题融合方程与函数（数学语言），实现知识迁移与应用|

4.5.2 用二分法求方程的近似解【课时步步练】 2026-2027学年高一数学同步备课系列【基础题】 一、选择题（共8小题） 1.已知函数f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的零点的个数分别为 （      ）  A.4，4 B.3，4 C.5，4 D.4，3 2.用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a，b)内，当|a－b|<ε(ε为精确度)时，函数零点近似值x0＝与真实零点的误差最大不超过（      ）  A. B. C.ε D.2ε 3.（2025-2026·广东佛山高一上期中）用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： 则当精确度为时，方程的近似解可取为（） A. B. C. D. 4.函数f(x)＝log2x－的零点所在的区间为（      ）  A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4) 5.（2025-2026·天津高一期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ） A. B. C. D. 6.用二分法求连续函数f(x)的一个正实数零点时，经计算得f(0.64)<0，f(0.72)＞0，f(0.68)<0，则函数的一个精确度为0.05的正实数零点的近似值为 （      ） A.0.65 B.0.7 C.0.75 D.0.8 7.已知函数f(x)＝x3－x－1在区间[1，1.5]上的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算的结果如表： x 1 1.5 1.25 1.375 1.312 5 f(x) －1 0.875 －0.296 9 0.224 6 －0.051 51 那么方程x3－x－1＝0的一个近似解(精确度为0.1)为 （      ）  A.1 B.1.5 C.1.25 D.1.312 5 8.已知函数f(x)＝ln x＋4x－9，现用二分法求函数f(x)在(2，3)内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为 （      ）  A.(2，) B.() C.() D.(，3) 二、多选题（共3小题） 9.以下每个图象表示的函数都有零点，但能用二分法求函数零点的 （      ）       　 　      10.设，某学生用二分法求方程的近似解(精确度为)，列出了它的对应值表如下： 若依据此表格中的数据，则得到符合要求的方程的近似解可以为(    ) A.1.31 B.1.38 C.1.43 D.1.44 11.（2025-2026·湖南高一期末）在下列区间中，函数一定存在零点的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题（共3小题） 12.函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是                   . 13.用二分法求函数的一个零点，算得的部分数据如下： 根据此数据，可得方程的一个近似解(精确到0.01)为                  . 14.在12枚崭新的硬币中，有一枚外表与真币完全相同的假币（质量小一点），现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称                   次就可以发现假币. 四、解答题（共2小题） 15.已知方程2x＋2x＝5. (1)判断该方程解的个数以及所在区间； (2)用二分法求出方程的近似解(精确度为0.1). 参考数值： x 1.25 1.281 25 1.312 5 1.375 1.5 2x 2.378 2.430 2.484 2.594 2.828 16.（2024-2025·湖南永州高一下期末）已知函数f(x)＝ax+（a＞1）. (1) 求证：f(x)在(﹣1，+∞)上是增函数； (2) 若a＝3，求方程f(x)＝0的正根（精确到0.1）. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.5.2 用二分法求方程的近似解【课时步步练】 2026-2027学年高一数学同步备课系列【基础题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1.已知函数f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的零点的个数分别为 （      ）  A.4，4 B.3，4 C.5，4 D.4，3 【答案】D 【解析】由题可知此图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D. 2.用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a，b)内，当|a－b|<ε(ε为精确度)时，函数零点近似值x0＝与真实零点的误差最大不超过（      ）  A. B. C.ε D.2ε 【答案】B 【解析】真实零点离近似值x0最远即靠近a或b，而b－＝－a＝<，因此误差最大不超过. 3.（2025-2026·广东佛山高一上期中）用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： 则当精确度为时，方程的近似解可取为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由表格数据得,, 故, 由零点存在定理得的零点在区间内. 因为,满足精确度要求, 故区间内的数均可作为近似解. 对于选项A:,不符合. 对于选项B:,不符合. 对于选项C:,符合. 对于选项D:,不符合. 故选:C. 4.函数f(x)＝log2x－的零点所在的区间为（      ）  A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4) 【答案】B 【解析】函数f(x)＝log2x－在(0，＋∞)内单调递增， f(1)＝－1<0，f(2)＝1－＝>0， ∴f(1)·f(2)<0. 根据函数零点存在定理可得，函数f(x)＝log2x－的零点所在的区间为(1，2). 5.（2025-2026·天津高一期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A选项：，令，得，即，在两侧函数值异号，可用二分法求零点. B选项：，令，得，， 且恒成立，在零点两侧函数值同号，不可用二分法求零点. C选项：，令，即，解得， 在零点两侧函数值异号，可用二分法求零点. D选项：，令，得，即， 在零点两侧函数值异号，可用二分法求零点. 故选：B. 6.用二分法求连续函数f(x)的一个正实数零点时，经计算得f(0.64)<0，f(0.72)＞0，f(0.68)<0，则函数的一个精确度为0.05的正实数零点的近似值为 （      ） A.0.65 B.0.7 C.0.75 D.0.8 【答案】B 【解析】因为f(0.72)＞0，f(0.68)<0，|0.72－0.68|＝0.04<0.05，所以零点在区间(0.68，0.72)内，故只有B符合要求． 7.已知函数f(x)＝x3－x－1在区间[1，1.5]上的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算的结果如表： x 1 1.5 1.25 1.375 1.312 5 f(x) －1 0.875 －0.296 9 0.224 6 －0.051 51 那么方程x3－x－1＝0的一个近似解(精确度为0.1)为 （      ）  A.1 B.1.5 C.1.25 D.1.312 5 【答案】D 【解析】由于f(x)＝x3－x－1在R上为连续函数，f(1.375)＝0.224 6>0，f(1.312 5)＝－0.051 51<0，且1.375－1.312 5＝0.062 5<0.1，故方程x3－x－1＝0的一个近似解为1.312 5.故选D. 8.已知函数f(x)＝ln x＋4x－9，现用二分法求函数f(x)在(2，3)内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为 （      ）  A.(2，) B.() C.() D.(，3) 【答案】A 【解析】函数f(x)＝ln x＋4x－9，f(2)＝ln 2＋4×2－9＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3＋4×3－9＝ln 3＋3＞0，函数f(x)的零点在(2，3)内；f()＝ln＋4×－9＝ln＋1＞0，函数f(x)的零点在(2，)内；f()＝ln＋4×－9＝ln＞0，函数f(x)的零点在(2，)内.故选A. 二、多选题（共3小题） 9.以下每个图象表示的函数都有零点，但能用二分法求函数零点的 （      ）       　 　      【答案】ABD 【解析】当函数的图象在x轴的同一侧时，不能用二分法进行求解．选项A，B，D的图象均在x轴的两侧，可用二分法求解，只有选项C的图象在x轴的同一侧，不能用二分法求解． 10.设，某学生用二分法求方程的近似解(精确度为)，列出了它的对应值表如下： 若依据此表格中的数据，则得到符合要求的方程的近似解可以为(    ) A.1.31 B.1.38 C.1.43 D.1.44 【答案】BC 【解析】与都是上的单调递增函数， 是上的单调递增函数， 在上至多有一个零点， 由表格中的数据可知： ， 在上有唯一零点，零点所在的区间为， 即方程有且仅有一个解，且在区间内， ， 内的任意一个数都可以作为方程的近似解， ， 符合要求的方程的近似解可以是和1.43﹒ 故选：BC﹒ 11.（2025-2026·湖南高一期末）在下列区间中，函数一定存在零点的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】选项A： 当时，，，则. 所以函数在上一定不存在零点，A错误. 选项B：，. 根据零点存在定理，函数在上有零点， 所以在上一定存在零点，B正确. 选项C：令，即. 通过分析函数单调性和取值情况， 可知在上与图象不一定有交点，即函数不一定存在零点，C错误. 选项D： ，. ，，，. 根据零点存在定理，函数在上一定存在零点，D正确. 故选：BD. 三、填空题（共3小题） 12.函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是                   . 【答案】a2＝4b 【解析】∵函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出， ∴函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴相切， ∴Δ＝a2－4b＝0，∴a2＝4b. 13.用二分法求函数的一个零点，算得的部分数据如下： 根据此数据，可得方程的一个近似解(精确到0.01)为                  . 【答案】 【解析】由表格中的数据，可得，， 根据零点的存在定理，可得函数的零点所在区间为， 故函数的零点的近似值为(精确到0.01)， 故答案为：. 14.在12枚崭新的硬币中，有一枚外表与真币完全相同的假币（质量小一点），现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称                   次就可以发现假币. 【答案】3 【解析】将12枚硬币平均分成两份，放在天平上，假币在轻的那6枚硬币里面；将这6枚平均分成两份，则假币一定在轻的那3枚硬币里面；将这3枚硬币任拿出2枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚即是假币；若不平衡，则轻的那一枚即是假币，依据上述分析，最多称3次就可以发现这枚假币. 四、解答题（共2小题） 15.已知方程2x＋2x＝5. (1)判断该方程解的个数以及所在区间； (2)用二分法求出方程的近似解(精确度为0.1). 参考数值： x 1.25 1.281 25 1.312 5 1.375 1.5 2x 2.378 2.430 2.484 2.594 2.828 【答案】解：(1)令f(x)＝2x＋2x－5. 因为函数f(x)＝2x＋2x－5在R上是增函数，所以函数f(x)＝2x＋2x－5至多有一个零点. 因为f(1)＝21＋2×1－5＝－1＜0， f(2)＝22＋2×2－5＝3＞0， 所以方程2x＋2x＝5有一解在(1，2)内. (2)用二分法逐次计算，列表如下： 区间 中点的值 中点函数值符号 (1，2) 1.5 f(1.5)＞0 (1，1.5) 1.25 f(1.25)＜0 (1.25，1.5) 1.375 f(1.375)＞0 (1.25，1.375) 1.312 5 f(1.312 5)＞0 (1.25，1.312 5) 1.281 25 f(1.281 25)＜0 因为｜1.375－1.25｜＝0.125＞0.1， 且｜1.312 5－1.25｜＝0.062 5＜0.1， 所以函数零点的近似值可取为1.312 5， 即方程2x＋2x＝5的近似解可取为1.312 5. 16.（2024-2025·湖南永州高一下期末）已知函数f(x)＝ax+（a＞1）. (1) 求证：f(x)在(﹣1，+∞)上是增函数； (2) 若a＝3，求方程f(x)＝0的正根（精确到0.1）. 【答案】(1)证明：设由得 故. 因为且所以； 因为所以故. 因此即 故在上是增函数. (2)解：当时 由(1)知在上是增函数，故在上单调递增. 因为 故的正根唯一且在内. 取初始区间中点区间变为； 中点区间变为； 中点区间变为； 中点区间变为. 因故原方程的近似正根可取. 学科网（北京）股份有限公司 $