4.5.3函数模型的应用同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以指数、对数函数模型及综合拟合为分层，通过基础计算→情境转化→模型选择的路径，强化函数应用与数学建模，适配新授课知识巩固与核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |考点一|指数函数模型应用|3题基础计算，如企业能耗降低率方程，强化概念理解与运算能力| |考点二|对数函数模型应用|2题情境转化，如声强级计算，培养数学思维与实际问题转化能力| |考点三|函数模型综合拟合|8题综合应用，如年薪增长模型选择、水生植物覆盖面积预测，突出模型意识与数据观念|

4.5.3　函数模型的应用 1.D　[解析] 设2017年该企业单位生产总值能耗为a,则到2024年该企业的单位生产总值能耗为a(1-x)7,由题可得a(1-x)7=0.7a,则(1-x)7=0.7.故选D. 2.D　[解析] 由题意得y0·0.≤0.4y0,即0.≤0.4,即lg≤lg,解得x≥=≈5.5,所以至少需要经过6年.故选D. 3.17　[解析] 当产量为7台时,总成本y=0.5×+5×7=39(万元),则生产者可获得的利润为7×8-39=17(万元). 4.B　[解析] 设平时常人交谈时的声音强度为x0,喷气式飞机起飞时的声音强度为x1.由题意知,f(x0)=10lg=60,解得x0=10-6,因为x1=108x0,所以x1=102,所以f(x1)=10lg=10×lg 1014=140,即喷气式飞机起飞时的声强级为140 dB.故选B. 5.9　[解析] 设鲑鱼原来游速为v,原来的耗氧量的单位数为O1,提速后的耗氧量的单位数为O2,由题意得可得=9,即它的耗氧量的单位数增大为原来的9倍. 6.D　[解析] 由题图可知,y随t的增加而增加,且增长速度越来越快,排除B.当t=4时,由A中函数模型计算得y=32,由C中函数模型计算得y=64,由D中函数模型计算得y=16,因此D中的函数模型最能近似刻画此种豆类生长枝数与时间的关系.故选D. 7.BC　[解析] 易知指数函数的增长速度最终会比一次函数的增长速度更快,故C正确,D错误;在这8年内,先是小马的年薪较低,后来小马的年薪超过了小李的年薪,令f(x)=2+0.2x-0.5-1.4x=1.5+0.2x-1.4x,易知f(x)在[1,8]上单调递减,且f(1)=0.3>0,f(2)=-0.06<0,所以第2年小马的年薪超过小李的年薪,故A错误,B正确.故选BC. 8.33　[解析] 当10≤x≤300时,由题意可得,函数模型①②③中f(x)均随x的增加而增加,满足第一点需求,但函数模型①②中随着x的增加,f(x)增加的幅度不变或减小,不满足第二点需求,而函数模型③中随着x的增加,f(x)增加的幅度增大,满足第二点需求,故选择函数模型③.由第三点需求可得,则解得所以f(x)=x2-(10≤x≤300),所以f(100)=×1002-=33. 9.A　[解析] 令1-0.6x0.06=0.42,则x0.06=≈0.967.因为≈0.959,所以x≈0.5,即他复习背诵的时间需大约在14:30.故选A. 10.A　[解析] 由题意可得v0=50,m=4,M=4+5=9,所以该试验火箭的理想速度v=v0ln=50ln=50ln=100ln=100(ln 3-ln 2)≈100×(1.1-0.7)=40(m/s).故选A. 11.AD　[解析] 由函数图象可知y=当t=1时,y=4,则=4,解得a=3,所以y=故A正确;药物刚好起效的时间满足4t=0.125,解得t=,药物刚好失效的时间满足=0.125,解得t=6,故有效时间长度为6-=(小时),故B错误,D正确;注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为4×=0.5(微克),故C错误.故选AD. 12.　[解析] 设y1=,y2=k2x,由题意得解得则y1=,y2=x,则两项费用之和为y1+y2=+x≥2=12,当且仅当=x,即x=时取等号,所以这家公司应该把仓库建在距离车站 km处. 13.解:(1)依题意知,y随x的增大而增大,则函数模型为增函数,故不可能为①.又函数的增长速度越来越快,所以函数模型③y=m·ax+n(a>0,且a≠1)符合要求. 由解得 所以该函数模型的解析式是y=·+20,x∈N*. (2)由·+20>500,得>45, 所以x>lo45==, 因为≈=≈9.39,且x∈N*,所以x≥10, 所以至少要到第10个月月底时,该水生植物的覆盖面积超过500 m2 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.5.3　函数模型的应用 考点一　指数函数模型 1.从2017年到2024年,某企业通过持续的技术革新来降低其能源消耗,到了2024年该企业单位生产总值能耗降低了30%.如果这7年平均每年降低的百分率为x,那么x满足的方程是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.7x=0.3 B.7(1-x)=0.7 C.x7=0.3 D.(1-x)7=0.7 2.[2026·浙江金华卓越联盟高一联考] 已知某种塑料经自然降解后残留量y与时间x(单位:年)之间的关系式为y=y0·0.,其中y0为初始量,若这种塑料经自然降解,残留量不超过初始量的40%,则至少需要经过(参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48) (　 ) A.3年 B.4年 C.5年 D.6年 3.某产品的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系式为y=0.5×+5x,若每台产品的售价为8万元,则当产量为7台时,生产者可获得的利润为　　　　万元.  考点二　对数函数模型 4.声强级f(x)(单位:dB)与声音强度x(单位:W/m2)满足f(x)=10×lg.平时常人交谈时,声强级约为60 dB.若喷气式飞机起飞时声音强度约为平时常人交谈时声音强度的108倍,则喷气式飞机起飞时的声强级为 (　 ) A.130 dB B.140 dB C.150 dB D.160 dB 5.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v=log3,单位是m/s,其中O表示鱼的耗氧量的单位数.某条鱼把游速提高1 m/s,那么它的耗氧量的单位数增大为原来的　　　　倍.  考点三　模型拟合 6.如图是某种豆类生长枝数y与时间t(单位:月)的图象(6个离散的点),那么此种豆类生长枝数与时间的关系用下列函数模型近似刻画最好的是 (　 ) A.y=2t2 B.y=log2t C.y=t3 D.y=2t 7.(多选题)从今年起的第x(x∈[1,8],x∈N)年,小李的年薪y(万元)与x的关系是y=2+0.2x,小马的年薪y(万元)与x的关系是y=0.5+1.4x,则下列说法正确的是 (　 ) A.第1年小马的年薪超过小李的年薪 B.第2年小马的年薪超过小李的年薪 C.小马的年薪最终会比小李的年薪增长得快 D.小马的年薪最终会比小李的年薪增长得慢 8.为了提高员工的工作积极性,某外贸公司想修订新的“员工激励计划”.新的计划有以下几点需求:奖金随着销售业绩的提高而提高;销售业绩增加时,奖金增加的幅度逐渐上升;必须和原来的计划接轨,销售业绩在10万元及以内时奖金为0,超过10万元则开始计算奖金,销售业绩为20万元时奖金为1千元.设销售业绩为x(10≤x≤300)万元时奖金为f(x)千元.下面给出三个函数模型: ①f(x)=k·x+b;②f(x)=k·log2x+b; ③f(x)=k·x2+b.其中k>0,b∈R. 请选择合适的函数模型,并计算销售业绩为100万元时奖金为　　　　千元.  9.陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”,得到记忆率y与初次记忆经过的时间x(单位:小时)的大致关系为y=1-0.6x0.06.若陈同学需要在今天15时考语文时拥有复习背诵记忆的42%,则他复习背诵时间需大约在(　 ) A.14:30 B.14:00 C.13:30 D.13:00 10.[2026·广东东莞中学高一月考] 航天器的发射中,都遵循“理想速度方程”:v=v0ln,其中v是理想速度(单位:m/s),v0是燃料燃烧时产生的喷气速度(单位:m/s),M是火箭起飞时的燃料与火箭质量的总和(单位:kg),m是火箭自身的质量(单位:kg).小婷同学所在社团向有关部门申请,准备制作一个试验火箭,得到批准后,她们利用某民用燃料燃烧时产生的喷气速度为50 m/s,火箭自身的质量为4 kg,火箭起飞时燃料的质量为5 kg,在不计空气阻力等因素影响的理想状态下发射,则该试验火箭的理想速度大约为(参考数据:ln 2≈0.7,ln 3≈1.1) (　 ) A.40 m/s B.36 m/s C.50 m/s D.20 m/s 11.(多选题)某医药研究机构开发了一种新药,据监测,如果患者每次按规定的剂量注射该药物,那么注射后每毫升血液中的含药量y(微克)关于时间t(小时)的函数图象如图所示.据进一步测定,当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时,治疗该病有效,则 (　 ) A.a=3 B.注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时 C.注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克 D.注射一次治疗该病的有效时间长度为小时 12.一家公司计划租地建造仓库储存货物,经过市场调查了解到下列信息:每月的土地占地费y1(单位:万元)与仓库到车站的距离x(单位:km)成反比,每月的库存货物费y2(单位:万元)与仓库到车站的距离x(单位:km)成正比.若在距离车站10 km处建仓库,则土地占地费和库存货物费分别为4万元和9万元,为了能使两项费用之和最小,这家公司应该把仓库建在距离车站　　　　km处.  13.[2026·湖北随州部分学校高一月考] 某湿地公园的某位工作人员今年以来一直在研究公园内一池塘里某种水生植物的覆盖面积的变化情况.已知今年前3个月月底与此种水生植物的覆盖面积关系如下表所示. 第x月月底 1 2 3 某种水生植物的覆盖 面积y(m2) 36 44 56 (1)依据表中数据,从下列三种函数模型中选择一个恰当的模型估算第x(x∈N*)个月月底该水生植物的覆盖面积y(m2),并求出你选择的函数模型的解析式: ①y=+b(t>0); ②y=d·logrx+s(r>0,且r≠1); ③y=m·ax+n(a>0,且a≠1). (2)求至少要到第几个月月底时,该水生植物的覆盖面积超过500 m2?(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477) 学科网（北京）股份有限公司 $