4.5.3　函数模型的应用 同步练习 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修 第一册

**基本信息** 本同步练习聚焦函数模型应用，通过基础巩固、情境应用、综合建模三层设计，实现从单一公式到复杂问题的梯度进阶，培养数学建模与运算推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|指数/二次函数直接应用|如增长率计算（题1）、利润最值（题7），直接套用公式巩固概念| |中档|对数/分段函数情境分析|如药物分解（题2）、震级能量计算（题3），结合实际数据提升运算能力| |拔高|多模型综合建模|如安全距离（题10）、销售问题（题16），融合函数与优化思想培养应用意识|

4.5.3　函数模型的应用 1.某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年（x∈N*），该产品的产量y满足（　　） A.y＝a（1＋5%x）　　 　B.y＝a＋5% C.y＝a（1＋5%）x－1 D.y＝a（1＋5%）x 2. (2025高一上·广州月考) 某种药物作用在农作物上的分解率为v，与时间t（小时）满足函数关系式v = abᵗ（其中a,b为非零常数），若经过12小时该药物的分解率为10%，经过24小时该药物的分解率为20%，那么这种药物完全分解，至少需要经过（ ）（参考数据：lg 2 ≈ 0.3） A．48小时 B．52小时 C．64小时 D．120小时 3.科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r可定义为r＝0.6lg I.若6.5级地震释放的相对能量为I1，7.4级地震释放的相对能量为I2，记n＝，则n≈（　　） A.16　 B.20　 C.32　 D.90 4.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是（参考数据：lg 3≈0.48）（　　） A.1033 B.1053 C.1073 D.1093 5. (2025高一上·柳州期末) 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位：m/s) 可以表示为，其中L表示鲑鱼的耗氧量的单位数，当一条鲑鱼以2m/s的速度游动时，它的耗氧量的单位数为（　　） A．8100 B．8000 C．1000 D．1100 6.在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是（　　） A.当T＝220，P＝1 026时，二氧化碳处于液态 B.当T＝270，P＝128时，二氧化碳处于气态 C.当T＝300，P＝9 987时，二氧化碳处于超临界状态 D.当T＝360，P＝729时，二氧化碳处于超临界状态 7. 某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个，若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个 ________ 元. 8.某商场将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为　　　　元. 9.将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t秒后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent，假设过5秒后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m秒甲桶中的水只有升，则m的值为　　　　. 10.汽车驾驶员发现前方有障碍物时会紧急刹车，这一过程中，由于人的反应需要时间，汽车在惯性的作用下有一个刹车距离，设停车安全距离为S，驾驶员反应时间内汽车行驶距离为S1，刹车距离为S2，则S＝S1＋S2.而S1与反应时间t有关，S1＝10ln（t＋1），S2与车速v有关，S2＝bv2.某人刹车反应时间为－1秒，当车速为60千米/时时，紧急刹车后滑行的距离为20米，若在限速100千米/时的高速公路上，求该汽车的安全距离为多少米？（精确到米） 11. (2025高一上·贵州月考) 汽水放入冰箱后，其温度x(单位：℃)与时间t(单位：h)的函数关系式为x = 4 + k·， 其中m, k均为常数.已知汽水刚放入冰箱时的温度为20℃， 经过a h后汽水的温度为16℃， 再经过a h后汽水的温度为（　　） A. 11℃ B. 12℃ C. 13℃ D. 14℃ 12.一种药在病人血液中的量保持1 500 mg以上才有效，现给某病人注射了这种药2 500 mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过　　　　小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效（附：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，答案采取四舍五入精确到0.1）（　　） A.2.3 B.3.5 C.5.6 D.8.8 13.某地区发生里氏8.0级特大地震.地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表： 强度（J） 1.6× 1019 3.2× 1019 4.5× 1019 6.4× 1019 震级（里氏） 5.0 5.2 5.3 5.4 注：地震强度是指地震时释放的能量. 地震强度（x）和震级（y）的模拟函数关系可以选用y＝alg x＋b（其中a，b为常数），则a的值为　　　　.（取lg 2≈0.3进行计算） 14. (2025高一下·柳州开学考) 某企业于2024年在其基地投入150万元的研发资金用于养殖业发展，并计划今后10年内在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长20%． (1) 写出第x年（2024年为第1年）该企业投入的研发资金y（单位：万元）与x的函数关系式，并指出函数的定义域； (2) 该企业从哪一年开始投入的研发资金将超过600万元？(参考数据：，，，，) 15.为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒.出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商场.已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y（毫克/立方米）与时间t（分钟）之间的函数关系为y＝函数的图象如图所示.如果商场规定9：30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是（　　） A.9：00 B.8：40 C.8：30 D.8：00 16.某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种小物品的销售情况的调查发现：该小物品在过去的一个月内（以30天计）每件的销售价格P（x）（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足P（x）＝1＋（k为正常数），日销售量Q（x）（单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如下表所示： x/天 10 20 25 30 Q（x）/件 110 120 125 120 已知第10天的日销售收入为121元. （1）求k的值； （2）给出以下四种函数模型：①Q（x）＝ax＋b；②Q（x）＝a｜x－25｜＋b；③Q（x）＝a·bx；④Q（x）＝a·logbx.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q（x）与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式； （3）求该小物品的日销售收入（单位：元）f（x）的最小值. 4.5.3　函数模型的应用 1.D　经过1年，y＝a（1＋5%），经过2年，y＝a（1＋5%）2，…，经过x年，y＝a（1＋5%）x. 2.B　由题意可得，解得，所以v = ，这种药物完全分解，即当v = 1时，有1 = ，即，解得t = ．故答案为：B． 3.C　因为r＝0.6lg I，所以I＝1.当r＝6.5时，I1＝1；当r＝7.4时，I2＝1.所以n＝＝1÷1＝1＝10×≈32. 4.D　由已知得，lg ＝lg M－lg N≈361×lg 3－80×lg 10≈361×0.48－80＝93.28＝lg 1093.28.故与最接近的是1093. 5.A　由题意可得，则，即，故．故答案为：A. 6.D　对于A选项，当T＝220，P＝1 026，即lg P＝lg 1 026＞lg 103＝3时，根据图象可知，二氧化碳处于固态；对于B选项，当T＝270，P＝128，即lg P＝lg 128∈（lg 102，lg 103），即lg P∈（2，3）时，根据图象可知，二氧化碳处于液态；对于C选项，当T＝300，P＝9 987，即lg P＝lg 9 987＜lg 104＝4时，根据图象可知，二氧化碳处于固态；对于D选项，当T＝360，P＝729，即lg P＝lg 729∈（lg 102，lg 103），即lg P＝lg 729∈（2，3）时，根据图象可知，二氧化碳处于超临界状态.故D正确. 7. 60　解析：设涨价x元，销售的利润为y元，由题意可得：，当，即销售单价为60元时，y取得最大值. 故答案为：60. 8.2 250　解析：设彩电的原价为a元，∴a（1＋0.4）·80%－a＝270，∴0.12a＝270，解得a＝2 250.∴每台彩电的原价为2 250元. 9.5　解析：∵5秒后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y＝f（t）＝aent满足f（5）＝ae5n＝a，即5n＝ln ，得 n＝ln ，若k秒后甲桶中的水只有升，即f（k）＝，即·kln ＝ln ＝2ln ，得k＝10，故 m＝10－5＝5. 10.解：因为刹车反应时间为－1秒， 所以S1＝10ln（－1＋1）＝10ln ＝5， 当车速为60千米/时时，紧急刹车后滑行的距离为20米，则S2＝b·（60）2＝20， 解得b＝，即S2＝v2. 若v＝100，则S2＝×1002≈56， S1＝5， 所以该汽车的安全距离S＝S1＋S2＝5＋56＝61（米）. 11. C　汽水刚放入冰箱时的温度为，当时，，，，，，经过h后汽水的温度为，当时，，，，，再经过h后汽水的温度为. 故答案为：C. 12.A　设从现在起经过x小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.则2 500×0.8x＝1 500，即0.8x＝0.6，所以lg 0.8x＝lg 0.6，即xlg 0.8＝lg 0.6，x＝＝＝≈≈2.3. 13.　解析：由记录的部分数据，可知当x＝1.6×1019时，y＝5.0，当x＝3.2×1019时，y＝5.2. 则两式相减得0.2＝alg ，即0.2＝alg 2.所以a＝≈＝. 14.解：（1）第x年（2024年为第1年）该企业投入的研发资金y（万元），则，其定义域为； （2）由（1）得，即，所以，即，所以，又. 15.A　根据函数的图象，可得函数的图象过点（10，1），代入函数的解析式，可得＝1，解得a＝1，所以y＝令y≤0.25，可得0.1t≤0.25或≤0.25，解得0≤t≤2.5或t≥30，所以如果商场规定9：30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是9：00. 16.解：（1）依题意知第10天的日销售收入为P（10）·Q（10）＝×110＝121，解得k＝1. （2）由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选② Q（x）＝a｜x－25｜＋b.从表中任意取两组值代入可求得Q（x）＝125－｜x－25｜（1≤x≤30，x∈N*）. （3）由（2）知Q（x）＝125－｜x－25｜ ＝ 所以f（x）＝P（x）·Q（x） ＝ 当1≤x＜25时，y＝x＋在[1，10]上单调递减，在[10，25）上单调递增，所以当x＝10时，f（x）取得最小值，f（x）min＝121； 当25≤x≤30时，y＝－x单调递减，所以当x＝30时，f（x）取得最小值，f（x）min＝124. 综上所述，当x＝10时，f（x）取得最小值，f（x）min＝121. 所以该小物品的日销售收入的最小值为121元. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $