4.5.3 函数模型的应用【课时步步练】-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数模型应用，以“基础认知-应用理解-综合建模”分层，通过生活情境题与阶梯式题型设计，巩固从模型识别到实际建模的知识路径，适配新授课基础巩固与能力提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|单一函数模型识别、简单计算|选择题考查数据拟合与函数类型判断，夯实概念理解| |应用理解|实际情境中的函数应用|结合销售、阶梯水价等生活场景，培养数学眼光观察现实世界| |综合建模|复杂问题的建模与求解|解答题涉及成本利润函数及最值，提升用数学语言表达现实世界的能力|

4.5.3 函数模型的应用【课时步步练】 2026-2027学年高一数学同步备课系列【基础题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1.（2024-2025·湖南长沙高一下期末）有一组实验数据如下： 现在用下列函数近似地表示这些数据满足的规律，其中最恰当的一个是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】对于A选项，函数为，当时，，与表格中对应值7.5差距大，排除. 对于B选项，函数为，当时，，与表格中对应值7.5差距大，排除. 对于C选项，函数为，当时，，与表格中对应值接近. 对于D选项，函数为，当时，，与表格中对应值误差比C项大，排除. 故选：C. 2.（2025-2026·河南高一上期中）某商店购进一批纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售额，则这批纪念章的销售单价（单位：元）的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意得, 展开括号得, 化简得, 因式分解得,解得, 因为每枚最低售价为15元,所以. 故选:B. 3.（2025-2026·甘肃庆阳高一上期中）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 2.07元 超过但不超过的部分 4.07元 超过的部分 6.07元 若某户居民本月缴纳的水费为108.1元，则此户居民本月的用水量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设此户居民本月用水量为,水费为元. 由时,得； 由时,得； 故,此时. 由,得,解得. 答案为D. 4.（2025-2026·安徽合肥高一上期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据国家有关规定：血液中酒精含量在之间为酒后驾车，及以上为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，他的每血液中的酒精含量上升到了，如果在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需要等待（）小时才能驾驶.(参考数据： A.11 B.10 C.9 D.8 【答案】A 【解析】要满足合法驾驶要求,需每血液中酒精含量低于. 两边取常用对数,得. 由,不等号方向改变,得. 将转化,得. 结合参考数据,得. 故至少需等待11小时才能驾驶. 5.科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r可定义为r＝0.6lg I.若6.5级地震释放的相对能量为I1，7.4级地震释放的相对能量为I2，记n＝则n≈ （      ）  A.16 B.20 C.32 D.90 【答案】C 【解析】因为r＝0.6lg I，所以I＝1.当r＝6.5时，I1＝1；当r＝7.4时，I2＝1.所以n＝＝1÷1＝1＝10×≈32. 6.下列函数图象中，估计有可能用函数y＝a＋blg x(b＞0)来模拟的是 （      ）  【答案】C 【解析】由于函数y＝lg x在定义域内单调递增，且是上凸的，又b＞0，所以当x＞0时，y＝a＋blg x(b＞0)的图象是单调递增且上凸的. 7.三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表： x 1 3 5 7 9 11 y1 5 135 625 1 715 3 635 6 655 y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40 则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是 （      ）  A.y1，y2，y3 B.y2，y1，y3 C.y3，y2，y1 D.y3，y1，y2 【答案】C 【解析】由指数函数、对数函数、幂函数的增长速度比较，指数函数增长最快，对数函数增长最慢，由题中表格可知，y1是幂函数型函数，y2是指数型函数，y3是对数型函数，故选C. 8.（2024-2025·陕西西安高二上期中）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：与时间（单位：h）之间的关系式为，其中为初始污染物含量，均为正的常数，已知过滤前后废气的体积相等，且在前4h过滤掉了的污染物．如果废气中污染物的含量不超过时达到排放标准，那么该工厂产生的废气要达到排放标准，至少需要过滤的时间为（） A.4 h B.6 h C.8 h D.12 h 【答案】C 【解析】已知，当时，污染物过滤掉，此时. 代入关系式得，因为，得， 则，解得，则. 当时达到排放标准，即， 因为，得. 则，解得. 故选C. 二、多选题（共3小题） 9.某电子公司7年来生产智能手机总产量y(单位：万台，即前t年年产量的和)与时间t（单位：年）的函数关系如图所示，下列说法正确的是 （      ）  A.前3年中，产量增长的速度越来越快 B.前3年中，产量增长的速度越来越慢 C.第3年后，这种产品停止生产 D.第3年后，年产量保持为100万台 【答案】BC 【解析】在区间[0，3]上，函数图象越来越远离y轴，则前3年中，产量增长的速度越来越慢，则A错误，B正确；在区间[3，7]上，函数图象是平行于x轴的线段，说明没有变化，所以在第3年后，这种产品停止生产，则C正确，D错误． 10.已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元，且甲厂在2月份的利润是14万元，乙厂在2月份的利润是8万元．若甲、乙两个工厂的利润（单位：万元）与月份x之间的函数关系式分别符合下列函数模型：f(x)＝a1x2＋b1x＋6，g(x)＝a2·3x＋b2(a1，a2，b1，b2∈R)．下列结论正确的是 （      ）  A.甲工厂今年5月份的利润为86万元 B.乙工厂今年3月份的利润为18万元 C.今年4月份，甲工厂的利润大于乙工厂的利润 D.从6月开始，甲工厂的利润小于乙工厂的利润 【答案】ACD 【解析】依题意，由有解得∴f(x)＝4x2－4x＋6. 由有解得∴g(x)＝×3x＋5＝3x－1＋5. ∴甲工厂今年5月份的利润为f(5)＝86万元，A正确； 乙工厂今年3月份的利润为g(3)＝14万元，B错误； 作函数图象如图，从图中可以看出今年甲、乙两个工厂的利润情况：当x＝1或x＝5时，有f(x)＝g(x)；当1<x<5时，有f(x)>g(x)；当5<x≤12时，有f(x)<g(x)． ∴今年4月份，甲工厂的利润大于乙工厂的利润，C正确； 从6月开始，甲工厂的利润小于乙工厂的利润，D正确．故选ACD. 11.几名大学生创业，经过调研，他们选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润p（单位：万元）与每月投入的研发经费x（单位：万元）有关.当每月投入的研发经费不高于16万元时，p＝－x2＋6x－20，研发利润率y＝×100％.他们现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是（      ）  A.投入9万元研发经费可以获得最大利润率 B.要再投入6万元研发经费才能获得最大月利润 C.要想获得最大利润率，还需要再投入研发经费1万元 D.要想获得最大月利润，还需要再投入研发经费1万元 【答案】BC 【解析】由p＝－x2＋6x－20＝－＋25，所以当投入15万元时，月利润最大，所以需再投入6万元研发经费，故B正确，D错误； 研发利润率y＝×100％＝－x＋6－＝－(＋)＋6，又＋≥2＝4，当且仅当＝，即x＝10时，利润率最大，所以需再投入研发经费1万元，可获得最大利润率，故A错误，C正确.故选BC. 三、填空题（共3小题） 12.为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律，统计显示，生长4年的树高为米，如图所示的散点图记录了样本树的生长时间t（单位：年）与树高y（单位：米）之间的关系．请你据此判断，在下列函数模型：①y＝2t－a；②y＝a＋log2t；③y＝t＋a；④y＝＋a中(其中a为正的常数)，生长时间与树高的关系拟合最好的是                   （填序号），估计该树生长8年后的树高为                   米． 【答案】②； 【解析】由散点图的走势，知模型①③不合适．曲线过点，则模型②④的解析式分别为②y＝＋log2t，④y＝＋，当t＝1时，代入④中，得y＝，与散点图不符，易知拟合最好的是②，将t＝8代入②中，得y＝＋log28＝，所以估计该树生长8年后的树高为米． 13.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(m/s)和燃料的质量M(kg)、火箭（除燃料外）的质量m(kg)的函数关系式是v＝2000·ln.当燃料质量是火箭质量的                   倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒. 【答案】e6－1 【解析】当v＝12000m/s时，2000·ln＝12000，所以ln＝6.所以＝e6－1. 14.如图是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的残留量y与净化时间t（月）的近似函数关系：y＝at(t≥0，a＞0且a≠1)的图象. 有以下叙述：①第4个月时，残留量就会低于；②每月减少的有害物质质量都相等；③若残留量为时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.其中所有正确叙述的序号是                   . 【答案】①③ 【解析】根据题意，函数的图象经过点故函数解析式为y＝. 当t＝4时，y＝＜故①正确； 当t＝1时，y＝减少了当t＝2时，y＝减少了每月减少的有害物质质量不相等，故②不正确； 分别令y＝解得t1＝t2＝t3＝则t1＋t2＝t3，故③正确. 四、解答题（共2小题） 15.（2025-2026·浙江杭州高一上期中）某工厂生产某种零件的固定成本为元，每生产一个零件要增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于产量（单位：个）满足函数：. (1)将利润（单位：元）表示为产量的函数；(总收入总成本利润) (2)当产量为何值时，零件的单位利润最大？最大单位利润是多少元？(单位利润=利润÷产量) 【答案】解：(1)由利润总收入-总成本,总成本为, 得, 故 (2)单位利润. 当时,, 由基本不等式得, 当且仅当即时等号成立,故. 当时,,因为在上单调递减, 故. 综上,当产量为个时,零件的单位利润最大,最大单位利润为元. 16.（2025-2026·福建泉州高一上期中）某企业为紧抓“长江大保护战略”带来的历史性机遇，决定开发生产一款大型净水设备.生产这种设备的年固定成本为万元，每生产台需要另投入成本（万元），当年产量不足75台时，（万元）；当年产量不少于台时，（万元）.若每台设备的售价为万元，经过市场分析，该企业生产的净水设备能全部售完. (1)求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式； (2) 年产量为多少台时，该企业在这一净水设备的生产中获利最大？最大利润是多少？ 【答案】解：(1) 由利润=售价×产量-变动成本-固定成本, 当且时,, 得; 当且时,, 得. 故. (2)当且时,图象开口向下,对称轴为, 故时,; 当且时,由（当且仅当时等号成立）, 得. 综上,当年产量为90台时,该企业获利最大,最大利润为1500万元. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.5.3 函数模型的应用【课时步步练】 2026-2027学年高一数学同步备课系列【基础题】 一、选择题（共8小题） 1.（2024-2025·湖南长沙高一下期末）有一组实验数据如下： 现在用下列函数近似地表示这些数据满足的规律，其中最恰当的一个是（ ） A. B. C. D. 2.（2025-2026·河南高一上期中）某商店购进一批纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售额，则这批纪念章的销售单价（单位：元）的取值范围是（） A. B. C. D. 3.（2025-2026·甘肃庆阳高一上期中）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 2.07元 超过但不超过的部分 4.07元 超过的部分 6.07元 若某户居民本月缴纳的水费为108.1元，则此户居民本月的用水量为（ ） A. B. C. D. 4.（2025-2026·安徽合肥高一上期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据国家有关规定：血液中酒精含量在之间为酒后驾车，及以上为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，他的每血液中的酒精含量上升到了，如果在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需要等待（）小时才能驾驶.(参考数据： A.11 B.10 C.9 D.8 5.科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r可定义为r＝0.6lg I.若6.5级地震释放的相对能量为I1，7.4级地震释放的相对能量为I2，记n＝则n≈ （      ）  A.16 B.20 C.32 D.90 6.下列函数图象中，估计有可能用函数y＝a＋blg x(b＞0)来模拟的是 （      ）  7.三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表： x 1 3 5 7 9 11 y1 5 135 625 1 715 3 635 6 655 y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40 则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是 （      ）  A.y1，y2，y3 B.y2，y1，y3 C.y3，y2，y1 D.y3，y1，y2 8.（2024-2025·陕西西安高二上期中）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：与时间（单位：h）之间的关系式为，其中为初始污染物含量，均为正的常数，已知过滤前后废气的体积相等，且在前4h过滤掉了的污染物．如果废气中污染物的含量不超过时达到排放标准，那么该工厂产生的废气要达到排放标准，至少需要过滤的时间为（） A.4 h B.6 h C.8 h D.12 h 二、多选题（共3小题） 9.某电子公司7年来生产智能手机总产量y(单位：万台，即前t年年产量的和)与时间t（单位：年）的函数关系如图所示，下列说法正确的是 （      ）  A.前3年中，产量增长的速度越来越快 B.前3年中，产量增长的速度越来越慢 C.第3年后，这种产品停止生产 D.第3年后，年产量保持为100万台 10.已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元，且甲厂在2月份的利润是14万元，乙厂在2月份的利润是8万元．若甲、乙两个工厂的利润（单位：万元）与月份x之间的函数关系式分别符合下列函数模型：f(x)＝a1x2＋b1x＋6，g(x)＝a2·3x＋b2(a1，a2，b1，b2∈R)．下列结论正确的是 （      ）  A.甲工厂今年5月份的利润为86万元 B.乙工厂今年3月份的利润为18万元 C.今年4月份，甲工厂的利润大于乙工厂的利润 D.从6月开始，甲工厂的利润小于乙工厂的利润 11.几名大学生创业，经过调研，他们选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润p（单位：万元）与每月投入的研发经费x（单位：万元）有关.当每月投入的研发经费不高于16万元时，p＝－x2＋6x－20，研发利润率y＝×100％.他们现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是（      ）  A.投入9万元研发经费可以获得最大利润率 B.要再投入6万元研发经费才能获得最大月利润 C.要想获得最大利润率，还需要再投入研发经费1万元 D.要想获得最大月利润，还需要再投入研发经费1万元 三、填空题（共3小题） 12.为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律，统计显示，生长4年的树高为米，如图所示的散点图记录了样本树的生长时间t（单位：年）与树高y（单位：米）之间的关系．请你据此判断，在下列函数模型：①y＝2t－a；②y＝a＋log2t；③y＝t＋a；④y＝＋a中(其中a为正的常数)，生长时间与树高的关系拟合最好的是                   （填序号），估计该树生长8年后的树高为                   米． 13.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(m/s)和燃料的质量M(kg)、火箭（除燃料外）的质量m(kg)的函数关系式是v＝2000·ln.当燃料质量是火箭质量的                   倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒. 14.如图是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的残留量y与净化时间t（月）的近似函数关系：y＝at(t≥0，a＞0且a≠1)的图象. 有以下叙述：①第4个月时，残留量就会低于；②每月减少的有害物质质量都相等；③若残留量为时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.其中所有正确叙述的序号是                   . 四、解答题（共2小题） 15.（2025-2026·浙江杭州高一上期中）某工厂生产某种零件的固定成本为元，每生产一个零件要增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于产量（单位：个）满足函数：. (1)将利润（单位：元）表示为产量的函数；(总收入总成本利润) (2)当产量为何值时，零件的单位利润最大？最大单位利润是多少元？(单位利润=利润÷产量) 16.（2025-2026·福建泉州高一上期中）某企业为紧抓“长江大保护战略”带来的历史性机遇，决定开发生产一款大型净水设备.生产这种设备的年固定成本为万元，每生产台需要另投入成本（万元），当年产量不足75台时，（万元）；当年产量不少于台时，（万元）.若每台设备的售价为万元，经过市场分析，该企业生产的净水设备能全部售完. (1)求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式； (2) 年产量为多少台时，该企业在这一净水设备的生产中获利最大？最大利润是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $