北京市中国人民大学附属中学2027届高三暑假自主复习检测练习数学试题

人大附中2027届高三暑假自主复习检测练习 数学参考评标 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1．D 2．A 3．B 4．C 5．B 6．A 7．D 8．B 9．D 10．B 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11． 12． 13．（其他形式亦可） 14． 15．①③④ 三、解答题（共6小题，共85分） 16．（共13分） 解：（1）由题意，， 1分 所以， 3分 所以． 4分 所以． 6分 （2）在中， 7分 所以，整理得． 8分 解得或（舍负）． 10分 由，知． 11分 所以． 13分 17．（共14分） 解：（1）在正方形中，． 因为平面平面，平面平面， 平面， 所以平面． 2分，（条件1分，结论1分） 因为平面，所以． 又，，，平面， 所以平面． 4分（条件1分，结论1分） 又平面，所以． 5分 （2）选条件②： 6分 由，，所以 所以，所以，，三条直线两两垂直，建立空间直角坐标系如图． 8分（证明垂直1分，系1分） 则，，，，由是中点，有． 所以，，． 设平面的法向量，则，令解得． 11分（法向量方程2分，结果1分） 设所求角为，则． 14分（线面角公式1分，余弦求夹角1分，结果1分） 选条件③：，由，知，所以，又，所以． 所以．（下同条件②） 8分（选条件1分，垂直1分，建系1分） 18．（共13分） 解：（1）记“甲获胜前提下，分差超过3分”为事件， 1分 10场比赛中，甲获胜6场，其中，超过3分的有1场 2分 则． 3分（用条件概率计算正确亦可） （2）可能取值为：，，，． 4分 ，， ， 8分（每个1分） 分布列为： 数学期望为：． 10分（分布列，期望各1分） （3） 19．（共15分） 解：（1）由题意，解得，，所以 即，离心率． 4分 （2）由图形的对称性知，若直线经过定点，这个定点只能在轴上． 设直线， 5分 联立椭圆方程有： 即， 6分 7分 设，，则， 9分 直线，， 故，， 11分 由，， 12分 即， 由， 有，即 14分 故当时，恒成立，所以直线经过定点． 15分 20．（共15分） 解：（1）a时，， 1分 令，有， 2分 此时 4分（含有检验1分，写在别处亦可） 即切线方程为：，符合题意 5分 （2）（i）构造函数，原命题等价于的零点个数． 6分 由，所以0是的零点． 7分 又时，，令，则， 令，有，列表得： 所以， 9分 所以，即只有一个零点0，也即两条曲线只有1个交点． 10分 （ii）若两条曲线相切，则，即 由，有 11分 时， 12分 时，，代入有． 13分 若，则，矛盾； 若，则，解得，代入，有； 15分 综上所述，曲线与曲线相切时， ． 21．（共15分） 解：（1）A序列不是S列，B序列是S列； 4分 （2）若存在一个由M的全部元素组成的S列，考虑该向量序列中每一项，的和． 一方面，由性质②，，所以， 所以相邻两项的，的和奇偶性不同，故，间隔15项，它们的和奇偶性不同． 另一方面n时，M集合共有项元素，故m， 所以，两者奇偶性相同． 矛盾，所以n时，不存在一个由M的全部元素组成的S列． 9分 （3）注意到S列满足，即y分量上的变动步长为0或者1，且第一项为，所以任一S列各项的y分量组成的集合为连续正整数集，． 同样的，由，可知x分量是单调不减的，且x分量组成的集合为． 我们考虑一个n列k行的方格阵，并将一个向量序列的每一项对应成第列第行的方格．则一个S列对应一个从左上角格子出发，每步向右，向下或者向上移动一格，最终结束于最后一列某一个格子的路径． 用符号表示从左上角出发，到达第p列第q行的格子的方法数． 则由移动规则知，，，，···， 以第p列任意一个格子向右移动1步后，都恰有唯一的方法可以抵达第p列第q行的格子，所以 结合这两条算式可知，，···，，，，···，． 由于S列可以以第n列任一方格为终点，所以对于一个n列k行的方格阵，对应可行的S列个数为． 所以对于各项的y分量组成的集合为的向量序列，只需从总的n列n行的方格阵对应的S列个数减去n列n−1行的方格阵对应的S列个数，即为． 15分 学科网（北京）股份有限公司 $ 人大附中2027届高三暑假自主复习检测练习 数学 说明：本试卷21道题，共150分；考试时间120分钟；请在答题纸上填写个人信息，并将条形码贴在答题纸的相应位置上． 第一部分（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．） 1．已知集合，，则为（ ） A． B．2 C． D． 2．已知，则在复平面上，复数所对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．下列函数中，是奇函数并且经过函数图像上任意两点的直线斜率均为负的是（ ） A． B． C． D． 4．已知实数，满足，则（ ） A． B． C． D． 5．已知直线和圆，点在直线上，点在圆上，则最小值为（ ） A．1 B．3 C．6 D．9 6．在下列双曲线中，离心率最大的是（ ） A． B． C． D． 7．设函数，（，，），若对任意实数均成立，则下列结论中一定不成立的是（ ） A．，总有 B．，总有 C．，总有 D．，总有 8．已知是各项均为正数的无穷数列，记集合，则“数列是等差数列”是“对于任意正整数，集合都是单元素集，且该元素为正数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 9．激活函数在神经网络中的核心作用是引入非线性变换，使得神经网络可以学习和模拟复杂函数关系，从而解决线性模型无法处理的非线性问题． 一个常见的激活函数为．如果，则与最小值最接近的数为（ ） （参考数据：，，） A．0.42 B．0.55 C．0.69 D．1.10 10．已知向量，，，若向量满足且，则符合条件的向量的个数为（ ） A．0 B．2 C．4 D．6 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把结果填在答题纸上的相应位置．） 11．抛物线的准线上一点到其焦点的最小距离为__________． 12．在的展开式中，若的系数为12，则的值为__________． 13．中国古代以“三分损益法”确定十二律管的长度，从“黄钟”出发，交替进行“损一”和“益一”操作，依次生得十二律管．记“黄钟”长度为，第次损益后得到的律管长度为，已知损益规则为：，则__________． 14．如图，五面体满足，且三条平行线两两间距离均为2．若，，，则该五面体的体积为__________． 15．函数，给出下列四个结论： ①函数的值域为； ②时，存在区间，使得在上单调递减； ③时，至少有一个极值点； ④若关于方程的解集有5个元素，则的取值范围为． 其中正确结论的序号是__________． 三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．请在答题纸上的相应位置作答．） 16．已知中，，， （1）求的值； （2）求的面积． 17．四棱锥中，底面是正方形，是棱上一个点，平面平面． （1）若，求证：； （2）若，是中点，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得四棱锥存在且唯一确定．求直线与平面成角的正弦值． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 18．甲、乙两人进行飞碟射击比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，两人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10 乙 8 11 10 7 12 8 8 10 10 13 用频率估计概率． （1）从上述10场比赛中随机选择一场，在甲获胜的前提下，求分差超过3分的概率； （2）从这10场比赛中任选3场，设表示抽到的3场中甲获胜的场数，求的分布列和数学期望； （3）记一次飞碟比赛成绩满分为15分，设名运动员的得分分别为，，···，，，为名运动员中得分至少为分的人数． 记为名运动员的平均成绩，，直接写出，的大小关系（结论不用证明） 19．已知椭圆的左右顶点分别为，，右焦点，，．动点，均在椭圆上（不同于顶点），直线交轴于点，直线交轴于点． （1）求椭圆的方程和离心率； （2）若点，满足，试判断直线是否经过定点．如果是，求出该定点坐标，如果不是，说明理由． 20．已知函数． （1）时，求曲线与轴平行的切线方程； （2）已知函数 （i）当时，求曲线与曲线的交点个数； （ii）如果存在实数，使得两条曲线在处有公共点，且两条曲线在处的导数也相同，则称这两条曲线相切．求的值，使得曲线与曲线相切． 21．给定正整数，集合，从中选取不同的个元素组成一个向量序列，，···，，若该序列同时满足如下两条性质： ①，； ②，， 则称该序列为列． （1）当时，分别判断向量序列： ，，，，，，，，是否是列（结论无需证明）． （2）当时，是否存在一个由的全部元素组成的列，满足，并说明理由； （3）若列：，，，满足条件：，求这样的列的个数． 学科网（北京）股份有限公司 $