第十三章 勾股定理 单元练习 2026-2027学年华东师大版八年级数学上册

**基本信息** 华东师大版八年级数学上册勾股定理单元卷，以文化传承（赵爽弦图）与生活实践（感应门、摆钟）为情境，覆盖定理应用与证明，适配单元复习，培养几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|勾股数识别、直角三角形判定（如第1题勾股数辨析）|基础概念辨析，梯度合理| |填空题|5/15|等边三角形高计算、实际问题转化（如第12题竹子折断）|生活情境应用，强化建模| |解答题|5/75|尺规作图、定理证明与综合应用（如第20题面积法证勾股定理）|融合操作与推理，体现数学思维|

第十三章勾股定理同步练习 2026-2027学年华东师大版八年级数学上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列4组数中，是勾股数的是（　　） A．2，3，5 B．7，8，9 C．3，4，5 D．5，12，11 2．下列各组数中，以a、b、c为边的三角形不是直角三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．如图，中，，于点，，，则的长为（    ） A．5 B． C． D．2 4．如图，一棵高为的树被台风刮断．若树在离地面处折断，树顶端刚好落在地面上，则折断后树顶端离树底部（    ）    A． B． C． D． 5．我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图是用四个全等的直角三角形拼接而成的，已知的周长等于14，正方形的边长是6，则正方形的面积为（   ） A． B．8 C．20 D． 6．如图，长为的橡皮筋放置在地面上，固定两端点和，然后把中点向上拉升至点，则橡皮筋被拉长了（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，，在边上找一点，使得点到点的距离与点到边的距离相等，则的长为（    ） A．2 B． C．1 D． 8．如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，正方形的面积为，则正方形的面积为（   ） A．27 B．24 C．21 D．15 9．如图，线段是感应门的示意图，在其正上方点A处（离地米）安装着一个感应器，当人体进入感应范围内时，门会自动打开．身高米的小宝（线段）走向感应门，当离门米时（米），感应门自动打开，则此时小宝的头顶D到感应器A的距离等于 （    ） A．2米 B．米 C．米 D．米 10．如图，在中，，平分，过点作交于点若，下列结论：①是等腰三角形；②；③；④，其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．如图，等边三角形的边长是，则高的长是 ． 12．如图，一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端4尺处折断处离地面的高度是______尺（1丈＝10尺） 13．如图，中，，分别以、为边向外作正方形，面积分别为，，若，，则__________． 14．如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当它摆动到底座最近时，摆锤离底座的垂直高度，当它来回摆动到底座的距离最高与最低时的水平距离为时，摆锤离底座的垂直高度，钟摆______． 15．如图，是等边三角形内的一点，且，，，将绕点顺时针旋转到位置．连接，则的度数为 ． 三．解答题（本大题共5小题，共75分） 16．（1）实践与操作：如图，已知线段，，，用尺规作图求作：，使，，；（不写作法，保留作图痕迹） （2）应用与计算：在（1）的条件下，，，求边的长度． 17．如图所示，为边上一点，，，求证：为等腰直角三角形． 18．如图，在中，，垂足为． (1)若，，直接写出的值为 ； (2)若，，求的长 19．如图，与均为等边三角形，，，连接，延长交于点． (1)求的度数； (2)求证：． 20．（1）计算：_______________________________； （2）图形是一种重要的数学语言，它直观形象，我们可以用几何图形的面积来解释一些代数中的等量关系．例如：上面的计算是否正确我们可以通过图1来进行验证和解释．请同学们分别写出图2、图3能解释的乘法公式： 图2：________________________________； 图3：________________________________； （3）利用几何图形的面积，我们还可以去探究一些其它的等量关系； 做4个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，再做1个长分别为c的正方形，把它们按图4所示的方式拼成一个大正方形．试用不同的方法计算正方形的面积，就可以得到直角三角形的三边的数量关系：．这一个数量关系，我们叫做“勾股定理”，请你利用图4来证明勾股定理，即． （4）如图5，在中，，是边上高，，求的长度． 试卷第6页，共6页 试卷第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C D B A B A C C 11． 12．4.2 13．4 14． 15． 16．（1）见解析；（2） 【分析】本题考查了尺规作图，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）先作，在的一边上截取，在另一边上截取，连接即可； （2）用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，为所求；    （2）如图，在中，， ∵，， ∴由勾股定理可得：， 17．见解析 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，全等三角形的性质，等腰三角形的判定；根据全等三角形的性质得出，，，根据勾股定理的逆定理得出，求出，即可求出答案． 【详解】证明：， ，，， ， ， ， ， ， ﹣， ， 是等腰直角三角形． 18． (1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理求出，再利用三角形的面积即可求解； （2）由已知可得，再分别在、和中，利用勾股定理可得，据此即可求解． 本题考查了勾股定理，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：在中，∵，，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； 故答案为：； （2）解：，， ， ， ， 在中，， 即， 在中，， 即， 在中，， 即， 解得． 19．(1)； (2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，正确理解题意是解题的关键： （1）根据等边三角形的性质得出，，，证明，求出，进而得出答案； （2）过点作于点，过点作，交的延长线于点设，则，，根据勾股定理得出，求出．得出，进而得出结论． 【详解】（1）解：与均为等边三角形， ，，， ， ， ， ， ； （2）证明：过点作于点，过点作，交的延长线于点 设，则，， ∴， ，， ， ． ，， ， ． 20．（1）；（2），； （3）证明：在图4中， 大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和， 即， 化简得：． （4） 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，勾股定理的证明以及应用． （1）利用多项式乘多项式的运算法则进行计算即可； （2）根据图形的两种面积计算方法即可得出答案； （3）在图4中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和得出，然后化简即可求证； （4）先利用勾股定理求出，再根据等面积法即可求得． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）图二：； 图三：； 故答案为：，； （3）略 （4）在中， ， ∴由勾股定理，得：， ， ， ， ． 答案第2页，共5页 答案第3页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $