第13章勾股定理 优生辅导同步训练 2025-2026学年华东师大版八年级数学上册

**基本信息** 这份优生同步训练以勾股定理为核心，通过基础巩固、综合应用到探究拓展的三阶分层设计，强化几何直观与推理能力，适配单元复习中优生的知识深化与能力提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|勾股定理逆定理、基本计算|单选1-3判断直角三角形，填空8-10基础边长计算，夯实概念理解| |综合应用|折叠/旋转性质、实际情境|单选4-6中垂线与勾股结合，填空11-13梯子滑动/最短路径问题，培养模型意识| |探究拓展|多知识点综合、动态问题|解答17-20旋转综合与分类讨论，如19题旋转中勾股应用，发展创新思维|

2025-2026学年华东师大版八年级数学上册《第13章勾股定理》 优生辅导同步训练（附答案） 一、单选题 1．五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，数轴上点所表示的数为，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于点．，再分别以、为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧交于点，作射线，交于点．若，，，则点到的距离是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．如图，中，的中垂线交于E，交于D，若，则的周长为（　　    ） A．14 B．16 C．20 D．18 5．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记．若．则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B． C． D．10 6．某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架，两轮中心的距离，则点C到的距离为（    ） A．48 B．50 C．54 D．56 7．如图，一根长方体木条放置在一块长方形纸片上，已知，，该木条的较长边与平行，横截面是边长为的正方形．一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是（   ）    A． B． C． D． 二、填空题 8．如图，在中，，，，若于D，则CD的长 ． 9．如图，将三角形纸片沿折叠，使点C落在上的点E处，若,则的值为 ． 10．如图，现有一长方体的实心木块，有一蚂蚁从处出发沿长方体表面爬行到处，若长方体的长，宽，高，则蚂蚁爬行的最短路径长是 ． 11．如图，一个梯子长米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角距离为米，梯子滑动后停在的位置上，测得长为米，则梯子顶端下落了 米． 12．如图，，点、分别在边、上，且，，点、分别在边、上，则的最小值是 ． 13．如图，在中，，，点D为斜边上的一点，连接，将沿翻折，使点B落在点E处，点F为直角边AC上一点，连接，将沿翻折，点A恰好与点E重合．① ；②若，则折痕为 ． 14．如图，在中，，C、Q是斜边上两点，且，将绕点O顺时针旋转90°后，得到，连接．下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 个． 三、解答题 15．如图，在四边形中，，，，为边上一点，且所在直线为的 垂直平分线，． (1)求边的长； (2)求四边形的面积． 16．“雄奇山水，新韵重庆！”为了加强市容市貌建设，环卫部门组织了多台环卫车清理街道，有一台环卫车沿公路由点向点行驶清理道路．已知点为一所学校，且点与直线上两点，的距离分别为和，又，环卫车工作时周围以内为受噪声影响区域． (1)求的度数； (2)学校会受环卫车产生的噪声影响吗？请画图并计算说明； (3)若环卫车的行驶速度为每分钟40米，则该环卫车产生的噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？ 17．如图，在中，，，，，垂足为点．是边上的一个动点，连接，将沿着折叠至，线段与直线相交于点． (1)求的长； (2)当时，求的度数及的长； (3)点在边上移动时，若为直角三角形，求的长． 18．在中，，，点是边上的动点（不与点，点重合），连接，将线段绕着点逆时针旋转，得到线段，连接． (1)如图1，若点恰好落在边上，判断与的位置关系，并证明； (2)如图2，在（1）条件下，延长至点，使，连接，请用关于的代数式表示； (3)如图3，若，探究、、的数量关系，并证明． 19．综合与实践 【问题情境】“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，旋转角小于，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，交于点O，延长交于点P． 【数学思考】（1）试判断与的数量关系，并说明理由． 【深入探究】（2）在图形旋转的过程中，老师让同学们提出新的问题． ①“乐学小组”提出问题：如图2，如果，当时，求的度数； ②“善思小组”提出问题：如图3，如果，．当时，求线段的长． 20．若和均为等腰三角形，且，当和互余时，称和互为“底余等腰三角形”， 的边上的高叫做的“余高”． (1)如图，和互为“底余等腰三角形”．若连接，判断和是否互为“底余等腰三角形”： ；（填“是”或“否”） (2)如图，和互为“底余等腰三角形”．当时，若的“余高”是． ①请用直尺和圆规作出（要求：不写作法，保留作图痕迹）； ②若，求的长； ③猜想：四边形的四边存在怎样的相等关系？ 参考答案 1．B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A．，，故A不正确； B．，，故B正确； C．，，故C不正确； D．，，故D不正确． 故选：B． 2．D 【分析】本题考查的是勾股定理．熟练掌握勾股定理解直角三角形，数轴上两点之间的距离，实数的运算，是解题的关键． 先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，得到数轴上两点间的距离，再根据两点间的距离公式即可求出A点表示的数． 【详解】解：∵图中的直角三角形的两直角边为1和2， ∴斜边长为：， ∴点A所表示的数为：． 故选：D． 3．B 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图—角平分线，角平分线的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握角平分线的性质． 过点作于点，根据角平分线的性质得出，利用勾股定理求出直角边的长度，然后利用等面积法进行求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作于点， 根据作图得，平分，且， ∴， 由勾股定理得，， 由等面积可得， ∴， 解得， 故选：B． 4．A 【分析】本题主要考查勾股定理及线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理及线段垂直平分线的性质是解题的关键；先根据勾股定理求出的长，再由线段垂直平分线的性质得出，即，再由即可求出答案． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴，即， ∴的周长． 故选：A． 5．C 【分析】本题考查了勾股定理与正方形面积公式的综合应用，解题的关键是利用勾股定理建立三个正方形面积的关系，结合已知条件求出相关正方形面积，再根据阴影部分与该正方形的面积关系得出答案． 先由勾股定理得出直角三角形三边平方的关系，即对应正方形面积的关系；将该关系代入已知等式求出目标正方形的面积；最后根据阴影部分面积是目标正方形面积的一半，计算出阴影面积． 【详解】解：∵ 在中，， ∴ 由勾股定理得． ∵ 正方形面积等于边长的平方，且，，， ∴ ． 又∵ ， ∴ 将代入得：． 化简得，解得． ∵ 阴影部分面积等于面积的一半， ∴ 阴影部分面积． 故选：C． 6．A 【分析】本题考查了点到直线的距离和勾股定理的逆定理，解题的关键是连接，过作于，求出，根据勾股定理的逆定理求出是直角三角形，根据三角形的面积公式得出，再求出即可． 【详解】解：连接，过作于， 是直角三角形， 根据的面积，得， 解得：， 即点到的距离为48， 故选：A． 7．B 【分析】本题主要考查了勾股定理在最短路径中的应用，找出最短路径是解题的关键．将长方体侧面展开得蚂蚁的爬行的最短路径为的长，用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，    将长方体侧面展开，即为所求， 则，， 最短路程． 故选：B． 8．/7.2 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形面积公式求解，通过计算三边的平方关系判断三角形是否为直角三角形，再利用三角形面积的两种不同表示方法建立等式求解的长即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 9．16 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理，由折叠的性质可得，，可得，，根据勾股定理可求的值． 【详解】解：将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处， ，， ， ，     ， ∴， 在中，， 在中，， ， 故答案为：16． 10． 【分析】本题考查了平面展开——最短路线问题和勾股定理的应用，分类讨论是解题的关键． 连接，求出的长即可，分为三种情况：画出图形，根据勾股定理求出每种情况时的长，再找出最短的即可． 【详解】解：将长方体展开成平面后，连接，则的长就是最短路径长度， 分为三种情况： 如图，由题意可知，， 长方体的长，宽，高， ， ， 在中，由勾股定理得：； 如图，由题意可知，， 长方体的长，宽，高， ，， 在中，由勾股定理得：； 如图，由题意可知，， 长方体的长，宽，高， ，，， ， 综上，最短路径长度是， 故答案为：． 11．/ 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，本题中在直角中和直角中分别运用勾股定理是解题的关键． 由题意知，米，米，米，则在直角中，根据，可以求，在直角中，根据，可以求，则即为题目要求的距离． 【详解】解：在直角中，已知米，米， ∴（米）， 在直角中， ∵（米），米， ∴（米）， ∴（米） 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了轴对称的最短路线问题，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，此时有最小值，根据两点之间线段最短即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接， 由轴对称的性质得：，，， ∴，， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 即的最小值是， 故答案为：． 13．解：①如图： 由翻折可得，，， ， ， ， 即， 故答案为：； ②过D作于H，如图： 由翻折可知，， 为中点， ，， ， ， ，， ， 为中点， 为AC中点， ，， 设，则， 由翻折知， ， ， 即， 解得：， ， ， ， 故答案为： 14．3 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，三角形三边关系， 先根据旋转的性质得，再根据直角三角形的两个锐角互余解答①；再根据“边角边”解答②；由全等三角形的性质得，然后根据旋转的性质得，最后结合勾股定理和三角形的三边关系解答③④ 即可. 【详解】解：根据旋转的性质得， 在中，， ∴， ∴， 即； 根据旋转的性质得， ∵， ∴. ∵， ∴； ∵， ∴. 根据旋转的性质得. 在中，，， 即； 且. 所以正确的有①②④，一共3个. 故答案为：3. 15．（1）解：，且为线段的垂直平分线， ，， 在中，，， ， ； （2）解：如下图所示，连接， 垂直平分， ， ，， ， 是直角三角形，， ． 16．（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：学校C会受噪声影响．理由如下： 如图，过点C作于D， ∵， ∴是直角三角形． ∴， ∴， 解得：米． ∵环卫车周围以内为受噪声影响区域， ∴学校C会受噪声影响； （3）解：如图：当时，在上行驶时，正好影响学校C， ∵， 同理， ∴， ∵环卫车的行驶速度为每分钟40米， ∴（分钟）， ∴环卫车噪声影响该学校持续的时间有分钟． 17．（1）解：∵在中，，，，，垂足为点． ∴，， ∴，解得：． （2）解：∵，， ∴， ∵将沿着折叠至，线段与直线相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴． ∴， ∵， ∴． （3）解：如图：当时，此时点H和点E重合，即，， ∵将沿着折叠至，线段与直线相交于点， ∴，， ∴， 设，则， 在中，， ∴，解得：． ∴． 如图：当时，此时点H和点D重合，即， ∴． 综上，的长2或． 18．（1）解：， 证明：线段绕着点逆时针旋转， ，， ， ， ， ； （2）解：由（1）得， ， 垂直平分， ， ， ； （3）解：． 证明：如图，在下方构造等边△，连接， 则，， ， ， ， 在和中， ， ∴， ，， ， 在中，， ． 19．（1），理由见解析；（2）①；②12． 【分析】（1）由旋转的性质可得：，，再证明，从而可得结论； （2）①由全等三角形的性质证明，，求解，再进一步求解即可；②利用勾股定理求解，证明，可得，可得．结合，可得，证明，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：．理由：如图1，连接AF， 由旋转的性质知，，， ∵， ∴， ∴； （2）解：①如图2，由旋转可得，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ②如图3，∵，，， ∴． 由旋转的性质知，，，，． ∵，， ∴， ∴， ∴． 由（1）得， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的内角和定理的应用，掌握旋转的性质是解本题的关键． 20．（1）解：是． ∵和互为“底余等腰三角形”， ∴，， ∴，． ∵， ∴， 即， 所以和互为“底余等腰三角形”． 故答案为：是； （2）解：①如图所示； ②过点A作，交于点G， ∴． ∵和互为“底余等腰三角形”， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 根据勾股定理，得； ③． 由②得， ∴． 在中，， 即． 同理：， 即， ∴， 即． 学科网（北京）股份有限公司 $