第27章 二次函数 十三大题型 专题训练 2026-2027学年 沪教版（五四制） 数学九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数与几何综合及应用，通过13个专题系统覆盖中考核心题型，以题载法构建知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何图形综合|9专题/每专题1例5变式|二次函数与三角形、四边形性质结合的存在性问题|以二次函数解析式为基础，运用几何判定定理（如相似、全等、特殊角）构建方程求解| |最值与定值问题|3专题/每专题1例5变式|面积、长度、周长最值及比值定值问题|通过代数建模转化几何量，结合二次函数性质求最值或证明定值| |实际应用|1专题/1例5变式|生活情境中的二次函数建模问题|从实际问题中抽象数量关系，建立二次函数模型解决最优化问题|

二次函数十三大题型 专题一 二次函数: 锐角三角比问题 2 专题二 二次函数: 相似三角形问题 12 专题三 二次函数: 直角三角形问题 27 专题四 二次函数: 等腰三角形问题 42 专题五 二次函数: 全等三角形问题 57 专题六 二次函数: 特殊角(45°、30°等)问题 76 专题七 二次函数: 等角问题 91 专题八 二次函数: 二倍角和半角问题 107 专题九 二次函数: 特殊四边形问题 142 1. 二次函数: 平行四边形问题 142 2. 二次函数: 矩形问题 154 3. 二次函数: 菱形问题 166 专题十 二次函数: 面积最值问题 182 专题十一 二次函数: 长度和周长最值问题 193 专题十二 二次函数: 比值、定值问题 206 专题十三 二次函数: 生活实际应用问题 217 专题一 二次函数: 锐角三角比问题 【例1】（2025·上海宝山·期末）已知平面直角坐标系如图，直线的经过点和点． 求m、n的值； 如果抛物线经过点A、B，该抛物线的顶点为点P，求的值； 【答案】（1）m=4 n=-1（2） 【详解】分析：(1)分别将A、B两点的坐标代入直线中可得：m、n的值；先利用(2)待定系数法求二次函数的解析式，并配方成顶点式，求点P的坐标，作辅助线构建直角，根据三角函数的定义可得结论； 详解：把代入直线中得：，， ， 把代入中得：，， 把和点代入中得： ，解得：， ， ， 易得直线PB的解析式为：， 当时，， ， 过B作轴于M，过G作于H， 由勾股定理得：， ， ， ， 中，； 点睛：本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理的应用，三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，数形结合思想和方程思想的运用是解题的关键． 【变式1-1】（2024·辽宁盘锦·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6）． (1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标； (2)求直线AB的函数解析式及sin∠ABO的值； 【分析】（1）利用待定系数法可求出c的值，即得出抛物线解析式，再变为顶点式，即得出M点坐标； （2）根据题意，利用待定系数法可求出直线AB的函数解析式．利用勾股定理可求出的长，即可求出sin∠ABO的值． 【详解】（1）将A(-4，0)，C(2，6)代入,得： ，解得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点M的坐标为(-2，-2)； （2）∵A(-4，0)， ∴OA＝4， ∵OA＝OB， ∴OB＝4， ∴B(0，4)， 设直线AB的函数解析式为y＝kx+b， 将A(-4，0)、B(0，4)代入得：， 解得， ∴直线AB的函数解析式解析式为y＝x+4， 在中，， ∴sin∠ABO．　 【变式1-2】（2024九年级上·上海·期中）如图，已知平面直角坐标系，直线的经过点和点． (1)求m、n的值； (2)设点P在平面直角坐标系内，过点P作，垂足为A，且，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）把点A、B的坐标分别代入直线解析式中，可求得m、n的值； （2）过点P作轴于点C，过点B作轴于点D，连接，可证明，由相似三角形的性质即可求得点P的坐标； 【详解】（1）解：把点A、B的坐标分别代入中，得：， 解得：， 即，； （2）解：过点P作轴于点C，过点B作轴于点D，连接，如图， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由A、B的坐标知，，，， ∴，即， ∴， 当点C在点A的左侧时，，点P在x轴上方，则点P的坐标为； 当点C在点A的右侧时，，点P在x轴下方，则点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或； 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，勾股定理及三角函数等知识，（2）问中有两种情况，不要漏掉其中一种情况， 【变式1-3】（25-26九年级下·上海·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点，顶点为． (1)求，的值与顶点的坐标； (2)抛物线（且）过点，，且与x轴另一个交点为，顶点为． 求的余切值（用含有的代数式表示）； 【答案】(1)，， (2)； 【分析】（1）用待定系数法求得抛物线的解析式为，再配方成顶点式，得出顶点的坐标； （2）先求得抛物线的解析式为，再令，解得点的坐标为，最后根据余切的定义求解即可； 【详解】（1）解：∵抛物线过点和， ∴将点代入方程，即，得， 将点及代入方程，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； ， ∴顶点的坐标为； （2）解：①∵抛物线过点和，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为， 令，则， 即， 解得， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， 如图，在中，， ； 【变式1-4】（2024·广东佛山·三模）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，四边形为菱形，反比例函数（）经过点，反比例函数经过点，且交边于点，连接． (1)求直线的表达式． (2)求的值． 【答案】(1)直线的表达式为 (2) 【分析】（1）把点A（a,−3）代入反比例函数y＝−（x＞0）得到a＝4，求得A（4，−3），根据勾股定理得到OA＝，根据菱形的性质得到OC＝AB＝OA＝5，设直线BC的解析式为y＝mx＋n,列方程组即可得到结论； （2）把B（−1，−3）代入y＝得y＝，解方程组得到D（−4，−），过D作DE⊥AB于E，根据三角函数的定义即可得到结论； 【详解】（1）反比例函数经过点， ， ， ， ， 四边形为菱形， ， ，， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的表达式为； （2）， ， ， 解得，或不合题意舍去， ， 如图，过作于， ，， ； 【变式1-5】（2026·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（m为常数）的图象与x轴交于，与y轴交于点C．抛物线（a，b，c为常数，且）经过B，C两点，与x轴负半轴交于点． (1)求一次函数解析式及抛物线的函数表达式； (2)如图，点M，N在抛物线上，横坐标分别是m，n，且，过点M作x轴的垂线，过点N作y轴的垂线，两条垂线相交于点Q，连接，若，求m的取值范围； 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设，，则，根据题意得到，据此列式计算即可求解； （3）分两种情况讨论，当圆心在轴下方时，设圆心，根据半径相等列式计算求得，据此求解即可；当圆心在轴上方时，根据轴对称的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵经过， ∴， 解得， ∴； 经过，，， ∴，解得， ∴； （2）解：设，， 则， 又∵，， ∴， ∴， 解得（舍去），， ∴， ∵， ∴， 解得； 专题二 二次函数: 相似三角形问题 【例1】（25-26九年级上·广东惠州·期末）如图，二次函数的图象与轴分别交于，两点，与轴交于点，点在二次函数的图象上，为二次函数的图象的顶点． (1)求的面积； (2)点是轴上一动点，当和相似时，求点坐标． 【答案】(1)的面积为 (2)点的坐标为或 【分析】本题考查二次函数，一次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质，涉及待定系数法，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点的坐标与相关线段的长度． （1）先利用待定系数法求出抛物线的表达式，随即可得到相关点的坐标，利用待定系数法求出直线BC所在的一次函数表达式，过点作垂直于轴，交于点，可得出点E的坐标，结合即可求出的面积； （2）先计算出的三条边长，设点坐标为，对可能的相似情况进行分类讨论，求出对应的即可得出结果． 【详解】（1）解：∵点在二次函数的图象上， 将代入 ， 得，解得， 函数表达式为， ∴点、、， 令直线表达式为， 由、， 得，解得， ∴直线表达式为， 过点作垂直于轴，交于点，如下图所示： 当时，， ∴， ∴， ∴， 故的面积为． （2）解：， ， ， 设点坐标为，根据题意，可判断出有可能的相似情况有如下三种： 当时， 有，即， 由，解得， 由，解得或， 故该情况下； 当时， 有，即， 由，解得，该方程无解， 则不存在该情况； 当时， 有，即， 由，解得， 由，解得或， 故该情况下； 综上，点的坐标为或． 【变式1-1】（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求此二次函数的解析式； (2)点D在直线上运动，过点D作x轴的垂线，交二次函数图像于点E，交x轴于点F，是否存在点D，使得以B、E、F为顶点的三角形与相似？ 若存在，求出D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2))或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先证明，得到，进而推出，则当点D与点C重合时，此时点E与点C重合，点F与点O重合，则；如图3-1所示，当点F在之间时，可得，则此时和不可能相似；如图3-2所示，当点F在点A左侧，设，则，，，当时，，证明，推出，则，解得或（舍去），则；当点F在点A左侧，且当时，可得，则，解得或（舍去），则；如图3-3所示，如图所示，当点F在之间时，只有当时，与才能相似，此时，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可；如图3-4所示，当点F在点B右侧，只有当时，与才能相似，此时，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 当点D与点C重合时，此时点E与点C重合，点F与点O重合，则， ∴， ∴此时点D的坐标为； 如图3-1所示，当点F在之间时， ∵， ∴，即， ∵， ∴此时和不可能相似； 如图3-2所示，当点F在点A左侧，设，则，， ∴， 当时， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， 解得或（舍去）， ∴； 当点F在点A左侧，且当时，可得， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴； 如图3-3所示，如图所示，当点F在之间时， ∵， ∴只有当时，与才能相似， ∴此时， ∴， 设，则，， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 如图3-4所示，当点F在点B右侧， ∵， ∴只有当时，与才能相似， ∴此时， ∴， 设，则，， ∴， ∴ 解得（舍去）或（舍去），即此种情况不存在； 综上所述，点D的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，勾股定理，一次函数与几何综合等等，证明是直角三角形，进而推出两直角边的比例关系是解题的关键． 【变式1-2】（2026·陕西西安·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点为、，抛物线与抛物线关于x轴对称． (1)求抛物线的函数表达式； (2)抛物线与y轴交于点M，其对称轴与x轴交于点N，点P为对称轴上一动点，点Q为抛物线对称轴右侧一点，且在x轴上方，轴，当与相似时，求点Q的横坐标 【答案】(1) (2)点Q的横坐标是5或 【分析】（1）根据对称性得到抛物线交y轴于点，与 x轴的交点为、，待定系数法进行求解即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴的交点为、， ∴当时，， ∴抛物线交y轴于点， ∵抛物线与抛物线关于x轴对称， ∴抛物线交y轴于点，与 x轴的交点为、，     设抛物线，将代入得， 解得：，           ∴抛物线；     （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴是， ∴点，，则，， ∵轴， ∴ 设，则，， 情况①：当时， ∴， 解得（舍），，           情况②：当时，， ∴ 解得（舍），； ∴综上所述，点Q的横坐标是5或. 【变式1-3】（2026·陕西西安·三模）抛物线交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C． (1)求出A，B，C三点的坐标； (2)作直线，分别交x轴，线段，抛物线于D，E，F三点，连接，若与相似，求t的值． 【答案】(1)； (2)的值为或 【分析】（1）令和，分别求解即可； （2）分两种情况：和，分别求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得：，， 当时，， ； （2）解：∵是直线与抛物线的交点， ①如图，若时，则， ， 解得：（舍去）或， ②如图，若时，过作轴于点， ， ，， ， 又， ， ， ∵， ，， ，， ， ， 解得：（舍去）或 综上，符合题意的的值为或． 【变式1-4】（20-21九年级上·陕西榆林·期末）如图，抛物线经过点、，交y轴于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)Q为x轴上方的抛物线上的一个动点（不与点A、B重合），轴于点M，是否存在点Q，使得以点A、Q、M三点为顶点的三角形与相似？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点Q的坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先确定点坐标，进而可得，易知；设点，则，，若以点A、Q、M三点为顶点的三角形与相似，则有或，进而可得或，然后分别代入数值求解即可． 【详解】（1）解：将点A、B的坐标代入抛物线的表达式中， 得，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）存在，理由如下： 对于抛物线，当时可得， ∴点， ∵， ∴， ∴， 设点，则，， 以点A、Q、M三点为顶点的三角形与相似， 则或， 或， 或， 当时，可得， 整理得，， 解得（舍去）或（舍去）， 当时，， 整理得，，解得或（舍去）． 综上所述，满足条件的点Q的坐标为：． 【变式1-5】（2026·陕西西安·模拟预测）已知如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． (1)求此抛物线的解析式； (2)在线段上是否存在一点M，使和相似？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或． 【分析】（1）由题意得出，，再利用待定系数法求解即可； （2）求出点，由待定系数法求出直线的解析式，根据，进而分两种情况：，；分别根据相似三角形的性质，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：， ，． 抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C， 解得 抛物线的解析式为：． （2）解：存在，理由如下 抛物线与x轴交于A，B两点， ． 解得，． ． 设直线的解析式为：，将，，代入解析式得：，解得：． 直线的解析式为：， ， 当和相似有两种情形， 当时，如图 ． ． 设直线的解析式为，将，代入得 ，解得：． ∴直线的解析式为． ∴直线的解析式为． 联立解得：． ． ②当时，如图 ． ，，，， ，． ，解得． 设， 解得∶或 (舍去)． 则 ． 综上所述，或． 专题三 二次函数: 直角三角形问题 【例1】（2024·云南红河·二模）如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴的正半轴交于点． (1)求a与b的值； (2)点是线段上一动点，过点作轴的平行线，与交于点，与抛物线交于点，连接，探究是否存在点使得为直角三角形？若存在，求点E的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点E的坐标为或 【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法求解即可； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，由点B，C的坐标利用待定系数法可求出直线的函数表达式，根据题意，需要分两种情况：①当点F为直角顶点时；②当点C为直角顶点时，分别画出图形，根据直角三角形的性质可求得结论． 【详解】（1）解：将点、代入， 得， 解得； （2）解：存在， 理由如下： 由（1）得，二次函数解析式为， 当时，， ∴点的坐标为， 又， ∴ ∴， ∵轴， ∴， ∵是直角三角形， ∴或， ①当时，如图1所示， ∵轴， ∴轴， ∴点F的纵坐标与点C的纵坐标相同， ∴点F的纵坐标是3， ∵点F在抛物线上， ∴当时，解得（舍去）或， ∴点D的坐标是， 设直线的解析式为， ∵点B与C的坐标分别是与， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∴当时，， ∴点E的坐标是； ②当时，如图2所示， ∵， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， 过C作于H， ∴H为的中点， ∴， 设点E的坐标是， ∴点F的坐标是，点H的坐标是， ∴， 解得 (舍去)或， ∴点E的坐标是， 综上，点E的坐标为或， 【变式1-1】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知抛物线经过、两点，D是抛物线的顶点 (1)求该抛物线的解析式及顶点坐标； (2)E在y轴上，若为直角三角形，直接写出点E的坐标． 【答案】(1)， (2)或或或 【分析】（1）将、两点代入，解得b、c即可得到解析式，再化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）先设，由（1）得，结合，运用两点距离公式表示出∴，，，再根据为直角三角形，进行分类讨论且进行作图，运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：将、两点代入， ， 解得， 抛物线解析式为， ， 顶点坐标为； （2）解：依题意，设， 由（1）得， ∵， ∴， ， ∵为直角三角形， ∴当时，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 此时； ∴当时，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 此时； ∴当时，如图所示： 则， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ 则 解得， 此时或， 综上：E的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法，顶点坐标的求法，坐标系中三角形的面积以及二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与特殊直角三角形，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式1-2】（2025·黑龙江绥化·二模）如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的左侧）． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，，，试证明为直角三角形； 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)证明：∵抛物线的解析式为， ∴当时，，解得，， ∴点的坐标分别为、， 由点的坐标得，，，， ∴， ∴为直角三角形； （）利用待定系数法求解解析式即可； （）由解析式求出点的坐标分别为、，然后利用两点距离公式求出，，，最后通过勾股定理逆定理即可求解； 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设， 将点的坐标代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）略 【变式1-3】（25-26九年级上·广东汕尾·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在坐标轴上，且，，点是边上的一个动点，抛物线经过点，． (1)如图，若抛物线恰好经过点，连接，． ①求此时抛物线的解析式和点的坐标； ②在直线上方的抛物线上有一点（异于点），且的面积等于的面积，请求出点的坐标． (2)如图，设抛物线与射线交于点，在点的运动过程中，是否存在的值，使得为直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①，；② (2)存在的值为或，使得为直角三角形 【分析】本题考查二次函数解析式求解，坐标与几何图形，三角形面积转化，掌握分类讨论思想是解题关键． （1）①代入点、的坐标求出抛物线解析式，再根据点纵坐标为的特点，求出的坐标；②求出直线的解析式，设出点的坐标并表示出的长度，利用面积相等列方程求解点． （2）确定、两点的坐标，用勾股定理表示三边的平方，分三种直角情况建立方程求解并检验的值． 【详解】（1）①解：抛物线经过点，， 把点，分别代入， 可得， 解得， 抛物线的解析式为， 点在边上，且四边形是矩形， 当时，，解得，， ． 答：，． ②如图，过点作轴交于点，连接，， 设直线的解析式为， 把点代入，得，解得， 直线的解析式为， 设，则， ， 的面积等于的面积， ，即， 解得，（舍去）， 故点的坐标为． 答：． （2）解：由（1）知，则抛物线的解析式为， 当时，，，则点坐标为， 当时，，则点坐标为， ，， ， ①当时，， 即，解得； ②当时，， 即， 解得或， 当时，点与点重合，不符合题意，舍去， 当时，点在的延长线上，不符合题意，舍去； ③当时，， 即， 解得或（舍去）， 当时，点与点重合，不符合题意，舍去， 则， 综上所述，存在的值为或，使得为直角三角形． 答：存在的值为或，使得为直角三角形． 【变式1-4】（2024·山东济南·二模）如图，已知抛物线，与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，点P是第一象限内抛物线上一动点，连接、、，设点P的横坐标为t．当t为何值时，是以点为直角顶点的直角三角形； (3)如图2，过抛物线顶点作轴于，若是轴上一动点，是线段上一点，若，请求出实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)m的变化范围为 【分析】（1）把点和点代入，得到，解方程即可； （2）表示出三边平方，，，，当时，则，可得，解方程即可； （3）当在左侧时，证明，得到，即，即可求解；当在右侧时，同理可解． 【详解】（1）解：抛物线，与轴交于点和点，代入得： ，解得：， ； （2）解：可得， 当时，， ∴点， ∴， ， 当时， ∴， ∴， 解得：或（舍） ； （3）解：由（1）知，， ，，， 过作于点，则， 如图2.1，当在左侧时， ， ∴， ∴， ∵ ∴， ， 设，则， ， 即， 关于的方程有解，， 得且； 当与重合时，； 如图2.2，当在右侧时，中，，，即， 作交轴于点，则， ， ， 即为点时，， ， 综上，的变化范围为：． 【点睛】此题考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质、勾股定理，以及等腰直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用． 【变式1-5】（25-26九年级下·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经过，两点，与轴的另一个交点为． (1)若直线经过，两点，求抛物线和直线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上找一点，求点的坐标，使面积最大． (3)设点为抛物线的对称轴上的一个动点，是否存在点，使为直角三角形，直接写出点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为；直线的解析式为， (2) (3)或或或． 【分析】（1）将已知点坐标代入解析式，结合已知对称轴构建三元一次方程组求解；将点B，C坐标代入直线解析求解得参数值，进而得解析式； （2）设点的坐标为，连接，然后表示出，然后利用二次函数的性质求解即可． （3）首先利用勾股定理求得，，的长，然后分别从点为直角顶点、点为直角顶点、点为直角顶点去分析求解即可求得答案． 【详解】（1）解：根据题意，得 ，解得， ∴抛物线解析式为； 令，解得， ∴． 由直线经过两点，得 ，解得， ∴直线解析式为． （2）解：设点的坐标为，连接， 因为对称轴为，， 所以，故， 因为，故， ， ∴当时，的面积最大，此时点的坐标为； （3）解：设， 又，， ，，， ①若点为直角顶点，则， 即：，解得：； ②若点为直角顶点，则， 即：，解得：， ③若点为直角顶点，则， 即：， 解得： ， ； 综上所述的坐标为或或或． 专题四 二次函数: 等腰三角形问题 【例1】（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，过点的抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，连接．P是抛物线在第四象限内的一个动点，过点P作轴，垂足为M，交于点Q． (1)求点A，B的坐标． (2)在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使以点A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了求函数解析式、抛物线与x轴的交点、两点间距离公式、二次函数与几何的综合等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）将点、点代入求得抛物线解析式，然后令求解即可确定点A，B的坐标； （2）先求出直线的解析式为，设则，然后再运用两点间距离公式表示出,最后分、和三种情况解答即可． 【详解】（1）解：将点、点代入可得： ，解得：， ∴， 令得,解得：， ∵点A在点B的左侧， ∴. ． （2）解：设直线的解析式为， 则有：，解得： ∴直线的解析式为， 设， ∵P在第四象限，则Q在第四象限， ∴，解得：， ∵，，， ∴①当，则，解得：， ∵， ∴， ∴； ②当，则，解得：或， ∵， ∴， ∴； ③当，则，解得：不符合题意． 综上，存在满足题意的点Q，且点Q的坐标为或． 【变式1-1】（25-26九年级下·河南周口·期中）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，D是其对称轴与x轴的交点． (1)求抛物线的表达式． (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是等腰三角形？如果存在，请直接写出P点坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，P点坐标为或或或 【分析】（1）把两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （2）分两种情况讨论：i）当是以为腰的等腰三角形时，又可分两种情况讨论：①，②，设出点 P 的坐标，利用两点间的距离公式列出方程求解即可；ii）当是以为底的等腰三角形时，点 P 在的垂直平分线上，，利用两点间的距离公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵， ∴对称轴为直线， ， 设点的坐标为， ， ， 分两种情况讨论：i）当是以为腰的等腰三角形时，又可分两种情况讨论： ①若，则，解得（舍弃）或 6 ， 所以点的坐标为； ②若，则，解得， 所以点 P 的坐标为或； ii）当是以为底的等腰三角形时，， 则，解得：， 所以点的坐标为； 综上所述，点的坐标，分别是或或或． 【变式1-2】（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，当点P在第一象限时，求线段的最大值； (3)在（2）的条件下，当取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点Q的坐标为或或或或． 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）由点B，C坐标求出直线解析式，设点P坐标为，则，求出的关系式，运用二次函数的性质可得结论． （3）求出函数图象对称轴为，设，求出，，，，分三种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将点、代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 设点P坐标为，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，有最大值， ∴， 设点Q的坐标为， ∵、， ∴； ； ， 当即时，，即， 解得， ∴点Q的坐标为或； 当即时，， 解得或， ∴点Q的坐标为或； 当即时，， 解得， ∴点Q的坐标为． 综上所述，点Q的坐标为或或或或． 【变式1-3】（24-25九年级上·广东珠海·期中）已知抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是抛物线上位于第一象限内的一点，请连接，求出的面积最大值及此时点P的坐标． (3)如图2，将抛物线向右平移个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为，若抛物线与原抛物线对称轴交于点Q．点E是新抛物线对称轴上一动点，在（2）的条件下，当是等腰三角形时，求点E的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为，点的坐标为 (3)或或或或 【分析】（1）用待定系数法解答便可； （2）设点的坐标为，过点作轴，与交于点，用表示的坐标，进而根据三角形的面积公式表示的面积，最后根据二次函数求最值的方法求得结果； （3）分三种情况：当时；当时；当时．分别列出关于的纵坐标方程进行解答． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点、， 设抛物线的解析式为：， 把代入中，得 ， ， 抛物线的解析式为：， 即； （2）解：设点的坐标为，过点作轴于点，与交于点，如图1， 设直线的解析式为，则 ， 解得， 直线的解析式为：， ， ， ∵， ， ∵， 当时，的最大值为， 此时点的坐标为； （3）解：抛物线， ∴将抛物线向右平移个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为， 的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线， 抛物线的对称轴为直线， 把代入中，得， 点的坐标为， 设的坐标为； ①当时，则， 即， 解得，， ． ②当时，则， 即， 解得，， 点的坐标为或； ③当时，则， 即， 解得，， 点的坐标为或． 综上，当是等腰三角形时，点的坐标为或或或或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，三角形的面积公式，二次函数图象的平移，二次函数的最值的求法，等腰三角形的定义，两点距离公式，分类讨论． 【变式1-4】（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是抛物线上第一象限内的动点，连接、，求面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或或 【分析】（1）把，代入即可求解； （2）设，过点作轴于点，根据即可求解； （3）设，分三种情况：，，即可求解． 【详解】（1）解：把，代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设，过点作轴于点， 由抛物线的解析式， 令时，， ∴， ∴， ∵，，且点在第一象限， ∴，，，， ∵ ， ∵， ∴当时，的面积的最大值为． （3）解：设， 当时，如图， ∵，， ∴， ∴， 解得，， ∴或， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴在直线上，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； 当时，如图， 由可知， ∴， 解得， 或； 当时，如图， ∵，，， ∴， 解得， ∴； 综上所述，点的坐标为或或或． 【变式1-5】（25-26九年级下·陕西·期中）如图，抛物线（b、c为常数）分别与轴交于点、，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线的顶点，连接，点是抛物线的对称轴上的点，如果是以为腰的等腰三角形，请你求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数综合—特殊三角形问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）先求出点的坐标为，点的坐标为，再分两种情况：当时，点位于点位置，过点作于点；当时，点位于点和点位置；分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：分别将、代入中，得： ， 解得， 该抛物线的函数表达式为． （2）解：令，则， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ①当时，点位于点位置，过点作于点，如图， 则点的坐标为， ， ， 点的纵坐标为， 点的坐标为； ②当时，点位于点和点位置，如图， ，，， ， 点的纵坐标为，点的纵坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或或． 专题五 二次函数: 全等三角形问题 【例1】（2024·宁夏吴忠·三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点(在的左侧)，其中点，其顶点为的横坐标为，对称轴与轴交于点． (1)求此二次函数的解析式； (2)连接，点是该二次函数图象第四象限上的动点，过作轴于点，点是轴上一点，是否存在以点为顶点的三角形与全等?若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）求出点的坐标，进而可得，，设点，可得，再分和两种情况解答即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，全等三角形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：存在，理由如下： ∵， ∴， ∵点是二次函数的对称轴与轴的交点， ∴， ∵， ∴，， 设点， ∵轴于点，点是轴上一点， ∴， ∵点是二次函数图象第四象限上的动点， ∴， ∵以点为顶点的三角形与全等， ∴当时，， ∴ 解得，， ∵点在第四象限， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， 解得，， ∵点在第四象限， ∴， ∴， ∴； 综上，当点的坐标为或时，存在以点为顶点的三角形与全等． 【变式1-1】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)直线AC交对称轴于点E，P是坐标平面内一点，当△PCE与△BCD全等时，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)y＝﹣x2﹣2x+3 (2)点P坐标为（3，4）或（1，6）或（﹣4，1）或（﹣2，﹣1） 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，代入A、B两点坐标，组成方程组，解方程组即可； （2）先求出点A（﹣3，0），点B（1，0），点E（﹣1，2），点C（0，3），D（﹣1，4），利用勾股定理求出两点距离得出CD＝CE，设点P（x，y），根据三边对应相等判定△PCE≌△BCD（SSS），列方程组，根据三边对应相等判定△PCE≌△BDC（SSS），列方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）解：∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与y轴交于点C， ∴点C（0，3）， ∵点A（﹣3，0），点C（0，3）， ∴直线AC解析式为：y＝x+3， ∴当x＝﹣1时，y＝2， ∴点E（﹣1，2）， ∵点A（﹣3，0），点B（1，0），点E（﹣1，2），点C（0，3），D（﹣1，4）， ∴BC，BD＝，CD，AE＝，CE， ∴CD＝CE， 如图2， 设点P（x，y）， 在△PCE和△BCD中， 当PC＝BC，PE＝BD，CD＝CE时， 则△PCE≌△BCD（SSS）， ∴， 解得：，， ∴点P1（3，4），点P2（1，6）； 在△PCE和△BDC中 当PC＝BD，PE＝BC，CD＝CE时， 则△PCE≌△BDC（SSS）， ∴， 解得：，， ∴点P3（﹣4，1），点P4（﹣2，﹣1）； 综上所述：点P坐标为（3，4）或（1，6）或（﹣4，1）或（﹣2，﹣1）． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，用配方法将抛物线解析式变为顶点式，角平分线定义，等腰三角形判定，勾股定理，三角形全等判定，一元二次方程． 【变式1-2】（2025九年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点P为抛物线上的一个动点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P在直线上方，当四边形面积最大时，求点P的坐标； (3)过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为点D，点Q是对称轴上一点，当与全等时，求点P，Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或，或 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与面积，二次函数与特殊三角形形，难度大，清晰的分类讨论是解本题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，再求出直线的解析式为，过P点作轴交于点G，设，则，求出，进而求出，利用二次函数的性质即可解答； （3）根据题意易证是等腰直角三角形，由与全等，得到是等腰直角三角形，推出，设，则，得到，即可求解． 【详解】（1）解：将两点代入，得， 解得， ∴； （2）解：令，则， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 过P点作轴交于点G， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴时，四边形面积有最大值， 此时； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵与全等， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 设， 则， ∴， ∴或，或， ∴或，或． 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点P为抛物线上的一个动点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P在直线上方，当四边形面积最大时，求点P的坐标； (3)过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为点D，点Q是对称轴上一点，当与全等时，求点P，Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或，或 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与面积，二次函数与特殊三角形形，难度大，清晰的分类讨论是解本题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，再求出直线的解析式为，过P点作轴交于点G，设，则，求出，进而求出，利用二次函数的性质即可解答； （3）根据题意易证是等腰直角三角形，由与全等，得到是等腰直角三角形，推出，设，则，得到，即可求解． 【详解】（1）解：将两点代入，得， 解得， ∴； （2）解：令，则， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 过P点作轴交于点G， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴时，四边形面积有最大值， 此时； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵与全等， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 设， 则， ∴， ∴或，或， ∴或，或． 【变式1-4】（24-25九年级下·湖北武汉·开学考试）如图，已知抛物线，点B为抛物线与x轴的右侧交点，点A坐标为，点P为抛物线对称轴上一点，点Q在抛物线上． (1)当A、B、P、Q围成的四边形是以为对角线的平行四边形时，求P、Q两点的坐标； (2)是否存在P、Q点使得与全等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由（P、Q不重合，（1）中情况除外）． (3)过点A作直线L，使得L与x轴夹角的正切值为4，平移直线L，设直线L与抛物线的交点为C、D（点C在x轴上方、点D在x轴下方），M为x轴上的点，当取得最大值时，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)存在， (3)或 【分析】（1）先求出抛物线的对称轴和B点坐标，设出P、Q点的坐标，根据为平行四边形的对角线，列出方程求解便可； （2）有题意可得，所以，设出P，Q两点坐标，用两点间距离公式表示出，利用前面的式子列方程，即可解决； （3）因为直线L与x轴夹角的正切值为4，故可设平移后的直线L的解析式为或，以为例，过D作x轴的对称点，当C，，M三点共线时，取得最大值，可以证明此时，过点C作轴于E，设交 x轴于F，证明，得到，设出C，D两点坐标，联立直线L和抛物线的解析式，利用根与系数关系得到相关式子，利用比例式列出方程，即可解决． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的对称轴为， 令，则， ∴或1， ∴， 设， 当A、B、P、Q围成的四边形是以为对角线的平行四边形时， ， 解得， ∴； （2）解：设， ∴，，，， 若，则， ∴ 两方程相减得，， 方程组消去n整理得，， ∴， ∴， ∴， 解得：或， 当时，，，此时 则点P与点Q重合，不合题意，舍去； 当时，或； 即； （3）解：设直线与坐标轴交点为，如图： 由题意得：， 如上图，设，， ∴直线L解析式为， ∴， 解得：， 同理可得：， ∴平移后的直线L的解析式为或者， 设， 过D作x轴的对称点，当C，，M三点共线时，的值最大， ∵垂直平分， ∴， 过C作轴于E，设交x轴于F， ∴， ∴， ∴， ①当直线L的解析式为时， 联立， 化简得，， ∴， ∵， ∴， 化简得，， ∴或， 当时，可得，此时，直线与抛物线只有一个交点，矛盾，故舍去， 当时，点M的坐标为， ②当直线L的解析式为， 联立得， ∴， ∴， ∵， 则， 化简得，， ∴或， 当时，可得，此时方程有两个相等的根，直线与抛物线只有一个交点，故舍去， 当时，点M的坐标为， ∴点M的坐标为或． 【点睛】本题是一道二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质，二次函数的平移问题，难度很大，结合题意，画出草图，数形结合，是解决此题的突破口，同时，还考查了线段差的最值问题，利用轴对称变换来解决，是解题通法． 【变式1-5】如图1，直线与抛物线（a、b为常数且a≠0）交于点A、B，且B到y轴的距离是1，A在x轴上． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，P是y轴左侧抛物线上一点，轴，交直线于点C，若，求三角形的面积； (3)在（2）的条件下，连接交抛物线的对称轴于点Q，在坐标平面内有一点M，射线交抛物线于N，当与全等时，求点N的坐标． 【答案】(1) (2)10 (3)或 【分析】（1）根据直线与抛物线（a、b为常数且a≠0）交于点A、B，且B到y轴的距离是1，A在x轴上，确定点A的坐标为，点B的坐标为，代入解方程组解答即可． （2）不妨设，则，，故，，确定，得到，，结合已知条件，得到方程，解答即可． （3）利用构造平行四边形法，轴对称法构造出符合题意的全等三角形，确定点M的坐标，利用待定系数法，解方程组确定交点N的坐标即可． 本题考查了待定系数法，勾股定理，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，抛物线的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：根据直线与抛物线（a、b为常数且a≠0）交于点A、B，且B到y轴的距离是1，A在x轴上， 得点A的坐标为，点B的坐标为，代入得， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：∵P是y轴左侧抛物线上一点， 不妨设， ∵轴，交直线于点C， ∴，， ∴，， ∵直线与y轴的交点M的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去）， ∴，， ∴点B到直线的距离为， ∴三角形的面积为． （3）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， 根据（2）得，， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 当时，， 故点Q的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 过点P作交对称轴于点M， 由， 故四边形是平行四边形， 根据平行四边形的性质，得与全等， 设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴直线的解析式为：， 根据题意，得， 解得（舍去），， ∴； 过点C作直线的对称点M，连接， 则与全等， 设，则， 整理，得， 根据题意，得的中点坐标为，其一定在直线上， 故，整理得， 故， 解得， 故点M的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入直线解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 根据题意，得， 解得（舍去），， ∴； 综上所述，点N的坐标为或． 专题六 二次函数: 特殊角(45°、30°等)问题 【例1】（2024·新疆伊犁·三模）如图，已知抛物线与x轴相交于，与y轴相交于点C，直线，垂足为C． (1)求该抛物线的表达式； (2)若直线l与该抛物线的另一个交点为D，求点D的坐标； (3)设动点在该抛物线上，当时，求m的值． 【答案】(1) (2)点D的坐标为 (3)或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）证明，则，即，即可求解； （3）延长交直线l于点，当时，证明为等腰直角三角形，利用，即可求出点的坐标，再利用点的坐标，求出直线的解析式，再与抛物线解析式联立即可求出m的值． 【详解】（1）解：将点A、B的坐标代入抛物线的表达式得： ，解得： ∴抛物线的表达式为； （2）解：过点D作轴于点E， 而直线轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设点，则，， ∴，解得（舍去）或， 当时，， 故点D的坐标为； （3）设直线l的表达式为 将，代入得： ，解得： ∴直线l的表达式为， 延长交直线l于点M，设点， ∵，直线， ∴为等腰直角三角形，则， ∴，解得或， ∴点M的坐标为或， 当M的坐标为时，设直线的表达式为，如图所示： 将，代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为， 令，解得：（舍去）或， ∴点P的横坐标； 当M的坐标为时，设直线的表达式为，如图所示： 将，代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为， 令，解得：（舍去）或， ∴点P的横坐标； 综上，或． 【变式1-1】在平面直角坐标系中，的图像交轴于点、（在的左侧）若抛物线上有一点，连接，，则的长为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先求抛物线与轴交点的坐标，分两种情况讨论：在轴上方，在轴下方，得到直线的解析式，联立抛物线方程得到点坐标，最后用勾股定理计算的长度即可． 【详解】对于，令，则， 因式分解得， 解得，， 在的左侧， ，， ，， 分两种情况讨论： 在轴上方，如图，过点作交于点， ， ， ， 设直线的解析式为， 将点，代入得，， 解得， 直线的解析式为， 联立， 整理得，解得（对应点，舍去），， 代入得，即， 由勾股定理得； 在轴下方，如图，设交轴于点， ， ， ， 设直线的解析式为， 将点，代入得，， 解得， 直线的解析式为， 联立， 整理得，解得（对应点，舍去），， 代入得，即， 由勾股定理得； 综上，的长为或． 【变式1-2】（24-25九年级上·重庆巫山·期中）如图，二次函数与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．已知点，抛物线的对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)将抛物线沿着射线的方向平移个单位，点M是平移后抛物线对称轴上任意一点，若，直接写出点M的坐标． 【答案】(1)二次函数的表达式为 (2)点M的坐标为或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出平移后的解析式，进而求出平移后的对称轴，分点在的上方和下方两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过，对称轴为直线， ∴，解得：， ∴； （2）∵，由（2）知：为等腰直角三角形， ∴将抛物线沿着射线的方向平移个单位，即向右，向上各平移1个单位， ∴新的抛物线的解析式为：， ∴新的抛物线的对称轴为直线， 延长交轴于点， ∵，， ∴①当点在直线上方时，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴同（2）法可得：直线的解析式为：， ∴当时，，即：； ②当点在直线下方时，，则：， ∴， ∴ 同理：直线的解析式为：， ∴当时，，即：； 综上：或． 【变式1-3】（2024·西藏昌都·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C；经过点A的直线与y轴正半轴交于点E，与抛物线的另一个交点为，其中． (1)求此抛物线及直线的解析式； (2)若点P是直线上方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)若点Q是y轴上的点，且，求点Q的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)Q点坐标为或． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点P作轴交于点G，设，则，再建立二次函数关系式利用二次函数的性质可得答案； （3）求出，设，分两种情况讨论：当Q点在y轴负半轴上时，过点Q作交于点H，则，再由，可求，则，再利用勾股定理可得答案；当Q点在y轴正半轴上时，同理可求． 【详解】（1）解：∵， ∴， 将点A代入， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， ∴ ， 解得 ， ∴； （2）过点P作轴交于点G， 设，则， ∴， ∴， 当时，的面积最大， ∴； （3）解：∵直线的解析式为， ∴， ∵， ∴， 设， 当Q点在y轴负半轴上时，过点Q作交于点H， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得（舍）或， ∴； 当Q点在y轴正半轴上时，过点Q作交于点H， 同理可得：，， 同理：， ∴， ， ∴， ∴， ∴； 综上所述：Q点坐标为或． 【变式1-4】（2026·四川自贡·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数（b、c为常数）的图象与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），交y轴于点C，对称轴为直线，． (1)求二次函数关系式． (2)连接，抛物线上是否存在点P，使，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）先求出抛物线与x轴的交点坐标，再根据交点式求解即可； （2）设与线段交于点，通过证明求出点坐标，继而可求直线的表达式，再与抛物线的表达式联立求解即可； 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ∴， ∴， 即； （2）解：设与线段交于点， 当时， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， 过点作轴于点， 则为等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴ 设直线 则 解得 ∴直线 与抛物线表达式联立可得， 整理得， 解得，（舍去） ∴； 【变式1-5】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知关于的二次函数．图象与轴交于，两点，点在点左边，图象与轴负半轴交于点． (1)求点坐标； (2)若面积为8，求的值； (3)若中有一个内角为，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数综合问题，求三角形的面积，等腰三角形的性质与判定． （1）令，进而解方程，即可求解； （2）令得出，根据三角形的面积公式建立方程，解方程，即可求解； （3）分两种情况讨论，，，根据等腰三角形的性质以及三角形的面积公式，建立方程解方程即可求解． 【详解】（1）解：当时， ∵ ∴ 解得： ∴， （2）解：∵图象与轴负半轴交于点 当时， ∴，则 ∵， ∴ ∵面积为8， ∴ 解得： （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为轴， 当时，则 ∴ 解得： 当时，如图，过点，作于点 ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ 又∵ ∴, ∵ ∴ 解得：（负值舍去） 综上所述，或 专题七 二次函数: 等角问题 【例1】（2026·天津滨海新区·二模）已知抛物线（，，为常数，）．点，点为抛物线与轴两个交点，点为抛物线与轴交点． (1)当时， ①求抛物线顶点的坐标； ②若点为抛物线上一点，当时，求点的坐标． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】（1）①利用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出顶点坐标； ②分类讨论，点在轴上方时，设直线交轴于点，容易证明，则，从而得到点的坐标为，从而直线的解析式后，与抛物线联立求出点的坐标；点在轴下方时，使用同样的解法算出直线的解析式，再求出点的坐标； 【详解】（1）解：①∵， ∴点的坐标为，， 将点，代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点的坐标为； ②当点在轴上方时，如图，设直线交轴于点， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∵，，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 联立直线与抛物线，得， ， 解得或， ∴点的坐标为； 当点在轴下方时，如图，设直线交轴于点， 同理可得，， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 联立直线与抛物线，得， ， 解得或， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或； 【变式1-1】（25-26九年级下·上海·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点，顶点为． (1)求，的值与顶点的坐标； (2)抛物线（且）过点，，且与x轴另一个交点为，顶点为． ①求的余切值（用含有的代数式表示）； ②如果，求此时点的坐标． 【答案】(1)，， (2)①；② 【分析】（1）用待定系数法求得抛物线的解析式为，再配方成顶点式，得出顶点的坐标； （2）先求得抛物线的解析式为，再令，解得点的坐标为，最后根据余切的定义求解即可； （3）先求得点的坐标为，设抛物线的对称轴与轴交于点，则，，可得；设抛物线的对称轴与轴交于点，则点的横坐标，纵坐标，得出， 结合点的坐标为和正切的定义再求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点和， ∴将点代入方程，即，得， 将点及代入方程，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； ， ∴顶点的坐标为； （2）解：①∵抛物线过点和，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为， 令，则， 即， 解得， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， 如图，在中，， ； ②由（1）知，抛物线的对称轴为直线，顶点， 令，得，解得， ∴点的坐标为． 如图，设抛物线的对称轴与轴交于点，则，连接、， 在中，， ， ， ， 如图，设抛物线的对称轴与轴交于点，连接、， 则点的横坐标，纵坐标， ； ∵点的坐标为， ， 在中，， ∴，即， 解得或， ， ， 当时，顶点的坐标为：横坐标，纵坐标， ∴点的坐标为． 【变式1-2】（2026·四川内江·二模）如图，抛物线与x轴交于点，，交y轴于点C，直线与抛物线交于点M． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在点P，使，若存在求出点P的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）先求出点，根据点，求出，分两种情况：当点P在x轴上方时，当P在x轴下方时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：将，分别代入得： ， 解得：，， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：存在； 把代入得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点P在x轴上方时，过点P作轴于点H，如图所示： 则， 设 ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴此时点P的坐标为； 当P在x轴下方时，过点P作轴于点G，如图所示： 则， 设 ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴此时点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或． 【变式1-3】（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为．其中，． (1)直接写出该抛物线的解析式； (2)如图2，连接，在第三象限内抛物线上找点，使，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数综合—角度问题，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设抛物线的解析式为，将代入解析式计算得出，即可得解； （2）先求出，结合题意可得，作轴于，设，则，求出，，再由正切的定义计算即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， 将代入解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令，则， 解得：，， ∴， 当时，， ∴， ∴，， ∴， ∵在第三象限内抛物线上找点，使， ∴， 如图，作轴于， 设，则 ∴，， ∴， 整理可得：， 解得：或（不符合题意）， 经检验，是所列分式方程的解且符合题意，此时， ∴． 【变式1-4】（2025·西藏·中考真题）已知抛物线过点，，与轴交于点．点是轴正半轴上的动点，点是抛物线在第四象限图象上的动点，连接，，且交轴于点，交于点． (1)当时，求抛物线的解析式； (2)如图1，在（1）的条件下，若，求直线的解析式； (3)要使得成立，请探索的取值范围（直接写出结果）； (4)如图2，，当为何值时，的长度等于1？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次函数综合问题，角度问题，正切的定义，等腰三角形的性质与判定； （1）当时，二次函数的图象与轴交于，设二次函数的交点式为，展开后得到求解即可得到答案； （2）根据解析式求得点，进而勾股定理求得，作的角平分线交轴于点，则，，进而得出，根据角平分线的定义得出，求得，进而可得，从而求得点的坐标，待定系数法求解析式，即可求解． （3）先找到临界值，当时，，此时得出重合，根据题意可得是第四象限的点，则当时，即可求解； （4）根据题意得出是等腰直角三角形，进而根据已知得出，取得出是等腰直角三角形，进而求得，即可得出的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：当时，二次函数的图象与轴交于， ∴设二次函数的交点式为， ，， ∴， 解得， ∴函数的解析式为； （2）解：对于二次函数， 令，可得，则点的坐标为，则 ∵， ∴， ∵ ∴， 如图，作的角平分线交轴于点，则， ∴， 设到的距离为，则， ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵，则， ∴． ∴． 设直线的解析式为，代入， ∴， 解得：， ∴直线的解析式． （3）解：当时，， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴，则重合，重合， 又∵是第四象限的点， ∴当时，则，． ∴要使得成立， 的取值范围为； （4）解：∵， ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． 在中，． 如图所示，取． ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． ∴． ∴． 即． 【变式1-5】（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，平面直角坐标系中，，把绕点顺时针旋转得到． (1)直接写出点和点的坐标； (2)抛物线过、、三个点，求抛物线的解析式； (3)若抛物线上一点，在上方，满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查坐标与图形变换，二次函数的综合，待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点．． （1）根据题意得到点C对应点B，点D对应点A，得到，即可求出； （2）根据题意设抛物线的解析式为把代入解析式，计算即可； （3）根据题意得到，设点P坐标，过点P作轴于点E，则，得到，即，代入计算求解即可． 【详解】（1）解：∵绕点顺时针旋转得到． ∴点C对应点B，点D对应点A， ∵ ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴设抛物线的解析式为 把代入解析式，得， 解得， ∴； （3）解：在中，， ， ∵点P在抛物线上， ∴设点P坐标为， 过点P作轴于点E，则， ∴， ∵， ∴， 即， ， ， 或， 解得或或（舍）， 代入点P坐标， 解得点P坐标或． 专题八 二次函数: 二倍角和半角问题 【例1】（2026·四川巴中·期末）如图，抛物线（）与轴交于、两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点为抛物线在第二象限内的动点，求面积的最大值； (3)在第二象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可； （2）由题意易得，连接，设，其中，然后根据割补法得到的面积，进而根据二次函数的性质进行求解即可； （3）过点作，交于点，过点作，取的中点，连接，过点作，过点作，由题意易得，，，然后可得，进而根据三角函数及勾股定理可进行求解． 【详解】（1）解：∵抛物线（）与轴交于、两点， ∴，解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：由（1）可知：抛物线的表达式为， ∴令时，则有，即， 连接，设，其中， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为； （3）解：存在点，使得， ∵，，， ∴， ∴，， 过点作，交于点，过点作，取的中点，连接，过点作，过点作，如图所示： ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为，则有， ∴， ∴的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为，把点代入得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：或（不符合题意，舍去）， ∴． 【变式1-1】（2026·甘肃平凉·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象与轴交于，两点，交轴于点． (1)求二次函数的解析式． (2)在轴上方的抛物线上找一点，作射线，使，是线段上的一动点，过点作轴，垂足为，连接，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入，求出k即可； （2）在上取点D，使，则，先求出长度，进而作点B关于直线对称点E，连接交于点F，过E作轴于点G，易得，所以解即可得解． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得， ； （2)解：如图，在上取点D，使，则， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ， 作点B关于直线对称的点E，连接交于点F，连接，过点E作轴于点G， 则， ， 当且仅当E，M，N三点共线时，的最小值为， ， ，即， ， ， ， ， ，即， ， 的最小值为． 【点睛】在二次函数中，一般处理二倍角问题可以构造等腰三角形利用外角性质找小角的二倍． 【变式1-2】（2026·山东烟台·一模）如图，抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，作直线． (1)求抛物线的表达式； (2)若在直线上存在一点，使，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把，分别代入抛物线，确定解析式即可； （2）作点关于y轴的对称点M，根据题意，得，， 故，过点A作，交于点，， 解答即可． 【详解】（1）解：把，分别代入抛物线，得 解得， 抛物线的解析式为. （2）解：作点关于y轴的对称点M， 根据题意，得，， 故， 过点A作，交于点， ∴， ∴， 设直线的解析式为，将代入解析式， 得：， 解得， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为， ∴ ， 解得， ∴直线的解析式为：， ∴， 解得， 故； 【变式1-3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点且与轴的正半轴交于点． (1)求的值及抛物线的解析式． (2)如图①，若点为直线AC上方抛物线上一动点，当时，点的坐标为______; 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点的坐标直接代入直线解析式可得出的值；再求出点的坐标，将，的坐标代入抛物线解析式，即可得出结论； （2）由（1）可得，则，设，可表达点的坐标，代入抛物线的解析式即可得出结论； 【详解】（1）解：直线与轴交于点， ， ， 直线的表达式为； 当时，， 点的坐标为， 将点的坐标为，点的坐标为，代入， 得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）如图，过点作轴交抛物线于点，过点作的垂线，垂足为， 轴， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 的坐标为， 将点的坐标代入解析式可得，， 解得或（舍去） 的坐标为； 【变式1-4】（2024·山东淄博·二模）如图，抛物线交x轴于、两点，交y轴于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一点，设P点的横坐标为m．请直接写出使的点P的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或． 【分析】（1）将、两点坐标代入抛物线，列出关于a和b的方程组求解即可；（2）如图，过点B作的角平分线分别交y轴、抛物线于点M、P，在x轴的下方作，设点M的坐标为，求出点M的坐标，得出直线的解析式，联立方程，求出点P的坐标，同理可得点． 【详解】（1）解：将、两点坐标代入抛物线解析式， 可得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如图，过点B作的角平分线分别交y轴、抛物线于点M、P，过作交于，在x轴的下方作，设点M的坐标为， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即， 解得， ∴点M的坐标为， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴点P的坐标为， 由作图可知，M与点N关于x轴对称， ∴点N的坐标为， 同理可得点的坐标为， 综上点P的坐标为或． 【变式1-5】（2026·天津西青·二模）已知抛物线（是常数且）与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，其顶点为，是坐标原点． (1)若， ①求该抛物线的顶点和点，的坐标； ②抛物线上一点在直线下方，其横坐标为，过点作直线，当直线与直线之间的距离取得最大值时，求点的坐标． (2)当取得最小值时，该抛物线上存在一点，满足，求点的坐标． 【答案】(1)①顶点坐标为，点的坐标为，点的坐标为；② (2)或 【分析】（1）①把代入求出抛物线的表达式，然后配方出顶点坐标，再分别令求出与坐标轴的交点； ②过点作，轴，交于点，得到是等腰直角三角形，那么将的最大值转化为的最大值求解即可； （2）同①可得，，，，直线的解析式为，可求点，作点关于轴的对称点，有．则，即点，，在一条直线上时，取得最小值，将点代入求出，求出抛物线解析式，取点，连接，然后证明． 当点在直线下方时，可知；当点在直线上方时，设与轴相交于点，可得，则，再求出直线的不等式与抛物线的表达式联立求解即可． 【详解】（1）解：①当时，抛物线解析式为． 由，知抛物线的顶点坐标为． 当时，． 解得，． ∴点的坐标为． 当时，． ∴点的坐标为． ②过点作，轴，交于点． ，， ． ， ． 轴， ． ． 在中，有． ． ∴当取最大值时，直线与直线之间的距离取得最大值． 设直线 由，得， 解得 ∴直线的解析式为． ． ∵点在抛物线上， ． ． ∵， ∴当时，取得最大值．此时点的坐标是． （2）解：同①可得，，，，直线的解析式为． 由可知，点． 作点关于轴的对称点，有． ，即点，，在一条直线上时，取得最小值， ∴将点代入得，． 解得（舍去），． ∴抛物线解析式为． ∴点，． ． 取点，连接， 由，可知垂直平分． ． ．即． ． 当点在直线下方时，可知． 由点，，同理可求直线的解析式为． ∴设直线的解析式为． 把点代入可解得． ∴直线的解析式为． 当时， 解得（与点重合，不合题意舍去），． ∴点的坐标为． 当点在直线上方时，设与轴相交于点． 由，，可知． 又，， ∴． ∴． ． ∴同理可求直线的解析式为． 当时， 解得（与点重合，不合题意舍去），． ∴点的坐标为． 综上，满足条件的点的坐标为或． 【例2】（2024·山东临沂·一模）抛物线过点，与y轴交于点C．对称轴与x轴交于点D． (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)如图，连接、，在直线上方的抛物线上找点P，使得，求出P点的坐标． 【答案】(1)， (2)点P坐标为 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）过点B作交延长线于点E，可证，则可求点E坐标，然后求直线的解析式，联立方程组，解方程组即可求点P的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， 对称轴为直线， ∴对称轴与x 轴的交点D坐标为． （2）解：过点B作交延长线于点E， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴点E坐标为， 设直线解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线解析式为， 联立方程组， 解得， ∴点P坐标为． 【变式2-1】(25-26九年级下·福建泉州·专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为且图象经过点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，连接，，若抛物线上存在点，满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或． 【分析】（1）将点和点坐标代入求解即可； （2）分两种情况讨论，当点E在上方的抛物线上，当点E在下方的抛物线上，画出图形，根据∠分情况求解即可． 【详解】（1）解：由条件可得， 解得， 抛物线； （2）解：当点E在上方的抛物线上，如图， 当时，， 则， 设直线表达式为，则由题意得： ， 解得： ∴直线表达式为， 由条件可知， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：（舍去）或， ∴点的坐标为； 当点E在下方的抛物线上，如图，设交于点G， 由条件可知， 设，则， 解得， 则， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为，联立， 解得（舍去）或， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 【变式2-1】（25-26九年级下·安徽安庆·开学考试）如图，二次函数的图象与轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与轴交于点，二次函数图象的顶点为． (1)若，求顶点的坐标及线段的长； (2)连接，，，若，求点的坐标． 【答案】(1)D的坐标为， (2) 【分析】（1）当时，抛物线的表达式为：，则抛物线的顶点坐标为：，令，则或 5 ，即可求解； （2）求出直线的表达式，的表达式，得到直线的表达式，求出，进而求解． 【详解】（1）解：当时，抛物线的解析式为， 则抛物线顶点的坐标为， 令，则或， ，， ． （2）解：由题意，得点，，，的坐标分别为，，，， 设直线的解析式为，直线的解析式为， 则，， 解得：，， 直线的解析式为，直线的解析式为， 如图，过点作交的延长线于点，垂足为， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 令，解得， ． ，， ∴， ∴， 是的中点， ． 点在直线上， ， 解得：（舍去）或， ． 【变式2-3】（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过A、C两点，与轴的另一交点为点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点为直线上方抛物线上一动点； ①过点作轴，交直线AC于点，作轴．交直线于点，求周长的最大值； ②过点作，垂足为点，连接，是否存在点，使得中的某个角恰好等于的2倍？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②-2或 【分析】（1）先求出点A，C的坐标，再利用待定系数法解答即可； （2）①设点，则，，可得，，再由，可得，然后周长为，结合二次函数的性质解答即可；②根据勾股定理的逆定理得到是以为直角的直角三角形，取的中点，求得，得到，过作轴的平行线交轴于，交的延长线于，情况一：，情况二，，解直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴，， 抛物线经过、两点， ， ，， ∴抛物线解析式为； （2）解：①如图， 设点， ∵轴，轴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴周长为 ， ∵， ∴当时，周长最大，最大值为； ②对于， 当时，， 解得：， ∴， ∵，， ，，， ， ∴是以为直角的直角三角形， 取的中点， ∴， ， ，， ， 过点作轴的平行线交轴于，交的延长线于，则， 设， ，， 分以下两种情况： 情况一：当时，如图2， ∵， ， ， 即， ∴， （舍去），， ， 情况二：当时， ， 设， ，， ∵， ， ，， ∵，， ，， ∴， ， （舍去），， 综上所述：点的横坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，三角函数，解直角三角形，勾股定理等知识点． 【变式2-4】（25-26九年级上·湖南常德·期末）已知二次函数，其图象过点． (1)求二次函数的解析式 ； (2)当时，求二次函数的最大值； (3)将抛物线向下平移个单位后，如图所示与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，连接，抛物线上存在点Q，使得．请求出直线的解析式． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的性质及平移，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据待定系数法求出解析式，再根据对称轴公式即可得出答案； （2）求出抛物线的对称轴为直线，可得当时，y随x的增大而减小，即可得出答案； （3）分两种情况：当点在轴下方的抛物线上时；当点在轴上方的抛物线上时；先画出图形再根据二次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：将点代入得： ， 解得：， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y的值最大，为 即当时，二次函数的最大值为； （3）解：由已知可得二次函数解析式为：， 则点，点，， 当点在轴下方的抛物线上时，在的延长线上取一点，使，连接，若与抛物线有交点，设与抛物线交于点，过点作轴于轴于， ， ， ， 轴， ， ， ， ， ， ， ， 设的解析式为：， ， 解得：， 的解析式为：， 当点在轴上方的抛物线上时，延长到，使，连接并延长交轴于，若与抛物线有交点， 设交抛物线于点， 轴，， ， 同理可得，直线的解析式为：， 综上所述直线的解析式为：和． 【变式2-5】（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）综合与探究 抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，当时，．P是抛物线上一个动点（不与点A，B，C重合），其横坐标为t，连接AC，BC． (1)如图①，求抛物线的解析式； (2)如图②，点P在直线上方时，连接与交于点Q． ①若，则t的值为______； ②求的最大值； (3)当时，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)①2；②最大值 (3)或 【分析】（1）先根据当时，，得出抛物线与x轴的两个交点坐标为，，然后代入求出抛物线的解析式即可； （2）①过点Q作于点D，根据，得出，证明，得出，求出，待定系数法求出直线的解析式为，联立，求出点P的坐标为，即可得出答案； ②过点P作轴，交于点M，过点A作轴，交的延长线于点N，证明，得出，求出直线的解析式为，求出，，得出，根据二次函数的性质，求出最值即可； （3）当在下方时，当在上方时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵当时，， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为，， 把，代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①过点Q作于点D，如图所示： 则， 把代入得：， ∴点C的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：，， ∴此时点P的坐标为，即； ②过点P作轴，交于点M，过点A作轴，交的延长线于点N，如图所示： 则， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，最大，且最大值为； （3）解：∵，， ∴， 当在下方时，过点A作于点D，过点D作轴于点E，过点C作，交的延长线于点F，如图所示： 则， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴设，则，， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为，把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：，， ∴此时点P的坐标为； 当在上方时，取点关于y轴的对称点，过点作于点D，过点D作轴于点E，过点C作，交的延长线于点F，如图所示： 则， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 根据轴对称可得：， ∵， ∴， ∴， 即， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴设，则，， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为，把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：，， ∴此时点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或． 专题九 二次函数: 特殊四边形问题 1. 二次函数: 平行四边形问题 【例1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知抛物线L：与x轴交于两点，抛物线与L关于y轴对称． (1)求抛物线L的解析式； (2)M为抛物线L上一点，过点M作轴交于点N，若以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）直接写出交点式即可得出结果； （2）根据对称性求出抛物线的解析式，分四边形为平行四边形和四边形为平行四边形两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线L：与x轴交于两点， ∴； （2）解：∵抛物线与L关于y轴对称， ∴抛物线与x轴交于两点， ∴抛物线的解析式为， 设， ∵轴交于点N， ∴设， ∴当以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，分2种情况讨论： ①当四边形为平行四边形时，则， ∴， ∴， ∴， ∴，解得， ∴； ②当四边形为平行四边形时，则， ∴， ∴， ∴， ∴，解得， ∴； 综上：或． 【变式1-1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线、为常数．且经过点，交轴于点、在的左侧），其顶点的横坐标为2． (1)求抛物线的函数表达式； (2)将抛物线向左平移2个单位长度后得到抛物线，为抛物线上的动点，点为抛物线的对称轴上的动点，请问是否存在以、、、为顶点且以为边的四边形是平行四边形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，的坐标为或． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，平行四边形性质及应用，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为； （2）求出，抛物线的解析式为，设，，以为边的四边形是平行四边形分两种情况：①以，为对角线，则，中点重合，，②以，为对角线，，解方程组可得答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：存在以、、、为顶点且以为边的四边形是平行四边形，理由如下： 在中，令得， 解得或， ， 把抛物线向左平移2个单位长度后得到抛物线的解析式为； 由抛物线顶点的横坐标为2知其对称轴为直线， 设，， 又， ①以，为对角线，则，中点重合， ， 解得， ； ②以，为对角线，则，的中点重合， ， 解得， ； 综上所述，的坐标为或． 【变式1-2】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)该抛物线的对称轴上有一点，是否在该抛物线上存在一点，使得以点为顶点的四边形是以为边的平行四边形．如果存在，求出所有符合条件的点的坐标．如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线的对称轴，再设，然后根据平行四边形得到，则，据此列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与直线交于点 ∴ 解得 ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：存在， 对于抛物线，可得对称轴为直线， 设 ∵点为顶点的四边形是以为边的平行四边形 ∴， ∴ ∴ 解得或 ∴或． 【变式1-3】26·陕西·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴负半轴交于点，且． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点在该二次函数的图象上，点在其图象的对称轴上，且以，，，为顶点的四边形是以为边的平行四边形，求点的坐标． 【答案】(1)这个二次函数的表达式为； (2)点的坐标为或． 【分析】（1）由已知可得，，代入，可得，，即可得这个二次函数的表达式； （2）的对称轴为直线，设点，，根据题意进行分类讨论，由平行四边形的对角线互相平分，可得两条对角线中点横坐标相等，可得，即可得点的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， 解得， ∴这个二次函数的表达式为． （2）解：的对称轴为直线，即， 设点，， 若四边形为平行四边形，连接，，则与互相平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 若四边形为平行四边形，连接，，则与互相平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为或． 【变式1-4】（2026·陕西商洛·二模）已知抛物线与轴交于，两点． (1)求，的值； (2)若抛物线与抛物线关于轴对称，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，则在抛物线或上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)符合条件的点坐标为或 【分析】（1）将点代入求解即可； （2）先求解抛物线的函数表达式，再分类当为边时，与当为对角线时这两种情况，作图求解坐标即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点， ，解得， 即； （2）解：存在，        由（1）得抛物线， 抛物线与抛物线关于轴对称， 抛物线与抛物线上对应点的横坐标相反，纵坐标相等， ， 抛物线的函数表达式为， 令，解得，， 点在点左侧， ，， 当时，，          以点，，，为顶点的四边形为平行四边形， ①当为边时，有，且， ， 如答案图①，当点在抛物线上时， ， 解得，（舍去）， ，且， 点符合题意；        如答案图②，当点在抛物线上时， 同理， 解得，（舍）， ，且， 点符合题意；        ②当为对角线时，令的中点为， ，，， ， 令， 则，得，，得， 则， 将代入中，得， 将代入中，得， 点不符合题意． 综上所述，符合条件的点坐标为或 【变式1-5】（22-23九年级下·河南郑州·期末）如图，抛物线经过点，与轴的负半轴交于点，与轴交于点，轴，连接，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若点在轴上，且，写出点的坐标； (3)点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或或． 【分析】（1）由题意可得，再由待定系数法求解即可； （2）求出直线，则，可得为等腰直角三角形，那么由得到为等腰直角三角形，即可求解点的坐标； （3）设，，再根据平行四边形的对角线互相平分，结合中点坐标公式求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与轴交于点，轴， ∴ 将点，分别代入，则 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：对于，令，则 解得， ∴ 设直线 则 解得 ∴直线 ∴当时， ∴ ∴，而 ∴ ∵轴， ∴ ∴为等腰直角三角形， ∵ ∴为等腰直角三角形 ∵点在轴上， ∴ ∴或； （3）解：∵点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上， ∴设， ∵， ①当是对角线时，则是对角线， ∴， 解得， ∴； ②当是对角线时，则是对角线， ∴， 解得， ∴； ③当是对角线时，则是对角线， ∴ 解得 ∴， 综上：存在以点为顶点的四边形是平行四边形，或或． 2. 二次函数: 矩形问题 【例1】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线顶点为，与轴交于点和点，连接， (1)求该抛物线的函数表达式． (2)平移线段，使点的对应点在轴上，点的对应点为点．当四边形为矩形时，请探索点是否在该抛物线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)解：点不在该抛物线上，理由如下： 如图，连接， 设点的坐标为， 由平移的性质得：点的坐标为， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 解得：， 此时点的坐标为， 当时，， ∴点不在该抛物线上． 【分析】（1）设该抛物线的函数表达式为，再把点代入，即可求解； （2）连接，设点的坐标为，由平移的性质得：点的坐标为，再由矩形的性质可得，可求出点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点为， ∴可设该抛物线的函数表达式为， 把点代入得：， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）略 【变式1-1】（25-26九年级上·四川眉山·期中）如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数与几何图形，矩形的性质，勾股定理， 对于（1），直接将点代入关系式，求出方程组的解即可； 对于（2），先根据面积之间的关系求出点E的横坐标为1，再代入关系式即可； 对于（3），先求出对称轴为，再设点，然后分三种情况：以为矩形的对角线时，以为矩形的边时，若以为矩形的对角线时，根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：将点代入关系式， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； （2）解：如图， ∵，且， ∴， ∴． ∵点A，B关于对称轴对称， ∴点E的横坐标为1，此时， 即点； （3）解：∵抛物线， ∴对称轴为， 设点， 如图，以为矩形的对角线， 由中点的坐标可知， 解得． ∵， ∴， ∴， 解得或4， ∴点或； 如图，以为矩形的边时， 由中点的坐标公式，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点； 若以为矩形的对角线时， 由中点的坐标公式，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点， 综上所述，点P的坐标为或或或． 【变式1-2】（24-25九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，点，在线段上，分别过点，作轴的垂线，交抛物线于，两点． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)当四边形为正方形时，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解决本题的关键． （1）将点代入抛物线中求出解析式为； （2）设，进而求得E点坐标为，代入中即可求解． 【详解】（1）将点代入抛物线中，得 解得， ∴抛物线解析式为； （2）设、分别与轴交于点M和点N， 当四边形为正方形时，设，则，， ∴E点坐标为，代入抛物线中， 得到：， 解得，（负值舍去）， ∴． 【变式1-3】（2024·西藏·模拟预测）如图，直线与轴、轴分别交于两点，抛物线经过A、B两点，并与轴交于另一点． (1)求此抛物线的函数解析式； (2)在抛物线及其对称轴上分别取点，使得以为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一次函数的解析式求出A、B坐标，代入抛物线的解析式即可求出a、k，进而得到答案； （2）作出图象，可知以为顶点的四边形为正方形时，和分别为对角线，利用对称性和勾股定理即可求解． 本题考查了一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、勾股定理解三角形、正方形的性质等，作出合理的辅助线是解题关键． 【详解】（1）解：直线与轴、轴分别交于两点， 当时，； 当时，． 抛物线经过点， ∴，解得， ， 即抛物线的函数解析式为； （2）解：如图2， 由正方形的性质可知，且平分， 易求， ， 解得， 即正方形的边长为． 【变式1-4】（25-26九年级上·浙江·单元复习）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点A在y轴的左侧，点C在x轴的下方，且． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)点P为抛物线对称轴上的一动点，当的值最小时，求点P的坐标； (3)在（2）条件下，点E为抛物线的对称轴上的动点，点F为抛物线上的动点，以点P、E、F、M为顶点作四边形，当四边形为正方形时，请直接写出坐标为整数的点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）由题意，可得．把点A， C的坐标代入，得到关于b ， c的二元一次方程组，解方程组即可求出抛物线的函数解析式； （2）利用配方法求出抛物线的对称轴是直线．由抛物线与轴交于点A， B，得出点A， B关于直线对称．连接，交对称轴于点，根据两点之间线段最短可知此时的值最小．利用待定系数法求出直线的解析式为，把代入，求出，进而得出点的坐标； （3）在（2）条件下，点的坐标为．设，根据正方形的性质可得，根据两点间的距离公式列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意，可得． ∵抛物线过点A，点C， ∴， 解得， ∴抛物线对应的函数解析式为； （2）解：∵， ∴对称轴是直线． ∵抛物线与x轴交于点A，B， ∴点A，B关于直线对称． 连接，交对称轴于点P，此时的值最小． 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：在（2）条件下，点P的坐标为． 设， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴，或， 整理得，或， 解得， ∴或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求抛物线与直线的解析式，二次函数的性质，轴对称的性质，正方形的性质，综合性较强，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键． 【变式1-5】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，抛物线的图象经过，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)点的坐标为或，当点的坐标为时，原抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度；当点的坐标为时，原抛物线向左平移1个单位长度． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可 （2）设，分三种情况讨论：①以为对角线时，由，求出m的值，再由中点坐标公式，求得，则平移的方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度；②以为对角线时，点P在x轴上，则，从而求得，则平移的方向为向左平移1个单位长度；③以为对角线时，矩形不存在 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，点的平移性质是解题的关键 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，． 将，代入， 得解得 抛物线的表达式为， ， 顶点的坐标为； （2）存在． 如图，设． ①以为对角线． 此时，，， ， 即，解得． ，为矩形的对角线，由中点坐标公式，得， 平移的方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度． ②以为对角线． ，点在轴上，，则， 平移的方向为向左平移1个单位长度． ③以为对角线时，矩形不存在． 综上所述，点的坐标为或，当点的坐标为时， 原抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度； 当点的坐标为时，原抛物线向左平移1个单位长度． 3. 二次函数: 菱形问题 【例1】（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求A、B，C三点的坐标． (2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在；或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数图象和性质、菱形的性质，熟练掌握菱形的性质和待定系数法是解题的关键． （1）分别令，，即可求出三点的坐标； （2）根据三点的坐标求直线的函数表达式，根据直线的表达式设点D的坐标为，然后分为四边形是菱形和四边形是菱形两种情况分别讨论即可． 【详解】（1）解：对于来说， 当时 ，； 故点， 当时，有， 解得：， ∴，； （2）解：存在： 设直线的表达式为：； 将，代入得： ， 解得： 故直线的表达式为： ； 设点D的坐标为，其中， ∵，， ∴，，， ∵， ∴当时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形， 分两种情况： 如图，当时，四边形为菱形， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴点D的坐标为， ∵点D向左移动2个单位长度，向下移动6个单位长度得到点E， ∴点E的坐标为； 如图，当时，四边形为菱形， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴点D的坐标为， ∵点D向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E， ∴点E的坐标为； 综上，存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为或； 【变式1-1】（24-25九年级上·重庆永川·阶段检测）如图，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方的抛物线上一个动点，求四边形面积的最大值及此时P点的坐标； (3)点F是直线l上一点，点G是平面内一点，是否存在以为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值为9，此时点P的坐标为； (3)或或或 【分析】1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）连接，设点P的坐标为，再由四边形面积，结合二次函数的性质解答，即可求解； （3）设点F的坐标为，分两种情况： 当为边，为对角线时，；当为边，为对角线时，，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点， ∴， 当时，， ∴点， ∴， 如图，连接， 设点P的坐标为， ∴四边形面积 ， ∵， ∴当时，四边形面积最大，最大值为9， 此时点P的坐标为； （3）解：∵点， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点F的坐标为， 当为边，为对角线时，， 即， ∴， 解得：， ∴点F的坐标为或； 当为边，为对角线时，， 即， ∴， 解得：， ∴点F的坐标为或； 综上所述，点F的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数与坐标轴的交点、面积的计算，菱形的性质，勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 【变式1-2】（25-26九年级上·广东清远·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，且当和时所对应的函数值相等．一次函数与二次函数的图象分别交于B，C两点，点在第一象限． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，，试判断的形状，并说明理由； (3)点是线段的中点，二次函数的图象上是否存在点，使得四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据当和时所对应的函数值相等，可得，根据待定系数法，可得函数解析式； （2）联立抛物线与直线，可得方程组，根据解方程组，可得B、C点坐标，根据勾股定理的逆定理求解即可； （3）首先得到，然后得到当四边形是平行四边形时，四边形是菱形，求出，设点N的横坐标为n，然后根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）∵当和时所对应的函数值相等 ∴对称轴为直线 ∴ ∴ 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如图所示，连接，， 联立抛物线与直线，得， 解得或， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）如图所示， 由（2）得， ∴ ∵点是线段的中点， ∴， ∴当四边形是平行四边形时，四边形是菱形 ∵，， ∴，即， 设点N的横坐标为n， ∵ ∴ ∴ ∴将代入 ∴． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用了待定系数法求函数解析式，菱形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理和逆定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式1-3】（25-26九年级上·全国·期末）综合运用：如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点C，二次函数的图象经过A，C两点，并与x轴交于点．点是线段上一个动点（不与点O，A重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点E和点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)用含m的代数式表示，； (3)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)或或 【分析】本题考查待定系数法求解析式，两点间距离公式，菱形的性质，综合运用相关知识是解题的关键． （1）分别把，代入一次函数，求出点C，点A的坐标，将点A，C的坐标代入抛物线，求出b，c的值，即可解答； （2）由题意可得点M，E，D的横坐标相同，因此得到点，点，根据两点间距离公式即可解答； （3）根据菱形的邻边相等分三种情况：①；②；③求解即可． 【详解】（1）解：将代入一次函数，得， 点C的坐标为， 将代入一次函数，得，解得， 点A的坐标为， 将点A，C的坐标代入抛物线， 得，解得， 这个二次函数的解析式为． （2）解：∵过点作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点E和点， 点，点， ， （3）存在．如图，以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形时，分以下三种情况： 由（）可得，点，，， ， ， ， ①当时，， 解得，（舍去），（舍去）， 此时点M的坐标为； ②当时，， 解得，舍去， 此时点M的坐标为； ③当时，， 解得，（舍去），（舍去）， 此时点M的坐标为． 综上所述，存在满足题意的点F，此时点M的坐标为或或． 【变式1-4】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于，两点，与y轴交于点C，点为y轴上的动点，点P是第一象限抛物线上的动点，分别将点B、P绕点M旋转得到、，顺次连接得到四边形． (1)若点，求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标； (2)当点P与抛物线的顶点重合时，探究满足什么条件时，存在点M，使得四边形为菱形？请说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数综合，菱形的性质，切线的性质，两点间距离计算公式，求二次函数解析式等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求出对应的函数解析式，再把解析式化为顶点式求出顶点坐标即可； （2）可求出对称轴为直线，则，进而可得，则可求出抛物线的顶点坐标为；取中点H，则，由菱形的性质得到，则点M在以H为圆心，的长为半径的圆上运动，故当与y轴有交点时，存在M使得四边形为菱形，求出当与y轴相切时，a的值即可得到答案． 【详解】（1）解：把，，代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：，理由如下： ∵抛物线与x轴相交于，两点， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， 把代入中得：， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 在中，当时，， ∴抛物线的顶点坐标为； 如图所示，取中点H，则， ∵四边形为菱形， ∴， 得三点共线，三点共线， ∴； ∴点M在以H为圆心，的长为半径的圆上运动， ∴当与y轴有交点时，存在M使得四边形为菱形， 当与y轴相切时，此时轴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴当时，与y轴有交点，即此时存在M使得四边形为菱形． 【变式1-5】（23-24九年级上·重庆南岸·期末）如图，已知抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若抛物线的顶点为P，Q是该抛物线对称轴上一点，在平面内确定一点R，使得以点C，R，P，Q为顶点的四边形是菱形，求点R的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】（1）根据点和，利用待定系数法求解即可得； （2）先求出点，再设点的坐标为，然后分三种情况：①当为菱形的对角线，时；②当为菱形的对角线，时；③当为菱形的对角线，时，根据菱形的性质求解即可得． 【详解】（1）解：将点和代入得：， 解得， 则抛物线的函数解析式为． （2）解：， 则此二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线， 可设点的坐标为， ，，， ①如图1，当为菱形的对角线，时， ，即， 解得， 或， 由菱形的性质可知，， ， ∴当点的坐标为时，， 当点的坐标为时，； ②如图2，当为菱形的对角线，时， ，即， 解得或（此时点与点重合，舍去）， ， 设此时点的坐标为， ∵菱形的对角线互相平分， ∴，解， ∴此时点的坐标为； ③如图3，当为菱形的对角线，时， ，即， 解得， ，， 由菱形的性质可知，， ， ，即， 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、菱形的性质等知识，本题的关键在于利用分类讨论思想解决问题． 专题十 二次函数: 面积最值问题 【例1】(23-24九年级下·云南曲靖·期中）如图，抛物线与轴相交于，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点为抛物线上第一象限内一动点，当面积最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，，过点P作轴交于H，先求得直线的表达式为，设，则，，可得，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于，与轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式是； （2）解：如图，连接，，过点P作轴交于H， 设直线的表达式为， 将，代入，得，解 得， ∴直线的表达式为， 设，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，最大，此时， ∴当面积最大时，点的坐标为． 【变式1-1】（2026·河南周口·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上第一象限内的动点，连接，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)面积最大值为 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可； （2）过点作轴的垂线，交于点，先求出直线的解析式，令点的坐标为，则，可求出，再根据，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：将，两点代入， 则， 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作轴的垂线，交于点， 将代入，则， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值． 【变式1-2】（24-25九年级上·甘肃陇南·期末）如图，二次函数的图象和轴交点，，和轴交点，点是直线上方抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)点运动到什么位置时，的面积最大，求出此时点坐标和的最大面积． 【答案】(1)； (2)当的坐标为时，最大面积为8 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数综合—面积问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）取直线上方抛物线上一点，连接，构成，待定系数法求出直线的表达式为，过作轴，交于， 则，设，则，表示出，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象和轴交点为，， 设二次函数的解析式为， ∵二次函数和轴交点， ， ， ∴二次函数解析式为； （2）解：取直线上方抛物线上一点，连接，构成， ， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得：， 直线的表达式为， 过作轴，交于， 则， 设，则， ，， 则 ，， 当时，取最大值8 把代入，解得 所以当的坐标为时，最大面积为8． 【变式1-3】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交，两点（点在左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求经过、两点的直线解析式； (3)若点为直线上方拋物线上的一个动点：根据你的经验，请判断的面积是否有最大值？如果有最大值，求出此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)有最大值；此时点的坐标为 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，一次函数解析式的求法，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将，代入待定系数法求解析式，即可求解； （2）令，求得点的坐标，进而待定系数法求一次函数解析式，即可求解； （3）过点作轴垂线，垂足为，交于点，设，则，求得，进而根据三角形的面积公式列出函数关系式，根据二次函数的性质求得面积的最大值，进而求得点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：当时，有， 解得：， 点在点左侧， 点的坐标为． 设过，两点的直线解析式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为． （3）解：有最大值； 如图，过点作轴垂线，垂足为，交于点， 设，则 又：点在上方 当时，最大， 的纵坐标为：， 此时点的坐标为； 【变式1-4】（25-26八年级下·福建福州·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于，两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出点的坐标和面积的最大值．若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在使得面积最大，最大为 【分析】（1）根据题意可知，将点、代入函数解析式，列出方程组即可求得、的值； （2）设点的坐标，将的面积表示成二次函数，根据二次函数最值的方法即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：将，代入中得， ． 抛物线解析式为：； （2）解：设，连接， ， ， ∵， 当时，最大， 当时，， 点坐标为， ∴存在使得面积最大，最大为． 【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，要注意距离最短问题的求解关键是点的确定，还要注意面积的求解可以借助于图形的分割与拼凑，特别是要注意数形结合． 【变式1-5】（2025·安徽蚌埠·三模）在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，抛物线经过点，，． (1)求a，b，c的值． (2)若P 是第一象限内抛物线上的一点． ①如图1，是否存在点 P，使得以C，P，B为顶点的三角形的面积为？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． ②如图2，连接，相交于点M，连接，当的值最大时，求直线 的函数解析式． 【答案】(1)，， (2)①存在，点的坐标为，点的坐标为；② 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①如图，连接，过点P向x轴作垂线交于点Q．求出直线的函数解析式为；设点P的坐标为，则点 Q 的坐标为，表示出，然后利用得到，进而求解即可； ②根据题意得到当最大时，的值最大，求出，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）∵抛物线经过点，， ∴设抛物线的解析式为 将代入抛物线的解析式中，得， 解得 ∴ ∴，，； （2）①存在点P，使得以 C，P，B为顶点的三角形的面积为 理由如下：如图，连接，过点P向x轴作垂线交于点Q． 设直线的函数解析式为 把，代入得 解得 ∴直线的函数解析式为； 由（1）可知， 设点P的坐标为，则点 Q 的坐标为 解得， ∵ ， ∴存在两点都在第一象限，且满足以 C，P，B为顶点的三角形的面积为， 此时点的坐标为 ，点的坐标为 ； ②∵ ∵的面积是定值 ∴当最大时，的值最大 ∴当点P为抛物线的顶点时，最大 ∴ 设直线的函数解析式为 把，代入，得 解得 ∴直线的函数解析式为． 【点睛】本题考查二次函数的综合运用、解一元二次方程、二次函数的最值问题，面积问题和利用待定系数法求一次函数的解析式，把二次函数解析式化为顶点式求最值，确定点P的坐标是解题的关键． 专题十一 二次函数: 长度和周长最值问题 【例1】（2026·宁夏固原·二模）如图，抛物线交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在对称轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点，点坐标代入解析式可求解； （2）连接，，，设于抛物线对称轴交于 由于A、B关于抛物线对称轴对称，即关于直线对称，即可得到，要使最小，即最小，故当B、P、C三点共线时，最小，即此时P点在的位置，求出直线的解析式，即可得到答案； （3）先求出点坐标，可得，可得，再分点在点 C上方或下方两种情况讨论，由锐角三角函数可求解． 【详解】（1）解：抛物线交轴于点 ，与轴交于点， ， 解得：， 抛物线解析式为：； （2）解：令，即，解得或， ， 如图所示，连接，，，设于抛物线对称轴交于， ∵、分别是抛物线与x轴的两个交点， ∴A、B关于抛物线对称轴对称，即关于直线对称， ∴， ∴， ∴要使最小，即最小， ∴当B、P、C三点共线时，最小，即此时P点在的位置， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴P点坐标为； 【变式1-1】（2024·青海海东·一模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． (1)求此抛物线的函数关系式； (2)在下方的抛物线上有一点N，过点N作直线轴，交于点M，当点N坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？ 【答案】(1) (2)当点的坐标为时，有最大值，最大值为 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可． （2）利用待定系数法求出的解析式，设，则，根据两点之间的距离公式可得出，最后利用二次函数的性质即可求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过、两点，且， ，， 将其分别代入抛物线解析式，得， 解得． 故此抛物线的函数关系式为：； （2）设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 设，则， ， ， 当时，， 把代入抛物线，得点的坐标为， 当点的坐标为时，有最大值，最大值为 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数的解析式，以及两点之间的距离公式，掌握二次函数的性质是解题的关系． 【变式1-2】（24-25九年级上·重庆巫山·期中）如图，二次函数与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．已知点，抛物线的对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，点P是抛物线上一点，在直线下方移动，过点P分别向x轴，y轴作垂线，与交于E，F两点，求的最大值并求出此时点P的坐标； (3)将抛物线沿着射线的方向平移个单位，点M是平移后抛物线对称轴上任意一点，若，直接写出点M的坐标． 【答案】(1)二次函数的表达式为 (2)，此时点P的坐标为 (3)点M的坐标为或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出的坐标，设，将转化为二次函数求最值即可； （3）求出平移后的解析式，进而求出平移后的对称轴，分点在的上方和下方两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过，对称轴为直线， ∴，解得：， ∴； （2）∵点关于直线对称，， ∴， ∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 设， ∵轴，轴， ∴，轴，， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，有最大值为，此时； （3）∵，由（2）知：为等腰直角三角形， ∴将抛物线沿着射线的方向平移个单位，即向右，向上各平移1个单位， ∴新的抛物线的解析式为：， ∴新的抛物线的对称轴为直线， 延长交轴于点， ∵，， ∴①当点在直线上方时，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴同（2）法可得：直线的解析式为：， ∴当时，，即：； ②当点在直线下方时，，则：， ∴， ∴ 同理：直线的解析式为：， ∴当时，，即：； 综上：或． 【变式1-3】（24-25九年级上·安徽铜陵·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于两点，交y轴于点B． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是第一象限内抛物线上的一点，过点P作直线轴于点D，交直线于点E． ①当时，求点E的坐标； ②当取得最大值时，求点P的坐标． 【答案】(1)二次函数解析式为：； (2)①点E的坐标为；②点P的坐标为． 【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数，二次函数解析式，解一元二次方程，二次函数图象的性质求最值的方法，掌握二次函数图象的性质，待定系数法求解析式，二次函数与线段的数量关系是解题的关键． （1）把A，C的坐标代入，运用待定系数法即可求解； （2）①根据二次函数图象的性质可得，运用待定系数法求出直线的解析式，设，则，由此可得，关于p的代数式，根据列式求解即可；②根据，运用二次函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：把A，C的坐标代入得：， 解得，， ∴二次函数解析式为：； （2）解：①由（1）可得二次函数解析式为， ∴令时，， ， 设直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； ∵点P是第一象限内抛物线上点， ∴设， ∵轴交直线于点E， ， ， 当时，， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 当时，， ， ∴当时，点E的坐标为； ②已知， ， ∴当时，有最大值，且最大值为， 此时， ∴点P的坐标为． 【变式1-4】（25-26九年级上·福建泉州·期末）抛物线经过、两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P在抛物线上且位于第一象限，连接、，若的面积为10，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，点Q是抛物线的对称轴上一点，连接、，当最小时，求Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，三角形面积计算，利用轴对称求最短路径问题，掌握二次函数的图象与性质及轴对称的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法，将已知两点坐标代入抛物线解析式，解二元一次方程组即可求出解析式． （2）先计算线段的长度，再根据三角形面积公式求出点的纵坐标，代入抛物线解析式求出横坐标，结合第一象限的条件确定点的坐标． （3）根据抛物线的对称性可知点与点关于对称轴对称，将转化为，当、、三点共线时，最小，求出直线与对称轴的交点即为点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过、， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为 （2）解：∵， ∴ 设点（，） ∵ ∴， 解得 将代入， 得 整理得， 解得或 ∵点在第一象限， ∴点的坐标为 （3）解：抛物线的对称轴为直线 ∵点、关于直线对称 ∴对于对称轴上任意一点，有 ∴当、、三点共线时，的值最小，最小值为线段的长度 设直线的解析式为将、代入解析式 得 解得： ∴直线的解析式为 将代入， 得 ∴点的坐标为 【变式1-5】（2026·重庆北碚·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴相交于点，抛物线的对称轴直线与轴交于点． (1)求抛物线的表达式： (2)点是第一象限内抛物线上一点，连接，，，点，是抛物线对称轴上的动点（点在点上方），且，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及的最大值； 【答案】(1) (2)当的面积最大时，点的坐标为，的最大值为 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）由题意可得，求出直线的解析式为，，过点作，交直线于点，设点，则点的纵坐标为，求出，得到，再由得出当时，的面积最大，为，此时点的坐标为，连接，由抛物线的对称性可得，将点向下平移个单位长度得到点，连接，，则，证明四边形为平行四边形，得出，从而可得，再由勾股定理计算即可得出结果； 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，与轴相交于点，抛物线的对称轴直线， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的对称轴直线与轴交于点， ∴， 设直线的解析式为， 将代入可得， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，令，则， 解得：，， ∴， 如图，过点作，交直线于点， 设点，则点的纵坐标为， 在中，当时，， 解得：， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴时，的面积最大，为，此时， ∴当的面积最大时，点的坐标为， 连接， ∵点，是抛物线对称轴上的动点，且点、点关于对称轴对称， ∴， 将点向下平移个单位长度得到点，连接，，则， 由平移的性质可得：，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴的最大值为； 专题十二 二次函数: 比值、定值问题 【例1】（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为，点C的坐标为，直线l经过B、C两点． (1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标； (2)点P在线段上运动（不与B、C重合），过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N，当时，求点P的坐标； 【答案】(1)，顶点坐标 (2)点P的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式，然后配方成顶点式即可； （2）首先求出直线的解析式为，设，则，，则，，由题意可得方程，求解方程即可． 【详解】（1）解：将点，代入 ∴ 解得 ∴ ∵ ∴顶点坐标； （2）解：设直线的解析式为 将，代入得， 解得 ∴直线的解析式为 如图，设，，则 ∵抛物线对称轴为直线，轴 ∴点M和点N关于对称轴对称 ∴ ∴，， ∵ ∴ ∴或 当时，整理得 解得，（舍去） ∴； 当时，整理得 解得（舍去）， ∴； 综上所述，点P点坐标为或． 【变式1-1】（2024·宁夏吴忠·一模）如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于、两点，其中点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)C为抛物线与y轴的交点，若点P在抛物线上，且，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据、关于对称轴对称，可得点坐标，根据待定系数法，可得答案； （2）根据，可得到的距离是的4倍，可得点的横坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案． 【详解】（1）解：由、关于对称轴对称， 得． 将、点坐标代入函数解析式， 得， 解得， 抛物线的解析式； （2）解：由，得到的距离是的4倍， 即点的横坐标为4或， 当时，， 当时，，即， 综上所述，点P的坐标为或． 【变式1-2】（25-26九年级上·黑龙江七台河·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点和，交y轴于点 C，轴，交抛物线于点 D． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上是否存在一点Q，连接，，使 ，若存在，请直接写出点 Q 的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点Q的横坐标是 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，交点法求三角形的面积，熟练掌握待定系数法，灵活分割表示三角形的面积是解题的关键． （1）根据抛物线交x轴于点和，根据交点式求解析式即可． （2）先求出，得到，，得到，设，过作轴交直线于，则，最后根据，列方程求解即可． 【详解】（1）解：抛物线交x轴于点和， ∴． （2）解：∵令，得． ∴． 当时，，解得， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线解析式为， 设， 过作轴交直线于， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴点Q的横坐标为． 【变式1-3】（23-24九年级上·山东泰安·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，点B的坐标为．抛物线经过A、B两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一点，过点P作垂直x轴于点D，交线段于点E，使．求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件求出，，根据待定系数法求解即可； （2）先求出的解析式，然后表示出，，根据即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴，即 ∴， ∴， 把代入得： ， 解得：  ， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图， 设的解析式为：， ∵,， 所以， 解得， 所以的解析式为：， 设， 则， ∵， ∴ ， 解得：（舍） 或， ∴. 【变式1-4】（2026·广东珠海·三模）如图，抛物线与直线交x轴、y轴于B、C两点，与x轴的另一个交点为A，M是直线上方抛物线上的一动点，轴于点D，交于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)若，求点D的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2) 【分析】（1）先由直线求出与坐标轴的交点、，再代入抛物线方程解得，得解析式； （2）设，则，，由得，解得，故． 【详解】（1）解：抛物线与直线交x轴、y轴于B、C两点， 当时，， ， 当时，， ，， 将、代入， 得：，解得， 抛物线的解析式为； （2）M是直线上方抛物线上的一动点，轴于点D，交于点E． 可设点，则点，点，， ， 当时，， 解得（不合题意，舍去）， ． 【变式1-5】（2026·福建福州·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线交抛物线的对称轴于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若点在轴下方的抛物线上运动，直线，分别交抛物线的对称轴于点，，当点，均在点的下方时，试判断是否为定值？若是，求这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是定值，且 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，进而求出点坐标，设，求出的坐标，进而求出的长，计算即可得到结论． 【详解】（1）解：抛物线交轴于，两点， ， 解得，                                   抛物线的函数解析式为； （2）解：在中，当时，， ， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 抛物线的解析式为 对称轴为直线， 在中，当时，， ， 如图，设点， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入，得， 解得， 直线的解析式， 在中，当时，， ， ． 同理可得直线的解析式为，                      在中，当时，， ， ， ． ∴是定值，且． 专题十三 二次函数: 生活实际应用问题 【例1】（2026·陕西咸阳·三模）如图，某公园打造的花海由线段和抛物线围成，抛物线的顶点到的距离为，m，以点为坐标原点，所在直线为轴，经过点且与垂直的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线的对称轴与轴垂直． (1)求抛物线的函数表达式； (2)该花海被分成四部分，其中矩形区域内种植向日葵，已知点、在上，点、在抛物线上（点在抛物线对称轴的右侧），且m，求该花海中种植向日葵的面积（即矩形的面积）． 【答案】(1) （或 ） (2) m2 【分析】（1）根据二次函数待定系数法可求出该抛物线的表达式； （2）根据长度可求出点坐标，又因为点、在抛物线上（点在抛物线对称轴的右侧）可求出的坐标，从而求出长度，以及矩形的面积 【详解】（1）由题意可得抛物线的顶点A的坐标为，点B的坐标为． 设抛物线的函数表达式为， 将代入上式，得 ，解得， ∴抛物线的函数表达式为 （或 ）． （2）由题意可得点E的纵坐标为60， 令 ，解得，． ∵点E在抛物线对称轴的右侧， ∴点E的坐标为，点F的坐标为， ∴（米） ， ∴（平方米）， ∴该花海中种植向日葵的面积是平方米． 【变式1-1】（25-26八年级下·福建福州·期末）某厂商投产一种新型科技产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数． (1)写出每月的利润L（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润?最大利润是多少? 【答案】(1) (2)当销售单价为34元时.厂商每月能获得最大利润，最大利润是512万元． 【分析】（1）单件利润为元，销售量为万件，总利润单件利润销售量，代入整理即可得到二次函数关系式． （2）是开口向下的二次函数（二次项系数），顶点处取得最大值；用顶点公式求单价，再代入求最大利润． 【详解】（1）解：由题意，单件利润：元，销售量， ， 结合实际意义，销售量， 即，； 单价高于成本，自变量取值范围：． 函数关系式：． （2）解：对于二次函数，，，， 对称轴：， 在取值范围内，将代入利润函数： ， 当销售单价为元时，每月获得最大利润，最大利润为万元． 【变式1-2】（2024·山东潍坊·模拟预测）某花卉基地引进并种植了一种新型绿植，已知该绿植每棵的售价为30元时，年销售量为8万棵． (1)基地营销人员经过市场调查分析发现，价格每提高2元，销售量将相应减少万棵，设每棵定价提高到元，每年的销售总收入为万元． ①求y关于t的函数关系式； ②要使提价后每年销售的总收入为300万元，求的值． (2)该基地为提高年销售量，决定对绿植进行改良培育．设改良培育后的价格为元（），该基地投入万元作为培育费用．问该绿植的年销售量至少达到多少万棵时，才能使年销售收入不低于改良前的年销售收入与培育费用之和？ 【答案】(1)①；② (2)年销售量a至少应达到万棵时，才能使销售收入不低于培育前的年收入与培育费用之和 【分析】（1）①根据题意列出关系式即可； ②根据总收入列一元二次方程计算； （2）根据题意列出不等式，结合换元法、二次函数的性质解题． 【详解】（1）解：①由题意得，销售量为（万棵）， ∴每年的销售总收入； ②由题意得， 整理得， 解得， ， ∵， ∴； （2）解：由题意，需满足成立， 即成立， 令， 设，则， ∵， ∴， 即时，有最大值， ∴， 即年销售量a至少应达到万棵时，才能使销售收入不低于培育前的年收入与培育费用之和． 【变式1-3】（2025·上海·二模）某企业在2024年1-4月的净利润见下表．经调查后发现，企业的利润数是经过月数的二次函数．（注：净利润数单位为万元；初始宣发资金可单独计算入总利润） XX企业2024年1-4月净利润表 经过月数（x） 1 2 3 4 净利润数（y） -9 -16 -24 (1)求y关于x的函数解析式（无需写定义域）； (2)补全表中的空格处并填空：本公司1-4月平均每月亏损________万元；通过技术改革，到2024年________月起，公司当月不再亏损；理论上到2025年的________月份公司可以把之前的亏损全部赚回来； (3)新年伊始，为使创新产品销量增加，政府决定资助此企业宣发资金，从2025年初启动宣发程序．已知从2025年1月起初始宣发资金是上表亏损的金额的20％，每月使用k万元进行宣发，如初始宣发资金用完，用去金额将从净利润中扣除．若因宣发每月净利润数提升k％，请直接写出k取不同值时由2024年初至2025年第一季度末的总盈亏情况．（计算时保留一位小数） 【答案】(1) (2)空格处应填；17.5；10；3 (3)当时，，盈利， 当时，不亏损也不盈利， 当时，，亏损． 【分析】本题主要考查二次函数在实际问题中的应用，应用待定系数法求解方程是解题的关键． （1）根据待定系数法求解方程即可； （2）由（1）的解析式进行代值计算即可求解； （3）根据题意得到总利润表达式，再解不等式得出结论即可． 【详解】（1）设二次函数解析式为， ， 所以函数解析式为； （2）由（1）知函数解析式为， 当时，， 故空格处应填； （万元）， 所以1-4月平均每月亏损17.5万元， 故答案为：17.5； 令，解得， 所以到2024年10月起，公司当月不再亏损， 故答案为：10； 因为，所以， 则1-9月共亏损165万元，10月份不亏损也没有盈利， 11月盈利11万元，12月盈利24万元，2025年1月盈利39万元， 2025年2月盈利56万元，2025年3月盈利75万元， 从2024年1月到2025年2月亏损35万元，到3月盈利40万元， 理论上到2025年的3月份公司可以把之前的亏损全部赚回来， 故答案为：3； （3）由（2）可知2024年总利润为万元， 初始宣发资金为（万元）， 则每月的净利润数为， 当代入求和可得2025年第一季度末的净利润为 ， 所以2024年初至2025年第一季度末的总利润为： ， 所以当时，，盈利， 当时，不亏损也不盈利，当时，，亏损． 【变式1-4】（2026·广东深圳·中考真题）综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间的对应关系如下表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足： 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： (1)根据上表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ (2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值，并写出该充电站收入与的新关系式； 【模型应用】 (3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益收入成本）取得最大值，请写出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 【答案】(1)与的函数关系式为，当时，该充电站的收入为元 (2)的值为或，收入与的新关系式为 (3)，理由如下： 设净收益为W， ∴， ， 二次函数图象开口向下， ∴当时取得最大值， 由题意得，时净收益最大， ∴ 解得． 【分析】（1）观察表格数据可判断是的正比例函数，用待定系数法求出解析式，再代入计算即可； （2）根据收支平衡的定义列等式，整理为一元二次方程求解，再根据收入等于成本写出新关系式； （3）设净收益为W，再写出净收益的二次函数表达式，根据开口向下的二次函数在顶点处取得最大值，结合顶点横坐标为80即可求出的值． 【详解】（1）解：由表格数据可知与成正比例关系，设， 将，代入得， ∴与的函数关系式为， 当时，（元）； （2）解：收支平衡满足， ∴ 解得，，此时收支平衡时收入等于成本， ∴收入与的新关系式为； （3）略 【变式1-5】（2026·湖南·中考真题）如图，公路与铁路垂直交汇于河岸点处，公路与河岸的另一交点为，其中河岸段为抛物线的一部分，段为线段，，，点到公路的距离，抛物线的顶点到公路与铁路的距离分别为与．当地政府为了振兴乡村经济，拟开发河道与公路围成的区域，用于生态放牧．为了放牧安全，准备用栅栏与河道围成封闭区域，如图，栅栏紧挨公路（与公路的距离忽略不计），栅栏，点在该段抛物线上；栅栏，点在线段上．以点为坐标原点，直线与分别为轴与轴，规定个单位长度为，建立平面直角坐标系． (1)请直接写出点的坐标； (2)分别求直线与抛物线的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)点到铁路的距离小于，，已知建长栅栏的各项开支为万元，建完栅栏需花费万元．求栅栏到铁路的距离． 【答案】(1) (2)直线的函数表达式为：；抛物线的函数表达式为： (3) 【分析】（1）由确定，利用勾股定理由、求点的横坐标． （2）用待定系数法分别求直线和抛物线的解析式． （3）先由总造价与单价求出栅栏总长为，即；设，利用抛物线解析式写出，利用直线解析式写出；由把用表示，再得到关于的一元二次方程，结合取根，即可得到栅栏到铁路（轴）的距离． 【详解】（1）解：为原点，为轴，， ， 点到的距离，， ∴， ∴， ． （2）解：设直线的函数表达式为：， 将、代入得：， 解得， 直线的函数表达式为：． 顶点到的距离为，到的距离为， ， ∴设抛物线的函数表达式为， 将代入得， 解得：， ， 抛物线的函数表达式为：． （3）解：∵建长栅栏的各项开支为万元，建完栅栏需花费万元， ∴栅栏总长为， ， 设点的坐标为，且， 点到铁路的距离小于， ， 点在抛物线上， ， ， 设点的坐标为，且， 点在直线上， ， ， ， ， 整理得：， 又， ， 将代入，整理得：， 解得：，， ， 不合题意，舍去， ， 栅栏到铁路的距离为． 第 1 页 共 515 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数十三大题型 专题一 二次函数: 锐角三角比问题 2 专题二 二次函数: 相似三角形问题 5 专题三 二次函数: 直角三角形问题 8 专题四 二次函数: 等腰三角形问题 11 专题五 二次函数: 全等三角形问题 14 专题六 二次函数: 特殊角(45°、30°等)问题 18 专题七 二次函数: 等角问题 21 专题八 二次函数: 二倍角和半角问题 24 专题九 二次函数: 特殊四边形问题 31 1. 二次函数: 平行四边形问题 31 2. 二次函数: 矩形问题 34 3. 二次函数: 菱形问题 37 专题十 二次函数: 面积最值问题 40 专题十一 二次函数: 长度和周长最值问题 44 专题十二 二次函数: 比值、定值问题 47 专题十三 二次函数: 生活实际应用问题 50 专题一 二次函数: 锐角三角比问题 【例1】（2025·上海宝山·期末）已知平面直角坐标系如图，直线的经过点和点． 求m、n的值； 如果抛物线经过点A、B，该抛物线的顶点为点P，求的值； 【变式1-1】（2024·辽宁盘锦·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6）． (1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标； (2)求直线AB的函数解析式及sin∠ABO的值； 【变式1-2】（2024九年级上·上海·期中）如图，已知平面直角坐标系，直线的经过点和点． (1)求m、n的值； (2)设点P在平面直角坐标系内，过点P作，垂足为A，且，求点P的坐标． 【变式1-3】（25-26九年级下·上海·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点，顶点为． (1)求，的值与顶点的坐标； (2)抛物线（且）过点，，且与x轴另一个交点为，顶点为． 求的余切值（用含有的代数式表示）； ； 【变式1-4】（2024·广东佛山·三模）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，四边形为菱形，反比例函数（）经过点，反比例函数经过点，且交边于点，连接． (1)求直线的表达式． (2)求的值． 【变式1-5】（2026·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（m为常数）的图象与x轴交于，与y轴交于点C．抛物线（a，b，c为常数，且）经过B，C两点，与x轴负半轴交于点． (1)求一次函数解析式及抛物线的函数表达式； (2)如图，点M，N在抛物线上，横坐标分别是m，n，且，过点M作x轴的垂线，过点N作y轴的垂线，两条垂线相交于点Q，连接，若，求m的取值范围； 专题二 二次函数: 相似三角形问题 【例1】（25-26九年级上·广东惠州·期末）如图，二次函数的图象与轴分别交于，两点，与轴交于点，点在二次函数的图象上，为二次函数的图象的顶点． (1)求的面积； (2)点是轴上一动点，当和相似时，求点坐标． 【变式1-1】（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求此二次函数的解析式； (2)点D在直线上运动，过点D作x轴的垂线，交二次函数图像于点E，交x轴于点F，是否存在点D，使得以B、E、F为顶点的三角形与相似？ 若存在，求出D的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-2】（2026·陕西西安·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点为、，抛物线与抛物线关于x轴对称． (1)求抛物线的函数表达式； (2)抛物线与y轴交于点M，其对称轴与x轴交于点N，点P为对称轴上一动点，点Q为抛物线对称轴右侧一点，且在x轴上方，轴，当与相似时，求点Q的横坐标 【变式1-3】（2026·陕西西安·三模）抛物线交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C． (1)求出A，B，C三点的坐标； (2)作直线，分别交x轴，线段，抛物线于D，E，F三点，连接，若与相似，求t的值． 【变式1-4】（20-21九年级上·陕西榆林·期末）如图，抛物线经过点、，交y轴于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)Q为x轴上方的抛物线上的一个动点（不与点A、B重合），轴于点M，是否存在点Q，使得以点A、Q、M三点为顶点的三角形与相似？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式1-5】（2026·陕西西安·模拟预测）已知如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． (1)求此抛物线的解析式； (2)在线段上是否存在一点M，使和相似？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 专题三 二次函数: 直角三角形问题 【例1】（2024·云南红河·二模）如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴的正半轴交于点． (1)求a与b的值； (2)点是线段上一动点，过点作轴的平行线，与交于点，与抛物线交于点，连接，探究是否存在点使得为直角三角形？若存在，求点E的坐标；若不存在，说明理由． 【变式1-1】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知抛物线经过、两点，D是抛物线的顶点 (1)求该抛物线的解析式及顶点坐标； (2)E在y轴上，若为直角三角形，直接写出点E的坐标． 【变式1-2】（2025·黑龙江绥化·二模）如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的左侧）． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，，，试证明为直角三角形； 【变式1-3】（25-26九年级上·广东汕尾·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在坐标轴上，且，，点是边上的一个动点，抛物线经过点，． (1)如图，若抛物线恰好经过点，连接，． ①求此时抛物线的解析式和点的坐标； ②在直线上方的抛物线上有一点（异于点），且的面积等于的面积，请求出点的坐标． (2)如图，设抛物线与射线交于点，在点的运动过程中，是否存在的值，使得为直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式1-4】（2024·山东济南·二模）如图，已知抛物线，与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，点P是第一象限内抛物线上一动点，连接、、，设点P的横坐标为t．当t为何值时，是以点为直角顶点的直角三角形； (3)如图2，过抛物线顶点作轴于，若是轴上一动点，是线段上一点，若，请求出实数的取值范围． 【变式1-5】（25-26九年级下·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经过，两点，与轴的另一个交点为． (1)若直线经过，两点，求抛物线和直线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上找一点，求点的坐标，使面积最大． (3)设点为抛物线的对称轴上的一个动点，是否存在点，使为直角三角形，直接写出点的坐标． 专题四 二次函数: 等腰三角形问题 【例1】（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，过点的抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，连接．P是抛物线在第四象限内的一个动点，过点P作轴，垂足为M，交于点Q． (1)求点A，B的坐标． (2)在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使以点A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-1】（25-26九年级下·河南周口·期中）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，D是其对称轴与x轴的交点． (1)求抛物线的表达式． (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是等腰三角形？如果存在，请直接写出P点坐标；如果不存在，请说明理由． 【变式1-2】（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，当点P在第一象限时，求线段的最大值； (3)在（2）的条件下，当取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-3】（24-25九年级上·广东珠海·期中）已知抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是抛物线上位于第一象限内的一点，请连接，求出的面积最大值及此时点P的坐标． (3)如图2，将抛物线向右平移个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为，若抛物线与原抛物线对称轴交于点Q．点E是新抛物线对称轴上一动点，在（2）的条件下，当是等腰三角形时，求点E的坐标． 【变式1-4】（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是抛物线上第一象限内的动点，连接、，求面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-5】（25-26九年级下·陕西·期中）如图，抛物线（b、c为常数）分别与轴交于点、，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线的顶点，连接，点是抛物线的对称轴上的点，如果是以为腰的等腰三角形，请你求出所有满足条件的点的坐标． 专题五 二次函数: 全等三角形问题 【例1】（2024·宁夏吴忠·三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点(在的左侧)，其中点，其顶点为的横坐标为，对称轴与轴交于点． (1)求此二次函数的解析式； (2)连接，点是该二次函数图象第四象限上的动点，过作轴于点，点是轴上一点，是否存在以点为顶点的三角形与全等?若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-1】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)直线AC交对称轴于点E，P是坐标平面内一点，当△PCE与△BCD全等时，请直接写出点P的坐标． 【变式1-2】（2025九年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点P为抛物线上的一个动点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P在直线上方，当四边形面积最大时，求点P的坐标； (3)过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为点D，点Q是对称轴上一点，当与全等时，求点P，Q的坐标． 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点P为抛物线上的一个动点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P在直线上方，当四边形面积最大时，求点P的坐标； (3)过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为点D，点Q是对称轴上一点，当与全等时，求点P，Q的坐标． 【变式1-4】（24-25九年级下·湖北武汉·开学考试）如图，已知抛物线，点B为抛物线与x轴的右侧交点，点A坐标为，点P为抛物线对称轴上一点，点Q在抛物线上． (1)当A、B、P、Q围成的四边形是以为对角线的平行四边形时，求P、Q两点的坐标； (2)是否存在P、Q点使得与全等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由（P、Q不重合，（1）中情况除外）． (3)过点A作直线L，使得L与x轴夹角的正切值为4，平移直线L，设直线L与抛物线的交点为C、D（点C在x轴上方、点D在x轴下方），M为x轴上的点，当取得最大值时，求点M的坐标． 【变式1-5】如图1，直线与抛物线（a、b为常数且a≠0）交于点A、B，且B到y轴的距离是1，A在x轴上． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，P是y轴左侧抛物线上一点，轴，交直线于点C，若，求三角形的面积； (3)在（2）的条件下，连接交抛物线的对称轴于点Q，在坐标平面内有一点M，射线交抛物线于N，当与全等时，求点N的坐标． 专题六 二次函数: 特殊角(45°、30°等)问题 【例1】（2024·新疆伊犁·三模）如图，已知抛物线与x轴相交于，与y轴相交于点C，直线，垂足为C． (1)求该抛物线的表达式； (2)若直线l与该抛物线的另一个交点为D，求点D的坐标； (3)设动点在该抛物线上，当时，求m的值． 【变式1-1】在平面直角坐标系中，的图像交轴于点、（在的左侧）若抛物线上有一点，连接，，则的长为（     ） A． B． C．或 D．或 【变式1-2】（24-25九年级上·重庆巫山·期中）如图，二次函数与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．已知点，抛物线的对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)将抛物线沿着射线的方向平移个单位，点M是平移后抛物线对称轴上任意一点，若，直接写出点M的坐标． 【变式1-3】（2024·西藏昌都·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C；经过点A的直线与y轴正半轴交于点E，与抛物线的另一个交点为，其中． (1)求此抛物线及直线的解析式； (2)若点P是直线上方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)若点Q是y轴上的点，且，求点Q的坐标． 【变式1-4】（2026·四川自贡·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数（b、c为常数）的图象与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），交y轴于点C，对称轴为直线，． (1)求二次函数关系式． (2)连接，抛物线上是否存在点P，使，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式1-5】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知关于的二次函数．图象与轴交于，两点，点在点左边，图象与轴负半轴交于点． (1)求点坐标； (2)若面积为8，求的值； (3)若中有一个内角为，求的值． 专题七 二次函数: 等角问题 【例1】（2026·天津滨海新区·二模）已知抛物线（，，为常数，）．点，点为抛物线与轴两个交点，点为抛物线与轴交点． (1)当时， ①求抛物线顶点的坐标； ②若点为抛物线上一点，当时，求点的坐标． 【变式1-1】（25-26九年级下·上海·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点，顶点为． (1)求，的值与顶点的坐标； (2)抛物线（且）过点，，且与x轴另一个交点为，顶点为． ①求的余切值（用含有的代数式表示）； ②如果，求此时点的坐标． 【变式1-2】（2026·四川内江·二模）如图，抛物线与x轴交于点，，交y轴于点C，直线与抛物线交于点M． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在点P，使，若存在求出点P的坐标，若不存在，说明理由． 【变式1-3】（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为．其中，． (1)直接写出该抛物线的解析式； (2)如图2，连接，在第三象限内抛物线上找点，使，求点的坐标． 【变式1-4】（2025·西藏·中考真题）已知抛物线过点，，与轴交于点．点是轴正半轴上的动点，点是抛物线在第四象限图象上的动点，连接，，且交轴于点，交于点． (1)当时，求抛物线的解析式； (2)如图1，在（1）的条件下，若，求直线的解析式； (3)要使得成立，请探索的取值范围（直接写出结果）； (4)如图2，，当为何值时，的长度等于1？ 【变式1-5】（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，平面直角坐标系中，，把绕点顺时针旋转得到． (1)直接写出点和点的坐标； (2)抛物线过、、三个点，求抛物线的解析式； (3)若抛物线上一点，在上方，满足，求点的坐标． 专题八 二次函数: 二倍角和半角问题 【例1】（2026·四川巴中·期末）如图，抛物线（）与轴交于、两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点为抛物线在第二象限内的动点，求面积的最大值； (3)在第二象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 【变式1-1】（2026·甘肃平凉·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象与轴交于，两点，交轴于点． (1)求二次函数的解析式． (2)在轴上方的抛物线上找一点，作射线，使，是线段上的一动点，过点作轴，垂足为，连接，求的最小值． 【变式1-2】（2026·山东烟台·一模）如图，抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，作直线． (1)求抛物线的表达式； (2)若在直线上存在一点，使，求点的坐标． 【变式1-3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点且与轴的正半轴交于点． (1)求的值及抛物线的解析式． (2)如图①，若点为直线AC上方抛物线上一动点，当时，点的坐标为______; 【变式1-4】（2024·山东淄博·二模）如图，抛物线交x轴于、两点，交y轴于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一点，设P点的横坐标为m．请直接写出使的点P的坐标． 【变式1-5】（2026·天津西青·二模）已知抛物线（是常数且）与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，其顶点为，是坐标原点． (1)若， ①求该抛物线的顶点和点，的坐标； ②抛物线上一点在直线下方，其横坐标为，过点作直线，当直线与直线之间的距离取得最大值时，求点的坐标． (2)当取得最小值时，该抛物线上存在一点，满足，求点的坐标． 【例2】（2024·山东临沂·一模）抛物线过点，与y轴交于点C．对称轴与x轴交于点D． (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)如图，连接、，在直线上方的抛物线上找点P，使得，求出P点的坐标． 【变式2-1】(25-26九年级下·福建泉州·专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为且图象经过点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，连接，，若抛物线上存在点，满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或． 【变式2-1】（25-26九年级下·安徽安庆·开学考试）如图，二次函数的图象与轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与轴交于点，二次函数图象的顶点为． (1)若，求顶点的坐标及线段的长； (2)连接，，，若，求点的坐标． 【变式2-3】（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过A、C两点，与轴的另一交点为点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点为直线上方抛物线上一动点； ①过点作轴，交直线AC于点，作轴．交直线于点，求周长的最大值； ②过点作，垂足为点，连接，是否存在点，使得中的某个角恰好等于的2倍？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2-4】（25-26九年级上·湖南常德·期末）已知二次函数，其图象过点． (1)求二次函数的解析式 ； (2)当时，求二次函数的最大值； (3)将抛物线向下平移个单位后，如图所示与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，连接，抛物线上存在点Q，使得．请求出直线的解析式． 【变式2-5】（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）综合与探究 抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，当时，．P是抛物线上一个动点（不与点A，B，C重合），其横坐标为t，连接AC，BC． (1)如图①，求抛物线的解析式； (2)如图②，点P在直线上方时，连接与交于点Q． ①若，则t的值为______； ②求的最大值； (3)当时，请直接写出点P的坐标． 专题九 二次函数: 特殊四边形问题 1. 二次函数: 平行四边形问题 【例1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知抛物线L：与x轴交于两点，抛物线与L关于y轴对称． (1)求抛物线L的解析式； (2)M为抛物线L上一点，过点M作轴交于点N，若以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标． 【变式1-1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线、为常数．且经过点，交轴于点、在的左侧），其顶点的横坐标为2． (1)求抛物线的函数表达式； (2)将抛物线向左平移2个单位长度后得到抛物线，为抛物线上的动点，点为抛物线的对称轴上的动点，请问是否存在以、、、为顶点且以为边的四边形是平行四边形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-2】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)该抛物线的对称轴上有一点，是否在该抛物线上存在一点，使得以点为顶点的四边形是以为边的平行四边形．如果存在，求出所有符合条件的点的坐标．如果不存在，请说明理由． 【变式1-3】26·陕西·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴负半轴交于点，且． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点在该二次函数的图象上，点在其图象的对称轴上，且以，，，为顶点的四边形是以为边的平行四边形，求点的坐标． 【变式1-4】（2026·陕西商洛·二模）已知抛物线与轴交于，两点． (1)求，的值； (2)若抛物线与抛物线关于轴对称，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，则在抛物线或上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-5】（22-23九年级下·河南郑州·期末）如图，抛物线经过点，与轴的负半轴交于点，与轴交于点，轴，连接，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若点在轴上，且，写出点的坐标； (3)点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 2. 二次函数: 矩形问题 【例1】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线顶点为，与轴交于点和点，连接， (1)求该抛物线的函数表达式． (2)平移线段，使点的对应点在轴上，点的对应点为点．当四边形为矩形时，请探索点是否在该抛物线上，并说明理由． 【变式1-1】（25-26九年级上·四川眉山·期中）如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． 【变式1-2】（24-25九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，点，在线段上，分别过点，作轴的垂线，交抛物线于，两点． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)当四边形为正方形时，求线段的长． 【变式1-3】（2024·西藏·模拟预测）如图，直线与轴、轴分别交于两点，抛物线经过A、B两点，并与轴交于另一点． (1)求此抛物线的函数解析式； (2)在抛物线及其对称轴上分别取点，使得以为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长． 【变式1-4】（25-26九年级上·浙江·单元复习）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点A在y轴的左侧，点C在x轴的下方，且． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)点P为抛物线对称轴上的一动点，当的值最小时，求点P的坐标； (3)在（2）条件下，点E为抛物线的对称轴上的动点，点F为抛物线上的动点，以点P、E、F、M为顶点作四边形，当四边形为正方形时，请直接写出坐标为整数的点M的坐标． 【变式1-5】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，抛物线的图象经过，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请说明理由． 3. 二次函数: 菱形问题 【例1】（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求A、B，C三点的坐标． (2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式1-1】（24-25九年级上·重庆永川·阶段检测）如图，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方的抛物线上一个动点，求四边形面积的最大值及此时P点的坐标； (3)点F是直线l上一点，点G是平面内一点，是否存在以为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-2】（25-26九年级上·广东清远·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，且当和时所对应的函数值相等．一次函数与二次函数的图象分别交于B，C两点，点在第一象限． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，，试判断的形状，并说明理由； (3)点是线段的中点，二次函数的图象上是否存在点，使得四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-3】（25-26九年级上·全国·期末）综合运用：如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点C，二次函数的图象经过A，C两点，并与x轴交于点．点是线段上一个动点（不与点O，A重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点E和点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)用含m的代数式表示，； (3)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-4】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于，两点，与y轴交于点C，点为y轴上的动点，点P是第一象限抛物线上的动点，分别将点B、P绕点M旋转得到、，顺次连接得到四边形． (1)若点，求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标； (2)当点P与抛物线的顶点重合时，探究满足什么条件时，存在点M，使得四边形为菱形？请说明理由． 【变式1-5】（23-24九年级上·重庆南岸·期末）如图，已知抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若抛物线的顶点为P，Q是该抛物线对称轴上一点，在平面内确定一点R，使得以点C，R，P，Q为顶点的四边形是菱形，求点R的坐标． 专题十 二次函数: 面积最值问题 【例1】(23-24九年级下·云南曲靖·期中）如图，抛物线与轴相交于，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点为抛物线上第一象限内一动点，当面积最大时，求点的坐标． 【变式1-1】（2026·河南周口·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上第一象限内的动点，连接，求面积的最大值． 【变式1-2】（24-25九年级上·甘肃陇南·期末）如图，二次函数的图象和轴交点，，和轴交点，点是直线上方抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)点运动到什么位置时，的面积最大，求出此时点坐标和的最大面积． 【变式1-3】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交，两点（点在左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求经过、两点的直线解析式； (3)若点为直线上方拋物线上的一个动点：根据你的经验，请判断的面积是否有最大值？如果有最大值，求出此时点的坐标． 【变式1-4】（25-26八年级下·福建福州·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于，两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出点的坐标和面积的最大值．若不存在，请说明理由． 【变式1-5】（2025·安徽蚌埠·三模）在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，抛物线经过点，，． (1)求a，b，c的值． (2)若P 是第一象限内抛物线上的一点． ①如图1，是否存在点 P，使得以C，P，B为顶点的三角形的面积为？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． ②如图2，连接，相交于点M，连接，当的值最大时，求直线 的函数解析式． 专题十一 二次函数: 长度和周长最值问题 【例1】（2026·宁夏固原·二模）如图，抛物线交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在对称轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标． 【变式1-1】（2024·青海海东·一模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． (1)求此抛物线的函数关系式； (2)在下方的抛物线上有一点N，过点N作直线轴，交于点M，当点N坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？ 【变式1-2】（24-25九年级上·重庆巫山·期中）如图，二次函数与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．已知点，抛物线的对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，点P是抛物线上一点，在直线下方移动，过点P分别向x轴，y轴作垂线，与交于E，F两点，求的最大值并求出此时点P的坐标； (3)将抛物线沿着射线的方向平移个单位，点M是平移后抛物线对称轴上任意一点，若，直接写出点M的坐标． 【变式1-3】（24-25九年级上·安徽铜陵·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于两点，交y轴于点B． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是第一象限内抛物线上的一点，过点P作直线轴于点D，交直线于点E． ①当时，求点E的坐标； ②当取得最大值时，求点P的坐标． 【变式1-4】（25-26九年级上·福建泉州·期末）抛物线经过、两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P在抛物线上且位于第一象限，连接、，若的面积为10，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，点Q是抛物线的对称轴上一点，连接、，当最小时，求Q的坐标． 【变式1-5】（2026·重庆北碚·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴相交于点，抛物线的对称轴直线与轴交于点． (1)求抛物线的表达式： (2)点是第一象限内抛物线上一点，连接，，，点，是抛物线对称轴上的动点（点在点上方），且，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及的最大值； 专题十二 二次函数: 比值、定值问题 【例1】（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为，点C的坐标为，直线l经过B、C两点． (1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标； (2)点P在线段上运动（不与B、C重合），过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N，当时，求点P的坐标； 【变式1-1】（2024·宁夏吴忠·一模）如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于、两点，其中点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)C为抛物线与y轴的交点，若点P在抛物线上，且，求点P的坐标． 【变式1-2】（25-26九年级上·黑龙江七台河·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点和，交y轴于点 C，轴，交抛物线于点 D． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上是否存在一点Q，连接，，使 ，若存在，请直接写出点 Q 的横坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-3】（23-24九年级上·山东泰安·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，点B的坐标为．抛物线经过A、B两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一点，过点P作垂直x轴于点D，交线段于点E，使．求点P的坐标． 【变式1-4】（2026·广东珠海·三模）如图，抛物线与直线交x轴、y轴于B、C两点，与x轴的另一个交点为A，M是直线上方抛物线上的一动点，轴于点D，交于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)若，求点D的坐标． 【变式1-5】（2026·福建福州·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线交抛物线的对称轴于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若点在轴下方的抛物线上运动，直线，分别交抛物线的对称轴于点，，当点，均在点的下方时，试判断是否为定值？若是，求这个定值；若不是，请说明理由． 专题十三 二次函数: 生活实际应用问题 【例1】（2026·陕西咸阳·三模）如图，某公园打造的花海由线段和抛物线围成，抛物线的顶点到的距离为，m，以点为坐标原点，所在直线为轴，经过点且与垂直的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线的对称轴与轴垂直． (1)求抛物线的函数表达式； (2)该花海被分成四部分，其中矩形区域内种植向日葵，已知点、在上，点、在抛物线上（点在抛物线对称轴的右侧），且m，求该花海中种植向日葵的面积（即矩形的面积）． 【变式1-1】（25-26八年级下·福建福州·期末）某厂商投产一种新型科技产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数． (1)写出每月的利润L（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润?最大利润是多少? 【答案】(1) (2)当销售单价为34元时.厂商每月能获得最大利润，最大利润是512万元． 【分析】（1）单件利润为元，销售量为万件，总利润单件利润销售量，代入整理即可得到二次函数关系式． （2）是开口向下的二次函数（二次项系数），顶点处取得最大值；用顶点公式求单价，再代入求最大利润． 【变式1-2】（2024·山东潍坊·模拟预测）某花卉基地引进并种植了一种新型绿植，已知该绿植每棵的售价为30元时，年销售量为8万棵． (1)基地营销人员经过市场调查分析发现，价格每提高2元，销售量将相应减少万棵，设每棵定价提高到元，每年的销售总收入为万元． ①求y关于t的函数关系式； ②要使提价后每年销售的总收入为300万元，求的值． (2)该基地为提高年销售量，决定对绿植进行改良培育．设改良培育后的价格为元（），该基地投入万元作为培育费用．问该绿植的年销售量至少达到多少万棵时，才能使年销售收入不低于改良前的年销售收入与培育费用之和？ 【变式1-3】（2025·上海·二模）某企业在2024年1-4月的净利润见下表．经调查后发现，企业的利润数是经过月数的二次函数．（注：净利润数单位为万元；初始宣发资金可单独计算入总利润） XX企业2024年1-4月净利润表 经过月数（x） 1 2 3 4 净利润数（y） -9 -16 -24 (1)求y关于x的函数解析式（无需写定义域）； (2)补全表中的空格处并填空：本公司1-4月平均每月亏损________万元；通过技术改革，到2024年________月起，公司当月不再亏损；理论上到2025年的________月份公司可以把之前的亏损全部赚回来； (3)新年伊始，为使创新产品销量增加，政府决定资助此企业宣发资金，从2025年初启动宣发程序．已知从2025年1月起初始宣发资金是上表亏损的金额的20％，每月使用k万元进行宣发，如初始宣发资金用完，用去金额将从净利润中扣除．若因宣发每月净利润数提升k％，请直接写出k取不同值时由2024年初至2025年第一季度末的总盈亏情况．（计算时保留一位小数） 【变式1-4】（2026·广东深圳·中考真题）综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间的对应关系如下表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足： 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： (1)根据上表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ (2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值，并写出该充电站收入与的新关系式； 【模型应用】 (3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益收入成本）取得最大值，请写出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 【变式1-5】（2026·湖南·中考真题）如图，公路与铁路垂直交汇于河岸点处，公路与河岸的另一交点为，其中河岸段为抛物线的一部分，段为线段，，，点到公路的距离，抛物线的顶点到公路与铁路的距离分别为与．当地政府为了振兴乡村经济，拟开发河道与公路围成的区域，用于生态放牧．为了放牧安全，准备用栅栏与河道围成封闭区域，如图，栅栏紧挨公路（与公路的距离忽略不计），栅栏，点在该段抛物线上；栅栏，点在线段上．以点为坐标原点，直线与分别为轴与轴，规定个单位长度为，建立平面直角坐标系． (1)请直接写出点的坐标； (2)分别求直线与抛物线的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)点到铁路的距离小于，，已知建长栅栏的各项开支为万元，建完栅栏需花费万元．求栅栏到铁路的距离． 第 1 页 共 515 页 学科网（北京）股份有限公司 $