专题03 二次函数图像与性质综合（高效培优专项训练）数学新教材沪教版五四制九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数图像三大核心性质，通过题型化训练构建“图像特征—方法提炼—综合应用”的完整体系，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |利用图像求最值|10题|开放区间用顶点，封闭区间结合端点与对称轴距离分析|从函数图像顶点性质到实际应用（如利润问题）的递进| |利用对称性解决问题|10题|对称点纵坐标相等，对称轴公式x=(x₁+x₂)/2|从抛物线轴对称概念到交点、坐标比较的应用| |利用增减性解决问题|10题|结合开口方向与对称轴判断单调性，关注点是否在同侧|从函数增减性原理到点坐标大小比较的推理|

专题03 二次函数图像与性质综合 题型一 利用图像求函数的最值 题型二 利用图像的对称性解决问题 题型三 利用图像增减性解决问题 题型一：利用图像求函数的最值 1．当时，二次函数的最大值为________．特别提醒 求二次函数的最值在开放的区间内求图像的顶点坐标即可，但是在一个封闭或半封闭的区间内可借助图像的最高（低）点或借助点和对称轴距离的远近来帮助分析函数的最值。 2．二次函数，为常数，且，若对于任意的满足，函数值的最小值为，则的值是______． 3．如图，在等边三角形中，，点D，E分别在边，上，且，则当线段最短时，的长为________． 4．已知实数，满足，则的最大值为________． 5．已知抛物线，点在抛物线上，其中．若的最小值是，则的最大值是______． 6．已知二次函数，当（n为常数）时，二次函数的最大值与最小值的差为，则n的取值范围为_________． 7．二次函数中，当时有最小值3，则实数的值为________． 8．某商店销售某种商品的进价为每件20元，这种商品在近30天中的日销售价与日销量的相关信息如表： 时间：第x（天）（1≤x≤30，x为整数） 日销售价（元/件） 36 日销售量（件） 设该商品的日销售利润为w元． (1)求出w与x的函数关系式； (2)该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 9．在二次函数中． (1)若它的图象过点，则的值为多少？ (2)当，的最小值为，求出的值； (3)如果，，都在这个二次函数的图象上，且．求的取值范围． 10．已知抛物线，过点 (1)求a，b之间的关系； (2)若，，抛物线在的最大值为，求a的值； (3)将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的新抛物线顶点记为点P，若，求c的取值范围． 题型二：利用图像的对称性解决问题 11．已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（     ）．特别提醒 抛物线是轴对称图形，因为其对称轴平行于y轴，所以抛物线上两个关于对称轴对称的点A（）、B（）的纵坐标一定相等=，且 抛物线对称轴为直线x= A． B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D．开口向下 12．已知二次函数的图象与x轴有两个交点．若其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为（     ） A． B． C． D． 13．已知二次函数的图像经过和，那么此二次函数图像的对称轴为直线___________． 14．已知二次函数的图象经过点和点，当时函数取得最小值，则的值为_______ 15．二次函数（a，b，c为常数，）中，x与y的部分对应值如表： x … 0 3 … y … n 2 n … 若，且点，在该二次函数的图象上，则_______．（填“>”“<”或“=”） 16．若点和点在抛物线上，且关于它的对称轴对称，则___． 17．若，是抛物线上的两点，则____________． 18．已知二次函数． (1)求该二次函数的图象的对称轴； (2)画出该二次函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出y的取值范围． ⋯ 0 1 2 3 4 ⋯ ⋯ 3 0 0 3 ⋯ 19．在平面直角坐标系中，已知抛物线对称轴为直线，点，在抛物线上． (1)当时，，直接写出的取值范围； (2)若，且，当时都有，求的取值范围． 20．在平面直角坐标系中，点，，，在抛物线上． (1)当，时， ①求该抛物线的表达式； ②将该抛物线向下平移2个单位，再向左平移个单位后，所得的新抛物线经过点，求的值； (2) 若，且、、中有且仅有一个值小于0，请结合抛物线的位置和图像特征，先写出一个满足条件的的值，再求的取值范围． 题型三：利用图像增减性解决问题 21．二次函数的图象上有两个点、，如果，那么a的取值范围是________．特别提醒 1. 二次函数当a>0时，在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的左边y随x的增大而增大；当a>0时则反之。 2. 利用函数的增减性解决问题时，一定要关注几个点是不是在对称轴的同一侧，不然要借助图像解决问题。 22．已知点，，均在抛物线上，其中，若，则的取值范围是__________． 23．已知点和点都在二次函数的图象上，那么______． 24．已知抛物线开口向上，且经过点和，如果点与在此抛物线上，那么___________．（填“”“”或“”） 25．若点在二次函数的图象上，则的大小关系为________________． 26．若点和点在抛物线上，且，则的取值范围是______________． 27．如果当时，二次函数的函数值最大为3，则的值为_____． 28．已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点、都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围； 29．已知抛物线． (1)用配方法求顶点坐标、对称轴． (2)直接写出取何值时，随的增大而减小． (3)直接写出取何值时，；取何值时，；取何值时，． 30．如图，已知二次函数的图象经过点.    （1）求的值和图象的顶点坐标．     （2）点在该二次函数图象上.   ①当时，求的值； ②若到轴的距离小于2，请根据图象直接写出的取值范围. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数图像与性质综合 答案 题号 11 12 答案 B B 1．【答案】 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 离对称轴越远，对应的函数值越大， ， 到对称轴的距离最远， 当时，， 即当时，二次函数的最大值为． 2．【答案】 【详解】解：由二次函数可得，抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点的纵坐标为， ∵， ∴2m<2m+3<-m 即区间，在对称轴的左边， 因此最小值在处取得， 将代入函数得， 整理得， ∴或， 解得或， 因为，舍去， ∴． 3．【答案】 【详解】解：设，则， ∵等边三角形中，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 在中， 由勾股定理得 ， ∵， ∴当时，取得最小值，即取得最小值， ∴当线段最短时，的长为． 4．【答案】34 【详解】解：， ， 将 代入得 ． 二次项系数， 该二次函数开口向下，当时，取得最大值，最大值为． 5．【答案】2 【详解】解：对抛物线解析式配方得：， 二次项系数， 抛物线开口向上，对称轴为直线. ， 当时，取得最小值， 由的最小值为，得，解得， 此时的取值范围为，对称轴为，抛物线开口向上， 则离对称轴越远，函数值越大， ，，， 则当时，取得最大值， 将，代入解析式得：． 6．【答案】 【详解】解： 二次函数开口向上，对称轴为直线，二次函数的最小值为， 对称轴左侧随增大而减小，对称轴右侧随增大而增大 ①当时在范围内，随增大而减小 时取得最大值， 时取得最小值， 由题意得 整理得， 解得与矛盾，此种情况舍去 ②在的情况下，已求得最小值为，根据题意可得最大值必须为 函数在区间上的最大值为两端点函数值的较大者， 因此，需要满足， 解此不等式得 结合本情况的前提， ∴ 综上，的取值范围为 7．【答案】或7 【详解】解：将二次函数配方得： 二次项系数， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 分三种情况讨论： （1）当时，在范围内，随的增大而增大，最小值在处取得，代入得： 整理得 解得， ， 符合要求 （2）当时，最小值在对称轴处取得，此时，不符合最小值为的要求，舍去此种情况 （3）当时，在范围内，随的增大而减小，最小值在处取得，代入得：， 整理得， 解得，， ， 符合要求， 综上，实数的值为或. 8．【答案】(1) (2)该商品在第22天的日销售利润最大，最大日销售利润是1216元 【详解】（1）当时， ， 当时， ， ∴w与x的函数关系式， 故答案为：； （2）当时， ， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为1216； 当时，， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为， ∵， ∴该商品在第22天的日销售利润最大，最大日销售利润是1216元． 9．【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：把点代入二次函数式中，得：， 解得：； （2）解：，则抛物线的对称轴为直线， 当时，当，则函数值随自变量的增大而减小，函数在取得最小值， ∴， 解得：， 但， 故不符合题意； 当时，当，函数在顶点处取得最小值， ∴， 解得：， ∵， ∴； 综上所述，； （3）解：根据A、C两点的坐标知，A、C关于抛物线的对称轴对称， 则，且点A在抛物线对称轴的左侧，点C在抛物线对称轴的右侧， ∵当时，， ∴抛物线与y轴的交点为，此点关于抛物线对称轴的对称点为， 当时，A、B两点在抛物线对称轴的左侧， ∴， 即， 解得：； 当时，C、B两点在抛物线对称轴的右侧， ∴， 即， 解得：； 综上，或． 10．【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：把点代入抛物线中，得， ∴， ∴． （2）解：当时，． ∵， ∴． ∵， ∴抛物线开口向下， ∵， ∴当时，抛物线有最大值为， ∵抛物线在时的最大值为， ∴， ∴． （3）解：由（1）知， ∴， ∴将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线为， ∴顶点P的坐标为， ∴顶点P在直线上． ，即点O到直线的最小距离大于或等于． 分两种情况： 如图，当时，设直线交x轴于点N，交y轴于点M，过点O作于点H， 则，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴ ②当时，同理得． 综上，c的取值范围是或． 11．B 【详解】解：由表可知，点和的纵坐标相同， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵当时，最大， ∴抛物线开口向下，当时，随的增大而增大， 当与时，到对称轴的距离相等， ∴值相等， ∵时，， ∴时，． 故选：． 12．B 【详解】解：∵二次函数中，， ∴对称轴为直线， ∵抛物线与轴的两交点关于对称轴对称，其中一个交点为， ∴另一交点的横坐标为， 即坐标为． 13．【答案】 【详解】解：由题意得，点和关于对称轴对称， ∴二次函数图像的对称轴为直线， 故答案为：． 14．【答案】 【详解】解：∵二次函数图象经过点和点， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵在中，， ∴该二次函数的图象开口向上， ∴在对称轴处函数有最小值， 又∵当时函数取得最小值， ∴该函数的对称轴为直线， ∴， ∴． 15．【答案】 【详解】解：由表格可知，当和时，y值相等， 因此二次函数的对称轴直线为． 因为， 所以抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小． 点到对称轴直线的距离为，点到对称轴直线的距离为． 因为， 所以． 当时，，则，即． 当时，，则，即． 因此点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，可得． 16．【答案】1 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点和点在抛物线上，且关于它的对称轴对称， ∴； 故答案为：1． 17．【答案】 【详解】解：抛物线的对称轴为， ∵，是抛物线上的两点， 故， 即， 故，， 将代入， 得． 故答案为：． 18．【答案】(1)直线 (2) (3) 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：列表如下： ⋯ 0 1 2 3 4 ⋯ ⋯ 3 0 0 3 ⋯ （3）解： 根据图象可知，当时，y的取值范围为． 19．【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：根据题意：当时，， ∵， ∴，即， ∵抛物线对称轴为直线， ∴； （2）解：由题意知，， ∴抛物线开口向上 ∵抛物线的对称轴为直线， ，， ∴， ∴； ∴情况1：当都位于对称轴右侧时，即当时，恒成立，此时，； 情况2：当都位于对称轴左侧时，即当时，，这与题意矛盾，此时t值不存在； 情况3：当位于对称轴两侧时，即当时，要使，必有，即， ∴， ， ∴， ∴； 综上，的取值范围为：． 20．【答案】(1)①；② (2)的取值范围为或 【详解】（1）解：①∵抛物线经过点，，，，且，， ，两点关于抛物线的对称轴对称，， ∴对称轴为直线， 根据对称轴公式可知：， ， ∴， 把代入得：， 解得， ∴该抛物线的表达式为； ②∵， ∴把抛物线向下平移2个单位，再向左平移个单位后，所得的新抛物线解析式为，即， ∵新抛物线经过点， ∴， 解得； （2）解：当时，抛物线过点，且、、中有且仅有一个值小于0， ∴把代入二次函数解析式得：， ∴， ∴二次函数解析式， 当抛物线对称轴在轴左侧时，即，且经过点，大致图象如图所示： ∵点，，，在抛物线上， ∴由图象可知：， ∵， ∴由图象可知：只有当时，成立， ∴， 解得：， 当抛物线对称轴在轴右侧时，即，且经过，大致图象如图所示： ∵点，，，在抛物线上， ∴由图象可知：只有满足题意， ∴， 解得：； 当时，则对称轴为轴，且图象经过点，所以二次函数与轴的另一个交点坐标为，根据二次函数的性质可知：、、的值都大于0，故不符合题意； 综上所述，的取值范围为或． 21．【答案】 【详解】解：由二次函数， 可知对称轴为x=-1 ∵-1<1<3 又∵， ∴可知在对称轴右侧y随x增大而增大 ∴ 故答案为：． 22．【答案】 【详解】解：∵， ∴，即抛物线的顶点坐标是， ∵， ∴抛物线的开口向下，， 若P、Q在对称轴的左侧， ∵y随着x的增大而增大， ∴，此时，满足题意； 当点M在P、Q之间，即，则离对称轴越近，函数值越大， ∵， ∴，解得； 若P、Q在对称轴的右侧， ∵y随着x的增大而减小，且， ∴此时不满足题意； 特别地，当M与Q重合时，也满足； 综上，m的取值范围是． 23．【答案】 【详解】解：∵二次函数 （） ∴对称轴为直线 ，函数图象开口向下， 在对称轴左侧（即 ）时，函数随 增大而增大， 点 和点 的横坐标满足 ， 因此 ， 故答案为： ． 24．【答案】 【详解】解：∵抛物线经过点和， ∴抛物线的对称轴为直线， 又∵抛物线开口向上， ∴当抛物线上的点离对称轴越远时，函数值越大， ∵，，， ∴． 故答案为：． 25．【答案】 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵点在二次函数的图象上，且，， ∴， 故答案为：． 26．【答案】或 【详解】解：∵ ， ∴该抛物线的对称轴直线为，且二次项系数， ∴抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大， 设点关于对称轴直线的对称点为， ∴根据对称轴公式2，解得， ∵，抛物线开口向上： ∴当在对称轴右侧时，满足， ∴当在对称轴左侧时，满足， ∴m的取值范围是或． 27．【答案】或2 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴是直线， 时，随的增大而增大，时，随的增大而减小， 当即时， 则时，随的增大而增大，的最大值是3， 当时，． ． 或（舍去）． 当时，即， 的最大值是4，不符合题意， 当时， 则时，随的增大而减小，的最大值是3， 当时，． ． （舍去）或． 综上所述，故的值为或2． 故答案为：或2． 28．【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：将点和点代入得， ， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：由得，抛物线的对称轴为直线， 由点、得，两点是关于对称轴的对称点， 当时，， 此时； 当时，， 此时； ∴m的取值范围为； 29．【答案】(1)顶点坐标为，对称轴为直线 (2) (3)当或时，；当或时，；当时， 【详解】（1）解：由得：顶点坐标为，对称轴为直线； （2）解：，抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小； （3）解：令，即，，． 即当或时，； ∵抛物线的开口向上， ∴当或时，； 当时，． 30．【答案】（1）；（2）① 11；②. 【详解】（1）解：把代入，得， 解得. ∵， ∴顶点坐标为. （2）①当m=2时，n=11， ②点Q到y轴的距离小于2， ∴|m|＜2， ∴-2＜m＜2， ∴2≤n＜11. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数图像与性质综合 题型一 利用图像求函数的最值 题型二 利用图像的对称性解决问题 题型三 利用图像增减性解决问题 题型一：利用图像求函数的最值 1．当时，二次函数的最大值为________．特别提醒 求二次函数的最值在开放的区间内求图像的顶点坐标即可，但是在一个封闭或半封闭的区间内可借助图像的最高（低）点或借助点和对称轴距离的远近来帮助分析函数的最值。 【答案】 【分析】先确定二次函数的开口方向和对称轴，结合自变量的取值范围，利用二次函数的增减性计算得到最大值． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 离对称轴越远，对应的函数值越大， ， 到对称轴的距离最远， 当时，， 即当时，二次函数的最大值为． 2．二次函数，为常数，且，若对于任意的满足，函数值的最小值为，则的值是______． 【答案】 【分析】根据开口向上的二次函数的增减性，按对称轴与给定区间的位置关系分情况讨论，计算不同情况下的最小值，结合已知条件筛选出符合要求的的值即可． 【详解】解：由二次函数可得，抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点的纵坐标为， ∵， ∴2m<2m+3<-m 即区间，在对称轴的左边， 因此最小值在处取得， 将代入函数得， 整理得， ∴或， 解得或， 因为，舍去， ∴． 3．如图，在等边三角形中，，点D，E分别在边，上，且，则当线段最短时，的长为________． 【答案】 【分析】设，利用勾股定理列式得到，且0<AD<10，因为顶点在区间内所以根据顶点坐标即可求出DE的最短值． 【详解】解：设，则， ∵等边三角形中，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 在中， 由勾股定理得 ， ∵， ∴当时，取得最小值，即取得最小值， ∴当线段最短时，的长为． 4．已知实数，满足，则的最大值为________． 【答案】34 【分析】根据已知条件将用含的代数式表示，代入所求式子，转化为关于的二次函数，利用二次函数的性质求解最大值． 【详解】解：， ， 将 代入得 ． 二次项系数， 该二次函数开口向下，当时，取得最大值，最大值为． 5．已知抛物线，点在抛物线上，其中．若的最小值是，则的最大值是______． 【答案】2 【分析】先求出对称轴x=t，发现对称轴在区间内，所以最小值就是顶点的纵坐标。 【详解】解：对抛物线解析式配方得：， 二次项系数， 抛物线开口向上，对称轴为直线. ， 当时，取得最小值， 由的最小值为，得，解得， 此时的取值范围为，对称轴为，抛物线开口向上， 则离对称轴越远，函数值越大， ，，， 则当时，取得最大值， 将，代入解析式得：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是根据题意，确定出当时，取得最小值，从而求得． 6．已知二次函数，当（n为常数）时，二次函数的最大值与最小值的差为，则n的取值范围为_________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质与区间最值问题，先对二次函数配方得到对称轴和最小值，再根据的不同取值范围分情况讨论，结合二次函数的增减性求出对应区间的最大值和最小值，根据最大值与最小值的差为，筛选出符合条件的的取值范围． 【详解】解： 二次函数开口向上，对称轴为直线，二次函数的最小值为， 对称轴左侧随增大而减小，对称轴右侧随增大而增大 ①当时在范围内，随增大而减小 时取得最大值， 时取得最小值， 由题意得 整理得， 解得与矛盾，此种情况舍去 ②在的情况下，已求得最小值为，根据题意可得最大值必须为 函数在区间上的最大值为两端点函数值的较大者， 因此，需要满足， 解此不等式得 结合本情况的前提， ∴ 综上，的取值范围为 7．二次函数中，当时有最小值3，则实数的值为________． 【答案】或7 【分析】先将二次函数配方，得到开口方向与对称轴，再根据对称轴与给定区间的三种位置关系分类讨论，分别求出最小值，结合取值范围确定的值. 【详解】解：将二次函数配方得： 二次项系数， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 分三种情况讨论： （1）当时，在范围内，随的增大而增大，最小值在处取得，代入得： 整理得 解得， ， 符合要求 （2）当时，最小值在对称轴处取得，此时，不符合最小值为的要求，舍去此种情况 （3）当时，在范围内，随的增大而减小，最小值在处取得，代入得：， 整理得， 解得，， ， 符合要求， 综上，实数的值为或. 8．某商店销售某种商品的进价为每件20元，这种商品在近30天中的日销售价与日销量的相关信息如表： 时间：第x（天）（1≤x≤30，x为整数） 日销售价（元/件） 36 日销售量（件） 设该商品的日销售利润为w元． (1)求出w与x的函数关系式； (2)该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 【答案】(1) (2)该商品在第22天的日销售利润最大，最大日销售利润是1216元 【分析】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，列出函数表达式是解题的关键． （1）分和两种情况利用“利润=每件的利润×销售量”列出函数关系式； （2）根据（1）解析式，由函数的性质分别求出的函数最大值和的函数最大值，比较得出结果． 【详解】（1）当时， ， 当时， ， ∴w与x的函数关系式， 故答案为：； （2）当时， ， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为1216； 当时，， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为， ∵， ∴该商品在第22天的日销售利润最大，最大日销售利润是1216元． 9．在二次函数中． (1)若它的图象过点，则的值为多少？ (2)当，的最小值为，求出的值； (3)如果，，都在这个二次函数的图象上，且．求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识，注意分类讨论． （1）把点代入二次函数式中，即可求解； （2）根据抛物线的对称轴的位置分与两种情况考虑，结合二次函数的图象与性质即可求解； （3）根据A、C两点的坐标知，A、C关于抛物线的对称轴对称，可求得，且点A在抛物线对称轴的左边，点C在抛物线对称轴的右边，分与两种情况即可求解． 【详解】（1）解：把点代入二次函数式中，得：， 解得：； （2）解：，则抛物线的对称轴为直线， 当时，当，则函数值随自变量的增大而减小，函数在取得最小值， ∴， 解得：， 但， 故不符合题意； 当时，当，函数在顶点处取得最小值， ∴， 解得：， ∵， ∴； 综上所述，； （3）解：根据A、C两点的坐标知，A、C关于抛物线的对称轴对称， 则，且点A在抛物线对称轴的左侧，点C在抛物线对称轴的右侧， ∵当时，， ∴抛物线与y轴的交点为，此点关于抛物线对称轴的对称点为， 当时，A、B两点在抛物线对称轴的左侧， ∴， 即， 解得：； 当时，C、B两点在抛物线对称轴的右侧， ∴， 即， 解得：； 综上，或． 10．已知抛物线，过点 (1)求a，b之间的关系； (2)若，，抛物线在的最大值为，求a的值； (3)将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的新抛物线顶点记为点P，若，求c的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，等腰直角三角形性质等，熟练掌握二次函数的增减性和平移的原则是解题的关键． （1）把点代入抛物线中可得结论； （2）根据增减性和已知条件列方程可解答； （3）先将抛物线的解析式化为顶点式，并根据平移的规律得到新的解析式：，确定P的坐标和所在直线：，分和两种情况，可得结论． 【详解】（1）解：把点代入抛物线中，得， ∴， ∴． （2）解：当时，． ∵， ∴． ∵， ∴抛物线开口向下， ∵， ∴当时，抛物线有最大值为， ∵抛物线在时的最大值为， ∴， ∴． （3）解：由（1）知， ∴， ∴将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线为， ∴顶点P的坐标为， ∴顶点P在直线上． ，即点O到直线的最小距离大于或等于． 分两种情况： 如图，当时，设直线交x轴于点N，交y轴于点M，过点O作于点H， 则，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴ ②当时，同理得． 综上，c的取值范围是或． 题型二：利用图像的对称性解决问题 11．已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（     ）．特别提醒 抛物线是轴对称图形，因为其对称轴平行于y轴，所以抛物线上两个关于对称轴对称的点A（）、B（）的纵坐标一定相等=，且 抛物线对称轴为直线x= A． B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D．开口向下 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象和性质逐一分析各选项即可． 【详解】解：由表可知，点和的纵坐标相同， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵当时，最大， ∴抛物线开口向下，当时，随的增大而增大， 当与时，到对称轴的距离相等， ∴值相等， ∵时，， ∴时，． 故选：． 12．已知二次函数的图象与x轴有两个交点．若其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线与轴两交点关于对称轴对称的性质求解，无需计算的值． 【详解】解：∵二次函数中，， ∴对称轴为直线， ∵抛物线与轴的两交点关于对称轴对称，其中一个交点为， ∴另一交点的横坐标为， 即坐标为． 13．已知二次函数的图像经过和，那么此二次函数图像的对称轴为直线___________． 【答案】 【分析】本题考查求二次函数的对称轴，由题意得，点和是对称点，根据二次函数对称的性质求解即可． 【详解】解：由题意得，点和关于对称轴对称， ∴二次函数图像的对称轴为直线， 故答案为：． 14．已知二次函数的图象经过点和点，当时函数取得最小值，则的值为_______ 【答案】 【分析】根据点A和点B的纵坐标相同求出对称轴为直线，根据函数图象开口向上时，在对称轴处取得最小值可确定对称轴为直线，据此建立方程求解即可． 【详解】解：∵二次函数图象经过点和点， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵在中，， ∴该二次函数的图象开口向上， ∴在对称轴处函数有最小值， 又∵当时函数取得最小值， ∴该函数的对称轴为直线， ∴， ∴． 15．二次函数（a，b，c为常数，）中，x与y的部分对应值如表： x … 0 3 … y … n 2 n … 若，且点，在该二次函数的图象上，则_______．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】先根据表格中与的函数值相等求出二次函数的对称轴，再结合判断开口方向，通过比较两点到对称轴的距离大小，即可判断与的大小关系． 【详解】解：由表格可知，当和时，y值相等， 因此二次函数的对称轴直线为． 因为， 所以抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小． 点到对称轴直线的距离为，点到对称轴直线的距离为． 因为， 所以． 当时，，则，即． 当时，，则，即． 因此点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，可得． 16．若点和点在抛物线上，且关于它的对称轴对称，则___． 【答案】1 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，抛物线的对称性，根据对称性求出对称轴，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点和点在抛物线上，且关于它的对称轴对称， ∴； 故答案为：1． 17．若，是抛物线上的两点，则____________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数图象上点的坐标特征，根据抛物线的解析式得出抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性得出，故，，将点的坐标代入解析式即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为， ∵，是抛物线上的两点， 故， 即， 故，， 将代入， 得． 故答案为：． 18．已知二次函数． (1)求该二次函数的图象的对称轴； (2)画出该二次函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出y的取值范围． 【答案】(1)直线 (2) (3) 【分析】本题考查了画函数图象，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）把配方成顶点式即可求解； （2）根据画函数图象的步骤即可求解； （3）根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：列表如下： ⋯ 0 1 2 3 4 ⋯ ⋯ 3 0 0 3 ⋯ （3）解： 根据图象可知，当时，y的取值范围为． 19．在平面直角坐标系中，已知抛物线对称轴为直线，点，在抛物线上． (1)当时，，直接写出的取值范围； (2)若，且，当时都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．解题的关键是学会分类讨论的思想及数形结合思想． （1）依据题意，当时，，得到，即，再根据抛物线对称轴为直线即可解答； （2）由，，分三种情况：情况1：当都位于对称轴右侧时，情况2：当都位于对称轴左侧时，情况3：当位于对称轴两侧时，讨论即可． 【详解】（1）解：根据题意：当时，， ∵， ∴，即， ∵抛物线对称轴为直线， ∴； （2）解：由题意知，， ∴抛物线开口向上 ∵抛物线的对称轴为直线， ，， ∴， ∴； ∴情况1：当都位于对称轴右侧时，即当时，恒成立，此时，； 情况2：当都位于对称轴左侧时，即当时，，这与题意矛盾，此时t值不存在； 情况3：当位于对称轴两侧时，即当时，要使，必有，即， ∴， ， ∴， ∴； 综上，的取值范围为：． 20．在平面直角坐标系中，点，，，在抛物线上． (1)当，时， ①求该抛物线的表达式； ②将该抛物线向下平移2个单位，再向左平移个单位后，所得的新抛物线经过点，求的值； (2)若，且、、中有且仅有一个值小于0，请结合抛物线的位置和图像特征，先写出一个满足条件的的值，再求的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)的取值范围为或 【分析】（1）①根据，，可得对称轴为直线，求出的值，再根据抛物线经过点，求出，从而得出抛物线解析式； ②把①解析式化为顶点式，再根据平移变换得出新抛物线解析式，然后把代入解析式即可求出的值； （2）根据题意分对称轴在轴左侧和右侧两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：①∵抛物线经过点，，，，且，， ，两点关于抛物线的对称轴对称，， ∴对称轴为直线， 根据对称轴公式可知：， ， ∴， 把代入得：， 解得， ∴该抛物线的表达式为； ②∵， ∴把抛物线向下平移2个单位，再向左平移个单位后，所得的新抛物线解析式为，即， ∵新抛物线经过点， ∴， 解得； （2）解：当时，抛物线过点，且、、中有且仅有一个值小于0， ∴把代入二次函数解析式得：， ∴， ∴二次函数解析式， 当抛物线对称轴在轴左侧时，即，且经过点，大致图象如图所示： ∵点，，，在抛物线上， ∴由图象可知：， ∵， ∴由图象可知：只有当时，成立， ∴， 解得：， 当抛物线对称轴在轴右侧时，即，且经过，大致图象如图所示： ∵点，，，在抛物线上， ∴由图象可知：只有满足题意， ∴， 解得：； 当时，则对称轴为轴，且图象经过点，所以二次函数与轴的另一个交点坐标为，根据二次函数的性质可知：、、的值都大于0，故不符合题意； 综上所述，的取值范围为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数的增减性，熟练掌握二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质是解题的关键． 题型三：利用图像增减性解决问题 21．二次函数的图象上有两个点、，如果，那么a的取值范围是________．特别提醒 1. 二次函数当a>0时，在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的左边y随x的增大而增大；当a>0时则反之。 2. 利用函数的增减性解决问题时，一定要关注几个点是不是在对称轴的同一侧，不然要借助图像解决问题。 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的增减性． 【详解】解：由二次函数， 可知对称轴为x=-1 ∵-1<1<3 又∵， ∴可知在对称轴右侧y随x增大而增大 ∴ 故答案为：． 22．已知点，，均在抛物线上，其中，若，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据可得，即抛物线的顶点坐标是，然后分三种情况结合抛物线的性质讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即抛物线的顶点坐标是， ∵， ∴抛物线的开口向下，， 若P、Q在对称轴的左侧， ∵y随着x的增大而增大， ∴，此时，满足题意； 当点M在P、Q之间，即，则离对称轴越近，函数值越大， ∵， ∴，解得； 若P、Q在对称轴的右侧， ∵y随着x的增大而减小，且， ∴此时不满足题意； 特别地，当M与Q重合时，也满足； 综上，m的取值范围是． 23．已知点和点都在二次函数的图象上，那么______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的基本性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键； 由二次函数解析式可得对称轴为直线 ，且开口向下，点 和点 均在对称轴左侧，利用函数的增减性即可判断． 【详解】解：∵二次函数 （） ∴对称轴为直线 ，函数图象开口向下， 在对称轴左侧（即 ）时，函数随 增大而增大， 点 和点 的横坐标满足 ， 因此 ， 故答案为： ． 24．已知抛物线开口向上，且经过点和，如果点与在此抛物线上，那么___________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，通过已知点求出抛物线的对称轴，再利用抛物线的性质比较函数值即可． 【详解】解：∵抛物线经过点和， ∴抛物线的对称轴为直线， 又∵抛物线开口向上， ∴当抛物线上的点离对称轴越远时，函数值越大， ∵，，， ∴． 故答案为：． 25．若点在二次函数的图象上，则的大小关系为________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了比较二次函数的函数值大小，先确定二次函数的开口方向和对称轴，然后计算各点与对称轴的距离，根据开口向下时距离对称轴越远函数值越小的性质，判断函数值的大小关系． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵点在二次函数的图象上，且，， ∴， 故答案为：． 26．若点和点在抛物线上，且，则的取值范围是______________． 【答案】或 【分析】对于抛物线，可先将其化为顶点式来确定对称轴，根据二次函数的单调性，结合来确定的取值范围． 【详解】解：∵ ， ∴该抛物线的对称轴直线为，且二次项系数， ∴抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大， 设点关于对称轴直线的对称点为， ∴根据对称轴公式2，解得， ∵，抛物线开口向上： ∴当在对称轴右侧时，满足， ∴当在对称轴左侧时，满足， ∴m的取值范围是或． 27．如果当时，二次函数的函数值最大为3，则的值为_____． 【答案】或2 【分析】本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．依据题意，根据函数的顶点以及函数的性质分类讨论即可． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴是直线， 时，随的增大而增大，时，随的增大而减小， 当即时， 则时，随的增大而增大，的最大值是3， 当时，． ． 或（舍去）． 当时，即， 的最大值是4，不符合题意， 当时， 则时，随的增大而减小，的最大值是3， 当时，． ． （舍去）或． 综上所述，故的值为或2． 故答案为：或2． 28．已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点、都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，对称轴及对称点的特征，二次函数与几何图形的综合，利用一元二次方程解决几何问题等内容，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据二次函数的顶点式，得出对称轴，然后根据对称点的横坐标之差求解即可； （3）分类讨论，假设正方形的边长为，利用正方形的性质以及勾股定理，表示出相关线段的长度，然后联立解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：将点和点代入得， ， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：由得，抛物线的对称轴为直线， 由点、得，两点是关于对称轴的对称点， 当时，， 此时； 当时，， 此时； ∴m的取值范围为； 29．已知抛物线． (1)用配方法求顶点坐标、对称轴． (2)直接写出取何值时，随的增大而减小． (3)直接写出取何值时，；取何值时，；取何值时，． 【答案】(1)顶点坐标为，对称轴为直线 (2) (3)当或时，；当或时，；当时， 【分析】（1）先化为顶点式，再利用二次函数的性质求解即可； （2）根据二次函数的图象的开口方向和对称轴求解即可； （3）先令求得，，再根据抛物线开口向上即可求解． 【详解】（1）解：由得：顶点坐标为，对称轴为直线； （2）解：，抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小； （3）解：令，即，，． 即当或时，； ∵抛物线的开口向上， ∴当或时，； 当时，． 30．如图，已知二次函数的图象经过点.    （1）求的值和图象的顶点坐标．     （2）点在该二次函数图象上.   ①当时，求的值； ②若到轴的距离小于2，请根据图象直接写出的取值范围. 【答案】（1）；（2）① 11；②. 【分析】（1）把点P（-2，3）代入y=x2+ax+3中，即可求出a； （2）①把m=2代入解析式即可求n的值； ②由点Q到y轴的距离小于2，可得-2＜m＜2，在此范围内求n即可. 【详解】（1）解：把代入，得， 解得. ∵， ∴顶点坐标为. （2）①当m=2时，n=11， ②点Q到y轴的距离小于2， ∴|m|＜2， ∴-2＜m＜2， ∴2≤n＜11. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $