第二十七章 二次函数 重难点检测卷 2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

**基本信息** 本卷为二次函数单元重难点检测卷，整合上海各区期中期末及模拟真题，覆盖全章核心知识，通过基础巩固与综合应用梯度设计，适配单元复习检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/12|对称轴、函数关系判断、根与系数关系|结合图像辨析不等式解集，体现几何直观| |填空题|12/24|二次函数定义、最值、图像平移、与反比例函数综合|通过表格数据估算方程根，培养数据意识| |解答题|7/64|配方求顶点、利润模型、图像法解不等式、几何与函数综合|22题利润问题构建数学模型，25题动态几何与函数结合发展空间观念|

第二十七章 二次函数重难点检测卷 （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二次函数全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（25-26九年级上·上海闵行·期末）二次函数图象的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．（25-26九年级上·上海宝山·期中）下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间是二次函数关系的是（　　） A．铅笔的单价不变，总价y与支数x B．路程一定，列车运行的平均速度y与时间x C．正方体的表面积y与它的棱长x D．速度一定，列车的行驶路程y与行驶时间x 3．（2025·上海松江·模拟预测）若是关于x的一元二次方程的两个实根，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·上海崇明·期中）抛物线的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 5．（2026·上海虹口·模拟预测）已知点在函数的图象上，点在函数的图象上，点在函数的图象上，，，均大于0．三个函数的图象位于第一象限的部分如图所示，当时，下列大小关系不可能的是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·上海金山·期中）如图，点A是抛物线图象在第一象限内的一个动点，且点A的横坐标大于1，点E的坐标是（0，1），过点A作AB轴交抛物线于点B，过A、B作直线AE、BE分别交轴于点D、C，设阴影部分的面积为，点A的横坐标为，则关于的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（25-26九年级上·上海嘉定·期末）如果是二次函数，则的值为_____． 8．（2026·上海奉贤·模拟预测）二次函数的最小值为___________． 9．（25-26九年级上·上海嘉定·阶段检测）由表的对应值知，一元二次方程（a，b，c为常数，）的一个根的百分位上的数字是__________． x 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 10．（25-26九年级上·上海徐汇·期中）抛物线与的形状相同，开口方向相反，则______． 11．（26-27九年级上·上海杨浦·课后作业）已知二次函数的图象是由抛物线向左平移3个单位长度得到的，则________，________． 12．（2026·上海松江·模拟预测）二次函数的部分对应值如下表： x … 0 1 3 5 … y … 7 0 7 … 由表可知该二次函数的图象对称轴为直线______，对应的函数值______． 13．（24-25九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A且与x轴平行的直线交抛物线于点B，C，则的长为_________________． 14．（25-26九年级上·上海崇明·阶段检测）如图，抛物线与直线交于A、B两点，则关于x的不等式的解集为______． 15．（2026·上海宝山·二模）已知抛物线的对称轴是直线，抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图像如上图所示，下列结论：①y的最大值为3；②；③当时，y随x的增大而减小；④．其中正确的序号为__________． 16．（25-26九年级上·上海虹口·期末）如图，抛物线与反比例函数的图象在第一象限交于点A，轴与抛物线交于点B，则的面积为________． 17．（25-26九年级上·上海宝山·期中）在如图所示的直角坐标系中，已知点A（1，0），B（0，-2），将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC． （1）点C的坐标为________； （2）若抛物线经过点C，则抛物线的解析式为________． 18．（2026·上海长宁·模拟预测）我们在求代数式的最小值时，可以考虑用如下方法求得： 解： ∵，∴，∴的最小值是4． 请用上面的方法解决下列问题，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形花园，花园一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设，则当_____时，花园的面积最大是_____． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（25-26九年级上·上海长宁·期中）已知抛物线． (1)利用配方法求该抛物线的顶点坐标； (2)当为何值时，随的增大而减小？ 20．（2026·上海普陀·一模）二次函数的自变量x与函数值y的对应值如下表，根据下表回答问题． x … －3 －2 －1 0 … y … －2 －2 0 4 … (1)该二次函数与y轴交点是 ，对称轴是 ． (2)求出该二次函数的表达式； (3)向下平移该二次函数，使其经过原点，求出平移后图像所对应的二次函数表达式．        21．（25-26九年级上·上海崇明·期中）一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，矩形的一边长为． (1)求隧道截面的面积与上部半圆的半径之间的函数关系式． (2)求当上部半圆半径为时的截面面积．（结果保留） 22．（2026·上海松江·模拟预测）某水果批发商销售每箱进价为元的苹果，在确保每箱苹果的售价不低于元的情况下，物价部门规定，每箱苹果售价不高于元，经市场调查发现，平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系如图所示． (1)求平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并写出的取值范围； (2)求平均每天的销售利润（元）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并求出当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润；最大利润是多少元？ 23．（25-26九年级上·上海奉贤·阶段检测）小明学习了反比例函数和一元二次方程后，探索一元二次方程的图像解法： 例：解一元二次方程： 解：由题意得，，方程可化为，令，，在同一坐标系中画出两个函数的图像，可得两个函数图像的交点横坐标对应方程的解； 通过上述解题过程的学习，按其解题思路和方法解答下列问题： (1)上述解题过程中，除了运用转化思想，还运用了下列数学思想中的_______（只填序号） ①分类讨论思想        ②换元思想        ③数形结合思想 (2)如图，直线与双曲线：交于，，关于x的方程的解为_______； (3)仿照上面的例子，用图像法直接写出一元二次不等式的解集． 24．（2026·上海杨浦·二模）【问题提出】在数学兴趣小组的研讨中，小蒙提出了自己遇到的问题：解不等式 【问题探究】数学老师启发小蒙从函数的角度解决这个问题： 如图1，在平面直角坐标系中，分别画出函数．和函数 的图象，从函数角度看，解不等式 相当于求抛物线．在双曲线 下方的点的横坐标的取值范围． （1）观察图1，可知两个图象的交点坐标为______ ，所以 的解为______． 【类比探究】受此启发，小蒙尝试解不等式 经过分析，小蒙发现需要借助函数 和函数 的图象来求解． （2）请先完成上面的填空，再在图2中画出相应的函数图象，写出不等式 的解集并说明理由． 【拓展应用】小蒙想借助函数图象进一步研究不等式，于是尝试解不等式组 并进行了一些准备，如图3所示． （3）请根据小蒙的思路分析，直接写出该不等式组的解集． 25．（25-26九年级上·上海松江·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点、在轴上，点、在轴上，且，，抛物线经过三点，直线与抛物线交于另一点． (1)求这条抛物线的解析式； (2)在抛物线对称轴上是否存在一点，使得的周长最小，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)点是直线上一动点，点为抛物线上直线下方一动点，当线段的长度最大时，请求出点的坐标和面积的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章 二次函数重难点检测卷 （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二次函数全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（25-26九年级上·上海闵行·期末）二次函数图象的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质．二次函数的顶点坐标是，对称轴为直线．据此求解即可． 【详解】解：二次函数图象的对称轴是直线， 故选：A． 2．（25-26九年级上·上海宝山·期中）下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间是二次函数关系的是（　　） A．铅笔的单价不变，总价y与支数x B．路程一定，列车运行的平均速度y与时间x C．正方体的表面积y与它的棱长x D．速度一定，列车的行驶路程y与行驶时间x 【答案】C 【分析】根据各选项的实际数量关系列出y与x的函数关系式，再结合二次函数的定义判断，二次函数定义为形如 (a，b，c为常数，且)的函数是二次函数． 【详解】解：对选项A，∵设铅笔单价为定值，可得，∴y是x的正比例函数(一次函数)，不是二次函数，故A不符合题意； 对选项B，∵设路程为定值，可得，即，∴y是x的反比例函数，不是二次函数，故B不符合题意； 对选项C，∵正方体棱长为x，表面积为y，正方体有6个大小相等的正方形面，每个面面积为，∴，符合二次函数定义，故C符合题意； 对选项D，∵设速度为定值，可得，∴y是x的正比例函数(一次函数)，不是二次函数，故D不符合题意． 3．（2025·上海松江·模拟预测）若是关于x的一元二次方程的两个实根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的根关系，作出与的图像，是图像交点的横坐标，数形结合即可求解． 【详解】解：如图： 是与图像交点的横坐标， 故， 故选：C． 4．（25-26九年级上·上海崇明·期中）抛物线的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数与不等式：根据交点确定不等式的解集．观察函数图象，得出二次函数的开口方向向上，与x轴的交点坐标分别是，结合二次函数的图象性质，进行分析，即可作答． 【详解】解：观察函数图象，得出二次函数的开口方向向上，与x轴的交点坐标分别是， 对应的函数图象在轴下方，由图象可得范围为． ∴不等式的解集为 故选：A 5．（2026·上海虹口·模拟预测）已知点在函数的图象上，点在函数的图象上，点在函数的图象上，，，均大于0．三个函数的图象位于第一象限的部分如图所示，当时，下列大小关系不可能的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出三个函数图象在第一象限的交点，再根据图象分情况解答即可； 【详解】解：联立与得，整理得，解得：， 联立与得，解得：或， 联立与得，整理得，解得：或， ∴函数、函数、函数的图象在第一象限交于点， 故三个函数的图象位于第一象限的部分， 当时，，B选项可能； 当时，根据图象可得，，A选项可能； 当时，根据图象可得，，C选项可能； 综上，D选项不可能． 6．（25-26九年级上·上海金山·期中）如图，点A是抛物线图象在第一象限内的一个动点，且点A的横坐标大于1，点E的坐标是（0，1），过点A作AB轴交抛物线于点B，过A、B作直线AE、BE分别交轴于点D、C，设阴影部分的面积为，点A的横坐标为，则关于的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知，，E（0，1），得出，再由阴影部分的面积为即可得解． 【详解】解：由题意可知，，，E（0，1），， 又AB轴，且过A、B作直线AE、BE分别交轴于点D、C，所以由 ； 故选：C． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，坐标系中三角形面积求法，利用点的坐标表示线段的长度是解题关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（25-26九年级上·上海嘉定·期末）如果是二次函数，则的值为_____． 【答案】 【分析】本考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．根据二次函数中未知数的最高次数为2，二次项系数不能为0，可知，，由此可解． 【详解】解：函数是二次函数， ，， 解得：或， 解得：， ， 故答案为：． 8．（2026·上海奉贤·模拟预测）二次函数的最小值为___________． 【答案】 【分析】二次函数二次项系数大于0，开口向上，最小值为顶点的纵坐标，可通过配方计算得到． 【详解】解：， ∵， ∴当时，取得最小值，代入计算得最小值为． 9．（25-26九年级上·上海嘉定·阶段检测）由表的对应值知，一元二次方程（a，b，c为常数，）的一个根的百分位上的数字是__________． x 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 【答案】4 【分析】根据表格可得当时，；当时，，由此得到一元二次方程（a，b，c为常数，）的一个根在3.24与3.25之间，由此得到答案． 【详解】解：由表格得，当时，；当时，， 故一元二次方程（a，b，c为常数，）的一个根在3.24与3.25之间， ∴一元二次方程（a，b，c为常数，）的一个根的百分位上的数字是4， 故答案为：4． 【点睛】此题考查了一元二次方程的根的情况，正确理解一元二次方程的表示方法是解题的关键． 10．（25-26九年级上·上海徐汇·期中）抛物线与的形状相同，开口方向相反，则______． 【答案】 【分析】此题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握抛物线的开口大小由的大小决定，抛物线的开口方向与的正负有关．利用抛物线的形状与有关；开口方向上时，开口方向下时解决即可． 【详解】解：∵抛物线与的形状相同， ∴二次项系数的绝对值相等，都为； ∵开口方向相反， ∴二次项系数互为相反数， 即中，． 故答案为：． 11．（26-27九年级上·上海杨浦·课后作业）已知二次函数的图象是由抛物线向左平移3个单位长度得到的，则________，________． 【答案】 【分析】根据二次函数“左加右减”的平移规律得到平移后的解析式，对比题目给出的顶点式即可求出和． 【详解】解：抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线， ∵二次函数的图象是由抛物线向左平移3个单位长度得到的， ∴． 12．（2026·上海松江·模拟预测）二次函数的部分对应值如下表： x … 0 1 3 5 … y … 7 0 7 … 由表可知该二次函数的图象对称轴为直线______，对应的函数值______． 【答案】 1 【分析】利用二次函数的对称性，函数值相等的两个点关于对称轴对称，先求对称轴，再根据对称轴求对应的函数值． 【详解】解：从表格中可知，当和时，对应的值都为， ∵二次函数图象上，纵坐标相等的两个点关于对称轴对称， ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∵关于对称轴的对称点横坐标为， ∴对应的函数值与对应的函数值相等， ∵由表格可知时，， ∴对应的函数值． 13．（24-25九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A且与x轴平行的直线交抛物线于点B，C，则的长为_________________． 【答案】10 【分析】本题主要考查二次函数的性质，先求得与y轴的交点，再结合抛物线求得点B和点C，即可求得． 【详解】解：∵抛物线与y轴交于点A， ∴A点坐标为． 当时，， 解得， ∴B点坐标为，C点坐标为， ∴． 故答案为：10． 14．（25-26九年级上·上海崇明·阶段检测）如图，抛物线与直线交于A、B两点，则关于x的不等式的解集为______． 【答案】或 【分析】根据图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知：或时，， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，解题的关键是利用数形结合的思想． 15．（2026·上海宝山·二模）已知抛物线的对称轴是直线，抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图像如上图所示，下列结论：①y的最大值为3；②；③当时，y随x的增大而减小；④．其中正确的序号为__________． 【答案】①②③④ 【分析】根据图象得到抛物线开口向下，顶点纵坐标为3，对称轴是直线，抛物线与x轴的另一个交点在点和点之间，然后逐项判断即可． 【详解】解：由图象可得，抛物线开口向下，顶点纵坐标为3 ∴y的最大值为3，故①正确； ∵对称轴是直线，抛物线与x轴的一个交点在点和点之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点和点之间， ∴当时，，故②正确； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而减小，故③正确； ∵对称轴是直线， ∴ ∴，故④正确． 综上所述，正确的序号为①②③④． 16．（25-26九年级上·上海虹口·期末）如图，抛物线与反比例函数的图象在第一象限交于点A，轴与抛物线交于点B，则的面积为________． 【答案】5 【分析】根据可得为等腰三角形，再利用反比例函数的比例系数k的几何意义可知，由，即可的的面积． 【详解】如图： ∵轴与抛物线交于点 ∴为等腰三角形 ∴轴 ∴ ∴的面积为5 故答案为：5 【点睛】本题考查函数图象交点坐标的求法及反比例函数的比例系数k与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即． 17．（25-26九年级上·上海宝山·期中）在如图所示的直角坐标系中，已知点A（1，0），B（0，-2），将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC． （1）点C的坐标为________； （2）若抛物线经过点C，则抛物线的解析式为________． 【答案】 （3，-1） 【分析】（1）过点C作轴，垂足为D，，根据全等三角形的性质即可求解； （2）将点代入解析式，求解即可． 【详解】解：（1）过点C作轴，垂足为D， 如下图： 由题意可得：，则， 又∵ ∴， 又∵，且由已知有， ∴，∴ ∴ 点C的坐标为； 故答案为. （2）∵ 抛物线，经过点， ∴ ，解得， ∴ 抛物线的解析式为 故答案为. 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，待定系数法求解二次函数解析式，解题的关键是构造全等三角形求得点的坐标． 18．（2026·上海长宁·模拟预测）我们在求代数式的最小值时，可以考虑用如下方法求得： 解： ∵，∴，∴的最小值是4． 请用上面的方法解决下列问题，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形花园，花园一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设，则当_____时，花园的面积最大是_____． 【答案】 5 【分析】根据矩形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质求最值． 【详解】解：设，则，面积为， 由图可得：， ∵， ∴， 又∵且， ∴， ∴当时，y取得最大值，此时． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（25-26九年级上·上海长宁·期中）已知抛物线． (1)利用配方法求该抛物线的顶点坐标； (2)当为何值时，随的增大而减小？ 【答案】(1) (2)（或）时，随的增大而减小 【分析】本题考查了解析式的顶点式，对称轴，增减性．熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． （1）化成顶点式后确定对称轴即可； （2）根据抛物线的性质解答即可． 【详解】（1）解：（1）， 该抛物线的顶点坐标． （2）由（1）可得抛物线开口向上，对称轴为直线， （或）时，随的增大而减小． 20．（2026·上海普陀·一模）二次函数的自变量x与函数值y的对应值如下表，根据下表回答问题． x … －3 －2 －1 0 … y … －2 －2 0 4 … (1)该二次函数与y轴交点是 ，对称轴是 ． (2)求出该二次函数的表达式； (3)向下平移该二次函数，使其经过原点，求出平移后图像所对应的二次函数表达式． 【答案】(1)， (2)． (3) 【分析】（1）根据表格信息可知二次函数与y轴交点是（0，4），利用二次函数的对称性可知横坐标不同时对应的纵坐标相等，则该两点关于对称轴对称，根据中点坐标公式可求出对称轴． （2）利用待定系数法将点的坐标代入进解析式求出待定系数即可． （3）根据过原点的二次函数解析式的特点可知形如，直接将二次函数的图像向下平4个单位即可． 【详解】（1）解：由表格可知，该二次函数图像与y轴交点是（0，4），对称轴是直线． （2）解：把（－2，－2）、（－1，0），（0，4）代入 得 解得           ∴二次函数解析式为； （3）解：要使二次函数图像经过原点，则函数表达式形如 将函数的图像向下平4个单位即可． 则平移后图像所对应的二次函数表达式为 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，能够根据图表信息求出函数表达式，以及熟知函数的性质是解决本题的关键． 21．（25-26九年级上·上海崇明·期中）一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，矩形的一边长为． (1)求隧道截面的面积与上部半圆的半径之间的函数关系式． (2)求当上部半圆半径为时的截面面积．（结果保留） 【答案】(1) (2)当上部半圆半径为时的截面面积为 【分析】（1）已知圆的半径为，可知矩形的另一边长为，分别计算半圆面积和矩形面积，列出函数关系式； （2）把代入函数关系式，可求面积． 【详解】（1）解：圆的半径为，矩形的另一边长为， 则：隧道截面的面积， 即； （2）解：当时，截面面积为 ． 答：当上部半圆半径为时的截面面积为． 【点睛】本题考查了利用面积法列函数关系式的方法，并要求会对函数式进行简单的运用． 22．（2026·上海松江·模拟预测）某水果批发商销售每箱进价为元的苹果，在确保每箱苹果的售价不低于元的情况下，物价部门规定，每箱苹果售价不高于元，经市场调查发现，平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系如图所示． (1)求平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并写出的取值范围； (2)求平均每天的销售利润（元）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并求出当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润；最大利润是多少元？ 【答案】(1)函数关系式为，的取值范围是． (2)函数关系式为，当每箱苹果售价为元时，可获得最大利润，最大利润为元． 【分析】（1）根据图像，平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间是一次函数关系，设函数解析式代入已知点求解即可，售价需满足不低于进价元，且不高于物价部门规定的元； （2）根据平均每天的销售利润（元）=每箱苹果的利润×平均每天的销售量（箱），将有关代数式代入公式中，可以得到平均每天的销售利润（元）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式为开口向下的二次函数，结合的取值范围和二次函数的对称轴即可确定的最大值． 【详解】（1）解：由图像可知，与是一次函数关系， 设函数解析式为， 已知图像上两点和， 代入解析式中可得 ， 解得， 函数关系式为． 根据题目条件，售价需不低于每箱进价元，且不高于物价部门规定的元， 的取值范围是． （2）根据利润的计算公式：平均每天的销售利润（元）=每箱苹果的利润×平均每天的销售量（箱），即． 将（1）中得到的代入利润公式，整理得， ， 这是一个开口向下的二次函数，其对称轴为． 的取值范围是， 该区间在对称轴左侧，随的增大而增大， 当时，取得最大值，， 当每箱苹果售价为元时，可获得最大利润元． 23．（25-26九年级上·上海奉贤·阶段检测）小明学习了反比例函数和一元二次方程后，探索一元二次方程的图像解法： 例：解一元二次方程： 解：由题意得，，方程可化为，令，，在同一坐标系中画出两个函数的图像，可得两个函数图像的交点横坐标对应方程的解； 通过上述解题过程的学习，按其解题思路和方法解答下列问题： (1)上述解题过程中，除了运用转化思想，还运用了下列数学思想中的_______（只填序号） ①分类讨论思想        ②换元思想        ③数形结合思想 (2)如图，直线与双曲线：交于，，关于x的方程的解为_______； (3)仿照上面的例子，用图像法直接写出一元二次不等式的解集． 【答案】(1)③ (2)， (3)或 【分析】本题考查二次函数与不等式(组)及一次函数与反比例函数，数形结合思想的巧妙运用是解题的关键． （1）根据题中所给解题过程，可得出其中运用了数形结合的数学思想，据此可解决问题． （2）将解一元二次方程转化为求解一次函数与反比例函数的图象的交点问题即可． （3）令，先求出一元二次方程的解，转化为二次函数图象与x轴的交点问题即可， 【详解】（1）由题知，上述解题过程中还运用了数形结合的思想， 故选：③； （2）根据题意将代入，可得：， 则双曲线解析式为：， 根据题意将代入，可得：， 解得：，则， 由题意得，，方程可化为，令，， 即的图象与的图像的交点横坐标对应方程的解， ∵直线与双曲线：交于，， ∴关于x的方程的解为：，； （3）设， 解得：，， 则抛物线与x轴的交点坐标为和． 画出二次函数的大致图像，如图， 由图像可知：当，或当时函数图像位于x轴上方，此时， 即． 所以一元二次不等式的解集为：或． 24．（2026·上海杨浦·二模）【问题提出】在数学兴趣小组的研讨中，小蒙提出了自己遇到的问题：解不等式 【问题探究】数学老师启发小蒙从函数的角度解决这个问题： 如图1，在平面直角坐标系中，分别画出函数．和函数 的图象，从函数角度看，解不等式 相当于求抛物线．在双曲线 下方的点的横坐标的取值范围． （1）观察图1，可知两个图象的交点坐标为______ ，所以 的解为______． 【类比探究】受此启发，小蒙尝试解不等式 经过分析，小蒙发现需要借助函数 和函数 的图象来求解． （2）请先完成上面的填空，再在图2中画出相应的函数图象，写出不等式 的解集并说明理由． 【拓展应用】小蒙想借助函数图象进一步研究不等式，于是尝试解不等式组 并进行了一些准备，如图3所示． （3）请根据小蒙的思路分析，直接写出该不等式组的解集． 【答案】（1）；，[类比探究]； （2）函数图象如图所示，解集为或，理由：从函数角度看，解不等式 相当于求双曲线在直线 上方的点的横坐标的取值范围． 由图象可知， 与的交点分别为和，因此解集为或； （3） 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数与不等式，数形结合的思想方法，本题是阅读型题目，理解题干中的解题的思想方法并熟练运用是解题的关键． （1）观察图象解答即可； （2）画出函数的图象，观察图象解答即可； （3）观察图象解答即可． 【详解】解：[问题探究] （1）观察图1，可知两个图象的交点坐标为，所以的解为． 故答案为：，0＜x＜1； [类比探究] 受此启发，小蒙尝试解不等式，经过分析，小蒙发现需要借助函数和函数的图象来求解． 故答案为：； （2）略 （3）在图3中画出的图象， 由图象可知，该不等式组的解集是． 25．（25-26九年级上·上海松江·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点、在轴上，点、在轴上，且，，抛物线经过三点，直线与抛物线交于另一点． (1)求这条抛物线的解析式； (2)在抛物线对称轴上是否存在一点，使得的周长最小，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)点是直线上一动点，点为抛物线上直线下方一动点，当线段的长度最大时，请求出点的坐标和面积的最大值． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)时的周长最小； (3)当面积最大时，点的坐标为，面积最大值为． 【分析】（）由，，，的长度可得出点，，，的坐标，由点，，的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式； （）利用配方法可求出抛物线的对称轴，连接，交抛物线对称轴于点，此时和最小，即的周长最小，由点，的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标； （）由点，的坐标可得出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点的坐标，过点P作轴，交直线于点，设点的坐标为，则点的坐标为，进而可得出的长，由三角形的面积结合可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、轴对称（最短路径问题）、三角形的面积、二次函数的性质以及二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用． 【详解】（1）∵，， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 ，点的坐标为 ， 将，，代入得： ，解得：， ∴这条抛物线的解析式为； （2）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 连接，交抛物线对称轴点，如图所示， ∵点，关于直线对称， ∴， ∴ ∴当点，，三点共线时，取得最小值，即的周长最小， 设直线的解析式为， 将，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴在这条抛物线的对称轴上存在点时的周长最小； （3）∵，， ∴直线的解析式为，联立直线和抛物线的解析式成方程组，得：， 解得：，， ∴点的坐标为， 过点作轴，交直线于点，如图所示， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， ∴， ， ， ， ∵， ∴当时，的面积取最大值，最大值为， ∴当面积最大时，点的坐标为，面积最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $