精品解析：山东省日照实验高级中学2027届高三上学期开学适应性训练一数学试题

2024级高三上学期开学适应性训练一 数学试题 2026.8.17 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求解集合，再利用集合的运算求解. 【详解】的定义域为， 不等式，解得：或，即或， ，所以. 故选：B 2. 已知函数是偶函数，则函数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由偶函数的定义，求出，再确定函数值域即可． 【详解】， 即， ，解得， ， 则，解得， 的定义域为， 又因为，， 即函数的取值范围是． 3. 若函数的单调递减区间为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先对函数求导，根据单调递减区间对应导数小于等于0的解集，可知区间端点是导数等于0的根，代入求解即可得到的值. 【详解】 对求导，得.  已知的单调递减区间为，因此方程的两个实根为. 将代入，得，解得. 当时，，当时，，即恒成立，符合题意. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦函数，对数函数及指数函数的单调性结合中间量法即可得解. 【详解】因为，所以， 而， 所以. 故选：C. 5. 已知幂函数的图象过函数且的图象所经过的定点，则的值等于（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据函数是幂函数求，再根据函数所过定点求. 【详解】因为函数为幂函数，所以，得，即， 函数且的定点为， 即. 故选：D 6. 设甲：，乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解. 【详解】当时，例如但， 即推不出； 当时，， 即能推出. 综上可知，甲是乙的必要不充分条件. 故选：B 7. 函数在区间上的图象如图所示，将该函数图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的图象确定的值，可得函数解析式，根据图象的伸缩平移变换可得变换后的函数表达式，结合其性质即可求得答案. 【详解】由图象可知函数的最小正周期为， 又，故，由于，故， 所以， 将该函数图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变）， 再向右平移个单位长度后，得到的图象， 因为该图像图象关于原点对称，即为奇函数， 故，则， 而，则的最小值为， 故选：C 8. 已知正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用可以求解的向量来表示. 【详解】记圆心为，则， 因为互为相反向量， 所以， 因为正六边形ABCDEF的边长为2，为正六边形的中心， 所以当与正六边形顶点重合时，有最大值2， 当在正六边形边上的中点处时，有最小值，此时. 所以. 故选：B 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列各式的值等于1的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据诱导公式以及同角关系即可结合选项逐一化简求解. 【详解】对于A,,故A正确， 对于B,，故B错误， 对于C,,故C错误， 对于D,，故D正确， 故选：AD 10. 已知函数 若关于x的方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，探求出函数的性质，作出函数图象，把方程有四个不同的实数解转化为函数的图象与直线有4个公共点求解作答. 【详解】当时，函数在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为， 当时，函数在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为， 作出函数的部分图象，如图， 方程有四个不同的实数解，等价于函数的图象与直线有4个公共点， 观察图象知，当时，函数的图象与直线有4个公共点， 即方程有四个不同的实数解，A正确； 因为二次函数图象对称轴为，因此，B不正确； 当时，，由，，得，因此，C正确； 当时，，由，得，解得， 且，则，有，所以，D正确. 故选：ACD 【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答. 11. 在平面四边形ABCD中，点D为动点， 的面积是面积的2倍，又数列满足，恒有，设的前n项和为，则（ ） A. 为等比数列 B. 为等差数列 C. 为递增数列 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】连交于，根据面积关系推出，根据平面向量知识推出，结合，推出，即，求出，，根据等比数列的定义可判断A；根据等差数列的定义可判断B，根据数列的单调性可判断C；利用错位相减法求出，可判断D. 【详解】如图，连交于， 则，即， 所以，所以， 所以， 设， 因为， 所以， ，所以， 所以，即， 又，所以， 所以是首项为2，公差为的等差数列， 所以，所以， 因为不是常数，所以不为等比数列，故A不正确； 因为， 所以为等差数列，故B正确； 因为， 所以为递减数列，故C不正确； 因为， 所以， 所以， 所以， 所以，故D正确. 故选：BD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知都是正实数，若，则的最小值为_________． 【答案】## 【解析】 【详解】，， 由，所以， . 当且仅当时，等号成立. 的最小值为. 故答案为：. 13. 已知向量是平面内的一组基底，若向量与共线，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量共线求解即可； 【详解】因为向量是平面内的一组基底，与共线， 所以即 所以解得： 故答案为：. 14. 如图所示，圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，，若，则的值为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据任意角三角函数的定义，求得三角函数值，再根据等边三角形的性质，结合二倍角公式以及辅助角公式，可得答案. 【详解】点的坐标为，则， 设，，则， ， ， ，，，则， . 故答案为：. 三、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，向量． （1）若向量，求向量的坐标； （2）若向量与向量的夹角为120°，求． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由，设，有，再根据，得，最后解方程即可； （2）先求，再求后可求解. 【小问1详解】 由，设，∴， ∵，∴，解得或 所以或． 【小问2详解】 ∵，，， ∴， ∴，∴． 16. 已知，其中向量, （1）求的最小正周期和最小值； （2）在△中，角A、B、C的对边分别为、、，若，，，求边长的值. 【答案】（1）最小正周期为π，最小值为. （2）2或6． 【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积化简的解析式，进而可得的最小正周期和最小值； （2）先由求得，再利用余弦定理列方程，即可求得边长的值. 【详解】（1） 则的最小正周期，最小值为. （2），则， 又 ，则，故，解之得 又，，由余弦定理得， 即，解之得或.经检验，均符合题意. 17. 设函数. （1）求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）求得，得到，利用直线的点斜式方程，求得切线方程为，进而求得三角形的面积； （2）由，得到，结合，得到在上单调递增，进而求得函数的最值. 【小问1详解】 解：由题意，函数， 则，可得， 所以曲线在点处的切线方程为， 即，可得直线在x轴，y轴上的截距分别为，， 所以所求三角形的面积为. 【小问2详解】 解：由， 则，所以函数为增函数， 又因为，所以当时，， 所以函数在上单调递增， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 即函数在区间上的最大值为，最小值为. 18. 已知数列的前n项和为，，且为与的等差中项，当时，总有． （1）求数列的通项公式； （2）记为数列落在区间内的项的个数，求数列的前m项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系计算即可； （2）先求出数列的通项公式，再利用奇偶分析法结合并项求和法计算即可. 【小问1详解】 ∵当时，总有， ∴，从而， ∵为与的等差中项，∴， ∵，∴，从而， 综上可知：对于，都有，即， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以； 【小问2详解】 根据（1）可得：， 由即可得：， 所以， 从而， ∴， 当m为偶数时， ， 当m为奇数且时，， 由于适合上式，所以当m为奇数时，， 综上可知：. 19. 已知函数． （1）判断与之间的关系，并求出的最大值； （2）记的最小值为，求证：函数有两个零点，且两个零点为互为相反数． 【答案】（1），2 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用已知函数的解析式，分别计算，可得两者相等;再利用求得最大值; （2）利用可得的最小值，由（1）可知，利用函数零点的判定定理得知有两个零点且，利用与的关系可证得两个零点为互为相反数. 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴， ， 当时，，为增函数；当时，，为减函数． ∴的最大值. 【小问2详解】 ∵， ∴， 由可得：或（舍去）， 记，则， 此时，， 当时，为减函数； 时，为增函数， ∴， ∵， 结合（1）可知：在区间和分别存在唯一的和， 使得，且， 由于在上为减函数， 所以，相对应的，函数有两个零点：和， ∵ ， ∴函数有两个零点，且两个零点为互为相反数． 【点睛】方法点睛：本题考查利用导数判断函数的单调性及零点判定定理，在处理与关系、与关系时用到转化与化归思想. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高三上学期开学适应性训练一 数学试题 2026.8.17 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数是偶函数，则函数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 若函数的单调递减区间为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知幂函数的图象过函数且的图象所经过的定点，则的值等于（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 设甲：，乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 7. 函数在区间上的图象如图所示，将该函数图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列各式的值等于1的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数 若关于x的方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为，则（ ） A. B. C. D. 11. 在平面四边形ABCD中，点D为动点， 的面积是面积的2倍，又数列满足，恒有，设的前n项和为，则（ ） A. 为等比数列 B. 为等差数列 C. 为递增数列 D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知都是正实数，若，则的最小值为_________． 13. 已知向量是平面内的一组基底，若向量与共线，则______. 14. 如图所示，圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，，若，则的值为___________. 三、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，向量． （1）若向量，求向量的坐标； （2）若向量与向量的夹角为120°，求． 16. 已知，其中向量, （1）求的最小正周期和最小值； （2）在△中，角A、B、C的对边分别为、、，若，，，求边长的值. 17. 设函数. （1）求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 18. 已知数列的前n项和为，，且为与的等差中项，当时，总有． （1）求数列的通项公式； （2）记为数列落在区间内的项的个数，求数列的前m项和． 19. 已知函数． （1）判断与之间的关系，并求出的最大值； （2）记的最小值为，求证：函数有两个零点，且两个零点为互为相反数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $