第一章 集合与常用逻辑用语+第二章 一元二次函数、方程和不等式 阶段综合检测卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 整合集合、不等式、命题核心知识，通过基础题型与综合应用结合，构建从概念到运算再到实际建模的逻辑体系 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合|6题（如单选1/5、解答15）|集合交并运算、子集个数、含参数集合关系|从集合概念生成到运算规则，再到含参数应用的推理链条| |不等式|10题（如单选6、解答18）|基本不等式求最值、一元二次不等式解法与恒成立、实际应用|从不等式性质推导到解法技巧，再到生活情境建模的应用拓展| |命题|3题（如单选7、多选10）|命题否定、充分必要条件判断、存在命题真假|从命题概念到否定规则，再到条件关系判断的逻辑推理|

高一数学必修第一册阶段综合检测卷 姓名： 班级： 考试时间：120分钟 满分：150分 【注意事项】 ①.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 ②.作答前，请将姓名、班级填写在试卷指定位置。 ③.所有答案请书写规范，解答题需写出必要解题步骤。 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。） 1.已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2.已知，的最小值是（ ）。 A.2 B.3 C. D. 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 4. 已知且，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5.已知集合,集合，则（ ） A. B. C. D. 6.已知正数满足，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D.8 7.“”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8.不等式的解集是（ ）。 A. B. C. D. 二、多项选择题；（本题共3小题，每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分。） 9.下列不等式成立的是（ ）。 A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 10.下列命题中，是存在命题且是真命题的是（ ） A. B. C.至少存在一个无理数，使得是有理数 D.有的有理数没有倒数 11.设，，若存在集合C，满足①，②若，则集合C可能为（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12.集合的所有子集个数为 。 13.不等式的解集为 。 14.下列命题中; ①若，则的最大值为2 ②若均为正数时， ③的最小值为5 其中是真命题的是 。（填上所有真命题的序号） 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（13分）已知集合， （1）若，求实数的值。 （2）求实数的值，使得。 16.（14分）当取什么值时，一元二次不等式对于一切实数都成立？ 17.（15分）已知集合，,是否存在实数,使得?若存在，试求出实数的值；若不存在，请说明理由。 18.（17分）一般认为，商品房的窗户面积必须小于地板面积，但是窗户面积与地板面积的比不小于，而且这个比值越大，采光效果越好。 （1） 某小区商品房窗户面积与地板面积的总和为180，则这个小区的商品房的窗户面积至少为多少平方米？ （2） 若同时增加相同的窗户面积和地板面积，则这套商品房的采光效果变好了还是变差了？ 19.（18分）某企业经过调研测算，发现该企业生产的产品的年销售量（该企业的年产量）万件与年促销费用万元（）满足（为常数），如果不搞促销活动，那么产品的年销售量只能为1万件。每年企业生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件产品还需要投入4万元，厂家把每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的2倍（产品成本含固定投入和再投入两部分资金） （1）写出该产品的利润万元与年促销费用万元的关系式。 （2）该企业促销费用投入多少万元时，企业获得利润最大？ 参考答案 1.【答案】C 【解析】集合，集合，则 【考查点】考查交集的定义。 2.【答案】D 【解析】因为，所以 【考查点】考查基本不等式的运用。 3.【答案】D 【解析】命题“”的否定是“” 【考查点】考查全称量词和存在量词的转换。 4.【答案】A 【解析】已知且，所以 ，B选项与基本不等式矛盾，错误；C选项变形为，平方数不可能小于0，错误；D选项中可变形为，同样错误。 【考查点】考查基本不等式的判断。 5.【答案】B 【解析】集合，集合，所以 【考查点】考查并集的应用。 6.【答案】 B 【解析】因为正数满足，所以，即，故 【考查点】考查基本不等式求最值。 7.【答案】B 【解析】判断充分性：“”不能推出“”，所以不充分；判断必要性：“”能推出“”所以必要。因此“”是“”的必要不充分条件。 【考查点】考查判断充分、必要条件。 8.【答案】A 【解析】 【考查点】考查一元二次不等式。 9.【答案】BC 【解析】A选项中，如果，那么不成立；B选项如果，成立；C选项中，但是,不等式成立；D选项中假设时，结论 不成立。 【考查点】考查基本不等式的性质。 10.【答案】CD 【解析】A选项是全称命题，不是存在命题；B选项，其判别式，方程无实数根，所以存在命题是假命题；C选项中例如（无理数）但是有理数；D选项中有的有理数没有倒数，这是存在命题，有理数0没有倒数，所以命题是真命题。 【考查点】考查全称命题和存在命题的判断。 11. 【答案】ACD 【解析】已知，①可得；已知，②若可得求交集得到C的公共可能元素为，所以A、C、D这三个选项符合要求。 【考查点】考查集合条件题型的运用。 12.【答案】8 【解析】的子集有，，，，，，， 【考查点】考查集合的子集。 13.【答案】 【解析】 【考查点】考查一元二次不等式的解法 14.【答案】①② 【解析】结论①中即：结论②中已知均为正数，由不等式可得，所以，当时取等号。结论③中函数自变量的取值范围是,分情况讨论：当时，当时,令所以，此时函数无最小值，只有最大值. 【考查点】考查不等式求值。 15. 【解析】（1）若，说明是方程的根。 则 即解得 （2）已知集合，所以解得 所以集合 又因为，所以集合A中的元素只能是、0、2 ①当时，方程的判别式 ,所以A不可能是空集。 ② 因式分解得 解得 ， 因为所以 所以解得 无解 综上所述； 当时，满足 所以当实数，使得。 【考查点】考查方程、集合包含的应用。 16.【解析】是一元二次不等式，所以 一元二次不等式对于一切实数都成立 则即 解得： 综上所述，当时，不等式对一切实数都成立。 【考查点】考查一元二次不等式恒成立问题。 17.【解析】，则，即中所有元素都属于集合. 已知集合，,且,所以只需要，分两种情况讨论： 当时，即，此时，集合，不满足集合元素的互异性，舍去。 当时,整理方程得 因式分解得 解得 当时，集合，，满足，符合条件。 当时，此时集合，不满足集合元素的互异性，舍去。 综上所述：存在，使得 【考查点】考查集合包含性质的运用。 18. 【解析】（1）设窗户面积为,地板面积为，由题意知： 由 得 把代入得 因为不等式两边同时乘以，化简得 即； 所以即 又,所以得 因为，满足条件 所以窗户面积至少为。 （2）设窗户面积为,地板面积为，增加的面积为 原来的比值： 现在的比值： 计算差值 因为所以，即 所以采光效果变好了。 【考查点】考查不等式的应用。 19. 【解析】（1）当时，把代入中，即 解得，所以 每生产1万件再投入10万元，所以其总成本为万元，每件产品的平均成本为万元/万件，销售价格为2×万元/万件，所以利润万元与年促销费用万元的关系式： 化简得 将代入 即 该产品的利润万元与年促销费用万元的关系式： （3） 由（1）得 根据基本不等式的性质得: 所以 当且仅当时取等号，解得 所以当促销费用投入为1万元时，企业获利最大。 【考查点】考查利润+基本不等式的应用。 学科网（北京）股份有限公司 $