【人教A版专题15】2026-2027学年第一学期高一数学（第二章 一元二次函数、方程和不等式）单元复习限时训练（二）

**基本信息** 聚焦一元二次函数、方程和不等式的内在联系，通过选择、填空、解答多题型覆盖比较大小、最值求解、实际建模等核心考法，强化知识应用与数学思维。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |不等式性质应用|单选1、4|结合数式比较与条件判断|从不等式基本性质到充要条件推理，体现逻辑思维| |基本不等式求最值|单选2、多选5、填空7|正实数条件下的最值计算|以“和定积最大”“积定和最小”为核心，训练运算能力| |实际问题建模|单选3、解答10|杠杆原理与篱笆围地问题|从实际情境抽象数学模型，培养模型意识与应用能力| |二次函数与不等式|多选6、解答9|解集与恒成立问题|关联二次函数图像、方程根与不等式解集，构建知识网络|

2026-2027学年第一学期高一数学（人教版A版）第二章 一元二次函数、方程和不等式单元复习限时训练（二） 考试时长：40分钟　满分：66分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若，，，，则下列不等式成立的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了不等式的性质，属于基础题． 利用不等式的性质，和通过取特殊值即可得出． 【解答】解：取，，，不成立， B.，根据不等式的基本性质，，，故B正确， C.取，，，，不成立， D.时，，不成立． 故选B． 2.若，，且，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查基本不等式的应用，属基础题． 利用乘法结合基本不等式求出答案． 【解答】 解：因为， 所以， 因为， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为． 故选：． 3.阿基米德有句名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球”这句话说的是杠杆原理，即“动力动力臂阻力阻力臂”现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里欲购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的和黄金交给顾客，则顾客购得的黄金重量(    ) A. 大于 B. 等于 C. 小于 D. 无法确定 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查利用基本不等式解决实际问题，属于基础题． 设天平的左臂长为  ，右臂长为  ，再分别求出  ，  ，结合基本不等式判断即可． 【解答】 解：由于天平的两臂不等长， 故可设天平的左臂长为，右臂长为 ，  ， 由杠杆原理得  ，  ， 解得  ，  ， 则  ， 当且仅当  取等号， 又  ，故 ， 故选：． 4.设，则“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查充要条件的判定方法的应用，考查计算能力． 直接利用充要条件的判定方法判断即可． 【解答】 解：因为“”，则“”； 但是“”不一定有“”； 所以“”，是“”成立的充分不必要条件． 故选：． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.设正实数，满足，则(    ) A. 有最小值 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值 【答案】AC  【解析】解：正实数，满足， 则，当且仅当时取等号，A正确； ，当且仅当时取等号，B错误； ，当且仅当时取等号，C正确； ，当且仅当时取等号，D错误． 故选：． 6.下列说法正确的是(    ) A. 不等式的解集是 B. 不等式的解集是或 C. 若不等式恒成立，则的取值范围是 D. 若关于的不等式的解集是，则的值为 【答案】CD  【解析】，即，解得或，故A错误 ，即，解得，故B错误 若不等式恒成立，当时，是不可能成立的，所以只能而该不等式组无解，故C正确 由题意得，是一元二次方程的两根，从而解得，，所以，故D正确． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.若，则的最大值是          ． 【答案】  【解析】【详解】 ，则 ． 当且仅当，即时，等号成立． 即的最大值是． 故答案为：． 8.为了保证信息的安全传输，有一种密钥系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文加密，接收方由密文到明文解密设加密密钥为为常数，如“”通过加密后得到密文“”若接收方接到密文“”，则解密后得到的明文是          ． 【答案】  【解析】由题意可知，在函数中， 当时，， 所以， 所以， 所以， 所以当时，， 解得． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知函数，且关于的不等式的解集为． 求实数，的值； 当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】解：由题意得，是方程的根， 由根与系数的关系得， 所以， 又，解得， 所以，，； 由题意得，在上恒成立， 令，只需即可， ， 当且仅当，即时取等号， ， 故实数的取值范围是．  【解析】 本题考查一元二次不等式与相应函数和方程的关系，不等式的恒成立问题，涉及基本不等式求最值，属于中档题． 利用根与系数的关系可得结论； 由题意，在上恒成立，令，只需即可，利用基本不等式求的最小值可得结论． 10.本小题分 黄冈市某高中“校园农场”于年月正式投入使用，现打算围成如图所示的长方形田地种植萝卜，其中一面可以利用原有的墙足够长，其他各面需要用篱笆围成． 若田地的面积为，要使围成田地的篱笆总长最小，应该设计田地的长和宽各为多少总长最小是多少 现有长的篱笆，要使田地的面积最大，应该设计田地的长和宽各为多少面积最大是多少 【答案】解：设长为 ，宽为 ，则， 则篱笆总长为，， 所以 ， 当且仅当 ，即 时等号成立， 故应设计田地的长为，宽为时，可使围成篱笆总长最小，最小值为； 设长为 ，宽为 ，则， 则， 当且仅当 ，即 时等号成立， 故应设计田地的长为，宽为时，可使围成面积最大，最大值为 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高一数学（人教版A版）第二章 一元二次函数、方程和不等式单元复习限时训练（二） 考试时长：40分钟　满分：66分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若，，，，则下列不等式成立的是(     ) A. B. C. D. 2.若，，且，则的最小值为(     ) A. B. C. D. 3.阿基米德有句名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球”这句话说的是杠杆原理，即“动力动力臂阻力阻力臂”现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里欲购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的和黄金交给顾客，则顾客购得的黄金重量(     ) A. 大于 B. 等于 C. 小于 D. 无法确定 4.设，则“”是“”的(     ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.设正实数，满足，则(     ) A. 有最小值 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值 6.下列说法正确的是(     ) A. 不等式的解集是 B. 不等式的解集是或 C. 若不等式恒成立，则的取值范围是 D. 若关于的不等式的解集是，则的值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.若，则的最大值是           ． 8.为了保证信息的安全传输，有一种密钥系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文加密，接收方由密文到明文解密设加密密钥为为常数，如“”通过加密后得到密文“”若接收方接到密文“”，则解密后得到的明文是           ． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知函数，且关于的不等式的解集为． 求实数，的值； 当时，恒成立，求实数的取值范围． 10.本小题分 黄冈市某高中“校园农场”于年月正式投入使用，现打算围成如图所示的长方形田地种植萝卜，其中一面可以利用原有的墙足够长，其他各面需要用篱笆围成． 若田地的面积为，要使围成田地的篱笆总长最小，应该设计田地的长和宽各为多少总长最小是多少 现有长的篱笆，要使田地的面积最大，应该设计田地的长和宽各为多少面积最大是多少 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高一数学（人教版A版）第二章 一元二次函数、方程和不等式单元复习限时训练（二） 考试时长：40分钟　满分：66分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若，，，，则下列不等式成立的是(     ) A. B. C. D. 2.若，，且，则的最小值为(     ) A. B. C. D. 3.阿基米德有句名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球”这句话说的是杠杆原理，即“动力动力臂阻力阻力臂”现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里欲购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的和黄金交给顾客，则顾客购得的黄金重量(     ) A. 大于 B. 等于 C. 小于 D. 无法确定 4.设，则“”是“”的(     ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.设正实数，满足，则(     ) A. 有最小值 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值 6.下列说法正确的是(     ) A. 不等式的解集是 B. 不等式的解集是或 C. 若不等式恒成立，则的取值范围是 D. 若关于的不等式的解集是，则的值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.若，则的最大值是           ． 8.为了保证信息的安全传输，有一种密钥系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文加密，接收方由密文到明文解密设加密密钥为为常数，如“”通过加密后得到密文“”若接收方接到密文“”，则解密后得到的明文是           ． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知函数，且关于的不等式的解集为． 求实数，的值； 当时，恒成立，求实数的取值范围． 10.本小题分 黄冈市某高中“校园农场”于年月正式投入使用，现打算围成如图所示的长方形田地种植萝卜，其中一面可以利用原有的墙足够长，其他各面需要用篱笆围成． 若田地的面积为，要使围成田地的篱笆总长最小，应该设计田地的长和宽各为多少总长最小是多少 现有长的篱笆，要使田地的面积最大，应该设计田地的长和宽各为多少面积最大是多少 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $