精品解析：湖南岳阳市岳阳县第一中学2026-2027学年高一上学期入学考试数学试题

2026-2027学年度高中数学8月月考卷 一、单选题 1. 已知.则（ ） A. B. C. D. 不能确定 2. 若集合，集合，则等于 A. B. C. D. 3. 已知，，若集合，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A. 且 B. C. 且 D. 5. 对任意实数，直线一定经过点（    ） A. B. C. D. 6. 若，则使最接近的正整数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形纸片中，点是边的中点，点在边上．将该纸片沿折叠后，使点落在边上的点处．若，则的值是（     ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，一条直线与x轴、y轴分别交于、，二次函数（m，n是常数）的图像的顶点P在线段上，则n的最小值为（    ） A. 0 B. C. D. 9. 如图，已知内接于半径为1的，（是锐角），则的面积的最大值为（    ） A. B. C. D. 10. 如图，在边长为的正方形中，点，分别为边，上的点，且，与交于点，连结．取的中点，连结，，则的最小值为（    ） A. 6 B. C. 3 D. 二、填空题 11. 若集合，集合，用列举法表示________. 12. 已知，则的取值范围是_________ 13. 不等式的解集为________． 14. 若，则_____. 15. 设集合 . 且 ，则实数的取值范围为_____. 16. 小明在解方程时采用了下面的方法：由 又有，可得，将这两式相加可得， 将两边平方可解得，经检验是原方程的解． 请你学习小明的方法，解决下列问题： 解方程，得方程的解为______． 17. 二次函数（为常数且）的图象经过点． （1）______； （2）已知平面内有两点，若该函数图象与线段有交点，则的取值范围是______． 18. 如图，已知直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P在以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB，则△PAB面积的最大值是_______. 三、解答题 19. 计算： （1）； （2）． 20. 已知：，，．求代数式的值． 21. 因式分解： （1） （2） （3） 22. 阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式的加法、减法、乘法运算类似． 例如：解方程，解得，． 同样我们也可以化简． 读完这段文字，请解答以下问题： （1）填空： ， ， ， ； （2）在复数范围内解方程：； （3）在复数范围内解方程：． 23. 研究函数的图象和性质，可以通过列表、描点、连线画出函数图象，然后结合函数图象进行分析．探究过程如下： （1）求函数的自变量x的取值范围是______． （2）y与x的几组对应值如表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 1.5 2.5 3 4 5 6 7 … y … 2.8 m 2.5 2 1 5 4 3.5 n 3.2 … 根据表格中的数据，在同一平面直角坐标系中描点，并用平滑的曲线进行连线，画出图象的另外一支，并写出m＋n﹣4＝______． （3）观察图象可知，函数图象既是中心对称图形，又是轴对称图形，它的对称中心的坐标是______，它的对称轴的解析式是______． （4）当x满足______时，y随x的增大而减小． （5）结合函数图象填空：当关于x的方程有两个不相等的实数根时，实数k的取值范围是______；关于x的方程无实数根时，实数k的取值范围是______． 24. 如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接、．已知，，，设． （1）用含x的代数式表示的长． （2）点C在上什么位置时，的值最小？最小值是多少？ （3）根据（2）中的规律和结论，请通过构图求代数式的最小值． 25. 解下列关于的不等式（结果请写成集合或者区间的形式）： （1）； （2）； （3）； （4）. 26. （1）已知关于x的不等式的解集为 （i）求实数a，b的值； （ii）求关于x的不等式（其中c为实数)的解集. （2）关于x的不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度高中数学8月月考卷 一、单选题 1. 已知.则（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】先利用作差法比较与，再由于大于零，从而可比较出的大小. 【详解】因为， 所以， 所以 ， 因为大于零， 所以， 故选：A. 2. 若集合，集合，则等于 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得，然后求两个集合的交集. 【详解】由解得，故，故选C. 【点睛】本小题主要考查集合交集的概念以及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 3. 已知，，若集合，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 本题可根据得出，然后通过计算以及元素的互异性得出、的值，即可得出结果. 【详解】因为， 所以，解得或， 当时，不满足集合元素的互异性， 故，，， 故选：B. 【点睛】易错点睛：通过集合相等求参数时，要注意求出参数后，检验集合中的元素是否满足互异性，考查计算能力，是中档题. 4. 已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【详解】当，即，方程为，解得，方程有实数根，符合题意； 当，即，∵此时一元二次方程有实数根，∴，解得且； 综上，的取值范围是． 5. 对任意实数，直线一定经过点（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将方程化为，令，即可求解. 【详解】因为，令，解得，， 所以直线都经过平面内一个定点． 6. 若，则使最接近的正整数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用裂项相消法得，再与比较，即可求解. 【详解】∵，，，， ∴ ， 显然随着正整数的增大而减小， 当时，，； 当时，，， 显然，所以使最接近的正整数是. 7. 如图，在矩形纸片中，点是边的中点，点在边上．将该纸片沿折叠后，使点落在边上的点处．若，则的值是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用设参数，结合矩形性质、折叠得到、垂直平分，再用勾股定理求出线段长，转化角求. 【详解】作于点，连接交于点，设，则， ∴，∵矩形，∴，， ∴四边形是矩形，∴. ∵点是边的中点，∴，∴， 由折叠的性质知，垂直平分， ∴，在中， 由勾股定理得，即，解得， ∵，∴， ∴，∴． 8. 如图，在平面直角坐标系中，一条直线与x轴、y轴分别交于、，二次函数（m，n是常数）的图像的顶点P在线段上，则n的最小值为（    ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先设直线代入计算求解直线，再结合二次函数的性质计算求解. 【详解】解：，顶点为， 设直线的解析式为，把、代入可得， ，解得，所以直线的解析式为， 二次函数的顶点P在线段上，，且， ，在时，取最小值为． 9. 如图，已知内接于半径为1的，（是锐角），则的面积的最大值为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形确定的面积最大时的高，结合三角函数分别表示，再根据三角形面积公式求解即可. 【详解】如图所示，当的高经过圆的圆心时，此时的面积最大， ∵，∴，， 在中，， ， ∴， ∴，， ∴. 10. 如图，在边长为的正方形中，点，分别为边，上的点，且，与交于点，连结．取的中点，连结，，则的最小值为（    ） A. 6 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于点，交于点，证明，进而证明，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而设，则，根据勾股定理建立二次函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】如图所示，过点作于点，交于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴ ∴， 在和中， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵是的中点， ∴ ∴， ∴的最小值为的长， 设，则， 在中， ∵，当时，有最小值 ∴的最小值为. 二、填空题 11. 若集合，集合，用列举法表示________. 【答案】 【解析】 【分析】应先分析元素所具有的公共特征，通过解方程组即可获得问题的解答． 【详解】解方程组： ，可得：， 集合. 故答案为：. 【点睛】本题考查集合的表示法，考查交集及其运算，解题时应注意元素形式为有序实数对． 12. 已知，则的取值范围是_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式性质求解. 【详解】因为，所以， 因此 【点睛】本题考查不等式性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 13. 不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】将，转化为不等式组求解即可. 【详解】因为，所以 所以 即所以不等式的解集为． 故答案为：． 14. 若，则_____. 【答案】或2 【解析】 【分析】 由于任何非0数的0次幂等于1，1的任何次幂都等于1，的偶次幂等于1，故应分三种情况进行讨论求解即可. 【详解】当时，即时，此时有，显然成立； 当时，即时，此时有，显然成立； 当时，即时，此时有，显然不成立，舍去. 故答案为：或2 【点睛】本题考查了指数幂的运算性质，考查了数学运算能力. 15. 设集合 . 且 ，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，分、、、分别求解即可. 【详解】因为，所以， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 综上所述，实数的取值范围是：. 故答案为： 16. 小明在解方程时采用了下面的方法：由 又有，可得，将这两式相加可得， 将两边平方可解得，经检验是原方程的解． 请你学习小明的方法，解决下列问题： 解方程，得方程的解为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据小明的方法，令乘以，根据平方差公式化简并整理，可得，两式相加可得，再两边平方并求解得解，最后代入原式检验，从而得到原方程的解. 【详解】由 ， 又由，可得， 将这两式相加可得，即 将两边平方得: 整理得：，解得：或， 经检验或是原方程的解， 故原方程的解为或． 17. 二次函数（为常数且）的图象经过点． （1）______； （2）已知平面内有两点，若该函数图象与线段有交点，则的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）将点代入二次函数即可； （2）计算二次函数图象上纵坐标为的点的横坐标，利用该横坐标在之间即可. 【详解】（1）把点代入二次函数，得，解得. （2）二次函数（为常数且），当时，得. 因式分解得，解得. ∵，∴. ∵，， ∴当二次函数图象与线段有交点时，得，即，解得. ∴的取值范围是. 18. 如图，已知直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P在以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB，则△PAB面积的最大值是_______. 【答案】 【解析】 【分析】过点C作CD⊥AB于D，延长DC交⊙C于另一点P′，此时△P′AB的面积最大，将x＝0、y＝0代入y＝x﹣3中求出与之相对应的y、x的值，进而可得出点A、B的坐标，由∠ABO＝∠CBD、∠AOB＝∠CDB＝90°即可证出△AOB∽△CDB，再根据相似三角形的性质求出CD的长度，将其+1即可得出DP′的长度，利用三角形的面积公式即可求出△PAB面积的最大值. 【详解】过点C作CD⊥AB于D，延长DC交⊙C于另一点P′，连接P′A、P′B， 此时△P′AB的面积最大，如图所示. 当x＝0时，y＝﹣3，∴点； 当y＝x﹣3＝0时，x＝4，∴点. ∵点，∴, AB＝＝5. ∵∠ABO＝∠CBD，∠AOB＝∠CDB＝90°， ∴△AOB∽△CDB，∴， ∴CD＝＝， ∴DP′＝CD+CP′＝+1＝. ∴S△P′AB＝ABP′D＝×5×＝. 故答案为：. 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质以及三角形的面积，找出△PAB面积取最大值时点P的位置是解题的关键.本题属于中档题，难度不大，利用相似三角形的性质或者面积法求出CD的长度是解决此题的突破点. 三、解答题 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20. 已知：，，．求代数式的值． 【答案】6 【解析】 【分析】先将每个等式求倒数，然后组成方程组，用(①+②+③)÷2得，然后用④分别减①②③求解即可. 【详解】解：∵，，， ∴，，，∴， (①+②+③)÷2得：④，④-①得，解得， ④-②得，解得，④-③得，解得， ∴. 21. 因式分解： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】根据代数式的乘法运算法则，对代数式进行因式分解即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 ． 22. 阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式的加法、减法、乘法运算类似． 例如：解方程，解得，． 同样我们也可以化简． 读完这段文字，请解答以下问题： （1）填空： ， ， ， ； （2）在复数范围内解方程：； （3）在复数范围内解方程：． 【答案】（1），1，，1； （2），； （3），． 【解析】 【分析】（1）根据虚单位的概念求解； （2）两边开方后求解即可； （3）由配方法求解. 【小问1详解】 解：；；；； 【小问2详解】 解：∵，∴，∴，∴，； 【小问3详解】 解：，，，∴，解得：，． 23. 研究函数的图象和性质，可以通过列表、描点、连线画出函数图象，然后结合函数图象进行分析．探究过程如下： （1）求函数的自变量x的取值范围是______． （2）y与x的几组对应值如表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 1.5 2.5 3 4 5 6 7 … y … 2.8 m 2.5 2 1 5 4 3.5 n 3.2 … 根据表格中的数据，在同一平面直角坐标系中描点，并用平滑的曲线进行连线，画出图象的另外一支，并写出m＋n﹣4＝______． （3）观察图象可知，函数图象既是中心对称图形，又是轴对称图形，它的对称中心的坐标是______，它的对称轴的解析式是______． （4）当x满足______时，y随x的增大而减小． （5）结合函数图象填空：当关于x的方程有两个不相等的实数根时，实数k的取值范围是______；关于x的方程无实数根时，实数k的取值范围是______． 【答案】（1） 且 （2）2 （3）；和. （4）或 （5）；. 【解析】 【分析】（1）由分式分母不等于0，二次根式被开方数大于或等于0列出相应的不等式，求解可得； （2）根据解析式，结合表格分别求得的值，从而求得的值； （3）由图象和（2）中的表格可看出对称中心，又函数的图象的对称中心是，对称轴是和，因此结合函数图象变换可得函数的图象的对称轴； （4）直接观察图象可得； （5）因为过函数的图象的对称中心，所以分三种情况，分析随x的增大的变化情况，即可得相应的方程的实数根的情况，从而得解. 【小问1详解】 由，得 且. 【小问2详解】 当时，，所以； 当时，. 所以. 【小问3详解】 观察图象，结合（2）问表格可得，函数的图象的对称中心的坐标是. 又函数的图象的对称中心是，对称轴是和， 函数的图象可由函数的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到， 所以函数的图象的对称轴为和， 即和. 【小问4详解】 由图象可知，当或时，均随x的增大而减小. 【小问5详解】 由图象可得， 当时，，即与的图象无交点， 即关于x的方程无实数根； 函数过定点，即函数的图象的对称中心. 当时，随x的增大而减小， 所以若，则的图象在的下方 ； 若，则的图象在的上方 ； 此时，函数的图象与的图象无交点， 即关于x的方程无实数根； 当时，随x的增大而增大， 所以若，则的图象在的上方 ； 若，则的图象在的下方 ； 此时，函数的图象的两支分别与的图象有一个交点， 即关于x的方程有两个实数根； 综上所述，当关于x的方程有两个不相等的实数根时，实数k的取值范围是； 关于x的方程无实数根时，实数k的取值范围是. 24. 如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接、．已知，，，设． （1）用含x的代数式表示的长． （2）点C在上什么位置时，的值最小？最小值是多少？ （3）根据（2）中的规律和结论，请通过构图求代数式的最小值． 【答案】（1） （2）点A、C、E在一条直线上； （3）25 【解析】 【分析】（1）使用勾股定理求解； （2）使用两点之间线段最短说明当点A、C、E在一条直线上时的值最小，并计算最小值； （3）使用第二问的结论，当点M、H、N在一条直线上时的值最小，延长至G，使，连接求解. 【小问1详解】 已知，，∴， ∵，，， ∴，， ∴． 【小问2详解】 当点A、C、E在一条直线上时的值最小，最小值是； 理由如下：如图，延长至F，使，连接 由，则，， ∴四边形是矩形， ∴，∴， 由两点之间线段最短，可知当点A、C、E在一条直线上时的值最小，最小值是． 【小问3详解】 如图，H为线段上一动点，分别过点P、Q作，连接、．已知，，，设． ∴，可知当点M、H、N在一条直线上时的值最小，延长至G，使，连接，同理可证四边形是矩形， ∴，∴， 由两点之间线段最短，可知当点M、H、N在一条直线上时的值最小，最小值是25，∴代数式的最小值是25． 25. 解下列关于的不等式（结果请写成集合或者区间的形式）： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1） （2）或. （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）化简不等式为，结合一元二次不等式的解法，即可求解； （2）化简得到，转化为，结合分式不等式的解法，即可求解； （3）不等式转化为且，进而得到不等式的解集； （4）根据题意，分和，两种情况讨论，结合不等式的解法，即可求解. 【小问1详解】 解：由不等式，可得， 解得，所以不等式的解集为. 【小问2详解】 解：由不等式，可得， 即，解得或，所以不等式的解集为或. 【小问3详解】 解：由不等式，可得且，解得， 所以不等式的解集为. 【小问4详解】 解：由不等式， 当时，即时，不等式即为，显然成立； 当时，即时，不等式可化为， 即，解得或，所以或且， 综上可得，不等式的解集为或. 26. （1）已知关于x的不等式的解集为 （i）求实数a，b的值； （ii）求关于x的不等式（其中c为实数)的解集. （2）关于x的不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）（i），； （ii）当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； （2） 【解析】 【分析】（1）（i）根据不等式的解集得出对应方程的解，由根与系数的关系求出a、b的值；（ii）不等式可化为，讨论c与2的大小，即可求出不等式的解集； (2讨论和，即可求出不等式恒成立时a的取值范围． 【详解】（1）（i）不等式的解集为， 所以1和b是方程的解，且, 即得，解得，； （ii）不等式可化为，即， 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； （2）当时，不等式化为，对任意实数x恒成立； 当时，应满足，解得， 综上，a的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $