精品解析：湖南省岳阳市岳阳县第一中学2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题

2024年秋季高一数学入学考试试题 一、选择题（共8小题，每题4分，共32分） 1. 下列各组对象不能构成集合的是（ ） A. 上课迟到的学生 B. 2020年高考数学难题 C. 所有有理数 D. 小于的正整数 【答案】B 【解析】 【分析】由集合元素的确定性即可判断. 【详解】2020年高考数学难题，无法界定故错误；其它三个都是明确可知，故正确. 故选:B 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 利用一元二次不等式的解法求出的解集，再根据充分条件与必要条件的定义求解即可. 【详解】记“”的解集为集合B， 则或 所以“”能推出“” “”不能推出“” 所以“”是“”的的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知命题，，下列形式正确的是（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】全称命题的否定是特称命题，否定量词，否定结论. 【详解】否定量词，否定结论，即，使得. 故选：B. 【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于基础题. 4. 若关于的一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分和讨论，结合二次函数性质得出解集为的等价条件，即可求出的取值范围. 【详解】由于关于的一元二次不等式的解集为， 当时，即解集为，不成立. 当时，则 ，解得 . 因此，实数的取值范围是. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式在上恒成立求参数，注意二次项系数的正负以及判别式符号的限制，属于基础题. 5. 在同一平面内，已知的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（ ） A. 2 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】构造三角形，利用三角形三边关系及边角关系可求解. 【详解】 如图，过圆心作直线的垂线，分别与直线和圆交于三点，设A点更靠近直线.过点作，垂足为，连接， 在中，有，当且仅当两点重合时取等号， 在中， 易知， 所以， 所以， 所以， 所以最大值为5，当且仅当两点重合时取得. 故选：B. 6. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求出不等式的解集，根据为的真子集，得到答案. 【详解】解不等式得， 不等式化为，所以， 因为为的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 7. 水果店花1500元进了一批水果，按50%的利润定价，无人购买，决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完．经结算，这批水果共盈利500元．若两次打折的折扣相同，设每次打x折，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据关系式：标价进价－亏损，把相关数值代入即可. 【详解】设每次打折折，根据题意得： . 故选：C 8. 设，表示关于x的函数，如，．若，，则（ ） A. 0 B. 2011 C. D. 不能求出 【答案】B 【解析】 【分析】根据可知代入即可求得的值. 【详解】， ， ， ， ，∴， 故选：B 二、填空题（共5小题，每题4分，共20分） 9. 分解因式：______. 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方公式分解即可. 【详解】. 故答案为：. 10. 若，则的值为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据指数幂的运算可得答案. 【详解】因为，所以，， 故答案为：2. 11. 当时，二次函数图象与轴所截得的线段长度之和为______. 【答案】 【解析】 【分析】先由求根公式求出两根，从而求出两根距离的通式，利用累加法化简求解即可. 【详解】当时，，解得，， 所以， 所以. 故答案： 12. 如图，与均是等边三角形，若，则的度数是__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据边角边关系证明△ACE≌△BCD，再根据三角形全等的性质得到∠AEC=∠BDC=60°+∠BDE，最后根据三角形的内角和定理，角间的关系可得∠DBE的度数. 【详解】解：如图 ，    ∵在等边△ABC和等边△DCE中， ∠ACB=∠DCE=∠ABC=∠ECD=60°                        又在△ACE与△BCD中，                       ∠ACB=∠ECD⇒∠ACB-∠ECB=∠ECD-∠ECB，                   即∠ACE=∠DCB，而AC=BC， EC=DC                      ∴ △ACE≌△BCD                     则  ∠AEC=∠BDC=60°+∠BDE                ∴ ∠AEB=360°-∠AEC-∠CED-∠BED                   则 360°-∠AEC-∠CED-∠BED=145°，                      360°-(60°+∠BDE)-60°-∠BED=145°，                     360°-120°-(∠BDE +∠BED)=145°，                     360°-120°-(180°-∠DBE)=145°，                    解得，∠DBE=85°即为所求． 故答案为： 85° 13. 设集合，集合，则=______. 【答案】 【解析】 【分析】 分别求函数的定义域和值域可得集合，再求，进而与求交集即可得解. 【详解】由，得 集合， 集合， 则或， 所以 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，涉及函数的定义域和值域的求解，属于基础题. 三、解答题（共4小题，共48分） 14. 二次根式分母有理化是初中代数的重要内容，例如：；请你根据初中所学知识解决下列问题： （1）计算： （2）计算： （3）计算： 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】由题意，根据分母有理化的规律可依次求解（1）、（2）、（3）. 【小问1详解】 ，， ，， . 【小问2详解】 ，， ，， . 【小问3详解】 ，， ， ， . 15. 如图，抛物线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于另一点，过点作轴，垂足为点. （1）求直线的函数关系式； （2）动点在线段上从原点出发以每秒一个单位的速度向移动，过点作轴，交直线于点，交抛物线于点.设点移动的时间为秒，的长度为个单位，求与的函数关系式，并写出的取值范围； （3）设在（2）的条件下（不考虑点与点，点重合的情况），连接，，当为何值时，四边形为平行四边形？问对于所求的值，平行四边形能否为菱形？请说明理由. 【答案】（1）；（2）；（3）或2；不是菱形；答案见解析. 【解析】 【分析】 （1）由条件可得，，可求得直线的解析式. （2）由秒时，点，所以 ，，再根据得出答案. (3) 若四边形为平行四边形，则有，此时，有，解得，,再分别计算能否为菱形. 【详解】解：（1）抛物线与轴交于点，则. 轴，垂足为点,,所以 设直线的解析式为 则 ，解得 可得直线的解析式为 （2）点从点移动到点共要3秒,所以 秒时，点，所以 （3）若四边形为平行四边形，则有，此时，有，解得， 所以当或2时，四边形为平行四边形. ①当时，，，故，又在中，，故，此时四边形为菱形 ②当时，，，故，又在中，，故，此时四边形不是菱形. 【点睛】本题主要考查求函数解析式，二次函数的应用以及特殊四边形的性质和判定，考查数形结合思想，属于中档题. 16. 某单位欲购买A､B两种电器，根据预算，共需资金15750元.购买一件A种电器和两件B种电器共需资金2300元：购买两件A种电器和一件B种电器共需资金2050元. （1）购买一件A种电器和一件B种电器所需的资金分别是多少元？ （2）若该单位购买A种电器不超过5件，则可购买B种电器至少有多少件？ （3）为节省开支，该单位只购买A､B两种电器共6件，并知道获政府补贴资金不少于700元：自己出资金不超过4000元；其中政府对A､B两种电器补贴资金分别为每件100元和150元.请你通过计算求出有几种购买方案？ 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件及等量关系联立方程组即可求解； （2）利用关系式为：总费用减去B种电器的总费用不超过件A种电器的费用即可求解； （3）根据政府补贴资金和自己出的资金得到不等式组，求得整数解即可. 【小问1详解】 设购买一件A种电器和一件B种电器所需的资金分别为元和元. 由题意可知,解得， 故购买一件A种电器和一件B种电器所需的资金分别为元和元. 【小问2详解】 设购买B种电器件. ,解得, 故可购买B种电器至少有件. 【小问3详解】 设购买A种电器件，则购买B种电器件 ,解得， 因为取整数， 所以可取，共种方案. 17. 已知函数， （1）列表、描点、连线，画出该函数的简图； （2）在函数图象上取一个定点，一个动点，记直线的坡度为，．试将化简为（均为常数）的形式； （3）当趋近于0时，是否趋近于某常数？若是，为多少？试说明理由； （4）在函数图象上取一个定点，为正的常数，一个动点，设直线的坡度为，请直接指出，当趋近于0时，是否趋近于某常数． 坡度定义：若，，则直线的坡度为． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）是，，理由见解析 （4） 【解析】 【分析】（1）对于x取某些特殊值，即可列表，描点，连线，得到函数图像简图； （2）根据，结合函数表达式，化简可得答案； （3）结合（2）的结果，即可得答案； （4）根据坡度定义，可得表达式，并化简，结合趋近于0，即可得趋近于某常数. 【小问1详解】 列表如下表， x 1 2 2 函数图象简图如下： 【小问2详解】 由题意得，， 则 【小问3详解】 当趋近于0时，趋近于0，即常数； 理由如下： 当趋近于0时，趋近于1，故趋近于2， 则趋近于， 即趋近于0，所以． 【小问4详解】 由题意得 ， 当t趋近于0时，趋近于常数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋季高一数学入学考试试题 一、选择题（共8小题，每题4分，共32分） 1. 下列各组对象不能构成集合的是（ ） A. 上课迟到的学生 B. 2020年高考数学难题 C. 所有有理数 D. 小于正整数 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知命题，，下列形式正确的是（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ， D. ， 4. 若关于的一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 在同一平面内，已知的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（ ） A. 2 B. 5 C. 6 D. 8 6. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 水果店花1500元进了一批水果，按50%的利润定价，无人购买，决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完．经结算，这批水果共盈利500元．若两次打折的折扣相同，设每次打x折，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C D. 8. 设，表示关于x的函数，如，．若，，则（ ） A. 0 B. 2011 C. D. 不能求出 二、填空题（共5小题，每题4分，共20分） 9. 分解因式：______. 10. 若，则值为__________. 11. 当时，二次函数的图象与轴所截得的线段长度之和为______. 12. 如图，与均是等边三角形，若，则度数是__________. 13. 设集合，集合，则=______. 三、解答题（共4小题，共48分） 14. 二次根式分母有理化是初中代数的重要内容，例如：；请你根据初中所学知识解决下列问题： （1）计算： （2）计算： （3）计算： 15. 如图，抛物线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于另一点，过点作轴，垂足为点. （1）求直线的函数关系式； （2）动点在线段上从原点出发以每秒一个单位的速度向移动，过点作轴，交直线于点，交抛物线于点.设点移动的时间为秒，的长度为个单位，求与的函数关系式，并写出的取值范围； （3）设在（2）的条件下（不考虑点与点，点重合的情况），连接，，当为何值时，四边形为平行四边形？问对于所求的值，平行四边形能否为菱形？请说明理由. 16. 某单位欲购买A､B两种电器，根据预算，共需资金15750元.购买一件A种电器和两件B种电器共需资金2300元：购买两件A种电器和一件B种电器共需资金2050元. （1）购买一件A种电器和一件B种电器所需的资金分别是多少元？ （2）若该单位购买A种电器不超过5件，则可购买B种电器至少有多少件？ （3）为节省开支，该单位只购买A､B两种电器共6件，并知道获政府补贴资金不少于700元：自己出资金不超过4000元；其中政府对A､B两种电器补贴资金分别为每件100元和150元.请你通过计算求出有几种购买方案？ 17. 已知函数， （1）列表、描点、连线，画出该函数的简图； （2）在函数图象上取一个定点，一个动点，记直线的坡度为，．试将化简为（均为常数）的形式； （3）当趋近于0时，是否趋近于某常数？若是，为多少？试说明理由； （4）在函数图象上取一个定点，为正的常数，一个动点，设直线的坡度为，请直接指出，当趋近于0时，是否趋近于某常数． 坡度定义：若，，则直线的坡度为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$