专题8.4 椭圆方程（9重难点题型+高分技法+高考真题）专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以高考真题为载体，系统构建椭圆方程从定义应用到综合探究的解题方法体系，强化数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义及应用|9题|定义法判断轨迹、焦点三角形性质|从椭圆定义推导标准方程，建立a,b,c关系| |标准方程|9题|待定系数法、共焦点/离心率设法|方程形式与参数关系的互化| |几何性质|8题|离心率方程法/不等式法、最值转化策略|性质与参数的依赖关系及几何意义| |直线与椭圆位置关系|18题|弦长公式、中点弦点差法、韦达定理应用|代数运算与几何性质的综合转化| |定点定值问题|8题|参数消元法、特殊位置验证法|动态问题中的不变量探究| |开放探索问题|4题|存在性问题假设推理、分类讨论|知识体系的综合应用与创新思维|

专题8-4 椭圆方程 1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求平面轨迹方程、轨迹问题——椭圆 【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 2．（2023·全国甲卷·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可得到点的坐标，从而得出的值； 方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出； 方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，即可根据中线定理求出． 【详解】方法一：设，所以， 由，解得：， 由椭圆方程可知，， 所以，，解得：， 即，因此． 故选：B． 方法二：因为①，， 即②，联立①②， 解得：， 而，所以， 即． 故选：B． 方法三：因为①，， 即②，联立①②，解得：， 由中线定理可知，，易知，解得：． 故选：B． 【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大． 3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由椭圆的离心率求参数的取值范围、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答. 【详解】由，得，因此，而，所以. 故选：A 4．（2026·北京·高考真题）已知椭圆：的一个顶点为，离心率为．过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，．点关于直线的对称点为，直线与直线交于点．设与的面积分别为与． (1)求椭圆的方程； (2)若，求的值． 【答案】(1)由题设得解得，，． 所以椭圆的方程为． (2)由题设知，且． 直线的方程为． 由得． 设，，则， 且，． 因为， 点到直线的距离为， 所以 ． 由题设知．解得． 【难度】0.4 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）利用顶点坐标及离心率计算即可得； （2）解法一：设出直线，转化条件为，联立曲线方程可得与交点横坐标有关韦达定理，再利用点到直线距离公式与两点间距离公式可表示出，结合题目所给条件与韦达定理计算即可得解.解法二：设出直线，联立曲线方程可得与交点横坐标有关韦达定理，再利用点到直线距离公式与两点间距离公式可表示出与，结合题目所给条件与韦达定理计算即可得解. 【详解】（1）略 （2）解法二：由题意可得，设、， 由关于直线对称的点为，则， 联立，消去得：， 由，故在椭圆内部，故恒成立，有、， 则， ， ，联立， 则，即， 整理得，即， 点到直线的距离，点到直线的距离， 又，则，， 故 ， 即有，若，则，无解，不符； 则，有，解得； 故. 5．（2026·全国二卷·高考真题）已知椭圆：（），过E的右焦点且与轴垂直的直线被截得的线段长为． (1)求的离心率； (2)设为坐标原点，给定点，为上的点，过作轴的垂线，垂足为.直线与直线的交点为，当在上运动时，点的轨迹为． （ⅰ）求的方程； （ⅱ）当为何值时，有对称中心？当有对称中心时，将平移后得到曲线，使得为的对称中心，说明是什么曲线. 【答案】(1) (2)（i）的方程为； （ii）当时，有对称中心； 当时，形状为焦点在x轴上的椭圆去掉与轴交点， 当时，形状为焦点在x轴上的双曲线去掉与轴交点. 【难度】0.34 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求平面轨迹方程、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】（1）利用过右焦点垂直于轴的直线被所截线段长为 ，通过求出坐标解出线段的长，求得再求出离心率； （2）(i)通过联立方程求出点的坐标，再反解出点的坐标代入椭圆方程，从而求出的轨迹的方程； （ii）先对曲线方程配方，再讨论在不同取值时，中心存在的情况；再通过平移规律求出的方程，再讨论不同情况下的形状. 【详解】（1）设椭圆 的右焦点为，其中 ， 那么过右焦点且垂直于 轴的直线为，代入椭圆得 ，即 ， 所以 ，由于截线段长为 ，解得 ， 故 ，离心率 . （2）(i)  方法一： 由（1）知椭圆方程为 ，由于点满足 ，且 ，过作轴的垂线，交 轴于点 ， 那么当时，点，点与点重合； 当时，直线 方程为：，直线方程为： ， 即 ， 联立，解得，即点， 设，则由， 代入椭圆方程得，即， 两边乘以得， 整理得， 把点代入，仍然成立， 故轨迹的方程为； 方法二： 由于，点在轴，故直线必有斜率； 设直线方程为，，那么点， 由于轴，则， 由于点三点共线，则， 因为点在直线上，所以，， 把代入椭圆方程： ，得，即， 整理化简，得 ， 故轨迹的方程为； (ii)由（i）得轨迹的方程为， 当即时，轨迹的方程为 ，为抛物线去掉与x轴交点，无对称中心； 当 即 且0时， 化简轨迹的方程为， 将轨迹向左或向右平移个单位得到的方程为，即， 所以当时，形状为焦点在x轴上的椭圆去掉与轴交点， 当时，形状为焦点在x轴上的双曲线去掉与轴交点. 综上，当时，轨迹无对称中心； 当时，有对称中心； 当时，形状为焦点在x轴上的椭圆去掉与轴交点， 当时，形状为焦点在x轴上的双曲线去掉与轴交点. 6．（2026·天津·高考真题）已知椭圆（）的离心率为，椭圆被直线截得的线段长为． (1)求的标准方程； (2)斜率为的直线与圆相切，且该直线交椭圆于，（），是椭圆的上顶点．记直线，的斜率分别为，，求． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中的定值问题、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】（1）根据椭圆的离心率可知，，然后将代入椭圆方程即可求解； （2）根据直线与圆相切即可求出，分类讨论即可. 【详解】（1）由于椭圆的离心率为，所以，即， 由于，所以， 将代入椭圆方程，得，即，解得，即， 由题意，所截得的线段长为，所以，解得，从而， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）可知，，所以圆的方程为， 设直线的方程为，因为直线与圆相切，如图所示， 则圆心到直线的距离，解得， 椭圆上顶点，分两种情况讨论： ①当时，直线的方程为，代入椭圆方程， 化简得，解得或， 则当时，，当时，，由于，所以， 则，，此时； ②当时，直线的方程为，代入椭圆方程， 化简得，解得或， 当时，，当时，，由于，所以， 则，，此时. 综上所述，的值为. 7．（2026·全国一卷·高考真题）已知椭圆的左焦点为，离心率为． (1)求的方程； (2)设为坐标原点，过且斜率大于 的动直线与交于P，两点，其中在第三象限，直线与的另一个交点为． （i）若的面积是的面积的 倍，求的方程； （ii）求的最小值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【难度】0.46 【知识点】求椭圆中的最值问题、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）根据焦点以及离心率的定义即可求解； （2）（i）通过联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及三角形的面积公式即可求解；（ii）由于是直线与直线的夹角，列出的表达式即可求解. 【详解】（1）已知椭圆的左焦点为，离心率， 则，解得，， 因此椭圆方程为. （2）解法一： 设，点，点，其中， 联立直线与椭圆方程，得， 由韦达定理得， 由于两点在椭圆上，关于原点对称， 所以点，且， （i）    由面积公式，， 又因为是线段的中点，所以，所以， ， 由于，得，即， 令，由与，得， 代入，得，解得， 所以，所以直线的方程为. （ii）直线的斜率为， 于是，当且仅当时取等号， 故的最小值为. 解法二： （i）如图所示，设直线的方程为，其中斜率，         设点，点，且， 根据椭圆的中心对称性可知，点， 联立直线与椭圆方程，得，化简得， 由韦达定理可得， 因为是关于原点的对称点，所以是线段的中点， 因此，所以， 由于，所以， ， ， 所以，即， 由于，所以简化为， 代入韦达定理，得，则， 化简得，由于，解得， 所以直线的方程为，即. （ii）由题意，即为直线与直线的夹角， 直线即直线，方程为， 点，点，点，直线的斜率， 直线的斜率， 由于在直线上，有， 则，代入， 则， 设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则， 因此， 即， 由基本不等式得，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 8．（2025·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆E的方程； (2)设O为坐标原点，点在椭圆E上，直线与直线，分别交于点A，B．设与的面积分别为，比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）根据椭圆定义以及离心率可求出，再根据的关系求出，即可得到椭圆方程； （2）法一：联立直线方程求出点坐标，即可求出，再根据，即可得出它们的大小关系. 法二：利用直线的到角公式或者倾斜角之间的关系得到，再根据三角形的面积公式即可解出. 【详解】（1）由椭圆可知，，所以，又，所以，， 故椭圆E的方程为； （2）联立，消去得，， 整理得，①， 又，所以，， 故①式可化简为，即，所以， 所以直线与椭圆相切，为切点. 设，易知，当时，由对称性可知，． 故设，易知， 联立，解得， 联立，解得， 所以 ， ， 故． 法二：不妨设，易知，当时，由对称性可知，． 故设， 联立，解得， 联立，解得， 若，则， 由对称性，不妨取，则， ，，所以， 同理，当时，， 当时，则，，, 又，所以， 所以 ， ， 则，即， 所以. 9．（2025·天津·高考真题）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分. 【答案】(1) (2)证明：由（1）可知，，， 易知直线的斜率存在，设其方程为，则，即， 联立，消去得，， 因为直线与椭圆有唯一交点，所以， 即，则，解得，则， 所以直线的方程为， 联立，解得，则， 以下分别用四种方法证明结论： 法一：则， 所以， ， 则，又， 所以，即平分. 法二：所以，，， 由两直线夹角公式，得，， 则，又， 所以，即平分. 法三：则，， 故， 又， 所以，即平分. 法四：则， 所以直线的方程为，即， 则点到直线的距离为， 又点到直线的距离也为， 所以平分. 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、用向量解决夹角问题、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】（1）根据题意，利用椭圆的离心率得到，再由直线的斜率得到，从而利用三角形的面积公式得到关于的方程，解之即可得解； （2）联立直线与椭圆方程，利用其位置关系求得，进而得到直线的方程与点的坐标，法一：利用向量的夹角公式即可得证；法二：利用两直线的夹角公式即可得证；法三利用正切的倍角公式即可得证；法四：利用角平分线的性质与点线距离公式即可得证. 【详解】（1）依题意，设椭圆的半焦距为， 则左焦点，右顶点，离心率，即， 因为为上一点，设， 又直线的斜率为，则，即， 所以，解得，则，即， 因为的面积为，，高为， 所以，解得， 则，， 所以椭圆的方程为. . （2）略 10．（2025·全国一卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 【答案】(1) (2)(ⅰ) (ⅱ) 【难度】0.4 【知识点】求椭圆中的最值问题、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）根据题意列出的关系式,解方程求出,即可得到椭圆的标准方程； （2）(ⅰ)设,根据斜率相等以及题目条件列式,化简即可求出或者利用数乘向量求出； (ⅱ) 根据斜率关系可得到点的轨迹为圆（除去两点），再根据点与圆的最值求法结合三角换元或者直接运算即可解出. 【详解】（1）由题可知,，所以，解得， 故椭圆C的标准方程为； （2）(ⅰ)设，易知， 法一：所以，故，且． 因为，，所以， 即，解得，所以， 所以点的坐标为. 法二：设，则，所以 ，，故 点的坐标为. (ⅱ)因为,,由,可得 ,化简得,即, 所以点在以为圆心,为半径的圆上（除去两个点）, 为到圆心的距离加上半径, 法一：设,所以 ,当且仅当时取等号, 所以. 法二：设，则， ，当且仅当时取等号, 故. 11．（2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程； （2）设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数表示面积后可求的值，从而可求弦长. 【详解】（1）因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. （2） 由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得， 故即， 且， 故， 解得， 故. 12．（2024·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知点为椭圆上一点，、分别为椭圆的左、右焦点. (1)若点的横坐标为2，求的长; (2)设的上、下顶点分别为、，记的面积为的面积为，若，求的取值范围 (3)若点在轴上方，设直线与交于点，与轴交于点延长线与交于点，是否存在轴上方的点，使得成立?若存在，请求出点的坐标;若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)存在， 【难度】0.65 【知识点】求椭圆上点的坐标、椭圆中向量共线比例问题、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据给定条件，求出点的纵坐标，再利用两点间距离公式计算即得. （2）设，求出，再利用给定关系求出的范围，进而求出的范围. （3）设，利用向量坐标运算及共线向量的坐标表示可得，再联立直线与椭圆方程，结合韦达定理求解即得. 【详解】（1）设，由点为椭圆上一点，得，即，又， 所以. （2）设，而， 则，由，得， 即，又，则，解得，， 所以的范围是. （3）设，由图象对称性，得、关于轴对称，则， 又，于是， 则，同理， 由，得， 因此，即，则， 设直线，由消去得， 则，即，而，解得，， 由，得，所以. 【点睛】思路点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 13．（2024·北京·高考真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中的定值问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】（1）由题意得，进一步得，由此即可得解； （2）设，，联立椭圆方程，由韦达定理有，而，令，即可得解. 【详解】（1）由题意，从而， 所以椭圆方程为，离心率为； （2）直线斜率不为0，否则直线与椭圆无交点，矛盾， 从而设，， 联立，化简并整理得， 由题意，即应满足， 所以， 若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设， 所以，在直线方程中令， 得， 所以， 此时应满足，即应满足或， 综上所述，满足题意，此时或. 重难点题型1 椭圆的定义及应用 平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为： 注意：当时，点的轨迹是线段； 当时，点的轨迹不存在． 1．（2026·江西·模拟预测）已知点P在椭圆：上，C的左焦点为F，若线段的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，则的值为(     ) A．1 B．2 C． D．4 【答案】D 【难度】0.68 【知识点】椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】利用三角形中位线定理结合椭圆的定义，将中点的圆上条件转化为右焦点到点的距离，再通过椭圆的定义求解. 【详解】由椭圆，得，， ，故左焦点，右焦点，. 设的中点为，由题设，在以原点为圆心、为半径的圆上，故. 在中，为的中点，为的中点， 故为的中位线，得. 由椭圆的定义，， 因此，. 故选：D 2．（2026·重庆·二模）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，经过椭圆的另一个焦点.如图，设椭圆C的两个焦点分别为，光线由点发出后射到椭圆C上的点P处，经反射后到点，再经过x轴反射到椭圆C上的点H，最后反射回点，若光线的总路程为6，且则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.42 【知识点】利用椭圆定义求方程、根据韦达定理求参数、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用椭圆的定义与几何性质，结合余弦定理求解即可. 【详解】由题意，椭圆焦点，故. 光线总路程为. 已知总路程为，得. 设，则，由椭圆定义：， ，. 由反射性质：，故. 对用余弦定理： . 对用余弦定理：， 化简得：，解得. 代入得，故， 直线的倾斜角为， 斜率. 3．（2025·山西临汾·三模）已知动点满足，则动点M的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求平面两点间的距离、利用椭圆定义求方程 【分析】由椭圆的定义，结合题意，可得焦点坐标，从而可得的值，可得答案. 【详解】由题意可得动点到与两点的距离之和为， 且，则动点的轨迹为椭圆， 易知，，，即方程为. 故选：C. 4．（2025·全国·模拟预测）设P为平面内一动点，，，若以AP为直径的圆与圆内切，则面积的最大值为（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求椭圆中的最值问题、利用椭圆定义求方程 【分析】作出图形，设以线段为直径的圆的圆心为，半径为，与圆内切于点，连接，结合几何关系可以推出，从而可得出动点的轨迹是椭圆，然后根据椭圆上的点的纵坐标的取值范围求解即可. 【详解】如图， 设以线段为直径的圆的圆心为，半径为，与圆内切于点， 则点三点共线，连接， 在中，为中位线，即， 又，，， 则， 因为，所以动点的轨迹方程是以为焦点，长轴长为10的椭圆， 椭圆中，即方程为. 为椭圆上的一点，设，则且， 所以. 故选：A 5．（2026·上海·高考真题）在中，，，．已知点，，分别为椭圆的上、下、右顶点，以及两个焦点中的三点，求椭圆的离心率__________． 【答案】 【难度】0.45 【知识点】椭圆的对称性、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据椭圆对称性分析各点的可能性情况，分情况讨论求的值，即可得离心率. 【详解】因为， 根据对称性可知：点其中一个为上下顶点，一个为右顶点，一个为焦点，不妨取上顶点. ①当点中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为左焦点，如图1 则或，解得或无解； ②当点中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为右焦点，如图2， 则或，方程组均无解； 综上所述：，，，所以离心率. 6．（2026·上海·高考真题）已知椭圆与椭圆相交于、、、四点，且与和的四个焦点在同一个圆上，则_____________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆的对称性、求两曲线的交点 【分析】根据椭圆和圆的对称性、椭圆的焦距公式进行求解即可. 【详解】因为两个椭圆的四个焦点在同一个圆上， 所以根据椭圆和的对称性可知，该圆的圆心为原点， 因此有， 且两个椭圆的半焦距为， 因此该圆的方程为， 又因为、、、四点与和的四个焦点在同一个圆上， 所以由椭圆和圆的对称性可知，这四个点也在圆上， 由，代入椭圆中， 得，又，故， 故答案为： 7．（2025·甘肃金昌·二模）已知是椭圆上的动点，，且，则__________. 【答案】5 【难度】0.85 【知识点】利用椭圆定义求方程、根据椭圆方程求a、b、c 【详解】根据椭圆的定义确定点的轨迹，进而得到椭圆参数，再由椭圆参数关系求参数值. 【分析】因为， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆. 易知，即， 所以. 故答案为：5 8．（2024·广东江门·二模）已知圆内切于圆，圆内切于圆，则动圆的圆心的轨迹方程为______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】椭圆定义及辨析、轨迹问题——椭圆、利用椭圆定义求方程 【分析】根据圆的性质和椭圆定义得到，再利用关系即可. 【详解】设圆的半径为，则，则， 所以点的轨迹为以A，B为焦点，长轴长为6的椭圆． 则，所以， 所以动圆的圆心的轨迹方程为． 故答案为：. 9．（23-24高二上·河南信阳·期末）圆与的位置关系为______；与圆，都内切的动圆圆心的轨迹方程为______． 【答案】 内含 【难度】0.65 【知识点】判断圆与圆的位置关系、由圆的位置关系确定参数或范围、轨迹问题——椭圆、利用椭圆定义求方程 【分析】先利用圆心距与两半径之差的比较得到两圆位置关系；再利用两圆内切推得，从而利用椭圆的定义即可得解． 【详解】如图，依题意，圆心，半径，圆心，半径，所以，则两圆内含； 设动圆的圆心，半径为，则， 依椭圆的定义知，的轨迹为椭圆，其中， 又，所以的轨迹方程为． 故答案为：内含；． 重难点题型2 椭圆的标准方程 （1）定义法：根据椭圆定义，确定的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程. （2）待定系数法：根据椭圆焦点是在轴还是轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出的方程组，解出，从而求得标准方程. 注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为. ②与椭圆共焦点的椭圆可设为. ③与椭圆有相同离心率的椭圆，可设为（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）. 1．（2026·贵州黔南·模拟预测）椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的长轴、短轴、根据椭圆方程求a、b、c、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用椭圆的性质计算即可. 【详解】A选项，椭圆的长轴长为，椭圆的长轴长为，所以A选项错误； B选项，椭圆的短轴长为，椭圆的短轴长为，所以B选项错误； C选项，椭圆的离心率为，椭圆的离心率为，所以C选项错误； D选项，椭圆的焦距为，椭圆的焦距为，所以D选项正确. 2．（2026·山东·模拟预测）已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于两点，线段的中点在轴上，且，若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.42 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】分析可知为等边三角形，结合长度关系可得，，即可得椭圆方程. 【详解】因为分别为，的中点，则， 且，则，即，可得， 又因为，则，可知为等边三角形， 且，则，， 可得，，即，， 则，所以椭圆的标准方程为. 3．（2026·河北张家口·三模）已知椭圆的离心率为，则C的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程 【详解】设椭圆的焦距为. 由题意得，则， 所以，即， 结合选项依次判断，只有A选项满足. 4．（2026·云南保山·二模）设椭圆的离心率为，，，分别为其左、右焦点，点为椭圆短轴的一个端点，且的面积为2，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.82 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中焦点三角形的面积问题、根据离心率求椭圆的标准方程 【详解】由椭圆离心率为，得，即，又因为，所以， 又点为椭圆短轴顶点，则，解得，所以， 即椭圆的方程为. 5．已知圆的圆心为，点是圆上的动点，点，线段的垂直平分线交于点，则的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、向量与几何最值、数量积的运算律、利用椭圆定义求方程 【分析】根据题意，得到点在以，为焦点，长轴长为4的椭圆上，得到点的轨迹的方程为，化简得到，进而求得的取值范围． 【详解】由圆，可得，半径为，可得，， 所以， 所以点在以，为焦点，长轴长为4的椭圆上， 可得，，则， 所以点的轨迹的方程为， 又由， 因为，所以． 故答案为：. 6．（2026·山西吕梁·二模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线交C于A，B两点，若，，则椭圆C的方程为_______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】先利用椭圆的定义设出线段长度，结合已知条件求出各边长度，再用余弦定理建立关于的方程，进而求出，得到椭圆方程. 【详解】设，则，。 因为，所以。 根据椭圆的定义可得，得​， 因此，。 在中，； 在​中，​，​，， 由，得， 对​用余弦定理： ， 对​用余弦定理：， 所以化简得：， 又椭圆中， 所以，即。 因此椭圆的方程为 7．（25-26高二上·天津滨海新区·期中）方程表示椭圆，则的取值范围为___________． 【答案】. 【难度】0.85 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围 【分析】根据题意，结合椭圆方程的标准形式，列出不等式组，即可求解. 【详解】由方程表示椭圆， 则满足 ； 解得或，所以实数的取值范围. 故答案为：. 8．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）经过点，的椭圆的标准方程为_____． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】根据椭圆经过的两个点的坐标，确定椭圆焦点位置，进而求出、的值，最后写出椭圆的标准方程. 【详解】已知椭圆经过，两点. 点在轴上，点在轴上，且，所以椭圆的焦点在轴上. 对于焦点在轴上的椭圆，其标准方程为（）， 因为椭圆过点，所以； 椭圆过点，所以. 将，代入椭圆标准方程中，可得，即. 故答案为：. 9．（24-25高二上·天津北辰·期中）如图，椭圆的右顶点为，上顶点为，从椭圆上一点P向轴作垂线，垂足恰为左焦点，若，则椭圆的标准方程为___________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】根据平行关系得到相似关系，得到，，结合题目条件，求出，得到椭圆方程. 【详解】依题意，令椭圆半焦距为c，， 当时，，解得，即，则， 由，得，即，解得，， 因此，解得，则， 所以椭圆C的标准方程为. 故答案为： 重难点题型3 椭圆的几何性质-离心率问题 离心率的本质就是探究之间的数量关系，知道中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出的值或其范围.具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法. 1．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知椭圆的长轴端点为A，B，点P是椭圆上异于A，B的点，且直线和的斜率之积，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【详解】设是椭圆上异于A，B的点，，，把代入椭圆方程， 得，， 又，，又，，， ， 故B选项正确. 2．（2026·海南·模拟预测）设椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，且为抛物线（）的焦点．设抛物线与在第二象限的交点为，若，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.62 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】画出图象，利用抛物线性质以及椭圆的性质结合已知条件建立等式得出的关系，根据椭圆离心率公式求解即可. 【详解】椭圆，，， 抛物线的焦点为 ， 因为为抛物线（）的焦点，所以， 解得，则抛物线的方程为， 抛物线的准线方程为， 因为，又， 则， 因为为抛物线上的点，所以点到准线的距离， 即， 解得， 代入得到， 又在抛物线上，则，代入， 得到， 又在椭圆上，且， 两边平方得到， 把和代入， 得到， 展开化简得到，即， 解得，故选项A正确. 3．（2026·河南·三模）椭圆：的左、右焦点分别为，，下顶点为A，P为C上一点，，以为直角顶点的直角三角形的面积为，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.42 【知识点】余弦定理解三角形、椭圆中焦点三角形的其他问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】 根据三角形面积公式求解，通过椭圆的几何性质即可得到，结合余弦定理求解得到椭圆离心率. 【详解】已知椭圆，则左、右焦点分别为，，点坐标， 因为是以为直角顶点的直角三角形，所以， 直角边， 而，因此， 而，因此， 在中，，，由余弦定理得， 即， 化简得，而， 因此离心率.    4．（2026·安徽·模拟预测）已知焦点在轴上的椭圆的离心率，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【难度】0.88 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】根据离心率建立等量关系即可求出. 【详解】解：由题知椭圆焦点在轴上，所以， 因为，所以，即， 解得，所以. 5．（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）、为椭圆（，）的4个顶点、两个焦点中的两点，，椭圆的离心率为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的长轴、短轴、根据椭圆方程求a、b、c、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据椭圆，，可得，根据以及结合可确定，再求离心率. 【详解】因为，所以， 所以椭圆顶点：，；焦点：， 所以，， 当、为短轴顶点时，，不合题意， 当、为焦点和左右顶点中的两点时，两点间距离可能为，若其中任意一个为，解得均不是整数，不合题意， 当、一个为焦点一个为短轴顶点时，，是整数，所以，不合题意， 当、一个为长轴顶点一个为短轴顶点时，，解得，满足题意， 所以， 所以. 6．（2026·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的右焦点和右顶点分别为，，点在上．若直线与的斜率之积为，且，则的离心率等于________． 【答案】或 【难度】0.4 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、椭圆的焦半径与焦点弦问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设右焦点为，且，再设点在椭圆上，求得，根据直线和的斜率之积为，化简得到，再由，以及椭圆的焦半径公式，化简得到，求得或，即可求解. 【详解】由椭圆，可得，则右顶点， 设右焦点为，则，离心率为， 设点在椭圆上，可得，则， 又由直线和的斜率分别为， 因为直线和的斜率之积为，可得， 将代入上式，可得， 整理得，即， 即，所以， 因为，由椭圆的焦半径公式，可得， 又因为，可得，即，解得或， 所以椭圆的离心率为或. 7．（2026·四川宜宾·模拟预测）已知椭圆与双曲线有相同焦点，记为，，设椭圆与双曲线的离心率分别为，则的最小值为_________． 【答案】3 【难度】0.55 【知识点】求椭圆中的最值问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、由导数求函数的最值（含参）、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据椭圆和双曲线的性质，利用焦点相同构造相等关系，利用换元法，结合离心率的定义列出代数式，构造函数并求导，分析函数单调性及最小值点，进而求出最小值． 【详解】已知椭圆，则， 双曲线，则， 故，设，则， ， ， 令，求导得， 令，解得（舍去）或， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故是极小值点，即为最小值点，， 故的最小值为3． 8．（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，点在轴的正半轴上，是椭圆上一点，且满足．若的中垂线过点，则椭圆的离心率为________． 【答案】 【难度】0.42 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用向量共线定比分点公式求出点坐标，结合中垂线性质建立参数关系，最后代入椭圆方程求解离心率. 【详解】设（），由得， 整理得. 因的中垂线过点，故，即. 即. 化简得，解得. 从而点的纵坐标平方为，横坐标平方为. 将点坐标代入椭圆方程，得. 两边同乘并利用及变形得. 令，整理得，即. 解得或，因，故，即.    重难点题型4 椭圆的几何性质-最值（范围）问题 1．（2026·陕西咸阳·三模）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上，点在圆上，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】根据椭圆定义，，则当三点共线时，取得最小值. 【详解】根据题意，，且点为椭圆右焦点， 根据椭圆定义，， 即如图，当三点共线时，取得最小值. 2．（25-26高二上·山东临沂·期末）已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，是上的动点，是圆上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】由椭圆定义可得，可得出，结合圆的几何性质可求得的最小值. 【详解】对于椭圆，，，则，故、， 圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示： 由椭圆定义可得， 所以 ， 当且仅当点、分别为线段与椭圆、圆的交点时，上述两个等号同时成立， 故的最小值为. 故选：A. 3．设实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】转化为动点到两定点之间距离和，再利用焦点三角形的性质可求最小值. 【详解】， 点是椭圆上的点，设，如图．    记题中代数式为M，则， 等号当点E，A，P依次共线时取得． 因此所求最小值为． 故选：C. 4．已知椭圆的右焦点为是椭圆上一点，点，则的周长最大值为（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、椭圆上点到焦点的距离及最值、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】设椭圆的左焦点为，由题可知，，利用，即可得出． 【详解】如图所示设椭圆的左焦点为，则 ， 则， ， 的周长，当且仅当三点M，，A共线时取等号． 的周长最大值等于18． 故选：C． 5．（2025·安徽合肥·三模）已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为________. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】将点在圆上的距离的最大值转化为圆心到的距离加半径，根据椭圆的定义得，再由三角不等式，即可求解. 【详解】椭圆的两个焦点为，，长半轴， 圆的标准方程为，所以圆心为，半径为1， 因为点在圆上，所以， 因为点在椭圆上，所以， 所以， 又，，所以. 故答案为： 6．已知点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且的最小值为3，则椭圆C的离心率是______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】若是椭圆左焦点，数形结合及椭圆定义可得，结合已知和两点距离公式求椭圆参数，进而可得离心率. 【详解】由，则在椭圆内，若是椭圆左焦点，    所以， 仅当共线且在之间时取等号，故，即， 而且，则，故， 此时，故. 故答案为： 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆C上，且，则的最大值为______ . 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】由题意画出图形，结合椭圆定义可得，再由三角形两边之差小于第三边求解． 【详解】由椭圆方程可得，，则， 如图，连接并延长，交椭圆于P， 则， (当且仅当点三点共线时，且点位于第三象限时取等号) 此时取最大值为 故答案为： 重难点题型5 直线与椭圆的位置关系-弦长问题 设直线与椭圆的两个交点为，，， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式） 1．（2026·山东淄博·一模）已知椭圆：的左、右焦点分别为和，过且倾斜角为的直线与交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.9 【知识点】求椭圆中的弦长、根据韦达定理求参数 【详解】椭圆：的右焦点， 过且倾斜角为的直线的方程为，即， 将代入，得到， 即， 设， 则， 则，故选项B正确. 2．（2026·陕西西安·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交于，两点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】求椭圆中的弦长 【分析】根据椭圆的定义、余弦定理、勾股定理列方程，利用整体法求得. 【详解】设，，则根据椭圆的定义可知，， 且， 又，因为， 故由余弦定理有， 整理得①. 又因为，故由勾股定理有， 整理得②， 由①②解得，所以. 故选：A 3．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线交椭圆于两点，则__________. 【答案】 【难度】0.6 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、椭圆的焦半径与焦点弦问题 【分析】求出直线的方程，与椭圆方程联立，求出两点的坐标，进而可求出的值，即可得答案. 【详解】由题意可得，所以直线的方程为， 由，得或， 不妨设，则， 所以. 4．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知椭圆，经过坐标原点的两条直线分别与椭圆相交于、、、四个点，若该两条直线的斜率分别为、，且，则的面积为________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】椭圆中的定值问题、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】设出点的坐标，将△的面积用坐标表示，再利用已知条件及点在椭圆上进行坐标运算求解即可. 【详解】设，因为， 所以的斜率存在且不为，即， 直线方程：，即， 所以点到的距离为， 因此△的面积为， 而点在椭圆上，且所以 ，化简得， 所以 ， 所以. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线相交，一般先设出点的坐标并进行坐标运算，关键是利用已知条件将所求的式子进行化简，本题中主要利用点在椭圆上满足椭圆的方程以及斜率之积这两个条件进行化简. 5．（2026·天津河西·三模）已知椭圆C：（）的右顶点为A，上顶点为B（O为坐标原点）．点在椭圆C上，椭圆的离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若过点M的直线l交椭圆C于另一点N，且的面积为，求直线l的斜率． 【答案】(1) (2)直线的斜率为或斜率不存在 【难度】0.63 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据韦达定理求参数、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】（1）结合椭圆离心率公式和点在椭圆上的条件，联立求解即可得到椭圆的标准方程； （2）分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，斜率存在时联立直线与椭圆方程，结合韦达定理和三角形面积公式求解斜率，斜率不存在时直接验证是否满足面积条件. 【详解】（1）由椭圆离心率，得， 结合，可得. 将点的坐标代入椭圆方程得，解得，则， 故椭圆C的标准方程为. （2）①当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为， 即，如图， 与椭圆方程联立，消去并整理得. 已知是该方程的一个根，由韦达定理得， 则. 设到直线的距离为，则， 则的面积为， 整理得，即，解得或； ②当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 根据椭圆的对称性可得，此时的面积，满足条件. 综上，直线的斜率为或不存在。 6．（2026·河南开封·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，离心率为． (1)求的方程； (2)设点，过点且不与坐标轴垂直的直线交于、两点，且，求． 【答案】(1) (2)或 【难度】0.57 【知识点】求椭圆中的弦长、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】（1）根据题意求出、的值，即可得出椭圆的方程； （2）设直线的方程为，设点、，将该直线方程与椭圆方程联立，求出线段的中点坐标，可得出线段的中垂线方程，将点的坐标代入中垂线方程，可求出的值，再利用弦长公式可求出的值. 【详解】（1）由的焦点为，可知的半焦距，         因为的离心率为，所以，则．             又，所以， 故的方程为． （2）由已知，设直线的方程为， 设点、． 联立，得， ， 由韦达定理可得，， 所以． 故线段的中点坐标为，    则线段的垂直平分线的方程为．             若，则线段的垂直平分线过点， 所以， 化简整理得，解得或．                 当时，因为，， 所以；             当时，因为，， 所以．             综上，的值为或． 重难点题型6 直线与椭圆的位置关系-中点弦问题 1．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知椭圆，一组斜率的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】根据题意，设斜率的平行直线与椭圆相交于，且中点为，结合“点差法”，即可求解. 【详解】设斜率的平行直线与椭圆相交于，且中点为， 可得. 由，两式相减得， 整理得，可得， 即这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为. 故选：C. 2．（2024·贵州遵义·一模）已知椭圆，过点的直线与椭圆C交于A，B两点且AB的中点为P，则坐标原点O到直线AB的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】代入点差法公式，求直线的斜率，再代入点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】设，， 则，两式相减得， 由条件可知，，， 即， 并且由对称性可知，，所以， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即， 所以原点到直线的距离. 故选：B 3．（2026·广西河池·三模）已知椭圆（），斜率为的一条直线与椭圆交于点，且的中点坐标为，则椭圆的离心率__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据直线斜率和中点坐标公式，利用点差法可得，再结合的关系可得，进而求解即可. 【详解】设，有， 两式相减得，则， 即， 又因为弦的中点坐标为，直线的斜率为， 所以，则，即， 则，即，则，所以. 4．（2026·湖南长沙·三模）已知椭圆＋＝1内有一点P(2,3)，过点P的一条弦恰好以P为中点，则这条弦所在的直线方程为________________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求弦中点所在的直线方程或斜率、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】根据点差法求出弦所在直线的斜率得解. 【详解】设弦为，，， 则，两式相减并化简得， 即，则， 所以弦所在直线的方程为，即. 故答案为：. 5．（2026·四川广安·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，椭圆上的点到的距离最大值为. (1)求和的离心率； (2)过点的直线交于，两点，若为的中点，求的方程. 【答案】(1) (2) 【难度】0.71 【知识点】求弦中点所在的直线方程或斜率、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】（1）根据条件列关系式可得； （2）设，与椭圆方程联立，利用韦达定理和中点坐标公式可得. 【详解】（1）由题意可知，，得， 则的离心率为； （2）由（1）知，， 若直线斜率为或不存在，则线段的中点应在坐标轴上， 故设，， 联立，得， 则，得， 故的方程为. 6．（25-26高三下·重庆·阶段检测）已知椭圆的离心率，且过点，圆M的圆心为，半径为，O为坐标原点． (1)求椭圆C和圆M的标准方程； (2)设斜率为的直线l与椭圆C交于P，Q两点，N为线段PQ的中点，点N在圆M上，且满足，求直线l的斜率． 【答案】(1)椭圆C的标准方程为，圆M的标准方程为； (2) 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、向量垂直的坐标表示、求弦中点所在的直线方程或斜率、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】（1）根据给定的离心率及点的坐标求出即可得椭圆C标准方程，再写出圆M的标准方程. （2）利用点差法及向量垂直的坐标表示求出. 【详解】（1）由椭圆的离心率，得，则， 由点在椭圆C上，得，联立解得，， 所以椭圆C的标准方程为；圆M的标准方程为. （2）设，中点， 由在椭圆上，得， 则， 又，于是， 而，由，得， 由在圆M上，得，联立解得，， 由，得点在椭圆内，即存在满足条件的点N， 当点时，，不符合题意，当点时，，符合题意， 所以. 重难点题型7 定点问题 1．（2026·河北沧州·三模）已知椭圆的长轴长为，由的三个顶点构成的三角形的面积为    (1)求的方程 (2)记的右顶点和上顶点分别为，，点在线段上运动，垂直于轴的直线交于点点在第一象限，为线段的中点，设直线与的另一个交点为，证明：直线过定点． 【答案】(1)． (2)由于轴，所以不可能垂直于轴，故直线的斜率存在，故设直线的方程为，, 联立， 则 ， 直线的方程为， 当时，，所以，是的中点，所以， ，即，所以， 则， 化简得 ， 代入，得， 故，所以或， 故直线的方程为或， 由于不与重合，所以直线不经过，故直线的方程为， 此时 ， 故，此时直线过定点. 【难度】0.51 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的直线过定点问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据椭圆的几何性质即可求解. （2）讨论直线的斜率是否存在，存在时，设出直线的方程，联立与椭圆的方程，可得根与系数的关系式，利用斜率关系或者根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，得到韦达定理，由两点斜率公式，即可代入化简的方程求解. 【详解】（1）由题意可知， E的三个顶点构成的三角形要么是短轴的一个顶点和长轴的两个顶点构成的三角形，面积为； 要么是短轴的两个顶点和长轴的一个顶点构成的三角形，面积为， 所以， 故E的方程为. （2）略 【点睛】直线与椭圆的位置关系中直线过定点问题，需要讨论直线的斜率是否存在，若斜率不存在，特殊情况特殊对待，存在时，设出直线的方程，联立与椭圆的方程，可得根与系数的关系式，利用斜率关系或者根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用从而求得直线方程中两个参量之间的关系即可得到定点. 2．（2026·重庆·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，过点． (1)求的方程； (2)已知点，过点的直线交于，两点（，在轴的下方），直线交直线于点． （ⅰ）设直线的斜率为，直线的斜率为，判断是否为定值，并说明理由； （ⅱ）证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)（i） 不为定值.理由如下. 设点， 设 ， 由 得， 由 ，得 ，解得 或 ， 又点 , 在 轴下方，则 ， 由韦达定理得 得 ，即 ， 因为 ， 所以 ， 所以 不是定值. （ⅱ） 由（i）得 则直线 的方程为 ， 即 ， 当 时，得 ， 所以必过定点. 【难度】0.38 【知识点】椭圆中的直线过定点问题、椭圆中的定值问题、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】（1）根据题意，列出的方程组求出得解； （2）（i）设点 ， ， 设 联立椭圆的方程，进而将斜率表示出来，得到，与点的坐标有关，从而 不为定值. （ii）通过（i）中将斜率表示成，从而直线方程转化为从而直线过定点 【详解】（1）由题可知：，解得， 所以椭圆的方程为. （2）（i）略 （ii）略 3．（2026·北京·三模）已知椭圆：的离心率为，为椭圆上一点，且点到椭圆的两个焦点的距离之和等于． (1)求椭圆的方程； (2)设，，过点的直线与椭圆交于，两点，连接，分别交椭圆于，两点，求证：直线过定点． 【答案】(1) (2)设直线的方程为,,. 联立直线与椭圆的方程,消去可得：,展开并整理得. 由韦达定理可得 ， 直线的方程为,即. 联立直线与椭圆的方程,消去可得： ,展开并整理得 . 因为是方程的一个根,所以, 将代入可得. 同理可得. 直线的斜率,直线的方程为 令,可得. 将,代入上式并化简,结合,可得. 所以直线过定点. 【难度】0.42 【知识点】椭圆中的直线过定点问题、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】（1）根据椭圆的定义和离心率公式求出的值,进而得到椭圆方程； （2）设出直线的方程,联立椭圆方程,利用韦达定理得到,两点坐标的关系,再求出直线,的方程,联立椭圆方程求出,两点坐标,最后根据直线的方程证明其过定点. 【详解】（1）由椭圆的定义可得,解得. 已知椭圆的离心率,将代入可得. 在椭圆中有,将, 代入可得. 所以椭圆的方程为. （2）略 4．（2026·安徽·三模）设椭圆：的离心率为，为椭圆的左端点． (1)求椭圆的标准方程： (2)设动点，在椭圆上且在第三象限，点，射线，关于直线对称，记，的斜率分别为，． （i）若，求； （ii）求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】(1) (2)（i）； （ii）设直线：，由在第三象限可知，． 与椭圆 联立得 ． 则，且，． 由（i）知 ，即， 即 ， 即 ， 即 ，即 ． 又，，故 ， 因此直线：恒过定点. 【难度】0.42 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的直线过定点问题、椭圆中的定值问题、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】（1）根据离心率和椭圆性质求解； （2）（i）设直线，的倾斜角分别为，，则 ，故，于是，，可解；（ii）设直线：，联立方程组，根据（i） ，化简可得证. 【详解】（1）由题意，，又离心率，故， 所以椭圆的标准方程为； （2）（i）由题，，设直线，的倾斜角分别为，， 由题意，，即 ，故． 于是， ， 故时， （ii）略 重难点题型8 定值问题 1．（2026·江苏泰州·模拟预测）已知椭圆：（）的离心率为，短轴长为2. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，原点到直线的距离为. （ⅰ）记直线，的斜率分别为，，求证：为定值； （ⅱ）求的面积的最大值及此时直线的方程. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）的面积的最大值为1，直线的方程为或或或. 【难度】0.45 【知识点】求椭圆中的最值问题、根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的定值问题、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）根据、、之间的关系与离心率即可求解 （2）（i）利用坐标表示出、，根据韦达定理，将表示为、之间的关系式，结合距离即可证明； （ii） 利用弦长公式，表示出三角形面积，讨论范围即可； 【详解】（1）由题意知，， 所以， 所以椭圆的标准方程为. （2）（i）当斜率不为时，设直线的方程为， ，， 联立得，， ， 点到的距离，所以， ， 根据韦达定理代入得，， 当斜率为时，不妨设横坐标大于0，则此时、两点坐标为，或，， 所以， 综上，为定值. （ii）当斜率为时，， 当斜率不为时，， 所以， 因此， 则， 当且仅当，即时取等，所以的最大值为， 当时，，当时，， 所以直线的方程为或或或. 【点睛】 2．（2026·河南周口·三模）已知椭圆：的左焦点为，短轴长是长轴长的． (1)求的方程． (2)过点的直线与交于，两点，点，从下列两个命题中选择一个正确的命题，并证明． ①直线与的斜率之和为定值； ②直线与的斜率之积为定值． 【答案】(1)椭圆的方程为； (2)命题①正确，定值为。 【难度】0.62 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的定值问题 【分析】（1）由椭圆焦点得，结合短轴长与长轴长的比例关系及求解参数，即可得椭圆方程； （2）设过的直线方程与椭圆联立，利用韦达定理化简斜率之和的表达式，验证其为定值. 【详解】（1）由题意可知：解得因此椭圆的方程为 （2）命题①正确， 证明如下：当斜率不存在或斜率不为时， 设过的直线方程为，， 将直线方程代入椭圆方程得： ， 整理得， 由韦达定理得： ， ， 化简得, 当斜率为时，设，显然，故命题①成立. 3．（2026·浙江金华·三模）已知椭圆的离心率为，为椭圆C上的动点，是直线上的两个不同点，直线的斜率分别为，且原点O到直线的距离均为1． (1)求椭圆C的标准方程； (2)证明： (3)求周长的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【难度】0.39 【知识点】求椭圆中的最值问题、椭圆中的定值问题、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】（1）根据已知条件求得，进而求得椭圆的标准方程； （2）利用原点到直线的距离列方程，结合根与系数关系证得； （3）求得周长的表达式，利用换元法以及函数的单调性求得周长的最小值． 【详解】（1）∵，∴, 因此椭圆C的标准方程为：. （2）直线，即， 原点O到直线距离为1，由点到直线距离公式：①； 平方整理得：， 同理：， ∴、是方程两根，由韦达定理得：. （3）∵， ∴， 同理：，， ，由①可得；， 同理：， ∴ ∵，， ∴， ∵，∴，∴， 令，，设，， ∴，，∴在单调递减， ∴△PAB的周长的最小值为. 4．（2026·贵州毕节·三模）动点与定点的距离和D到定直线的距离的比是常数. (1)求动点D的轨迹方程； (2)设动点D的轨迹为曲线，，是曲线过原点O的两条弦，且，求证：为定值； (3)在（2）的条件下，求的面积的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析，定值为 (3) 【难度】0.4 【知识点】轨迹问题——椭圆、椭圆中的定值问题、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）根据已知条件列出等式然后进行化简，即可得到轨迹方程； （2）当直线，其中一个斜率不存在时，可得为定值，当直线，均存在时，设直线方程和直线方程，分别与椭圆方程联立求出，，由椭圆的对称性知，，进而得到的表达式即可证明； （3）当直线，其中一个斜率不存在时，可得，当直线，斜率均存在时，由（2）知和，则可得，令，换元后根据均值不等式即可求解. 【详解】（1）由已知得 ， 化简得 ， ， 即点 的轨迹方程为: . （2）若直线，其中一个斜率不存在， 则易知: ， 若直线，斜率均存在， 设直线方程: ，， 联立 ，整理得 ，解得: ， 同理，设直线方程: ，， 联立 ，整理得 ，解得: ， 所以 ，， 由椭圆的对称性知， ，， 所以 ， 综上，为定值，且定值为. （3）由（2）知若直线，斜率均存在， ，， ， 则， 令，则， 令，， ， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以， 所以，即， 若直线，其中一个斜率不存在，， 综上，的面积的取值范围. 重难点题型9 开放性与探索性问题 1．（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系 中，以椭圆 （ ）与坐标轴的交点为顶点的四边形的周长为 ，离心率为 . (1)求椭圆 的方程； (2)设 ， ，点 在第三象限且在椭圆 上.直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 . ①是否存在点 ，使得 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由； ②求四边形 面积的最大值. 【答案】(1). (2)①存在， ② 【难度】0.42 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中存在定点满足某条件问题、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）由已知得，解方程即可求解； （2）①设，利用直线的方程即可求出点的坐标，由得到两直线斜率关系，与椭圆方程联立即可求得点坐标； ②由图写出四边形面积表达式，借助于椭圆参数方程和换元，利用二次函数的性质即可求得其最大值. 【详解】（1）由已知得， 所以， 所以椭圆方程为. （2）①设，其中，则. 又因为，所以直线， 令，所以，同理， 若，则， 所以， 化简可得： 与联立， 化简得：， 即， 因为点在第三象限，所以，， 所以， 所以存在点 ，使得 ，即点坐标为 ②所以四边形的面积 ， 令， 所以， 令，则，，故， 故当时，，即时， 也即时，四边形的面积取最大值为.    2．（2026·山东威海·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，点是椭圆长轴上一个动点（不与椭圆中心和顶点重合），过点作轴的垂线交椭圆于，两点，直线与椭圆交于另一点，直线与椭圆交于另一点． ①求面积的最大值； ②直线是否过定点？若是，求出这个定点；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①1；②直线过定点，定点为 【难度】0.32 【知识点】求椭圆中的最值问题、椭圆中的直线过定点问题、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】（1）由点在椭圆上，再由离心率以及求解即可. （2）①设直线方程为，与椭圆联立，结合韦达定理求出弦长，再求出原点到直线距离，代入面积公式求解即可. ②由题意可得，设：，与椭圆联立，求解点，的坐标，列出直线的方程，化简求解即可. 【详解】（1）因为椭圆过点，所以，即， 因为椭圆的离心率为，所以，, 因为，所以解得， 故椭圆方程C为． （2）①设：，，，    联立，整理得， 由，得， 由韦达定理可得，，， 所以 ， 设原点到直线距离为，则， 所以， 令，则，当且仅当时，等号成立， 故面积的最大值为1． ②，所以：， 联立，可得， 所以，解得，所以， 同理可得， 所以：，整理可得， 所以直线过定点，定点为．    3．（2026·天津滨海新区·三模）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，离心率为，左顶点为，下顶点为，过点且垂直于轴的直线交椭圆于两点，且所得弦长为． (1)求椭圆的方程； (2)若点是椭圆上在第一象限内的一个动点，求三角形面积的最大值； (3)过且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，连接并延长交直线于点．试探究：在轴上是否存在一定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)因为，设直线方程为，代入椭圆方程可得， 设，则，所以中点的纵坐标， 所以，即， 所以所在直线方程为，令，可得，即， 假设在轴上存在一定点满足题意，则， 所以恒成立，则需，解得， 即轴上存在定点，使得以为直径的圆恒过点. 【难度】0.39 【知识点】求椭圆中的最值问题、根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中存在定点满足某条件问题、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）根据离心率及通径长求出即可得解； （2）设，利用点到直线的距离求三角形面积，再由正弦型三角函数的性质求最值即可； （3）设直线方程为，求出点坐标，再由交点求出点坐标，假设存在满足题意，则恒成立，据此求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 由代入，可得，， 所以椭圆的通径长为，即， 由可得，解得， 所以， 所以椭圆的方程为. （2） 由（1）可知， 所以， 直线所在直线方程为，即 设， 设点到直线的距离为，则， 所以， 当时，有最大值. （3）略 4．（2026·江西南昌·三模）已知为椭圆：的左，右顶点，为上的一点，N为双曲线：上的一点（两点不同于两点），设直线的斜率分别为，且． (1)设为坐标原点，证明：三点共线． (2)设的右焦点分别为，均在第一象限，直线与直线相交于点，． ①判断直线与直线的位置关系，并证明你的结论； ②证明：． 【答案】(1)设，，则，， 因为 ，所以， ，, 因为 ，所以， 则， 由，可知， 所以，因此，三点共线； (2)①由，得， 由（1）可知：， 由，得，且都在第一象限， 所以， ， 由（1）知：， ，， 由式结合 ， ， 所以， 则，， 所以 ， 所以，即； ②由①可知 ， ， 则；直线，直线， 设点，于是， 则 ，即， 则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 则，又，则， 于是，则． 【难度】0.25 【知识点】已知两点求斜率、双曲线中的定值问题、椭圆中的定值问题 【分析】（1）先分别写出椭圆上点、双曲线上点与两顶点连线的斜率和与斜率积，利用曲线方程化简，结合斜率和为的条件，推出向量与共线，证得三点共线； （2）①由斜率平方和为，结合（1）中斜率和为、斜率积互为相反数，求出斜率和的具体值，得到坐标比例关系，算出坐标后代入向量，证明向量平行，得出； ②先求的斜率，证两线垂直，联立方程得点满足圆方程，利用直径所对圆周角为直角，推出两个直角共余角，从而证得两角相等． 【详解】（1）略； （2）略． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8-4 椭圆方程 1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 2．（2023·全国甲卷·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·北京·高考真题）已知椭圆：的一个顶点为，离心率为．过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，．点关于直线的对称点为，直线与直线交于点．设与的面积分别为与． (1)求椭圆的方程； (2)若，求的值． 5．（2026·全国二卷·高考真题）已知椭圆：（），过E的右焦点且与轴垂直的直线被截得的线段长为． (1)求的离心率； (2)设为坐标原点，给定点，为上的点，过作轴的垂线，垂足为.直线与直线的交点为，当在上运动时，点的轨迹为． （ⅰ）求的方程； （ⅱ）当为何值时，有对称中心？当有对称中心时，将平移后得到曲线，使得为的对称中心，说明是什么曲线. 6．（2026·天津·高考真题）已知椭圆（）的离心率为，椭圆被直线截得的线段长为． (1)求的标准方程； (2)斜率为的直线与圆相切，且该直线交椭圆于，（），是椭圆的上顶点．记直线，的斜率分别为，，求． 7．（2026·全国一卷·高考真题）已知椭圆的左焦点为，离心率为． (1)求的方程； (2)设为坐标原点，过且斜率大于 的动直线与交于P，两点，其中在第三象限，直线与的另一个交点为． （i）若的面积是的面积的 倍，求的方程； （ii）求的最小值． 8．（2025·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆E的方程； (2)设O为坐标原点，点在椭圆E上，直线与直线，分别交于点A，B．设与的面积分别为，比较与的大小． 9．（2025·天津·高考真题）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分. 10．（2025·全国一卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 11．（2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 12．（2024·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知点为椭圆上一点，、分别为椭圆的左、右焦点. (1)若点的横坐标为2，求的长; (2)设的上、下顶点分别为、，记的面积为的面积为，若，求的取值范围 (3)若点在轴上方，设直线与交于点，与轴交于点延长线与交于点，是否存在轴上方的点，使得成立?若存在，请求出点的坐标;若不存在，请说明理由. 13．（2024·北京·高考真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值． 重难点题型1 椭圆的定义及应用 平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为： 注意：当时，点的轨迹是线段； 当时，点的轨迹不存在． 1．（2026·江西·模拟预测）已知点P在椭圆：上，C的左焦点为F，若线段的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，则的值为(     ) A．1 B．2 C． D．4 2．（2026·重庆·二模）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，经过椭圆的另一个焦点.如图，设椭圆C的两个焦点分别为，光线由点发出后射到椭圆C上的点P处，经反射后到点，再经过x轴反射到椭圆C上的点H，最后反射回点，若光线的总路程为6，且则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山西临汾·三模）已知动点满足，则动点M的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·全国·模拟预测）设P为平面内一动点，，，若以AP为直径的圆与圆内切，则面积的最大值为（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 5．（2026·上海·高考真题）在中，，，．已知点，，分别为椭圆的上、下、右顶点，以及两个焦点中的三点，求椭圆的离心率__________． 6．（2026·上海·高考真题）已知椭圆与椭圆相交于、、、四点，且与和的四个焦点在同一个圆上，则_____________. 7．（2025·甘肃金昌·二模）已知是椭圆上的动点，，且，则__________. 8．（2024·广东江门·二模）已知圆内切于圆，圆内切于圆，则动圆的圆心的轨迹方程为______. 9．（23-24高二上·河南信阳·期末）圆与的位置关系为______；与圆，都内切的动圆圆心的轨迹方程为______． 重难点题型2 椭圆的标准方程 （1）定义法：根据椭圆定义，确定的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程. （2）待定系数法：根据椭圆焦点是在轴还是轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出的方程组，解出，从而求得标准方程. 注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为. ②与椭圆共焦点的椭圆可设为. ③与椭圆有相同离心率的椭圆，可设为（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）. 1．（2026·贵州黔南·模拟预测）椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 2．（2026·山东·模拟预测）已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于两点，线段的中点在轴上，且，若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·河北张家口·三模）已知椭圆的离心率为，则C的方程可以为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·云南保山·二模）设椭圆的离心率为，，，分别为其左、右焦点，点为椭圆短轴的一个端点，且的面积为2，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 5．已知圆的圆心为，点是圆上的动点，点，线段的垂直平分线交于点，则的取值范围是______． 6．（2026·山西吕梁·二模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线交C于A，B两点，若，，则椭圆C的方程为_______. 7．（25-26高二上·天津滨海新区·期中）方程表示椭圆，则的取值范围为___________． 8．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）经过点，的椭圆的标准方程为_____． 9．（24-25高二上·天津北辰·期中）如图，椭圆的右顶点为，上顶点为，从椭圆上一点P向轴作垂线，垂足恰为左焦点，若，则椭圆的标准方程为___________. 重难点题型3 椭圆的几何性质-离心率问题 离心率的本质就是探究之间的数量关系，知道中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出的值或其范围.具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法. 1．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知椭圆的长轴端点为A，B，点P是椭圆上异于A，B的点，且直线和的斜率之积，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·海南·模拟预测）设椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，且为抛物线（）的焦点．设抛物线与在第二象限的交点为，若，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·河南·三模）椭圆：的左、右焦点分别为，，下顶点为A，P为C上一点，，以为直角顶点的直角三角形的面积为，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·安徽·模拟预测）已知焦点在轴上的椭圆的离心率，则（    ） A．4 B． C．2 D． 5．（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）、为椭圆（，）的4个顶点、两个焦点中的两点，，椭圆的离心率为______． 6．（2026·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的右焦点和右顶点分别为，，点在上．若直线与的斜率之积为，且，则的离心率等于________． 7．（2026·四川宜宾·模拟预测）已知椭圆与双曲线有相同焦点，记为，，设椭圆与双曲线的离心率分别为，则的最小值为_________． 8．（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，点在轴的正半轴上，是椭圆上一点，且满足．若的中垂线过点，则椭圆的离心率为________． 重难点题型4 椭圆的几何性质-最值（范围）问题 1．（2026·陕西咸阳·三模）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上，点在圆上，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（25-26高二上·山东临沂·期末）已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，是上的动点，是圆上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．设实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 4．已知椭圆的右焦点为是椭圆上一点，点，则的周长最大值为（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 5．（2025·安徽合肥·三模）已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为________. 6．已知点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且的最小值为3，则椭圆C的离心率是______． 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆C上，且，则的最大值为______ . 重难点题型5 直线与椭圆的位置关系-弦长问题 设直线与椭圆的两个交点为，，， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式） 1．（2026·山东淄博·一模）已知椭圆：的左、右焦点分别为和，过且倾斜角为的直线与交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西西安·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交于，两点，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线交椭圆于两点，则__________. 4．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知椭圆，经过坐标原点的两条直线分别与椭圆相交于、、、四个点，若该两条直线的斜率分别为、，且，则的面积为________． 5．（2026·天津河西·三模）已知椭圆C：（）的右顶点为A，上顶点为B（O为坐标原点）．点在椭圆C上，椭圆的离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若过点M的直线l交椭圆C于另一点N，且的面积为，求直线l的斜率． 6．（2026·河南开封·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，离心率为． (1)求的方程； (2)设点，过点且不与坐标轴垂直的直线交于、两点，且，求． 重难点题型6 直线与椭圆的位置关系-中点弦问题 1．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知椭圆，一组斜率的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·贵州遵义·一模）已知椭圆，过点的直线与椭圆C交于A，B两点且AB的中点为P，则坐标原点O到直线AB的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．（2026·广西河池·三模）已知椭圆（），斜率为的一条直线与椭圆交于点，且的中点坐标为，则椭圆的离心率__________． 4．（2026·湖南长沙·三模）已知椭圆＋＝1内有一点P(2,3)，过点P的一条弦恰好以P为中点，则这条弦所在的直线方程为________________． 5．（2026·四川广安·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，椭圆上的点到的距离最大值为. (1)求和的离心率； (2)过点的直线交于，两点，若为的中点，求的方程. 6．（25-26高三下·重庆·阶段检测）已知椭圆的离心率，且过点，圆M的圆心为，半径为，O为坐标原点． (1)求椭圆C和圆M的标准方程； (2)设斜率为的直线l与椭圆C交于P，Q两点，N为线段PQ的中点，点N在圆M上，且满足，求直线l的斜率． 重难点题型7 定点问题 1．（2026·河北沧州·三模）已知椭圆的长轴长为，由的三个顶点构成的三角形的面积为    (1)求的方程 (2)记的右顶点和上顶点分别为，，点在线段上运动，垂直于轴的直线交于点点在第一象限，为线段的中点，设直线与的另一个交点为，证明：直线过定点． 2．（2026·重庆·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，过点． (1)求的方程； (2)已知点，过点的直线交于，两点（，在轴的下方），直线交直线于点． （ⅰ）设直线的斜率为，直线的斜率为，判断是否为定值，并说明理由； （ⅱ）证明：直线过定点． 3．（2026·北京·三模）已知椭圆：的离心率为，为椭圆上一点，且点到椭圆的两个焦点的距离之和等于． (1)求椭圆的方程； (2)设，，过点的直线与椭圆交于，两点，连接，分别交椭圆于，两点，求证：直线过定点． 4．（2026·安徽·三模）设椭圆：的离心率为，为椭圆的左端点． (1)求椭圆的标准方程： (2)设动点，在椭圆上且在第三象限，点，射线，关于直线对称，记，的斜率分别为，． （i）若，求； （ii）求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 重难点题型8 定值问题 1．（2026·江苏泰州·模拟预测）已知椭圆：（）的离心率为，短轴长为2. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，原点到直线的距离为. （ⅰ）记直线，的斜率分别为，，求证：为定值； （ⅱ）求的面积的最大值及此时直线的方程. 2．（2026·河南周口·三模）已知椭圆：的左焦点为，短轴长是长轴长的． (1)求的方程． (2)过点的直线与交于，两点，点，从下列两个命题中选择一个正确的命题，并证明． ①直线与的斜率之和为定值； ②直线与的斜率之积为定值． 3．（2026·浙江金华·三模）已知椭圆的离心率为，为椭圆C上的动点，是直线上的两个不同点，直线的斜率分别为，且原点O到直线的距离均为1． (1)求椭圆C的标准方程； (2)证明： (3)求周长的最小值． 4．（2026·贵州毕节·三模）动点与定点的距离和D到定直线的距离的比是常数. (1)求动点D的轨迹方程； (2)设动点D的轨迹为曲线，，是曲线过原点O的两条弦，且，求证：为定值； (3)在（2）的条件下，求的面积的取值范围. 重难点题型9 开放性与探索性问题 1．（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系 中，以椭圆 （ ）与坐标轴的交点为顶点的四边形的周长为 ，离心率为 . (1)求椭圆 的方程； (2)设 ， ，点 在第三象限且在椭圆 上.直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 . ①是否存在点 ，使得 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由； ②求四边形 面积的最大值. 2．（2026·山东威海·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，点是椭圆长轴上一个动点（不与椭圆中心和顶点重合），过点作轴的垂线交椭圆于，两点，直线与椭圆交于另一点，直线与椭圆交于另一点． ①求面积的最大值； ②直线是否过定点？若是，求出这个定点；若不是，请说明理由． 3．（2026·天津滨海新区·三模）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，离心率为，左顶点为，下顶点为，过点且垂直于轴的直线交椭圆于两点，且所得弦长为． (1)求椭圆的方程； (2)若点是椭圆上在第一象限内的一个动点，求三角形面积的最大值； (3)过且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，连接并延长交直线于点．试探究：在轴上是否存在一定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2026·江西南昌·三模）已知为椭圆：的左，右顶点，为上的一点，N为双曲线：上的一点（两点不同于两点），设直线的斜率分别为，且． (1)设为坐标原点，证明：三点共线． (2)设的右焦点分别为，均在第一象限，直线与直线相交于点，． ①判断直线与直线的位置关系，并证明你的结论； ②证明：． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $