必刷小题1　集合、常用逻辑用语、不等式-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 高中数学一轮复习作业，聚焦集合、常用逻辑用语、不等式，总分73分，含单选（8题）、多选（3题）、填空（3题），分层设计清晰，从基础概念到综合应用递进，强化数学抽象与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|集合运算、逻辑用语、不等式性质|单选直接考查绝对值不等式求解、集合关系判断，夯实概念理解| |能力提升|跨知识点综合（集合与不等式、充要条件应用）|多选需多维度辨析（如含参数不等式与集合运算结合），培养推理严谨性| |综合应用|新情境与创新题型|填空结合规范数集、集合“全食”“偏食”新定义，发展创新意识与应用能力|

必刷小题1　集合、常用逻辑用语、不等式 (分值：73分) 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1.已知集合A={x||x-1|≤3}，B=，那么A∪B等于(　　) A.(-1，4) B.(-1，4] C.(-2，5) D.[-2，5) 2.已知直线a，b和平面α，a⊄α，b∥α，则“a∥b”是“a∥α”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知集合A={x|x<a}，B={x|x≥1}，若(∁RB)∪A=A，则实数a的取值范围为(　　) A.{a|a≥1} B.{a|a>1} C.{a|a≤1} D.{a|a<1} 4.已知a>b>0>c，n∈Z，则下列不等式一定成立的是(　　) A.ab<bc B.a-b>b-c C.an>bn D.b(b-c)<a(a-c) 5.当x>1时，不等式2x+≥a恒成立的充要条件是(　　) A.a≤2 B.a≤4 C.a≤2+2 D.a≥2 6.已知命题p：“∃x∈[-1，1]，x2-a>0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+4=0”.若命题p为假命题且命题q为真命题，则实数a的取值范围是(　　) A.a≤-2或a=1 B.a≤-2或1≤a≤2 C.a≥1 D.a≥2 7.已知a2+b2=ab+4，则a+b的最大值为(　　) A.2 B.4 C.8 D.2 8.(2025·怀化模拟)给定整数n≥3，有n个实数元素的集合S，定义其相伴数集T={|a-b||a，b∈S，a≠b}，如果min(T)=1，则称集合S为规范数集(注：min(X)表示数集X中的最小数).对于集合M={-0.1，-1.1，2，2.5}，N={-1.5，-0.5，0.5，1.5}，则(　　) A.M是规范数集，N不是规范数集 B.M是规范数集，N是规范数集 C.M不是规范数集，N是规范数集 D.M不是规范数集，N不是规范数集 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 9.已知a>b>c，且ac<0，则(　　) A.ab>bc B.> C.bc<c2 D.> 10.已知集合A={x|x2-x-6>0}，B={x|ax2+bx+c≤0}，其中a≠0，若A∪B=R，A∩B={x|3<x≤5}，则(　　) A.a>0 B.关于x的不等式cx2+bx+a>0的解集为 C.a+b+c>0 D.bc>10a-1 11.已知a>0，b>0且a+b=1，下列结论正确的是(　　) A.+的最小值为4 B.的最小值为 C.+的最大值为2 D.a2+b2的最小值为 三、填空题(每小题5分，共15分) 12.已知正数a，b满足+=2，则ab的最小值为　　　　　　.  13.已知p：|x-1|<1，q：x2-(a+1)x+a≤0，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是　　　　　　.  14.当两个集合中有一个集合为另一个集合的子集时，称两个集合之间构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称两个集合之间构成“偏食”，对于集合A=，B={x|x2=a}.若A与B构成“全食”，则a的取值范围是　　　　　　；若A与B构成“偏食”，则a的取值范围是　　　　　　.  答案 必刷小题1　集合、常用逻辑用语、不等式 (分值：73分) 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1.已知集合A={x||x-1|≤3}，B=，那么A∪B等于(　　) A.(-1，4) B.(-1，4] C.(-2，5) D.[-2，5) 答案　D 解析　由|x-1|≤3，解得-2≤x≤4， 即A=[-2，4]. 由<0，解得-1<x<5， 即B=(-1，5)， 所以A∪B=[-2，5). 2.已知直线a，b和平面α，a⊄α，b∥α，则“a∥b”是“a∥α”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　因为b∥α，则存在c⊂α使得b∥c且b⊄α， 若a∥b且a⊄α，则a∥c， 又a⊄α且c⊂α，所以a∥α，充分性成立； 设β∥α，b⊂β，a⊂β，a∩b=P，则有a∥α，但a，b不平行，即必要性不成立，则“a∥b”是“a∥α”的充分不必要条件. 3.已知集合A={x|x<a}，B={x|x≥1}，若(∁RB)∪A=A，则实数a的取值范围为(　　) A.{a|a≥1} B.{a|a>1} C.{a|a≤1} D.{a|a<1} 答案　A 解析　因为B={x|x≥1}，∁RB={x|x<1}， 因为(∁RB)∪A=A，所以(∁RB)⊆A， 所以a≥1. 4.已知a>b>0>c，n∈Z，则下列不等式一定成立的是(　　) A.ab<bc B.a-b>b-c C.an>bn D.b(b-c)<a(a-c) 答案　D 解析　对于A，由a>b>0>c，可得ab>0>bc，所以A错误； 对于B，例如，当a=2，b=1，c=-3时，可得a-b<b-c，所以B错误； 对于C，例如，当a=2，b=1，n=-1时，a-1<b-1，所以C错误； 对于D，由a>b>0>c，可得0<b-c<a-c，又由0<b<a，根据不等式的性质，可得b(b-c)<a(a-c)，所以D正确. 5.当x>1时，不等式2x+≥a恒成立的充要条件是(　　) A.a≤2 B.a≤4 C.a≤2+2 D.a≥2 答案　C 解析　因为当x>1时，不等式2x+≥a恒成立，故a≤，x>1， 当x>1时，x-1>0，故2x+=2(x-1)++2≥2+2=2+2， 当且仅当2(x-1)=，即x=1+时等号成立，故a≤2+2， 所以“当x>1时，不等式2x+≥a恒成立”的充要条件是“a≤2+2”. 6.已知命题p：“∃x∈[-1，1]，x2-a>0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+4=0”.若命题p为假命题且命题q为真命题，则实数a的取值范围是(　　) A.a≤-2或a=1 B.a≤-2或1≤a≤2 C.a≥1 D.a≥2 答案　D 解析　依题意¬p：“∀x∈[-1，1]，x2-a≤0”为真命题， 则∀x∈[-1，1]，a≥x2，∴a≥1， 若∃x∈R，x2+2ax+4=0， 则Δ=(2a)2-16≥0，解得a≤-2或a≥2. ∵命题¬p和命题q都是真命题， ∴a≥2. 7.已知a2+b2=ab+4，则a+b的最大值为(　　) A.2 B.4 C.8 D.2 答案　B 解析　a2+b2=ab+4，则有(a+b)2=3ab+4≤+4， 可得(a+b)2≤16，即a+b≤4，当且仅当a=b=2时，等号成立. 所以a+b的最大值为4. 8.(2025·怀化模拟)给定整数n≥3，有n个实数元素的集合S，定义其相伴数集T={|a-b||a，b∈S，a≠b}，如果min(T)=1，则称集合S为规范数集(注：min(X)表示数集X中的最小数).对于集合M={-0.1，-1.1，2，2.5}，N={-1.5，-0.5，0.5，1.5}，则(　　) A.M是规范数集，N不是规范数集 B.M是规范数集，N是规范数集 C.M不是规范数集，N是规范数集 D.M不是规范数集，N不是规范数集 答案　C 解析　集合M={-0.1，-1.1，2，2.5}中，2∈M，2.5∈M，则|2-2.5|=0.5<1， 即M的相伴数集中的最小数不是1，因此M不是规范数集； 集合N={-1.5，-0.5，0.5，1.5}中，|-1.5-(-0.5)|=1，|-0.5-0.5|=1，|0.5-1.5|=1， |-1.5-0.5|=|-0.5-1.5|=2，|-1.5-1.5|=3， 即N的相伴数集中的最小数是1，因此N是规范数集. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 9.已知a>b>c，且ac<0，则(　　) A.ab>bc B.> C.bc<c2 D.> 答案　BCD 解析　因为a>b>c，ac<0，所以a>0，c<0，则有>0>，故B正确； 因为b可正，可负，也可以为0，故A错误； 由b>c，c<0，可得bc<c2，故C正确； 因为a>b>c，所以-c>-b，所以a-c>a-b>0，所以>，故D正确. 10.已知集合A={x|x2-x-6>0}，B={x|ax2+bx+c≤0}，其中a≠0，若A∪B=R，A∩B={x|3<x≤5}，则(　　) A.a>0 B.关于x的不等式cx2+bx+a>0的解集为 C.a+b+c>0 D.bc>10a-1 答案　AD 解析　由题知A={x|x<-2或x>3}， 又A∪B=R，A∩B={x|3<x≤5}， 所以B={x|-2≤x≤5}，故-2，5是ax2+bx+c=0的两个根且a>0，A对； 则⇒则a+b+c=-12a<0，C错； 由cx2+bx+a=-a(10x2+3x-1)>0， 得10x2+3x-1<0，即(5x-1)(2x+1)<0， 所以解集为，B错； bc-10a+1=30a2-10a+1=30+>0，即bc>10a-1，D对. 11.已知a>0，b>0且a+b=1，下列结论正确的是(　　) A.+的最小值为4 B.的最小值为 C.+的最大值为2 D.a2+b2的最小值为 答案　AD 解析　对于A，因为正实数a，b满足a+b=1，所以+=(a+b)=2++≥2+2=4，当且仅当=，即a=b=时等号成立，故A正确； 对于B，因为正实数a，b满足a+b=1，所以1=a+b≥2⇒≤，当且仅当a=b=时等号成立，即的最大值为，故B不正确； 对于C，因为正实数a，b满足a+b=1，所以≤==⇒+≤，当且仅当a=b=时等号成立，故C不正确； 对于D，因为正实数a，b满足a+b=1，所以≥=⇒a2+b2≥， 当且仅当a=b=时等号成立，故D正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 12.已知正数a，b满足+=2，则ab的最小值为　　　　　　.  答案　4 解析　∵+≥2=， ∴2≥，即ab≥4， 当且仅当=且ab=4， 即a=1，b=4时等号成立，∴ab的最小值为4. 13.已知p：|x-1|<1，q：x2-(a+1)x+a≤0，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是　　　　　　.  答案　(0，2) 解析　由|x-1|<1，解得0<x<2，所以p：0<x<2， 对于q：x2-(a+1)x+a≤0，即(x-1)(x-a)≤0， 若a>1，解得1≤x≤a，要使p是q的必要不充分条件，则a<2，所以1<a<2； 若a<1，解得a≤x≤1，要使p是q的必要不充分条件，则a>0，所以0<a<1； 若a=1，则q为{x|x=1}，符合题意，所以实数a的取值范围是(0，2). 14.当两个集合中有一个集合为另一个集合的子集时，称两个集合之间构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称两个集合之间构成“偏食”，对于集合A=，B={x|x2=a}.若A与B构成“全食”，则a的取值范围是　　　　　　；若A与B构成“偏食”，则a的取值范围是　　　　　　.  答案　{a|a<0或a=1}　 解析　由B={x|x2=a}可知， 当a<0时，B=∅，此时B⊆A； 当a=0时，B={0}，此时A∩B=∅； 当a>0时，B={-}， 又A=，若A与B构成“全食”，则B⊆A，当a<0时，满足题意；当a=0时，不满足题意；当a>0时，要使B⊆A，则B={-1，1}，即=1，解得a=1.综上，若A与B构成“全食”，则a的取值范围是{a|a<0或a=1}. 若A与B构成“偏食”，显然当a≤0时，不满足题意， 当a>0时，由A∩B≠∅且B不包含于A， 所以B=，即=，解得a=， 此时a的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $