湖南长沙市长郡中学2026-2027学年高二上学期暑假作业检测数学试卷

2026年高二暑假作业检测试卷 数学参考答案 一、二、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 A C B C D B D AC ACD ABD 5 5(i+2) 1.A【解析1已2=（行-2）(1+2) 5(i+2) 一1-4 =一2-i,共轭复数为一2十i. 2.C【解析】总人数为120+180+150=450人，拾样比例为器-号 高一年级被抽到120×号=24人，高二年级被抽到180×号-36人，高三年级被抽到150×号=30人 3.C【解析】向量a,b均为单位向量，若a⊥b,则a·b=0,|a-2b|=√a2-4a·b+4b=√5，|2a+b1= √a+4a·b+4b=√5，因此|a-2bl=|2a+bl； 若|a一2bl=|2a十b,则a2一4a·b十4b=4a2+4a·b+b,即5-4a·b=5+4a·b,整理得a·b=0,因此a⊥b, 所以“a⊥b”是“|a一2b|=|2a十b|”的充要条件. .B【锋t标】m600+结爱写-m860+240-兽待得=m(180r+60）-m(45+75=m60 tan120°=3-tan(180°-60)=√3+tan60°=√3+√3=2√3. 5.C【解析】从6张卡片中无放回抽取2张，共有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)， (3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),15种，数字之积为4的倍数有(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，(4,5)，(4,6)， 6种做P=品=号 6.D【解析)BD,-BA+AD+DD,所以|BD,1=√BA+AD+DD2+2BA·AD+2BA·DD,+2AD·DD, 因为以A为顶点的三条棱长均为2，且两两之间的夹角都是60°， 所以d1=V√4+4+4+2×2x2x(-7)+2×2×2x(-合)+2×2×2x号=2厄， 所以|BD|=|BD|=22. 7.B【解折】f)=n(e+iD+-,xeR,又-)=n(e+1)+z+x=h士+lz+z =ln(e2x+l)十|x|-x=f(x),所以函数f(x)是偶函数， 当x≥0时，f(x)=ln(e2x+l),易得f(x)单调递增， 不等式f(2x-1)-f(x+1)≤0，即f(2x-1)≤f(x十1)， 等价于f(|2x-1|)≤f(|x+1), .12x-1|≤|x十1|，可得(2x-1)2≤(x+1)2, 解得0≤x≤2， 所以不等式f(2x一1)-f(x十1)≤0的解集为[0,2]. 8D【解折】向正孩定理知品C=后，且BDsn∠ABC=asnC,=aC, ∴.BD=aS= 号=冬设∠ABC=2a,则∠ABD=∠CBD=a 由S△c-SAsn十SAao得acsin2a=BD(a十c)sina, 化简得2 accos a=BD(a+c). 因为ac-号，BD-=纟，所以a十e=2casa 从而b=a2+c2-2 accos2a=(a+c)2-2ac(1十cos2a),化简得3cos2a=1. 所以cos2a=2cosa-1=-青，即cos∠ABC=-号 高二数学参考答案(N)一1 9.AC【解析】对于A,由频率之和为1，得20a十40a十60a+50a十30a=1,解得a=0.005,故A正确； 对于B,评分的众数约为70十80=75，故B错误： 2 对于C,因为0.25=20a十30a,所以第25百分位数在[60,70)内，第25百分位数约为60十302×10=67.5，故C 40a 正确； 对于D,评分的平均数约为55×20a十65×40a+75×60a+85×50a十95×30a=76.5,故D错误. 10.ACD【解析】已知正实数a,b满足a十b=2, 选项A:(Wa+b)2=a+十b+2√a·√b≤(a十b)+(a十b)=4,当且仅当a=b=1时取等号，故a十√b≤2，当且仅当 a=b=1时取等号，故A正确； 选项B:取a=0.5,b=1.5,则|a|-|b|=-1,满足a十b=2,但不满足|a|-|b>1,故B错误； 选项C:由均值不等式，2十2≥2√2“·2=2√/2+5=2√4=4，当且仅当a=b=1时取等号，故C正确； 选项D:代入b=2-a,得a2+2b=a2+2(2-a)=a2-2a+4=(a-1)2+3≥3，当且仅当a=1,b=1时取等，故D 正确. 11.ABD【解析】对于A选项，由题意可知DC=子A店，AC-AD+DC-AD+子A店，BD-AD-AB, 所以A心·B市=(A市+3A)·A亦-A)=A亦-号A.A亦-号A游=4-号A范.A亦-号×3=1-号A· A方=0，解得A店·AD=号，故A正确； 对于B选项，B心-A心-A=+A成-A成=A-号A, 所以-√亦-号A'-√市-吉应·A市+号迹=√4青×号+吉×3=后，故B正确； 对于C选项，B驴=A驴-A=AD-A成， 所以|B驴|=√(AAD-AB)2=√2AD-2AAB·AD+AB =@=队+9=√2以-)+需≥3压 当且仅当X=是∈[0,1门时，等号成立，即B驴的最小值为3压，故C错误； 4 对于D选项，A市.驴=亦.aA市-A)=XA市-A店.访=从-是<-是=号， 当且仅当=1时，等号成立，故市·B驴的最大值为受，故D正确。 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.2【解析】设这5个数的平均数为元，方差为s2, 则元=1+2+3+4十5=3， 5 子=号[1-3)2+2-3)2+(3一3+4-32+(5-3)]=号×(4+1+0+1+4)=2. 8.一3【解因为通教)二{6c22,C0为寺函效， 当x<0时，一x>0,由f(-x)=一f(x)可得ex-a=-bex+2, 即(b+1)ex-a-2=0, 因为x是任意负实教，则-a-2=0, 1b+1=0, 解得a=-2,b=一1，故a十b=一3. [停-+] 【解析】连接A1D交AD1于点N,取B,C的中点M,连接MN,AM, 别点A的运动轨述是平面ACB内以N为国心，号为字径的圆， 易知B,C⊥MN,由AC=AB,知AM⊥B,C,MN∩AM=M,且MN,AMC平面AMN, 所以B,C⊥平面AMN,B,CC平面ACB,所以平面ACB,⊥平面AMN, 高二数学参考答案(N)一2 sin∠NMA=AY AM √1+（合）+（合） D C B 如图，直线NM与圆的交点分别为R,S, 当点A,位于点R,S时，点A,到平面ACB,的距离分别取得最大值和最小值， 且距商的最大值为(+号)sin∠NMA=(1+号)×号-停+ 距商的菜小值为(1-9)n∠NMA=(-号)×号-号-语。 所以点A到辛西AB,C的茫商的取值范国是[得停+] 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.【解折11)0s0=Ti-√2+-×-1)+35×而 a·b 2×(-1)+(-1)×3 -5 2, 因为0区长，所以0-票 4分 (2)因为c∥a,a=(2,一1)，所以可设c=a=(2m,一m),由|c=25,可得|cl=√(2n)2+Z=2√5，解得m=士2， 当m=2时，c=(4,一2)；当m=一2时，c=(一4,2)， 所以c=(4,一2)或C=（一4,2).… …8分 (3)因为向量a-b与Aa十b的夹角是钝角，所以(a一b)·(a十b)<0且a一b与λa十b不共线， 由题可得a-b=(3,-4),a十b=(2λ-1，-λ+3)， 由a-b)·a+b)<0,可得32x-1D+(-0X(-X+3)<0,解得x<号 …12分 若a-b与1a十b共线，则3（一λ+3）-(-4)×(2-1)=0，解得λ=-1， 所以当a一b与λa十b不共线时，≠一1， 综上可得，aE(-o0,-1DU(-1,) 13分 16.【解析1K1)由f0)=sinp=号，且|<受，得p-吾 因为函数f)图象的两条相邻对称轴间的距离为受，故周期T=2×受=一不， 由T=2红=，得w=2. w 因此，画数f(x)的解析式为fz)=sim(2x+吾) 4分 (2)令2kx-变≤2x+晋≤2kx+受，k∈Z, 解得x-晋<x≤x+晋，∈乙， 所以函数的单调递增区间为[领一吾m+吾]∈乙 …7分 已加画教八)在区问[-音加]小上单调适增，令=0，可得单调递增区间为[-子·看] 所以m≤吾，即实教加的最大值为晋 ……………………9分 高二数学参考答案(N)一3 3)当x[-吾，]时，2z+晋∈[-晋]， 故fx)=sin(2x+吾)e[-21] .…11分 令=fx)∈[-号，1]，则不等式--1<0对所有[-之1]恒成立。 设g(t)=一λt一1，这是图象开口向上的二次函数，只需端点满足不等式， 当=-时g(-号）=+合-10，解得≤受， 当t=1时，g(1)=1-λ-1≤0，解得λ≥0. 综上，实数入的取值范国为[0，] 15分 17.【解析II)在△ABC中，因为BC=4,∠ABC=号，△ABC的面积为6V5-AB·BC·in∠ABC, 所以宁×4X号×AB=65,解得AB=6, 在△ABC中，由余弦定理得AC=AB2+BC-2AB·BC·cos∠ABC=28, 所以AC=2√7 ……… 7分 (2)设∠ACD-a,则∠ACB=∠ACD十晋=e+开， 在Rt△ACD中，因为AD=2W5,所以AC=AD=23 sin a sin a 在△ABC中，∠BAC--∠ACB-∠ABC-2-e, BC _AC 由正弦定理，可得sm∠BAC-sin2ABC,即 4 2√3 13分 m(-a) 2 sin a 所以sin(登-a）=sina,国为e为锐角，所以受-a=a, 解得。一7，即∠ACD的大小为赞 …… 15分 18.【解析】(1)证明：取BC中，点O,连接AO,A1O,A1C,DO, 因为D是棱B,C的中点，易得四边形A1AOD为平行四边形， 则平面A1AD即为平面A1AOD, 因为AB=AC,所以AO⊥BC, 因为∠AAB=∠A1AC,AB=AC,AA1=AA1,所以△A1AB≌△A:AC, 所以A1B=AC,所以A1O⊥BC, 因为AO∩A1O=O,AO,AOC平面A1AOD, 所以BCL平面A1AOD,即BC⊥平面A,AD.…4分 (2)由(1)知BC⊥平面A1AOD,则点B在平面A1AD内的投影为O,则∠BA1O即为所求线面角， 图为在△ABC中，ABLAC,AB=AC-3,所以B0-=号BC=3 2 3√2 所以sin∠BAO=A,B32 BO 2 1 所以直线AB与平面A1AD所成线面角为吾 8分 (3)由(1)知BCL平面AAOD,因为BCC平面ABC,且BCC平面BCCB1, 故平面A1AOD⊥平面ABC,平面A1AOD⊥平面BCC1B, 过点O作OM⊥AD于点M,则OM⊥平面ABC,过点A,作AH⊥OD于点H,则AH⊥平面BCCB, 因为D01BC,AB=AC=AA=3,BC-3VE,则Sm=DB·D0=是E, 所以Vg-D=V%=专58am…AH=景E,所以AH=号12分 高二数学参考答案(N)一4 方法一（空间向量法）：设∠MOD=a,则∠DA1H=a, 3 D 东AMD中m8是-号 2 f以DM=Do·sima32,OM=0D·cosa=32 21 又AD3号，所以点M与点A重合 以O为原点，分别以OA,O,OA分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系， 则A(30,oBo,390)c0,-32o）A(o0,3)a(-3,32,9),(-32,32）) 设平面A1BD的法向量为1=(x1,名)， 2a=0, 则有 ·赋-9+3 0防-293 2y+3g 23=0, 令4=1，则=0，名=1，所以m=(0,1,1). 设平面CBB,C,的法向量为2=(x2,2,), m2·CB=322=0, 则有子 …0成=-3+3+82a=0, 令x2=1,则2=0，之2=1，所以2=(1,0,1)， 到有as=ma=名： 所以平面ABD与平面CBBG的夹角0为子 17分 方法二（几何法）：过点H作HE⊥BD,连接A1E, 因为A1H⊥平面BCCB,所以AH⊥DB,则DB⊥平面A1HE, 所以AE⊥BD,则∠AEH即为所求二面角， 在R△A,DH中，AH=是AD-,则DH=是， 在R△D08中，00=3.08-3，到DB-35, 2 由R△DER△DOB可得焉-器， 所以HB-停，则AE=AP+H亚一厅， 所以c0s乙A,EH=盟=分：中手西ABD与平西CB,G的夹角0为于 …17分 19.【解析】(1)当a=2时，g(x)=x2-2, 一阶不动点满足x2-2=x,即x2-x-2=(x-2)(x十1)=0. 故Ag={-1,2以.… 2分 二阶不动点满足(x2-2)2-2=x,即x一4x2-x+2=0, 因式分解得(x2一x一2)(x2+x一1)=0. 周比-12,125,5} ………4分 (2)一阶不动点满足x2一x一a=0, 由A,≠0，有4=1+40≥0，所以≥-是 又g(g(x)-x=(x2-a)2-a-x=(x2-x-a)(x2+x+1-a), 因此B。=AU{x∈R|x2+x十1-a=0}. 要使A。=Bg,方程x2十x十1一a=0不能产生新的实根. 高二数学参考答案(N)-5 若该方程无实根，则4a-3<0,即a<是， 钻合≥-子得-<a<是： 3 若该方程有实根且其根均属于A:, 设x为两个方程x2-x一a=0,x2十x十1一a=0的公共实根， 两式相减得2十1=0，所以。=-合，代入任一方程得a=是， 此时2十x十1-a=(x+2)广，只有实根-，且为方程x-x一a=0的根，故符合条件. 塔上ae[-子，] …………………………9分 (3)令g(x)=x2一λ， 题设等价于f(f(x)=g(x)(x∈R). 解法-：因为>是，方程十x十1-X=0的判别式为△=4以-3>0， 故该方程有两个不同的实根，记为出，y2,由韦达定理可得少十y2=一1. 又由于+y,+1-λ=0，所以g(y)=y2-λ=一y,一1. 因此g(h)=2,g(2)=h.① 即g将y1,2互相交换。 设u=f(y),v=f(y2）, 由f(f(x)=g(x)及①，得f(u)=2,f(=M.② 再对u,v使用题设关系：g()=f(f()=f2)=w,g(o)=ff(o)=f(y)=u. 所以u,v也是被g互相交换的一对实数 下面说明g只有这一对互换的实数， 若g(p)=q,g(q)=p且p≠q,则g(g()=p. 而g(g(x)-x=(x2-1)2-λ一x=(x2一x一λ)(x2+x十1-λ). 若x2一x一λ=0，则g(x)=x,这是一阶不动点，不可能属于由两个不同实数组成的互换对. 因此互换点必须满足x2十x十1一入=0. 该方程的两个实根恰为，2.于是{u,}={,2}.③ 由③，f把集合{出，y2}映到自身，并且f(y),f(y2)分别为其中两个不同的元素. 因此只有两种可能： f)'或K)=, f(2)=yf(y2)=y, 无论哪一种，都有f(f()=y 但由题设和①，可知f(f(y)=g(M)=y2: 由于为≠y2,矛盾 甘任意号，不存在满足条件的函数f⑦…1 解法二：仍令g(x)=x2一入，并假设存在∫满足f·f=g f(g(x))=f(f(f(x)))=g(f(x)), 可知f·g=g·f.④ 当X心时，方程x+x十1-X=0有两个不同实根M为，且g)=为，g)= 设C={y,2}, 由④，若x∈C,则g(g(x)=x,从而g(g(f(x))=f(g(g(x)=f(x),故f(x)也是g的二阶不动点. 另一方面，若f(x)是g的一阶不动点，则g(f(x)=f(x). 由④得f(g(x))=f(x),而x∈C时，g(x)≠x,再结合f(f(x)=g(x)可推出矛盾. 因此f(x)不能落在g的一阶不动，点中，只能仍落在C中，于是f(C)二C 由于f(f()=2,f(f(2)=M,可知f在C上即不能为恒等映射，也不能为交换映射， 但C只有两个元素，映到自身的双射只有这两种，矛盾 因此，时对任意X心，不存在满足条件的画数fx). …17分 高二数学参考答案(N)一62026年高二暑假作业检测试卷 数 学 时量：120分钟 满分：150分 得分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的)》 1.复数2的共轭复数是 A.-2+i B.-2-i C.2-i D.2+i 2.某校高一、高二、高三的住校生人数分别为120,180,150，为了解 他们对学校宿舍的满意程度，按人数比例用分层抽样的方法抽取 如 90人进行问卷调查，则高一、高二、高三被抽到的住校生人数分 别为 拟 A.12,18,15 B.20,40,30 C.24,36,30 D.25,35,30 3.(★)若a,b均为单位向量，则“a⊥b”是“a一2b=|2a十b|”的 新 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(★)tan600°+1+tan75° tan75-号 A.0 B.23 C.2 D.-2√3 5.从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则 抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为 妙 北 A号 B c号 D. 2 6.如图，平行六面体ABCD-A1BCD中，以 D A为顶点的三条棱长均为2，且两两之间的 夹角都是60°，则BD1= A.4 B.23 C.2√6 D.22 高二数学试卷(N)第1页（共6页） 7.(★)设函数f(x)=ln(e2a十1)+x|一x,则不等式f(2x一1) f(x十1)≤0的解集为 A.(-∞，2] B.[0,2] C.[2,+∞) D.(-∞，0]U[2,+∞) 8.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若∠ABC的平 分线交边AC于点D,满足b=4ac,且BDsin,∠ABC=asin C,则 cos∠ABC的值为 A号 B-2② 3 C.-/3 D-3 二，选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的 选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部 分分，有选错的得0分) 9.(★)某批产品检验后的评分，由统计结果制成如图所示的频率分 布直方图，下列说法中正确的是 频率 组距 5 05060708090100评分 A.a=0.005 B.评分的众数估值为70 C.评分的第25百分位数估值为67.5 D.评分的平均数估值为76 10.已知正实数a,b满足a十b=2,则 A.√a+√b≤2 B.a->1 C.2+2≥4 D.a2+2b≥3 11.在平面四边形ABCD中，AB∥DC,|AB=3,|AD=2DC1= 2,AP=AAD,其中∈[0,1].若AC.BD=0,则 AA店AD-多 B.IBCI =/6 C.1B驴的最大值为3西 4 D.A心.B驴的最大值为号 高二数学试卷(N)第2页（共6页） 选择题答题卡 题号1 3 4 5 6 7 8 9 10 11得分 答案 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知5个数为：1,2,3,4,5，则这5个数的方差为 e-a,x>0, 13.(★)已知函数f(x)= be :-2,x<0 为奇函数，则a十b 14.在正方体ABCD-A1B1CD1中，AB=1,以△AA1D1的边AD 所在直线为旋转轴将△AA1D旋转一周，则在旋转过程中，点 A,到平面AB,C的距离的取值范围是 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤) 15.(本小题满分13分) 在平面直角坐标系xOy中，已知向量a=(2,一1)，b=(一1,3). (1)求向量a与向量b的夹角； (2)若向量c满足c∥a且c=25,求c的坐标； (3)若向量a一b与λa十b的夹角是钝角，求实数A的取值范围. 高二数学试卷(N)第3页（共6页） 16.(★)（本小题满分15分）。年 已知函数f(x)=sin(ax十p)(w>0,p<),f(o)=,函数 (x)图象的两条相邻对称轴间的距离为 (1)求函数f(x)的解析式； (2)若函数f(x)在区间[一5，m]上单调递增，求实数m的最 大值； (3)若vx∈[-晋，弩]，[fx)]-(x)-1<0,求实数入的取 值范围 17.(本小题满分15分) 如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC-号，∠ADC-受，BC=4. (1)若△ABC的面积为6√3，求AC的长； (2)若AD=23,∠ACB=∠ACD+T,求∠ACD的大小. 高二数学试卷(N)第4页（共6页） 18.(本小题满分17分) 如图，在三棱柱ABC-A1BC1中，AB=AC=AA1=3,AB⊥ AC,∠A1AB=∠A1AC,D是棱B1C1的中点. (1)证明：BC⊥平面A1AD; (2)若A1B=3√2，求直线A1B与平面A1AD所成线面角的 大小； (3)若三棱锥B,-ABD的体积为？2，求平面ABD与平面 CBB1C1的夹角O. 高二数学试卷(N)第5页（共6页） 19.(本小题满分17分)些》票气多 对于定义在实数集R上的函数g(x),若存在x∈R满足g(x)= x,则称x为g(x)的一阶不动点：若满足g(g(x)=x,则称x为 g(x)的二阶不动点，记g(x)的一阶不动点集合为A:,二阶不动 点集合为B。.已知g(x)=x2-a(a∈R) (1)当a=2时，求集合Ag与Bs; (2)若Ag=B.≠心，求实数a的取值范围： (3)证明：对任意入>，不存在定义在R上的函数f(x),使得 f(f(x)=x2一A,对任意x∈R恒成立 高二数学试卷(N)第6页（共6页）