湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高二上学期入学考试数学试卷

数学 命题人：李迎归 吴海波 审题人：余希 时量：120分钟满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，．若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 设数据1，2，3，4，m的下四分位数为m，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数，则在复平面中对应的点的位置是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 若为偶函数，则（ ）． A. B. 0 C. D. 1 5. 已知关于的方程的两根之和等于两根之积的一半，则一定是 A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 6. 如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（   ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 在平行四边形中，，若，则=（ ） A. B. C. D. 3 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若， 11. 一个盒子中有6个大小质地完全相同的小球，其中2个红球，2个黄球，2个白球，随机从盒中依次不放回地摸出2个球，则下列事件相互独立的是（ ） A. “摸出的第一个球是红球”与“摸出的两个球颜色不同” B. “摸出的第二个球是黄球”与“摸出的两个球颜色相同” C. “摸出的两个球颜色相同”与“摸出的球没有黄球” D. “摸出的两个球颜色不同”与“摸出的球有红球” 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，角A的平分线交边于点D.若，则的最小值为______. 13. 在四面体中，P为空间中一点，且满足，若四面体的体积为4，则四面体的体积为______. 14. 已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为_______. 四、解答题：本大题共5小题，第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，为其外心，且满足. （1）证明：； （2）求角的最大值. 16. 省锡中高一社团组织知识竞赛活动.比赛共有两轮答题，第一轮从5个生物问题中任选两题作答，答对其中一题得20分，两题均答对可得50分； 第二轮从5个化学问题中任选两题作答，每答对一题可得30分.甲乙两位同学同时参赛，甲同学回答出每个问题的概率均为0.4，乙同学能回答出生物问题中的3道题，能回答出每道化学问题的概率为0.3.经过两轮比赛后总得分达到80分的同学可以获得一个奖品. （1）求甲同学在第一轮得分为20分的概率. （2）甲乙两位同学谁获得奖品的概率更大? 请说明理由. 17. 已知函数. （1）若函数为奇函数，求实数的值； （2）判断并证明函数的单调性； （3）若函数在区间上的最小值为，求实数的值. 18. 在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，，为正三角形，且平面平面，设为线段上一动点. （1）当平面时，求的值； （2）当最小时，求与所成角的余弦值； （3）当二面角的大小为时，求的值. 19. 我们知道，二维平面中的点在坐标系中有x，y两个分量，可以用数组表示该点的坐标，三维空间中的点在坐标系中有x，y，z三个分量，可以用数组表示该点的坐标，类似地，在n维空间中的点在坐标系中同样有n个分量，可以用数组表示该点的坐标.现考虑n维空间的一个点集，对于S中的两点，，定义X，Y之间的距离. （1）当时，设，若点满足，求点B所有可能的坐标； （2）设点，且X的每个分量均为1，若，求的最大值； （3）设点集M为S的一个k元子集，满足M中任意两个点之间的最小距离为，求证：. 数学 命题人：李迎归 吴海波 审题人：余希 时量：120分钟满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】2 【14题答案】 【答案】1 四、解答题：本大题共5小题，第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【16题答案】 【答案】（1）0.48 （2）乙同学获得奖品的概率更大． 甲获奖总得分达到80分分两种情况： 甲第一轮得20分且第二轮得60分的概率为：， 甲第一轮得50分且第二轮至少得30分的概率为：， 甲同学获奖的概率为． 设乙同学能答出生物问题中的3道题分别为，，，不能答出的为，， 则乙同学从5个生物问题中任选两题作答，所有情况为： ，，，，，，，，，， 其中获20分的概率为，获50分的概率为． 乙获奖总得分达到80分分两种情况： 乙第一轮得20分且第二轮得60分的概率为：， 乙第一轮得50分且第二轮至少得30分的概率为：， 乙同学获奖的概率为：， ， 乙同学获得奖品的概率更大． 【17题答案】 【答案】（1） （2）单调递减，证明如下： 由已知定义域为， 任取，，且， 则， 由可知， 则， 所以， 即函数在上单调递减； （3） 【18题答案】 【答案】（1）； （2）； （3）. 【19题答案】 【答案】（1） 点的所有可能坐标为，，，，，. （2） 当时，最大为. 当时，最大为. （3）证明：设，对于，，对于任意 中任意两个点之间的最短距离为， ， 考虑中所有点的前个坐标构成的向量集合， 若中有两个不同的点的前个坐标相同， 则它们只能在最后的个坐标上有所不同， ，这与矛盾. 因此，中任意两个点的前个坐标构成的向量都不同，前个坐标构成的不同向量总数为， 中点的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $