湖南省株洲市2026-2027学年高二上学期秋季开学学情数学自测卷（人教版A）

**基本信息** 聚焦高二开学学情检测，以解三角形、空间几何、概率等核心知识为载体，通过分层设问考查数学抽象、逻辑推理与空间观念，解析过程注重思维引导。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题（单选8题，多选3题）|解三角形（题1、3）、空间几何（题2、6）、概率（题5）|多选题（9-11题）结合复数、三角形性质，考查思辨能力| |填空题|3题|概率（12题独立事件）、直线方程（13题面积最值）、立体几何（14题对称求最值）|题14通过空间对称转化，体现直观想象| |解答题|5题|三角函数（15题）、向量（16题）、立体几何（17题）、概率（18-19题）|题17分层设计线面垂直证明、二面角计算、存在性问题，梯度明显；题19结合概率与二次函数，考查数学应用|

湖南省株洲市2026-2027学年高二秋季开学学情自测卷 数学试题 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如果三角形满足一个角是另一个角的倍，那么我们称这个三角形为“实验三角形”，下列各组数据中，能作为一个“实验三角形”三边长的一组是（    ） A．，， B．，， C．，， D．3，4，5 2．已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 3．已知在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知棱台的上、下底面面积分别是1，4，高为3，则该棱台的体积是（   ） A．3 B．7 C．9 D．21 5．根据以往考试统计，某学生数学考试不及格的概率为，英语考试不及格的概率为，而他数学或英语考试至少有一门不及格的概率为，则他数学和英语两门都不及格的概率为（    ） A． B． C． D． 6．已知为异面直线，为两个不同平面，，且直线，则下列结论中可能正确的是(   ) A．，且与相交 B．，且与垂直 C．与相交，且交线垂直 D．与相交，且交线平行 7．在锐角中，，则的一个可能的取值为（    ） A．1 B．1.5 C．1.8 D．2 8．在棱长为1的正方体中，分别为的中点，为底面的中心，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（    ） A．点可以是棱的中点 B．点轨迹的长度为 C．点的轨迹是平行四边形 D．点轨迹所围成的图形面积为 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9．已知复数，其中，为虚数单位，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若为实数，则 D．若为纯虚数，则 10．中，已知，则（   ） A． B．可以取值为 C．取最大时，边上的中线长为 D．面积的最大值为3 11．已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（    ） A．若，，且有两解，则b的取值范围是 B．在锐角中，不等式恒成立 C．若，则为等腰三角形 D．若，，则的最大值为 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知A，B两个事件相互独立，且，，则______. 13．已知直线的斜率小于，且经过点，并与坐标轴交于两点，，当的面积取得最小值时，直线的斜率为__________. 14．如图，已知正四棱锥的棱长均为2，分别是的中点，是所在平面内的一点，则的最小值为______．    4、 解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知函数的最小正周期为π. (1)求的单调递减区间； (2)将的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的图象关于原点对称，求的值； (3)若，求的值域. 16．已知，且与夹角为，求： (1)； (2)与的夹角； (3)若向量与平行，求实数的值. 17．在四棱台中，底面，底面是正方形，E为侧棱的中点，，，．    (1)证明：平面． (2)求二面角的正切值． (3)在线段上是否存在点H，使得平面平面？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由． 18．某社区举办“趣味智力挑战赛”，旨在促进社区邻里关系，鼓励居民参与公益活动.本次挑战赛第一轮为选手随机匹配4道难度相当的趣味智力题，参赛选手需依次回答4道题目，任何1道题答对就算通过本轮挑战赛.若参赛选手前2道题都没有答对，而后续还需要答题，则每答1道题就需要后期参与一次社区组织的公益活动，若4道题目都没有答对，则被淘汰.甲、乙都参加了本次挑战赛，且在第一轮挑战赛中甲、乙答对每道趣味智力题的概率均为.甲热爱公益活动，若需要答题机会，他愿意参与社区组织的公益活动.乙不热爱公益活动，若前2道题都没有答对，则停止答题，被淘汰.甲、乙每道题是否答对相互独立. (1)求甲通过第一轮挑战赛的概率； (2)求乙通过第一轮挑战赛的概率； (3)求甲、乙中只有1人通过了第一轮挑战赛的概率. 19．在扔硬币猜正反游戏中，当硬币出现正面时，猜是正面的概率为.猜是反面的概率为；当硬币出现反面时，猜是反面的概率为，猜是正面的概率为.假设每次扔硬币相互独立. (1)若两次扔硬币分别为“正反”，设猜测全部正确与猜测全部错误的概率分别为，试比较的大小； (2)若不管扔硬币是正面还是反面猜对的概率都大于猜错的概率， （i）从下面①②③④中选出一定错误的结论： ①；②；③，④ （ii）从（i）中选出一个可能正确的结论作为条件.用表示猜测的正反文字串，将中正面的个数记为，如“正反正反”，则，若扔四次硬币分别为“正正反反”，求的取值范围. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省株洲市2026-2027学年高二秋季开学学情自测卷 数学试题（解析版） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B B B D B D AC ACD 题号 11 答案 AD 1．B 【分析】根据所给边长，分别求出各个三角形的角度，结合题意，分析即可得答案. 【详解】选项A：因为，所以此三角形为等腰直角三角形， 三个角分别为，不符合题意，故A错误； 选项B：因为三边分别为，，，则此三角形为等腰三角形，作底边上的高，如图所示 则，， 所以，所以， 所以，则，符合题意，故B正确； 选项C：因为，所以此三角形为直角三角形， 最小角正弦值为，即三个角分别为，不符合题意，故C错误； 选项D：因为，所以此三角形为直角三角形， 最小角的正弦值为，则最小角大于，最大角为，不符合题意，故D错误. 故选：B 2．C 【分析】通过向量的运算求出向量在直线方向向量上的投影，然后利用勾股定理求出点到直线的距离. 【详解】已知点和点，则. 向量在上的投影长度. 先求.再求.所以. 根据勾股定理，点到直线的距离. 先求.则. 故选：C. 3．B 【分析】由余弦定理，代入数值即可求得的值. 【详解】由余弦定理得. 故选：B. 4．B 【分析】根据题意，结合棱台的体积公式，准确计算，即可求解. 【详解】由棱台的体积公式，可得. 故选：B. 5．B 【分析】利用概率的加法公式计算即可. 【详解】设数学考试不及格为事件，英语考试不及格为事件. 由题意可得 因为， 所以. 故选：B. 6．D 【分析】根据空间中点线面的位置关系即可求解. 【详解】因为为异面直线，，所以与不平行，即与必相交， 又，所以直线与与均平行， 即直线与和的交线平行， 故选：D 7．B 【分析】依题意可得，再由正弦定理将边化角，利用二倍角公式转化为的三角函数，结合的范围及余弦函数的性质计算可得. 【详解】在锐角中，，则，又， 所以， 又，所以，所以， 所以. 故符合题意的只有B. 故选：B. 8．D 【分析】在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，根据，确定点的轨迹，再逐项判断，即可得出结果. 【详解】在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系， 因为该正方体的棱长为，分别为，的中点， 则，，，， 所以，设，则， 因为， 所以 所以，即， 令，当时，；当时，； 取，， 连接，，，则，， 则， ， 所以，， 又，且平面，平面， 所以平面， 所以，为使，必有点平面，又点在正方体的表面上运动， 所以点的轨迹为正三角形，故C错误； 因此点不可能是棱的中点，故A错误； 正三角形边长为，则面积为，故D正确； 点轨迹的长度为，故B错误； 故选：D 9．AC 【分析】根据给定条件，利用复数模、复数的乘除法运算，结合复数的概率逐项求解. 【详解】对于A，当时，， ，A正确； 对于B，，无解，B错误； 对于C，，由为实数，得，C正确； 对于D，， 由为纯虚数，得且，解得，D错误. 故选：AC 10．ACD 【分析】利用正弦定理边化角判断A；求出的范围求解判断BC；利用余弦定理及三角形面积公式列式，再借助辅助角公式求出最大值. 【详解】对于A，在中，由及正弦定理，得，A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，则， 因此不可以取，B错误； 对于C，由选项B得取最大值，此时， 则，C正确； 对于D，由余弦定理得， 解得，则的面积，而， 则， 解得，当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为3，D正确. 故选：ACD 11．AD 【分析】根据题意，可得，求出b的范围，可判断A的正误；在锐角中，角A，的大小都不确定，即可判断B的正误；化简计算，根据二倍角的正弦公式，即可判断C的正误；根据余弦定理，结合均值不等式，可判断D的正误，即可得答案. 【详解】选项A：如图，因为有两解，所以，解得，故A正确； 选项B：在锐角中，角A，的大小都不确定，和的大小也无法确定，故B错误； 选项C：因为， 所以，即， 所以或，即或， 故为等腰三角形或直角三角形，故C错误； 选项D：由余弦定理得， 所以，即， 解得， 当且仅当时取等号，此时的最大值为，故D正确. 故选：AD. 12．0.42/ 【分析】利用独立事件的乘法公式即可求解. 【详解】因为A，B相互独立，所以. 故答案为： 13． 【分析】由题意可设直线，分别求出两点坐标，即可表示出的面积，再由均值不等式即可求出答案. 【详解】设直线l的方程为，令，得，令，得. 则和坐标轴的交点为，. 所以， 可得的面积为，当且仅当，即等号成立； 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是设出直线的方程并求出两点坐标. 14． 【分析】由已知可证得平面．则关于平面对称，可得即可得出结果. 【详解】如图，连接．因为，都为正三角形，为的中点， 所以，，，所以平面． 所以关于平面对称，，， 当且仅当三点共线时，等号成立，即的最小值为． 故答案为：    15．(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用余弦型函数的周期性求得，再利用余弦型函数的单调性求解即可； （2）根据函数图象的变换得到新函数，利用余弦型函数的性质求解即可； （3）根据题意，逐步计算求余弦型函数的值域. 【详解】（1）由，得，所以. 令，，解得，， 所以的单调递减区间为. （2）将的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的图象. 因为的图象关于原点对称，所以，，即，. 因为，所以. （3）由，得. 则，所以. 所以的值域为. 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用展开计算； （2）利用公式计算即可； （3）存在实数使，利用系数对应相等列方程组求解. 【详解】（1）因为， 所以； （2）由（1）知，又， 所以，又， 所以与的夹角为； （3）因为向量与平行， 所以存在实数使， 所以，解得. 17．(1)证明见解析； (2) (3)存在，，理由见解析. 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证； （2）作出二面角的平面角，在中求值； （3）当时满足条件，由正弦定理求出即得比值. 【详解】（1）因为底面，所以底面，平面， 所以，所以， 又，是中点，所以. 因为底面，平面，所以， 又底面是正方形，所以，，平面， 所以平面，平面，所以， 又，平面，所以平面. （2）因为底面，平面，所以平面⊥底面， 过点作，因为平面平面 所以平面，过作，连接，则， 所以是二面角的平面角.    因为是中点，所以， 设，则，所以， 所以，即二面角的正切值是. （3）对线段上的点，因为平面，平面， 所以，则当时，满足条件. 如图，在四边形中，过作，垂足为，交于， 则， 设，则 因为，所以，所以， 又，所以 所以，又， 所以，此时时，，，平面， 所以平面，平面，所以平面⊥平面.    18．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用对立事件概率公式计算即可； （2）利用对立事件概率公式计算即可； （3）利用独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求解即可. 【详解】（1）甲第一轮挑战赛被淘汰的概率为， 甲通过第一轮挑战赛的概率为. （2）乙第一轮挑战赛被淘汰的概率为， 乙通过第一轮挑战赛的概率为. （3）甲、乙中只有1人通过了第一轮挑战赛的概率为. 19．(1) 当时，， 当时，， 当时，， (2)（i）②④一定错误， （ii）若选择①， 若选择③， 【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式求，作差可得， 分别在条件下确定差的正负，由此可得的大小关系， （2）（i）由条件证明，由不等式性质可求的范围，由此确定一定错误的结论； （ii）由条件，结合互斥事件概率加法公式和独立事件概率乘法公式求， 若选①，令，求出的范围，化简，结合二次函数性质求其范围； 若选③，令，结合对勾函数性质求的范围，化简，结合二次函数性质求其范围； 【详解】（1）猜测全部正确的概率为， 猜测全部错误的概率为， 因为， 所以当时，， 当时，， 当时，， （2）（i）若不管扔硬币是正面还是反面，猜对的概率都大于猜错的概率， 则，解得， 所以， 所以， 因此，②④一定错误， （ii）若扔四次硬币分别为“正正反反”，事件包含以下三种情况： 两个正都猜对，且两个反都猜对，其概率为； 有且只有一个正猜对，且有且只有一个反猜对，其概率为； 两个正都猜错，且两个反都猜错，其概率为； 所以， 若选择①， 令，则，其中， 所以， 所以， 记，， 由二次函数的性质可知，在区间上单调递增， 所以， 即的取值范围是 若选择③， 此时，又， 所以，所以， 令，则 ，， 由对勾函数性质可得函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为 ，，， 所以，， 记，， 由二次函数的性质可知，在区间上单调递减， 所以，即 【点睛】关键点点睛：本题第二小问解决的关键在于结合题意准确理解事件，利用基本事件表示，再结合概率运算公式求其概率表达式. 学科网（北京）股份有限公司 $