5.2 二元一次方程组的解法 新课预习2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 以消元思想为主线，系统整合代入与加减消元法，通过基础操作、综合应用及思想提炼构建二元一次方程组解法训练体系。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础方法|单选1-3、填空11、解答16|代入消元法步骤、加减消元法系数处理|从消元思想到两种基本解法的操作规范| |方法应用|单选4-6、8-10、填空12-15、解答17-18、20|参数问题解法、同解方程组处理、错解复原技巧|解法迁移至含参数、新定义等综合情境| |思想提炼|单选7、解答19|转化思想、运算推理依据|数学思想与解题步骤的逻辑关联|

5.2 二元一次方程组的解法 新课预习2026-2027学年 北师大版八年级数学上册 一、单选题 1．用代入消元法解二元一次方程组，将①代入②消去，可得方程为（    ） A． B． C． D． 2．解以下两个方程组①；②较为简便的方法是（  ） A．①用加减法、 ②用代入法 B．①用代入法、②用加减法 C．都用代入法 D．都用加减法 3．用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（  ） A． B． C． D． 4．已知方程组的解是，则的解是（    ） A． B． C． D． 5．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．已知方程组和有相同的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．我们在解二元一次方程组时，可将第一个方程代入第二个方程消去y，得到，从而求解．这种解法体现的数学思想是（　　） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．整体思想 8．已知关于，的方程组，甲同学看错了字母解得；乙同学看错了字母解得，则该方程组的解为（    ） A． B． C． D． 9．对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数）．例如，若，则下列结论：①；②若，则；③若，则有且仅有1组正整数解；④若对任意有理数都成立，则．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的四个成员每人做一步，每人只能看到前一人给的步骤，并进行下一步计算，再将结果传递给下一人，用合作的方式完成该方程组的解题过程．过程如图所示，合作中，出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 二、填空题 11．解一次方程组的基本思想是__________，基本方法有代入法和___________法． 12．如果与是同类项，那么_________． 13．已知关于x，y的二元一次方程组，且，则为_____． 14．已知，满足方程组，则的值是_______． 15．已知关于x，y的方程组和有相同解，则_____，_____． 三、解答题 16．解方程组： (1) (2) 17．已知关于x，y的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为，乙由于看错了b，得到方程组的解为． (1)求a，b的值； (2)若方程组的解与方程组的解相同，求的值． 18．已知关于，的方程组 (1)若方程组的解互为相反数，求的值 (2)若方程组的解满足方程，求的值． 19．下面是小马同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：得……第一步 得……第二步 ……第三步 将代入①得……第四步 所以，原方程组的解为……第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做________消元法，其中第一步的依据是________； (2)第________开始出现错误，这步的正确结果应为________； (3)直接写出该方程组的正确解：________． 20．我们给出以下两个新定义： ①对于给定的数对，如果满足，那么我们称数对是“三二一数对”； ②对于给定的数对和，如果满足，则称数对是的“和差数对”． 根据以上信息解决下列问题： (1)判断是否为“三二一数对”，并说明理由； (2)已知数对是“三二一数对”，求出该数对的“和差数对”； (3)若数对是“三二一数对”，且的“和差数对”满足条件：，求和的值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A D B A C A B C 1．【答案】A 【知识点】代入消元法 【分析】将方程②中的替换为①中的表达式，即可得到对应方程． 【详解】解：， 将①代入②得． 2．【答案】B 【知识点】代入消元法、加减消元法 【分析】观察两个方程的特点确定出相应的解法即可． 【详解】解：解下面的两个方程组：①；②， 在上列提供的两题解法中，较为简便的是①用代入法，②用加减法． 故选：B． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 3．【答案】A 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查解二元一次方程组的加减消元法．观察方程组中未知数系数，发现的系数互为相反数，直接相加即可消去． 【详解】方程组为： 方程①中的系数为，方程②中的系数为，两者互为相反数． 将①和②相加： 化简得： 所以通过可直接消去，得到关于的一元一次方程． 故选A． 4．【答案】D 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】根据二元一次方程组的解的定义即可求解． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴即的解满足 解得 故选D 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解的定义，理解二元一次方程组的解的定义是解题的关键． 5．【答案】B 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法 【分析】此题考查了二元一次方程组的解以及二元一次方程的解．方程组中两方程相加求出，然后根据列式求出k的值即可． 【详解】解：， ①＋②得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 6．【答案】A 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数、方程组相同解问题 【分析】根据题意得出方程组，进而得出x，y的值代入另两个方程求出a，b的值即可． 【详解】解：将第一个方程组中的和第二个方程组中的联立，组成新的方程组， 解这个方程组，得． 将代入和，得， ． 解得，． ∴． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了解二元一次方程组和同解方程组，根据题意得出两方程组的同解方程组是解题关键． 7．【答案】C 【知识点】代入消元法 【分析】本题主要考查对解二元一次方程组解法的理解，掌握转化思想解决数学问题是解题的关键．根据解二元一次方程组的方法即可求解． 【详解】解：将第一个方程代入算二个方程消去得，是代入消元法解二元一次方程组，体现了转化思想， 故选：C． 8．【答案】A 【知识点】二元一次方程组的错解复原问题 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，把甲的结果代入求出b的值，把乙的结果代入求出a的值，然后把a、b的值代入组成方程组求解即可． 【详解】解：根据题意可知，将代入， 得， 解得：， 将代入， 得， 解得：， 将，代入原方程组， 得， 解得：， ∴原方程组正确的解是． 故选：A． 9．【答案】B 【知识点】构造二元一次方程组求解、二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程组及新定义运算，理解新定义运算的规定是解决本题的关键．根据新定义运算建立方程组求解a、b的值，逐一验证各结论的正确性． 【详解】由得：，即； 由得：，即． 联立方程组： ， 解得：，，故结论①正确． ，即，解得，结论②正确． 方程的正整数解为： 时，； 时，， 共有2组解，结论③错误． 由得： ， ∴， 对所有成立，需，即，结论④错误． 综上，正确的结论为①、②，共2个， 故选B． 10．【答案】C 【知识点】代入消元法 【分析】本题主要考查了用代入消元法解二元一次方程组．解二元一次方程组的关键思想是消元，把二元一次方程转化为一元一次方程，解决本题的关键是注意在去分线、移项、合并同类项的、系数化为的过程中是否出现错误． 【详解】解：由， 移项可得：， 方程两边同时乘以可得：， 故甲计算正确， A选项不符合题意； 把代入得：， 故乙计算正确， B选项不符合题意； 去分母可得：， 去括号可得：， 故丙计算错误， C选项符合题意； 丁看到的是， 移项可得：， 合并同类项得：， 解得：， 把代入可得：， 故丁计算正确， D选项不符合题意． 故应选：C． 11．【答案】 消元 加减消元 【知识点】代入消元法、加减消元法 【分析】利用解一次方程组的基本思想，方法即可得到结果． 【详解】解：解一次方程组的基本思想是消元，最常见的消元方法是代入法与加减消元法． 故答案为：消元；加减消元． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组的基本方法，利用消元的思想，一般有加减消元法和代入消元法． 12．【答案】0 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值、构造二元一次方程组求解 【分析】本题考查同类项及二元一次方程组的应用，熟练掌握同类项的定义是解题的关键． 根据“所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项”，求出a，b的值即可． 【详解】解：单项式与是同类项， ， 解得， ， 故答案为：0． 13．【答案】2 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查了解二元一次方程组，将两个方程相加得出，再结合得出，求解即可得出结果，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解此题的关键． 【详解】解：， 由可得：， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 14．【答案】 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据方程组的特点灵活选用恰当的方法是解题的关键． 将两方程相加除以3即可． 【详解】解： 得， 即， 故答案为：． 15．【答案】 2 3 【知识点】方程组相同解问题、加减消元法 【分析】此题考查了两个二元一次方程组有公共解，熟练掌握二元一次方程组解的定义，解法是关键． 因为两个方程组有相同的解，故只要将两个方程组中不含有a，b的两个方程联立，组成新的方程组，求出x和y的值，再代入含有a，b的两个方程中，解关于a，b的方程组即可得出a，b的值． 【详解】解：∵两个方程组有相同的解， ∴原方程组可化为（1）， （2）， 解方程组（1）得， 代入（2）得， 解得：． 故答案为：2；3． 16．【答案】(1) (2) 【知识点】代入消元法、加减消元法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的基本方法． （1）用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 把②代入①得：， 解得：， 把代入②得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 17．【答案】(1)，； (2)； 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、加减消元法、二元一次方程组的错解复原问题、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，以及代数式求值． （1）根据甲由于看错了方程组中的a，把得到的方程组的解代入可得出，即可求出b的值，根据乙由于看错了b，把得到方程组的解代入可得出，即可求出a的值 （2）由（1）得到方程组并求解，把解代入，再解出m，n的值，代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：∵甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为 ∴， 解得； ∵乙由于看错了b，得到方程组的解为 ∴， 解得； （2）由（1）得方程组为， 解得， ∵方程组的解与方程组的解相同， ∴， 解得， ∴． 18．【答案】(1) (2) 【知识点】相反数的应用、加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题主要考查了用加减消元法解二元一次方程组．已知二元一次方程组的根的情况求参数以及相反数的应用. （1）解方程组得出，，根据方程组的解互为相反数，得出，即，解关于k的方程即可； （2）解方程组得，然后代入原方程即可求出k的值． 【详解】（1）解： ①②，得， ①②，得． ∵方程组的解互为相反数， ∴， 即， ∴． （2） ②①，得， ∵， 解得， 代入②得：， ∴ 19．【答案】(1)加减，等式的基本性质 (2)二， (3) 【知识点】加减消元法、二元一次方程组的错解复原问题 【分析】（1）根据题中的求解通过将两个方程相加或相减消去一个未知数的方法可判断出该方法是加减消元法，方程①两边同时乘以2，是根据等式的基本性质：等式两边同时乘同一个数，等式仍然成立； （2）观察题中的解题步骤发现在第二步“得”出现错误，由于合并同类项错误导致计算问题，正确结果应为； （3）根据上述分析从第二步开始重新计算即可得出结果． 【详解】（1）解：根据解方程的基本特征，判定为加减消元法，第一步是利用等式的基本性质变形得到， 故答案为：加减，等式的基本性质． （2）解：∵得， ∴第二步错误，正确结果应为， 故答案为：二，． （3）解：， 由得，， 得，， 将代入①得，， ∴原方程组的解为． 20．【答案】(1) 不是 (2) (3) 【知识点】新定义下的实数运算、数字问题(一元一次方程的应用)、构造二元一次方程组求解 【分析】（1）根据新定义进行判断即可； （2）根据新定义列出方程求解即可； （3）根据新定义列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：不是，理由如下： ∵， ∴不是“三二一数对”； （2）解：∵数对是“三二一数对”， ∴， ∴， ∵， ∴该数对的“和差数对”为：； （3）解：∵数对是“三二一数对”， ∴， ∵的“和差数对”满足条件：， ∴， ∴，整理得：， 联立方程组得：， 解得：． 【点睛】本题考查了新定义的运算、有理数的混合运算、一元一次方程、二元一次方程组的解法等，关键是根据题意列出正确的方程或代数式． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $