29.1.1圆的有关概念（导学案）2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“圆的有关概念”，核心内容包括圆的动态与静态定义，弧、弦、直径等相关概念及点和圆的位置关系。通过生活中圆的实例导入，引导学生动手画圆，从点的运动角度抽象圆的定义，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料亮点在于以数学眼光引导观察，通过实验操作发展几何直观与抽象能力，结合典例分析和中考题培养推理意识，设置生活情境问题与分层作业强化应用意识，帮助学生用数学语言表达现实问题，提升学习效率。

人教版数学九年级上册 第二十九章 圆 29.1.1圆的有关概念（导学案） 一、学习目标 1.通过观察实验操作，感受圆的定义，结合图形认识弧，半圆，弦，直径，等圆，等弧，优弧，劣弧等有关概念。 2.理解点和圆的三种位置关系，体会数形结合、分类讨论的数学思想。 3.在具体情景中，通过探究、交流、反思等活动获得圆的有关定义，体验探求规律的思想方法。 学习重点： 理解圆的定义及其相关概念；理解点和圆的三种位置关系。 学习难点： 理解圆的定义及其相关概念。 二、学习过程 （一）复习引入 圆是一种常见的几何图形，你能举例说明生活中的“圆”吗？ （二）合作探究 思考 圆形物体在生活中很常见，许多物体都给我们以圆的形象.你能画出一个圆吗？说一说你是怎样画圆的. 追问 观察画圆的过程，你能从点的运动的角度描述圆是怎样形成的吗? 圆的动态定义 在一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫作圆. 其固定的端点O叫作圆心，线段OP叫作半径.以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”. 圆的静态定义 圆心为O、半径为r的圆可以看成平面内所有到定点O的距离等于定长r的点的集合. 探究 观察画圆的过程，还可以发现，平面被圆分成三部分.相应地，平面内的点与圆有三种位置关系: 设⊙O的半径为r，任意一点到圆心的距离为d. 圆的相关概念 1.圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧. 如图，以A，B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 2.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆. 大于半圆的弧叫作优弧，小于半圆的弧叫作劣弧. 如图，是半圆，是优弧，是劣弧. 3.连接圆上任意两点的线段叫作弦，经过圆心的弦叫作直径，直径长是半径长的2倍. 如图，AB，AC是弦，AB是直径. 直径是圆中最长的弦. 4.能够重合的两个圆叫作等圆. 容易看出:同圆或等圆的半径相等；反过来，半径相等的两个圆是等圆. 5.在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等弧. 思考 长度相等的弧是等弧吗？ 答：长度相等的弧不一定是等弧. 等弧仅仅存在于同圆或者等圆中. （三）典例分析x2−x−56=0 例1 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上. 证明：∵四边形ABCD为矩形，对角线AC，BD相交于点O， ∴OA=OC=AC，OB=OD=BD，AC=BD. ∴OA=OC=OB=OD. ∴A，B，C，D四个点在以点O为圆心、OA为半径的圆上. 中考演练1(2026江苏连云港) 如图，扇形OAB，点C在上．若∠AOB=60°，则∠ACB的度数是（   A  ） A．150° B．140° C．130° D．120° 中考演练1图 中考演练2图 中考演练2(2026四川巴中) 如图，BC是⊙O的一条弦，A为圆上一点，OA⊥BC，∠OAB=60°，则∠ABC的度数为 30° ． （四）巩固练习 1. 将摩天轮抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y（m）与旋转时间x（min）之间的函数关系如图所示，则摩天轮的半径为（  B   ） A．70 m B．32.5 m C．35 m D．40 m 2. 你见过树木的年轮吗?从树木的年轮，可以知道树木的年龄.把树干的横截面看成圆形，如果一棵20年树龄的树的树干直径是23 cm，这棵树的半径平均每年增加多少? 解：因为树干直径为 23 cm， 所以半径为23÷2=11.5 (cm) 所以半径平均每年增加:11.5÷20=0.575 (cm) 答：这棵树的半径平均每年增加 0.575 cm. 3. ⊙O的半径为10，根据下列点P到圆心O的距离，判断点P和⊙O的位置关系: （1）8； （2）10； （3）12. 解：已知⊙O半径为10，设点P到圆心的距离为d. （1）因为d=8<10，所以点P在⊙O内. （2）因为d=10，所以点P在⊙O上. （3）因为d=12>10，所以点P在⊙O外. 4.在△ABC中，∠C=90°.求证：A，B，C三点在同一个圆上. 证明：取斜边AB的中点O，连接OC. 根据直角三角形斜边中线定理， 可得OC=AB=OA=OB. 所以点A、B、C到点O的距离相等. 因此A、B、C三点在以O为圆心、OA长为半径的同一个圆上. （五）当堂检测 1.下列说法正确的是（ C ） A．直径是弦，弦是直径 B．过圆心的线段是直径 C．圆中最长的弦是直径 D．圆是轴对称图形，但不是中心对称图形 2.给出下列说法： ①半圆是弧； ②直径是弦； ③长度相等的两条弧是等弧； ④在同一平面中，到定点的距离等于定长的点的集合是圆； ⑤A，B是半径为3 cm的⊙O上两个不同的点，则弦AB的取值范围是0 cm<AB≤6 cm．其中，正确的是（  B  ） A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③⑤ 3.(2025广西)如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ABC=65°，BC=CD． (1)求证：△BOC≌△DOC； (2)求∠ABD的度数． (1)证明：∵⊙O的半径为OD，OB，OC，OA， ∴OA=OB=OD=OC， ∵OC=OC，BC=CD， ∴△BOC≌△DOC(SSS)； (2)解：∵OC=OB， ∴∠OCB=∠ABC=65°， ∴∠COB=180°−65°×2=50°， ∵△BOC≌△DOC， ∴∠DOC=∠COB=50°， ∴∠DOB=100°， ∵OD=OB， ∴△DOB是等腰三角形， ∴∠ABD=∠ODB==40°． （六）课堂小结 （七）布置作业 A组题：习题29.1：第1，2，3题. B组题：习题29.1：第5，7题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $人教版数学九年级上册 第二十九章 圆 29.1.1圆的有关概念（导学案） 一、学习目标 1.通过观察实验操作，感受圆的定义，结合图形认识弧，半圆，弦，直径，等圆，等弧，优弧，劣弧等有关概念。 2.理解点和圆的三种位置关系，体会数形结合、分类讨论的数学思想。 3.在具体情景中，通过探究、交流、反思等活动获得圆的有关定义，体验探求规律的思想方法。 学习重点： 理解圆的定义及其相关概念；理解点和圆的三种位置关系。 学习难点： 理解圆的定义及其相关概念。 二、学习过程 （一）复习引入 圆是一种常见的几何图形，你能举例说明生活中的“圆”吗？ （二）合作探究 思考 圆形物体在生活中很常见，许多物体都给我们以圆的形象.你能画出一个圆吗？说一说你是怎样画圆的. 追问 观察画圆的过程，你能从点的运动的角度描述圆是怎样形成的吗? 圆的动态定义 在一个平面内，线段OP绕 旋转一周， 所形成的图形叫作圆. 叫作圆心， 叫作半径.以点O为圆心的圆，记作 ，读作“圆O”. 圆的静态定义 圆心为O、半径为r的圆可以看成平面内所有到 的距离等于 的点的集合. 探究 观察画圆的过程，还可以发现，平面被圆分成三部分.相应地，平面内的点与圆有三种位置关系: 设⊙O的半径为r，任意一点到圆心的距离为d. 圆的相关概念 1. 叫作圆弧，简称弧. 如图，以A，B为端点的弧记作 ，读作 . 2.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆. 叫作优弧， 叫作劣弧. 如图，是 ，是 ，是 . 3. 叫作弦， 的弦叫作直径，直径长是半径长的2倍. 如图， 是弦， 是直径. 是圆中最长的弦. 4. 的两个圆叫作等圆. 容易看出:同圆或等圆的 相等；反过来， 相等的两个圆是等圆. 5.在同圆或等圆中， 的弧叫作等弧. 思考 长度相等的弧是等弧吗？ （三）典例分析x2−x−56=0 例1 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上. 中考演练1(2026江苏连云港) 如图，扇形OAB，点C在上．若∠AOB=60°，则∠ACB的度数是（      ） A．150° B．140° C．130° D．120° 中考演练1图 中考演练2图 中考演练2(2026四川巴中) 如图，BC是⊙O的一条弦，A为圆上一点，OA⊥BC，∠OAB=60°，则∠ABC的度数为 ． （四）巩固练习 1. 将摩天轮抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y（m）与旋转时间x（min）之间的函数关系如图所示，则摩天轮的半径为（      ） A．70 m B．32.5 m C．35 m D．40 m 2. 你见过树木的年轮吗?从树木的年轮，可以知道树木的年龄.把树干的横截面看成圆形，如果一棵20年树龄的树的树干直径是23 cm，这棵树的半径平均每年增加多少? 3. ⊙O的半径为10，根据下列点P到圆心O的距离，判断点P和⊙O的位置关系: （1）8； （2）10； （3）12. 4.在△ABC中，∠C=90°.求证：A，B，C三点在同一个圆上. （五）当堂检测 1.下列说法正确的是（ ） A．直径是弦，弦是直径 B．过圆心的线段是直径 C．圆中最长的弦是直径 D．圆是轴对称图形，但不是中心对称图形 2.给出下列说法： ①半圆是弧； ②直径是弦； ③长度相等的两条弧是等弧； ④在同一平面中，到定点的距离等于定长的点的集合是圆； ⑤A，B是半径为3 cm的⊙O上两个不同的点，则弦AB的取值范围是0 cm<AB≤6 cm．其中，正确的是（   ） A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③⑤ 3.(2025广西)如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ABC=65°，BC=CD． (1)求证：△BOC≌△DOC； (2)求∠ABD的度数． （六）课堂小结 （七）布置作业 A组题：习题29.1：第1，2，3题. B组题：习题29.1：第5，7题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $