6.3.3 余角和补角-课件-2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学课件聚焦“余角和补角”核心知识点，涵盖定义、性质及方位角内容。通过角的和差关系情境导入回顾旧知，结合折叠长方形纸片等探究活动引出概念，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实情境，通过动手操作抽象概念；以数学思维推导性质，如通过等式推理得出“同角的余角相等”；以数学语言规范表述，用表格归纳性质。题型多样且解析详细，助力学生巩固知识，便于教师高效教学。

人教版（新教材）数学七年级上册 第六章 几何图形初步 6.3.3 余角和补角 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026/8/31 人教版数学七年级上册6.3.3余角和补角专项练习 【知识点梳理】余角和补角是角度运算的重要拓展知识点，也是几何识图计算的高频考点。若两个角的和等于90°，则这两个角互为余角，简称互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互为补角，简称互补。核心性质为：同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等。需要区分互余、互补的数量关系，二者仅与角度和有关，与角的位置无关。同时结合角度60进制运算、方程思想求解未知角度，此外本节包含方位角的认识，能够根据方位角描述物体位置，是几何与生活结合的重点内容。 一、填空题（每空2分，共20分） 1. 若两个角的和为90°，则这两个角互为________。 2. 若两个角的和为180°，则这两个角互为________。 3. 同角的余角________，同角的补角________。 4. 已知∠α=35°，则∠α的余角度数为________。 5. 已知∠β=120°，则∠β的补角度数为________。 6. 一个角为45°，它的余角与补角的度数差为________。 7. 北偏东30°是以正北方向为始边，向________偏转30°。 二、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列关于余角、补角的说法正确的是（） A. 互余的两个角一定都是锐角 B. 互补的两个角一定是一锐一钝 C. 互余两角和为180° D. 互补两角和为90° 2. 一个角的度数为28°，则它的余角为（） A. 62° B. 72° C. 152° D. 162° 3. 一个角的补角是70°，则这个角的度数为（） A. 20° B. 110° C. 30° D. 120° 4. 若∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，则∠2=∠3，依据是（） A. 同角的补角相等 B. 同角的余角相等 C. 等角的余角相等 D. 等角的补角相等 5. 下列两个角互为补角的是（） A. 30°和60° B. 45°和45° C. 120°和60° D. 80°和10° 6. 一个锐角的补角与它的余角的关系是（） A. 相等 B. 相差90° C. 相差180° D. 无法确定 7. 若∠A=50°20′，则∠A的余角为（） A. 40°40′ B. 39°40′ C. 129°40′ D. 130°40′ 8. 关于方位角的说法错误的是（） A. 方位角以正南、正北为基准 B. 北偏西与西偏北含义相同 C. 正东、正西属于标准方位 D. 方位角可确定物体相对位置 三、解答题（共50分） 1.（16分）准确叙述余角和补角的定义和性质，并说明互余、互补只与角度和有关，与位置无关。 2.（18分）已知一个角的补角是它余角的4倍，求这个角的度数。 3.（16分）已知∠AOB=90°，∠BOC为锐角，求证：∠AOC的余角等于∠BOC的补角的一半。 参考答案及解析 一、填空题 1. 余角 2. 补角 3. 相等；相等 4. 55° 5. 60° 6. 90° 7. 东 二、选择题 1.A 解析：互余两角和为90°，因此均为锐角；互补两角可为两个直角。2.A 解析：90°−28°=62°。3.B 解析：180°−70°=110°。4.B 解析：∠2、∠3都是∠1的余角，同角的余角相等。5.C 解析：120°+60°=180°，两角互补。6.B 解析：任意锐角补角减余角恒为90°。7.B 解析：90°−50°20′=39°40′。8.B 解析：北偏西、西偏北角度不同，表述不能通用。 三、解答题 1. 定义：和为90°的两个角互为余角，和为180°的两个角互为补角。性质：同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等。互余、互补是数量关系，只要角度和满足条件即可，无论两角是否相邻、是否共顶点，都可互余或互补。2. 解：设这个角为x°，则补角为(180−x)°，余角为(90−x)°。列方程：180−x=4(90−x)，解得x=60。答：这个角的度数为60°。3. 证明：∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOC=90°，∠AOC的余角为∠BOC。∠BOC的补角=180°−∠BOC，又∠BOC=90°−∠AOC，代入得补角=90°+∠AOC，计算可得补角的一半等于∠AOC的余角，原式得证。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 1.认识一个角的余角和补角，掌握余角和补角的性质. 2.通过简单的推理，归纳出余角和补角的性质，并能用规范的语言描述性质. 第1页：复习衔接——温故知新第1页：情境引入——特殊的角关系 观察思考：这些生活与数学场景中，角之间存在怎样的特殊联系？ - 场景1：三角尺中，30°角与60°角拼在一起是90°直角，45°角与45°角拼在一起也能组成直角； - 场景2：平角的两条边是直线，若在平角内部画一条射线，会把平角分成两个角，这两个角的和是180°； - 场景3：时钟上6点时，时针与分针成180°平角，若分针转动30°，时针与分针的夹角和转动的角有什么关系？ 引出主题：像这样和为90°或180°的角，分别具有特殊的名称——余角和补角，今天我们就来学习它们的定义、性质及应用。 回顾旧知，为新知铺垫： - 角的定义：由公共端点的两条射线组成（静态），或射线绕端点旋转形成（动态）； - 角的要素：顶点、两条边（射线）； - 角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角（按度数划分）。 引入新知：线段有比较与运算的方法，角作为几何基本图形，同样可以进行比较和运算。今天我们就来探索角的比较技巧与运算规则。 第8页：知识梳理与方法总结第2页：核心定义——余角与补角 余角和补角的定义核心是“角度和”，需明确区分两种角的度数特征： 1. 余角的定义 如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称“互余”。 - 表述规范：若∠1 + ∠2 = 90°，则∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角（“互为”体现双向关系）； - 实例：35°角与55°角互余，因为35°+55°=90°；90°角没有余角（无法找到另一个角与它相加得90°）。 2. 补角的定义 如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称“互补”。 - 表述规范：若∠α + ∠β = 180°，则∠α与∠β互为补角； - 实例：120°角与60°角互补，因为120°+60°=180°；180°角没有补角，0°角也没有补角。 易错提醒：“互余”“互补”是两个角之间的关系，不能单独说某个角是“余角”或“补角”，必须成对出现。 一、角的比较方法 方法 核心操作 优点 叠合法 顶点重合、一边重合，看另一边位置 直观，无需测量工具 度量法 量角器测度数，比较数值 精确，可量化角度差 二、角的运算核心 - 和差：∠AOB=∠AOC±∠COB（根据C的位置判断“+”或“-”）； - 倍分：角平分线→∠AOC=∠COB=1/2∠AOB； - 关键：先画图形，明确角的组成关系，位置不确定时分类讨论。 核心口诀：角的比较有两法，叠合度量都靠它；和差运算看位置，平分线来分等角；尺规作图复制角，圆规作用别忘啦。 第2页：角的比较——核心方法（一）叠合法第3页：余角与补角的性质 通过推理可得出余角和补角的重要性质，这些性质是解决几何问题的常用依据： 性质1：同角（等角）的余角相等 推理过程：已知∠1 + ∠2 = 90°，∠1 + ∠3 = 90°（∠1是同角），则∠2 = 90°-∠1，∠3 = 90°-∠1，因此∠2 = ∠3；若∠1 = ∠4，且∠1 + ∠2 = 90°，∠4 + ∠5 = 90°（等角的余角），则∠2 = ∠5。 性质2：同角（等角）的补角相等 推理过程：已知∠A + ∠B = 180°，∠A + ∠C = 180°（∠A是同角），则∠B = 180°-∠A，∠C = 180°-∠A，因此∠B = ∠C；若∠A = ∠D，且∠A + ∠B = 180°，∠D + ∠E = 180°（等角的补角），则∠B = ∠E。 记忆口诀：同角等角余补等，核心就是“减同一个（或相等）的角，结果相等”。 类比线段的叠合法，角的叠合核心是“顶点重合、一边重合，看另一边位置”。 操作步骤（以比较∠AOB和∠COD为例）： 1. 顶点重合：将∠COD的顶点O与∠AOB的顶点O重合； 2. 一边重合：使∠COD的边OC与∠AOB的边OA重合，且两边都在OA的同侧； 3. 观察判断：根据∠COD的另一边OD与∠AOB的另一边OB的位置关系确定大小。 三种情况： - 若OD与OB重合 → ∠AOB = ∠COD； - 若OD在∠AOB内部 → ∠AOB ＞ ∠COD； - 若OD在∠AOB外部 → ∠AOB ＜ ∠COD。 关键：叠合时确保“顶点对齐、一边对齐、同侧放置”，避免因位置错误导致判断偏差。 第3页：角的比较——核心方法（二）度量法第4页：基础题型——余角与补角的计算 利用余角和补角的定义，可直接计算未知角的度数，解题关键是找准“和为90°”或“和为180°”的关系。 例题1：直接计算余角/补角 已知∠α = 38°，求它的余角和补角的度数。 分析：余角=90°-∠α，补角=180°-∠α。 解答：余角=90°-38°=52°；补角=180°-38°=142°。 例题2：已知余角/补角关系求角 一个角的补角比它的余角大多少度？若一个角的补角是它的3倍，求这个角的度数。 分析：设这个角为x°，则补角为(180-x)°，余角为(90-x)°，根据关系列等式。 解答：① 补角-余角=(180-x)-(90-x)=90°，即补角比余角大90°；② 由180-x=3x，解得x=45°，这个角为45°。 利用量角器测量角的度数，通过比较度数大小确定角的大小，这是最直接的量化方法。 操作步骤： 1. 点对齐：将量角器的中心与角的顶点重合； 2. 线对齐：将量角器的0°刻度线与角的一条边重合； 3. 读度数：角的另一条边所对应的量角器刻度，即为角的度数。 比较规则：度数大的角大，度数小的角小，度数相等则角相等。 实例：测量得∠1=35°，∠2=50°，则∠1＜∠2；∠3=90°，∠4=90°，则∠3=∠4。 量角器使用提醒：注意区分内圈刻度与外圈刻度，当角的边与内圈0°刻度线重合时，读内圈度数，反之读外圈。 第4页：角的运算——和与差第5页：进阶题型——利用性质解决问题 当题目中出现多个角的互余、互补关系时，利用“同角（等角）的余角/补角相等”可快速推导角的关系。 例题3：利用性质证明角相等 如图，∠AOB = ∠COD = 90°，求证：∠AOC = ∠BOD。 证明：∵ ∠AOB = 90°，∴ ∠AOC + ∠COB = 90°（∠AOC与∠COB互余）；又∵ ∠COD = 90°，∴ ∠BOD + ∠COB = 90°（∠BOD与∠COB互余）；根据“同角的余角相等”，可得∠AOC = ∠BOD。 例题4：综合应用 已知∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，∠1 = 40°，求∠3的度数。 分析：先由∠1与∠2互余求∠2，再由∠2与∠3互补求∠3。 解答：∵ ∠1 + ∠2 = 90°，∠1=40°，∴ ∠2=50°；又∵ ∠2 + ∠3=180°，∴ ∠3=180°-50°=130°。 角的和差运算与线段类似，核心是“结合图形，明确角之间的组成关系”。 1. 角的和 在∠AOB的内部作射线OC，那么∠AOB就是∠AOC与∠COB的和，记为：∠AOB = ∠AOC + ∠COB。 理解：将∠AOC与∠COB“拼接”在一起，就组成了∠AOB。 2. 角的差 若∠AOB = ∠AOC + ∠COB（且∠AOB＞∠AOC，∠AOB＞∠COB），则其中一个角是另外两个角的差，记为：∠AOC = ∠AOB - ∠COB 或 ∠COB = ∠AOB - ∠AOC。 实例：已知∠AOB=80°，∠AOC=30°，且OC在∠AOB内部，则∠COB=80°-30°=50°。 通过例题巩固角的核心概念，掌握识别与表示的关键。 第5页：角的运算——倍与分（角平分线）第6页：方位角中的余补角应用 在方位角问题中，常利用余角和补角的关系计算角度，需先明确“上北下南，左西右东”的方位原则。 核心方位关系： - 正北与正东、正北与正西、正南与正东、正南与正西的夹角均为90°（互余关系的基础）； - 正北与正南、正东与正西的夹角均为180°（互补关系的基础）。 例题5：方位角计算 如图，点A在点O的北偏东30°方向，点B在点O的北偏西40°方向，求∠AOB的度数及点A相对于点O的补角方位。 解答：① 正北方向为射线OC，则∠AOC=30°，∠BOC=40°，∠AOB=∠AOC+∠BOC=70°；② 点A的补角方位：与北偏东30°成180°的方向，为南偏西30°。 当角的运算涉及“几倍”或“几分之几”时，最常用的工具是“角平分线”。 1. 角平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 如图，若OC是∠AOB的平分线，则： - 数量关系：∠AOC = ∠COB = 1/2 ∠AOB，或∠AOB = 2∠AOC = 2∠COB； - 图形特征：OC在∠AOB内部，将∠AOB平分为两个等角。 2. 角的n倍：要作一个角等于已知角∠α的n倍，可通过“顺次作n个相等的∠α”实现，总角度为n×∠α的度数。 实例：∠α=20°，则2∠α=40°，可作∠β=∠α+∠α=40°。 示例：如图，顶点为O，边为OA、OB，可表示为∠O、∠AOB、∠1或∠α（根据标注情况选择）。 第6页：基础例题——和差与角平分线运算第7页：知识梳理与方法总结 一、核心定义（牢记度数和） 类型 角度和关系 关键提醒 余角 两个角和为90° 仅锐角有余角，“互为”体现双向性 补角 两个角和为180° 锐角、直角、钝角都可能有补角 二、重要性质（解题核心） - 同角（等角）的余角相等； - 同角（等角）的补角相等。 三、解题步骤 1. 找：找出题目中互余或互补的角的关系； 2. 列：根据定义或性质列出角度等式； 3. 算：代入已知角度计算未知角，或推导角的关系。 核心口诀：余角和为九十度，补角一百八十整；同角等角余补等，性质应用证相等；解题先找角关系，列等式来算分明。 结合图形分析角的关系，是解题的核心。 例题1：和差运算 已知∠AOB=120°，射线OC在∠AOB外部，∠BOC=30°，求∠AOC的度数。 分析：OC在外部，分两种情况——OC在OB外侧或OA外侧。 解答：① 若OC在OB外侧：∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°+30°=150°；② 若OC在OA外侧：∠AOC=∠AOB-∠BOC=120°-30°=90°。结论：∠AOC=150°或90°。 例题2：角平分线运算 已知∠COD=100°，OE是∠COD的平分线，OF是∠COE的平分线，求∠DOF的度数。 分析：先利用角平分线求等分角的度数，再计算和差。 解答：① ∠COE=∠EOD=1/2×100°=50°；② ∠COF=1/2×∠COE=25°；③ ∠DOF=∠COD-∠COF=100°-25°=75°（或∠DOF=∠EOD+∠EOF=50°+25°=75°）。 思考：角的大小由什么决定？与哪些因素无关？ 1. 决定因素：角的两边张开的幅度（即终边与始边的旋转角度） 实验感知：用两根硬纸条做成活动角，固定顶点，张开幅度越大，角越大；张开幅度越小，角越小。 2. 无关因素：角的两边的长度 原理：角的两边是射线，射线可以无限延伸，因此边长不影响角的大小。例如，用放大镜看一个30°的角，角的大小仍为30°。 应用：比较两个角的大小时，只需关注它们张开的幅度，无需考虑边的长短。 第7页：尺规作图——作一个角等于已知角 类比线段的尺规作图，用无刻度直尺和圆规可精准作出与已知角相等的角。 已知：∠AOB，作∠A'O'B'=∠AOB。 作图步骤： 1. 作射线O'A'； 2. 以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D； 3. 以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'； 4. 以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第3步所画弧交于点D'； 5. 作射线O'B'，则∠A'O'B'即为所求（与∠AOB相等）。 关键：圆规的作用是“复制”角的两边张开幅度，确保两个角的度数相等。 一、核心概念 - 定义：静态（两射线+公共端点）、动态（射线旋转）； - 要素：顶点（1个）、边（2条射线）； - 大小：由两边张开幅度决定，与边长无关。 二、表示方法 牢记“三边字母优先用，顶点字母单角用，数字希腊辅助用”，确保表示规范不混淆。 三、分类体系（按度数） 0°＜锐角＜90° → 直角=90° → 90°＜钝角＜180° → 平角=180° → 周角=360° 核心口诀：角有顶点和两边，静态构成动态转；表示方法有四种，顶点居中记心中；大小只看张开度，分类全凭度数定。 学习目标 O A C B 你能说说图中角的和差关系吗？ ∠AOC=∠AOB+_______ ∠AOB=∠AOC-_______ ∠BOC=∠AOC-_______ ∠BOC ∠BOC ∠AOB 情境导入 推进新课 知识点一 余角和补角的概念 探究1：图中∠A与∠B有怎样的数量关系？ ∠A+∠B=90° A B C A B C 探究新知 探究2：将一张长方形纸片，沿一个角折叠后，折痕与长方形的边形成了4个角. 1.∠1与∠2有什么数量关系？ ∠1+∠2=90° 2.∠3与∠4有什么数量关系？ ∠3+∠4=180° 探究新知 余角的概念 如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称这两个角互余，其中一个角是另一个角的余角. 如图，可以说∠1是∠2的余角，或∠2是∠1的余角，或∠1和∠2互余. ∠1和∠2互为余角 ∠1+∠2=90° （∠1=90°-∠2或∠2=90°-∠1 ） 探究新知 补角的概念 如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称这两个角互补，其中一个角是另一个角的补角. 如图，可以说∠3是∠4的补角，或∠4是∠3的补角，或∠3和∠4互补. ∠3和∠4互为补角 ∠3+∠4=180° （∠3=180°-∠4或∠4=180°-∠3 ） 探究新知 1.如图，点在直线上， ，则 的余角是( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 8 返回 2．若∠A＝25°，则∠A的补角为(　　) A．25° B．65° C．75° D．155° D 举一反三 9 3．石家庄期中已知∠1和∠2互余，若∠1＝40°50′，则∠2＝(　　) A．49°10′ B．49°50′ C．50°10′ D．40°50′ A 返回 举一反三 10 注意： (1)余(补)角指的是两个角之间的数量关系，与位置无关,且它们是成对出现的,单独的一个角或两个以上的角不能称为余(补)角. (2)若两个角互余,则这两个角一定都是锐角;若两个角互补，则这两个角可能都是直角,也可能是一个锐角、一个钝角. 探究新知 知识点二 余角、补角的性质 思考1：如图，∠1与∠2，∠3都互余，∠2与∠3的大小有什么关系？ 解：因为∠1与∠2互为余角， 所以∠2＝ 90°-∠1， 又∠1与∠3互为余角， 所以∠3＝ 90°-∠1， 根据等式的性质，∠2=∠3. 同角的余角相等 探究新知 思考2：已知：∠1与∠2互为余角，∠3与∠4互为余角，如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？ 解：因为∠1与∠2互为余角， 所以∠2＝ 90°-∠1， 又∠3与∠4互为余角， 所以∠4＝ 90°-∠3， 因为∠1=∠3 根据等式的性质，∠2=∠4. 等角的余角相等 探究新知 思考3：如图，如果∠1与∠2，∠3都互补，那么∠2与∠3的大小有什么关系？ 解：因为∠1与∠2互为补角， 所以∠2＝ 180°-∠1， 又∠1与∠3互为补角， 所以∠3＝ 180°-∠1， 根据等式的性质，∠2=∠3. 同角的补角相等 2 探究新知 4．衡水期中如图，射线OM，OA，OB，OC，ON分别对应量角器上 外圈的180°，140°，90°，50°，0°刻度，则关于∠AOM与∠CON的关系 表述正确的是(　　) A．互余 B．互补 C．相等 D．无法判断 A 返回 举一反三 15 5.［廊坊安次区期末］如果一个角的余角是 ，那么这个角的补 角的度数是( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 16 解：因为∠1与∠2互为补角， 所以∠2＝ 180°-∠1， 又∠3与∠4互为补角， 所以∠4＝ 180°-∠3， 因为∠1=∠3 根据等式的性质，∠2=∠4. 思考4：已知：∠1与∠2互为补角，∠3与∠4互为补角，如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？ 等角的补角相等 探究新知 归纳： 类型 性质 数学语言 余角 补角 同角（等角）的余角相等 同角（等角）的补角相等 ①如果∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°， 那么∠2＝∠3； ②如果∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°， 且∠1＝∠3，那么∠2＝∠4 ①如果∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°， 那么∠2＝∠3； ②如果∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°， 且∠1＝∠3，那么∠2＝∠4 探究新知 6.若一个角的余角的5倍等于它的补角，则这个角的度数为_______. 返回 举一反三 19 7. 如图， ，是 的平分线，与互余，求 的度数. 解：因为平分 ， 所以 . 又因为与 互余. 所以 . 返回 举一反三 20 8.已知与互余，与互余，则与 的关系是( ) C A.互余 B.互补 C.相等 D.不能确定 返回 举一反三 21 9.已知 ， ，若，则 ， 依据是( ) D A.同角的余角相等 B.等角的余角相等 C.同角的补角相等 D.等角的补角相等 返回 举一反三 22 10.如图， ，对于结论Ⅰ和Ⅱ，下 列判断正确的是( ) 结论Ⅰ： ； 结论Ⅱ：是 的补角. A A.Ⅰ和Ⅱ都对 B.Ⅰ和Ⅱ都不对 C.Ⅰ不对，Ⅱ对 D.Ⅰ对，Ⅱ不对 返回 举一反三 23 11. 如图， ， . （1）与 有怎样的数量关系，为什 么？与 有怎样的数量关系，为什么？ 解：∠ADC＝∠BDC，∠ADF＝∠BDE.理由： 因为∠EDC＝∠CDF＝90°，所以∠1＋∠ADC＝90°， ∠2＋∠BDC＝90°.又因为∠1＝∠2，所以∠ADC＝∠BDC. 所以∠CDF＋∠ADC＝∠EDC＋∠BDC，即∠ADF＝∠BDE. 返回 举一反三 24 （2）的余角为______________； 的补角为______________. ， ， 返回 举一反三 25 互为余角 互为补角 两角间的关系 性质 课堂小结 同角（等角）的余角相等 同角（等角）的补角相等 ∠1+∠2=90° ∠3+∠4=180° 课堂小结 谢谢观看 THANKS $