精品解析：北京市延庆区2026-2027学年第一学期测试试卷高三数学

2026—2027学年第一学期测试试卷 高三数学 2026.08 本试卷共6页，150分，考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效． 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 设全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以. 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由于在复平面内，复数对应的点的坐标是，所以，， 故， 所以的虚部为. 3. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，定义域不关于原点对称，不是偶函数；B选项，为奇函数；C选项，根据得到C不满足在区间上单调递增；D选项，判断出函数为偶函数且在上单调递增. 【详解】A选项，的定义域为，定义域不关于原点对称，故不是偶函数，A错误； B选项，的定义域为R，且，故为奇函数，B错误； C选项，设，因为， 故在上不单调递增，C错误； D选项，的定义域为R，且，故为偶函数， 又当时，，在上单调递增，故满足要求，D正确. 故选：D 4. 下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数、指数函数的单调性，将各选项中的函数值与特殊值0、1比较，逐一判断正误． 【详解】因为在上单调递减， 所以，即，故AC错误； 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，，故B正确，D错误． 5. 函数（ ） A. 有最大值，也有最小值 B. 没有最大值，有最小值 C. 有最大值，没有最小值 D. 没有最大值，也没有最小值 【答案】C 【解析】 【分析】设，将转化为关于的二次函数，即可判断有无最值. 【详解】设，则， 当时函数单调递增，当时函数单调递减，故有最大值，无最小值. 6. 已知，是无穷数列，是常数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】通过分别验证充分性与必要性，结合反例即可判断逻辑关系． 【详解】充分性验证： 若成立，取，，，显然满足对任意恒成立； 但当时，，不存在固定常数满足对所有成立，因此充分性不成立； 必要性验证： 若存在常数使得成立，根据不等式的传递性，对任意，都有，即可推出，因此必要性成立； 综上，“”是“”的必要不充分条件． 7. 在的展开式中，下列关于各项的描述正确的是（ ） A. 第三项是含的项 B. 第四项的系数是160 C. 第五项是常数项240 D. 各项的系数和为64 【答案】B 【解析】 【分析】求出展开式的通项，使用通项求解. 【详解】的展开式的通项为：， 第三项是：，不是含的项，选项A错误； 第四项的系数是：，选项B正确； 第五项是：，不是常数项，选项C错误； 令，得各项的系数和为，选项D错误. 8. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数奇偶性排除AB，再利用函数单调性或是极限值即可排除D. 【详解】，定义域为，关于原点对称， 当时，则，且，显然图中没有符合的， 当时， ，其既不恒等于， 也不恒等于，则其不具有奇偶性，即为非奇非偶函数，故AB错误； 当时，取的情况，此时，则，则CD图象不适合， 则只考虑的情况， 当时，取的情况，此时均在上单调递减，则在上单调递减，故D错误， 从极限角度考虑则当，且时，此时，则，故D错误. 故选：C. 9. 大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是（ ） A. 由上图推测，甲地的绿化好于乙地 B. 当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 C. 当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 D. 当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同 【答案】C 【解析】 【分析】结合图中数据分析一一判断各选项即可. 【详解】对于A，由图可知，甲地的气温日较差明显小于乙地气温日较差， 所以甲地的绿化好于乙地，故A正确； 对于B，由图可知，甲乙两地的平均变化率为正数，且乙地的变化趋势更大， 所以甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率，故B正确； 对于C，由图可知，甲乙两地的平均变化率为负数，且乙地的变化趋势更大， 所以甲地气温的平均变化率大于乙地气温的平均变化率，故C错误； 对于D，由图可知，存在一个时刻，使得甲、乙两地气温的瞬时变化率相同，故D正确. 故选：C. 10. 已知函数，其定义域记为集合，，则下列结论错误的是（ ） A. 且 B. 存在，使得 C. 当时， D. 无零点 【答案】B 【解析】 【分析】A：函数要求、，定义域正确；B：时，，时，，且两段都单调递减，即可判断；C：时，所以，正确；D：若则，不在定义域内，无零点，正确. 【详解】选项A： 函数，则，解得且， 所以且，故A正确； 选项B：， 令，则， 可知在内单调递减，且当趋近于0时，趋近于0时， 则对任意均有，即，可知函数在与上单调递减， 当时，则，，可得； 当时，则，，可得； 故不存在使得，故B错误； 选项C：当时，，，等价于， 因为，则，所以，故C正确； 选项D：若，则， 即，得，但不在定义域内， 所以无零点，故D正确. 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】由对数复合函数有意义列出不等式求解即可. 【详解】函数要有意义，则， 即，解得， 所以函数的定义域为. 12. 在等差数列中，已知，与的等差中项为6，是和的等比中项，则通项公式___________；前项和___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据条件列出方程，求出，，运用公式即可算出与. 【详解】设等差数列的公差为， 根据题意可得：，，因，解得，， 则，即，则，，. .. 13. 若在上为增函数，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数、一次函数的单调性，结合分段函数的性质列不等式组求解即可. 【详解】易知在上为增函数，在上单调递增. 若在上为增函数，则，即，解得. 故的取值范围是. 14. 设函数若存在点在函数的图象上，则的一个取值为______，若有且仅有两个点和在函数的图象上，则的取值范围是______． 【答案】 ①. （答案不唯一，满足或即可） ②. 【解析】 【分析】第一空：结合二次函数性质求出的取值范围或者代入特殊值进行验证求解； 第二空：结合二次函数性质，然后利用韦达定理中根与和的正负进行判断求解. 【详解】第一空：若，则当时， ，此时有无数个点在函数的图象上，符合题意； 若，则问题转换为求当时，是否存在，使， 令， 若使，则需满足， 即：，则或， 又因为两根之积为，所以两根同号， 若，则两根之和，两根均为负，不符合的要求； 若，则两根之和，两根均为正数，符合的要求， 综上所述，存在点在函数的图象上，且的取值范围是或，写出一个范围内的即可； 第二空：由第一空可知，有且仅有两个点和在函数的图象上时， 要使题目成立，需满足解全在段. 当时，，段只有一个解， 当时，且解为负根，无符合要求的解，均不符合题意， 当时，两根和，又因为两根同号，所以两根均为负数，不符合题意； 当时，两根和为正，且此时，所以有两个不等的实数正根，符合题意， 综上所述，有且仅有两个点和在函数的图象上，则的取值范围是. 15. 某社区内有一扇形草坪（如图），扇形的半径为60米，．甲从圆心出发，沿以每秒1米的速度向慢走，同时乙从出发，沿以每秒米的速度向慢跑．若经过秒，甲和乙所在的位置分别为和，记的长度为米． 给出下列四个结论： ①当时，； ②函数在区间上单调递增； ③方程在区间上恰有一个根； ④若函数在处取得最小值，则． 其中所有正确结论的序号是___________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】先根据甲、乙的运动速度和时间得出的表达式，再利用余弦定理求出的表达式，结合导数逐一分析各个结论后可得正确的选项. 【详解】由题意得，. 在中，， 根据余弦定理， 可得. 结论①： 当时，， 故，即，故①正确； 结论②： 设，则. 当时，， 故，而，， 故，即在上单调递增， 所以在上也单调递增，故②正确； 结论③： 若，则， 化简可得. 设，则. 当时，，故， 故，故在单调递增，且，， 所以在上恰有一个零点，即方程在区间上恰有一个根，故③正确； 结论④：因为，其中， 设，， 则， 当，故，故， 故当时， 当，故，故， 故， 故当时， 故在上单调递增，而，， 故存在，使得， 且当时，，当时，， 故在取最小值，即在取最小值，其中， 故④正确. 三、解答题（共6小题，共85分） 16. 已知函数，求： （1）曲线在点处的切线方程； （2）函数的单调区间． 【答案】（1） （2）单调递增区间为和，单调递减区间为和. 【解析】 【小问1详解】 因为，所以，， 则，则曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 因为，且的定义域为， 所以由得或；由得或； 则的单调递增区间为和，单调递减区间为和 17. 在中，，，． （1）求及； （2）求的值及面积． 【答案】（1）， （2），面积为 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理及三角形大边对大角求解即可. （2）根据余弦定理及三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理得，所以. 又，所以，所以. 故. 综上，， . 【小问2详解】 由余弦定理得，， 整理得，解得或（舍去）. . 综上，，. 18. 已知函数． （1）求过原点且与曲线相切的直线方程； （2）若，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设切点，求出切线方程，将代入求出即可； （2）根据导函数求出单调性，再根据正负性求出最值. 【小问1详解】 设切点为， 因为，所以， 所以在点处的切线方程为， 将点代入得，得， 则过原点且与曲线相切的直线方程为； 【小问2详解】 因为， 所以， 由得或；得； 则在，上单调递增，在上单调递减， 因为当时，或时， 所以的最小值为. 19. 已知的面积为，． （1）求边上的高； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）选择条件①，AC边上中线长为 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式进行求解； （2）利用余弦定理进行求解. 【小问1详解】 因为，所以. 【小问2详解】 选择条件①，，化简得， 所以，所以，， 由面积公式得，则， 此时由余弦定理得，则， 且，所以此时有唯一的三角形，且为直角三角形， 所以边上中线的长为； 选择条件②，若，则由面积公式得， 解得，所以或， 若，则，， 因为，，所以， 所以，满足三角形的要求； 若，则，， 所以，满足三角形的要求，所以选择条件②时，三角形不是唯一的，不符合题意； 选择条件③，若．则，由面积公式得，所以， 当时，由余弦定理得，满足三角形的要求； 当时，由余弦定理得，满足三角形的要求； 所以选择条件③时，三角形不是唯一的，不符合题意. 20. 已知曲线在点处的切线方程为． （1）求、； （2）是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，说明理由； （3）当时，求直线与曲线交点的个数． 【答案】（1）、 （2）无极大值也无极小值；理由如下： 由（1）知，求导得， 令，求导得， 令，得，解得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以， 所以，所以在上单调递增，所以无极大值也无极小值； （3）交点的个数为1个 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，进而求解可求得、； （2）求导得，令，进而利用二次导数可得，进而可得结论； （3）分和两种情况讨论，当时，得，利用换元法，结合导数求得的最小值，进而结合可得结论. 【小问1详解】 由，得，所以. 因为，所以，所以， 所以①； 又，，所以， 所以，代入①得， 所以，所以， 因为，所以，所以，解得. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 由题意，直线与曲线交点的个数即为的解的个数. 当时，， 所以直线与曲线交点的个数为1个； 当时，则，由，得， 令，令，得， 求导得， 令，则， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以，所以，所以，当且仅当时取到等号， 所以， 当时，，所以函数在上单调递增， 当时，可得， 令在上单调递增，所以， 所以，所以在上单调递减，所以， 又，所以方程在上无解， 所以当时，直线与曲线交点的个数为1个． 21. 设无穷数列的前项和为，为单调递增的无穷正整数数列，记，定义． （1）若，，写出，的值； （2）若，求； （3）设求证：对任意的无穷数列，存在数列，使得为常数列． 【答案】（1）， （2） （3）若为有限集，设其最大元素为（若为空集，取）， 则当时，存在满足. 令， 则，所以； 若为无限集，设，其中， 记，则. ①若数列中只有有限项为正数，记（若中没有正数项，取）， 则，令， 则，所以， ②若数列中有无穷项为正数，将这些项依次记为，其中， 则， 令，则.所以. 综上所述，对任意的无穷数列都存在数列，使得为常数列. 【解析】 【分析】（1）先根据已知条件确定的值，再求出对应，最后由计算. （2）先求出数列的前项和，再分为奇数和偶数讨论的正负，确定. （3）根据集合及数列正数项情况分类讨论，确定为常数列，为有限集时，；为无限集时，若正数项有限时，，若正数项无限时，. 【小问1详解】 由题意可得，，，， 所以，，，， 所以，， ， 所以，； 【小问2详解】 由题意，在数列中，，， 所以， 若为奇数，则，所以. 若为偶数，则当时， ，所以. 所以. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期测试试卷 高三数学 2026.08 本试卷共6页，150分，考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效． 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 设全集，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 函数（ ） A. 有最大值，也有最小值 B. 没有最大值，有最小值 C. 有最大值，没有最小值 D. 没有最大值，也没有最小值 6. 已知，是无穷数列，是常数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 在的展开式中，下列关于各项的描述正确的是（ ） A. 第三项是含的项 B. 第四项的系数是160 C. 第五项是常数项240 D. 各项的系数和为64 8. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是（ ） A. 由上图推测，甲地的绿化好于乙地 B. 当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 C. 当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 D. 当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同 10. 已知函数，其定义域记为集合，，则下列结论错误的是（ ） A. 且 B. 存在，使得 C. 当时， D. 无零点 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11. 函数的定义域为______． 12. 在等差数列中，已知，与的等差中项为6，是和的等比中项，则通项公式___________；前项和___________． 13. 若在上为增函数，则的取值范围是______． 14. 设函数若存在点在函数的图象上，则的一个取值为______，若有且仅有两个点和在函数的图象上，则的取值范围是______． 15. 某社区内有一扇形草坪（如图），扇形的半径为60米，．甲从圆心出发，沿以每秒1米的速度向慢走，同时乙从出发，沿以每秒米的速度向慢跑．若经过秒，甲和乙所在的位置分别为和，记的长度为米． 给出下列四个结论： ①当时，； ②函数在区间上单调递增； ③方程在区间上恰有一个根； ④若函数在处取得最小值，则． 其中所有正确结论的序号是___________． 三、解答题（共6小题，共85分） 16. 已知函数，求： （1）曲线在点处的切线方程； （2）函数的单调区间． 17. 在中，，，． （1）求及； （2）求的值及面积． 18. 已知函数． （1）求过原点且与曲线相切的直线方程； （2）若，求的最小值． 19. 已知的面积为，． （1）求边上的高； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分． 20. 已知曲线在点处的切线方程为． （1）求、； （2）是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，说明理由； （3）当时，求直线与曲线交点的个数． 21. 设无穷数列的前项和为，为单调递增的无穷正整数数列，记，定义． （1）若，，写出，的值； （2）若，求； （3）设求证：对任意的无穷数列，存在数列，使得为常数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $