精品解析：北京大学附属中学2027届学习调研试题（分班考）高三数学试卷

北大附中2027届学习调研试题 高三数学 2026.07 本试卷共4页，100分.考试时长90分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分　选择题（共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题所列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知，集合或， 集合， 则. 2. 已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点所在象限为 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】复数满足，∴，则复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D. 3. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对于A选项，函数定义域为，且，故函数为奇函数， 当时，，当时，，故不满足单调递增条件； 对于B选项，函数定义域为，，因此函数为奇函数， 对函数求导得，，当时，，因此函数在上单调递增， 故符合条件； 对于C选项，函数定义域为，，因此函数为偶函数，不符合条件； 对于D选项，函数的定义域为，则函数为非奇非偶函数，不符合条件. 4. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若两点的横坐标之和为6，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【详解】设点，由题意可得. 所以. 5. 下列说法中，一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】通过举反例即可排除选项A；根据不等式的性质可得两数均为负数，再依据绝对值性质即可判断选项B； 由对数函数的单调性，当时即可判断选项C；利用基本不等式即可推导选项D. 【详解】对于A：取特殊值，满足，但，故A错误； 对于B：由，可得，所以，而， 所以，故B错误； 对于C：当时，在上单调递减， 因为，所以，故C错误； 对于D：由基本不等式得：， 当且仅当即时等号成立，所以，故D正确. 6. 已知平面上，（）均与圆相交，若相交的四个点可以构成一个正方形，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将圆的方程化为标准形式得到圆心和半径，结合平行线距离公式可得正方形边长，再由正方形的对称性知弦心距，再代入圆的弦长公式求解可得. 【详解】由圆的方程，配方得，因此圆心为，半径. 计算平行直线距离：将直线整理为，， 由平行线距离公式得两直线距离. 因为四个交点构成正方形，故直线截圆所得弦长等于两平行线距离， 因两直线关于圆心对称，所以圆心到每条直线的距离.如图： 代入弦长公式计算：弦长，代入，，， 得，两边平方得，解得，即. 再将代入，得. 7. 函数与在上交点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】将两函数交点问题转化为构造函数的零点问题，根据导数与单调性的关系，结合零点存在定理求解即可. 【详解】与在上的交点个数，等价于方程在上的解的个数. 构造函数，. 对求导得：  . 当时，，，则，故在上单调递减. 又，故对任意，，此时无零点. 当时，，，则，故在上单调递增. 又，， 根据零点存在定理，存在唯一使得. 综上，在上仅有1个零点，即两函数交点个数为1. 8. 已知是无穷等比数列，则“”是“是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分别判断充分性和必要性，必要性由递增数列定义直接得证，充分性通过构造反例说明不成立. 【详解】首先证明必要性：若“是递增数列”，则根据递增数列的定义可知， 任意，均有，故，必要性成立. 充分性不成立，理由如下：数列，若， 那么，满足，但数列是摆动数列，不是递增数列. 所以“”是“是递增数列”的必要不充分条件. 9. 某品牌手机在低电量模式下，电量消耗遵循指数衰减规律.设初始电量为（单位：），经过小时后，剩余电量（单位：）满足函数关系（其中为电量衰减系数）.已知该手机在低电量模式下，从初始电量衰减到用时4小时，设初始电量为，若用户希望剩余电量不低于，则该手机在低电量模式下最多可使用时间的小时数为（ ） （参考数据：，） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数模型，代入数值，化简可得，即可得函数解析式，代入数值可得不等式，解不等式即可. 【详解】已知初始电量为，经过小时后，剩余电量， 则有即，解得， 当剩余电量不低于即，化简得， 两边同取以为底的对数即，由对数运算法则得， 解得，代入数据可得， 故选：C. 10. 若数列、均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得，则称数列为数列的“M数列”．已知数列的前n项和为，则下列选项中为假命题的是（ ） A. 存在等差数列，使得是的“M数列” B. 存在等比数列，使得是的“M数列” C. 存在等差数列，使得是的“M数列” D. 存在等比数列，使得是的“M数列” 【答案】C 【解析】 【分析】对于A：取，分析判断；对于B、D：取，分析判断；对于C：根据题意结合等差数列的性质分析判断. 【详解】对于A：例如，则为等差数列，且、均为严格增数列， 可得，则， 取，则，即成立， 所以是的“M数列”，故A为真命题； 对B：例如，则为等比数列，且、均为严格增数列， 可得，则， 取，则，即成立， 所以是的“M数列”，故B为真命题； 对于C：若存在等差数列，使得是的“M数列”， 设等差数列的公差为， ∵、均为严格增数列，则，故， 取满足，可知必存在，使得成立， 当时，对任意正整数，则有； 对任意正整数，则有； 故不存在正整数，使得，故C为假命题； 对D：例如，则为等比数列，且、均为严格增数列， 可得，则， 取，则，即成立， 所以是的“M数列”，故D为真命题； 故选：C. 【点睛】关键点睛：在说明选项C时，只需说明，故取即可. 第二部分　非选择题（共60分） 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分. 11. 双曲线的渐近线方程是______. 【答案】 【解析】 【分析】将双曲线方程化为标准形式确定焦点位置及的值，代入对应渐近线公式求解，也可直接令方程右侧常数为0化简得到结果 【详解】将双曲线方程化为标准形式：  ， 可知该双曲线焦点在轴上，其中实半轴长，虚半轴长， 则焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为 . 12. 在的展开式中，常数项是______. 【答案】 【解析】 【分析】求出二项展开式的通项公式，的指数为的项即为所求. 【详解】的展开式通项为：， 令， 由，故的展开式中无常数项，所以常数项为. 13. 已知，是两个单位向量，.设，若，则和的夹角为______；若，则的最小值为______. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【详解】， . 若，则， 因为，所以， 即和的夹角为. 若，则 ， 当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为. 14. 如图，已知函数的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧，则不等式的解集为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】根据函数图象可知函数是奇函数，因此找到与的交点即可. 【详解】 由图象可知，函数为奇函数，故原不等式， 在同一坐标系中画出函数的函数图象，当时，求解方程得， 结合图象可得在第一象限， 同理，根据图形对称性，可得在第三象限部分，满足条件， 综上所述，解集为或. 故答案为：或. 15. 函数，其中，给出下列四个结论： ①对任意实数，的定义域为； ②存在实数，使得在定义域无零点； ③当时，对任意，存在实数，使得； ④当时，存在，使得对任意实数，都有. 其中所有正确结论的序号为______. 【答案】②③ 【解析】 【分析】根据函数的定义域定义、零点、函数导数与单调性逐一分析即可. 【详解】对于①，当时，则要使函数有意义，那么， 所以，所以函数的定义域不是，故①错误； 对于②，当时，，定义域为， 令，则，不在定义域内，所以无零点，故②正确； 对于③，当时，函数的定义域为， 取时，， 所以，即函数图象必有竖直渐近线，故③正确； 当时，函数的定义域为， 则， 当时，即或， 所以函数在上单调递增； 当时，即， 所以函数在上单调递减； 而 ， 当时，，且函数在上连续，所以函数在上有界， 即存在使得对任意都有，故④错误. 三、解答题共3小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知椭圆经过点. （1）求椭圆的方程及其离心率； （2）若为椭圆上第一象限的点，直线交轴于点，直线交轴于点，且有，求点的坐标. 【答案】（1），离心率为； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，继而求出，即可得方程和离心率； （2）设，则，又由可得，继而得到，联立即可解得，的值. 【小问1详解】 依题知：，所以. 所以椭圆方程为，离心率. 【小问2详解】 如图： 设，第一象限有，①； 由得：， 又，， 因此②， 联立①②解得，故. 17. 已知函数定义域为，.曲线在处的切线为. （1）设，求的最小值； （2）讨论与的关系； （3）设，记直线与、交于点，，直线与、交于点，.试比较与的大小关系. 【答案】（1） （2）当时，；当时，；当时，. （3） 【解析】 【分析】（1）利用的符号确定的单调性即可求的最小值. （2）利用切线与函数关系可得，，通过作差后构造函数，利用函数的性质来判断差的大小. （3）由题意得到坐标，再计算出与，作差化简后，构造函数，利用函数性质即可得到与的大小. 【小问1详解】 ，定义域为. . 令，则. 因为，所以，即在区间单调递增. 又因为， 所以当时，，即；当时，，即. 所以在区间单调递减，在区间上单调递增. 所以. 【小问2详解】 ， 将切点代入切线方程，得，则切线方程为. 令，则. . 由（1）得，所以. 所以在区间单调递增. 所以当时，，即； 当时，，即； 当时，，即. 所以当时，；当时，；当时，. 【小问3详解】 由已知得 所以. 因为，，所以. 所以. 令，. 所以 因为，所以，则. 所以. 所以在区间上单调递减. 又，所以对任意，，即. 所以. 18. 已知和是各项均为正整数的无穷数列，如果同时满足下面两个条件： ①和都是递增数列； ②中任意两个不同的项的和不是中的项. 则称被屏蔽，记作. （1）若，. （i）判断是否成立，并说明理由； （ii）判断是否成立，并说明理由. （2）设是首项为正偶数，公差是的无穷等差数列，判断是否存在数列，使得.如果存在，写出一个符合要求的数列；如果不存在，说明理由； （3）设是取值于正整数集的无穷递增数列，且对任意正整数，存在正整数，使得.证明：存在数列，使得. 【答案】（1）（i）因为是所有的奇数构成的等差数列， 是所有的偶数构成的等差数列，对于的任意两项之和 必为偶数，必定是中的项，所以不成立； （ii）中的任意两项之和必为偶数，必不属于的项， 所以成立； （2） 设(是正偶数)，则是由以及大于的所有的偶数构成的等差数列，是由正数构成的 递增数列，即 ，则当n足够大时，必有，即中必有两项之和大于并且是偶数， 即属于中的项，不存在使得； （3） 由题意，不妨假设 ，则 ， 设 ，假设 中的第n项和第n+p项之和 是 的第m项 ，即 ，则有 ， 由求根公式得 ，， ，， ，， ， 所以不成立，即中的任意两项之和 都不在中，所以存在数列 . 【解析】 【分析】(1)根据的定义，对（i）（ii）分别分析； (2)根据和的性质，以及数的奇偶性分析即可； (3)根据条件，的特点是后一项与前一项的差越来越大，不妨构造并由构造，再运用反证法即可. 【小问1详解】 （i）略 （ii）略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：对于第三问，问题很抽象，理解的含义，构造是关键，考虑到的增长速度较慢，用等差数列来构造. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北大附中2027届学习调研试题 高三数学 2026.07 本试卷共4页，100分.考试时长90分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分　选择题（共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题所列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点所在象限为 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若两点的横坐标之和为6，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 5. 下列说法中，一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 已知平面上，（）均与圆相交，若相交的四个点可以构成一个正方形，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数与在上交点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 已知是无穷等比数列，则“”是“是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 某品牌手机在低电量模式下，电量消耗遵循指数衰减规律.设初始电量为（单位：），经过小时后，剩余电量（单位：）满足函数关系（其中为电量衰减系数）.已知该手机在低电量模式下，从初始电量衰减到用时4小时，设初始电量为，若用户希望剩余电量不低于，则该手机在低电量模式下最多可使用时间的小时数为（ ） （参考数据：，） A. B. C. D. 10. 若数列、均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得，则称数列为数列的“M数列”．已知数列的前n项和为，则下列选项中为假命题的是（ ） A. 存在等差数列，使得是的“M数列” B. 存在等比数列，使得是的“M数列” C. 存在等差数列，使得是的“M数列” D. 存在等比数列，使得是的“M数列” 第二部分　非选择题（共60分） 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分. 11. 双曲线的渐近线方程是______. 12. 在的展开式中，常数项是______. 13. 已知，是两个单位向量，.设，若，则和的夹角为______；若，则的最小值为______. 14. 如图，已知函数的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧，则不等式的解集为_____． 15. 函数，其中，给出下列四个结论： ①对任意实数，的定义域为； ②存在实数，使得在定义域无零点； ③当时，对任意，存在实数，使得； ④当时，存在，使得对任意实数，都有. 其中所有正确结论的序号为______. 三、解答题共3小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知椭圆经过点. （1）求椭圆的方程及其离心率； （2）若为椭圆上第一象限的点，直线交轴于点，直线交轴于点，且有，求点的坐标. 17. 已知函数定义域为，.曲线在处的切线为. （1）设，求的最小值； （2）讨论与的关系； （3）设，记直线与、交于点，，直线与、交于点，.试比较与的大小关系. 18. 已知和是各项均为正整数的无穷数列，如果同时满足下面两个条件： ①和都是递增数列； ②中任意两个不同的项的和不是中的项. 则称被屏蔽，记作. （1）若，. （i）判断是否成立，并说明理由； （ii）判断是否成立，并说明理由. （2）设是首项为正偶数，公差是的无穷等差数列，判断是否存在数列，使得.如果存在，写出一个符合要求的数列；如果不存在，说明理由； （3）设是取值于正整数集的无穷递增数列，且对任意正整数，存在正整数，使得.证明：存在数列，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $