精品解析：湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高一上学期入学考试数学试题

长郡中学2022级高一入学检测试卷 数 学 时量：90分钟 满分：100分 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 据国家卫健委统计，截至6月2日，我国接种新冠疫苗已超过704000000剂次．把704000000这个数用科学记数法表示为（ ） A. 7.04×107 B. 7.04×106 C. 7.04×108 D. 7.04×109 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点在第二象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 4. 如果外切的两圆和的半径分别为和，那么半径为，与和都相切的圆有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 5. x1，x2，x3，…x2022是2022个由1和﹣1组成的数，且满足x1+x2+x3+…+x2022＝202，则（x1﹣1）2+（x2﹣1）2+（x3﹣1）2+…+（x2022﹣1）2的值为（　　） A. 2021 B. 4042 C. 3640 D. 4842 6. 某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是，高是；圆柱体底面半径是，液体高是．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（ ） A. B. C. D. 7. 整数a使得关于x，y的二元一次方程组的解为正整数（x，y均为正整数），且使得关于x的不等式组无解，则所有满足条件的a的和为（ ） A. 9 B. 16 C. 17 D. 30 8. 定义：平面直角坐标系中，点的横坐标的绝对值表示为，纵坐标的绝对值表示为，我们把点的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点的折线距离，记为（其中的“＋”是四则运算中的加法），若抛物线与直线只有一个交点，已知点在第一象限，且，令，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分. 9. 2022年4月16日上午，神舟十三号载人飞船搭载航天员翟志刚、王亚平、叶光富安全返回内蒙古东风着陆场，至此，中国空间站关键技术验证阶段收官之战取得圆满成功．为激励更多同学投身祖国的航天事业，开州某初中开展了航天员模拟选拔活动，从心理素质、身体素质、科学头脑、应变能力四个方面进行考核，每项满分均为100分，最后将四项得分按照4：3：2：1的比例确定成绩，小军四项所得的分数依次是86、85、88、90分，那么小军的最终得分是______分． 10. 若关于x的方程无解，则m 的值为_________． 11. 正比例函数与反比例函数的图像相交于A、B两点，已知点A的横坐标为1，当时，x的取值范围是______． 12. 如图，中，，，，点P在线段上，以为圆心，长为半径的圆与边相交于另一点，点在直线上，且是的切线，则的最小值为________． 三、解答题：本题共4小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 13. 如图，在同一坐标系中，直线l1：y＝﹣x＋1交x轴于点P，直线l2：y＝ax﹣3过点P． （1）求a的值； （2）点M、N分别在直线l1、l2上，且关于原点对称（说明：点A（x，y）关于原点对称的点A'的坐标为（﹣x，﹣y），求点M、N的坐标和△PMN的面积． 14. “只要人人献出一点爱，世界将变成美好的人间”．某大学利用“世界献血日”开展自愿义务献血活动，经过检测，献血者血型有“、、、”四种类型，随机抽取部分献血结果进行统计，根据结果制作了如图两幅不完整统计图表（表，图）： 血型统计表 血型 人数 a 10 5 b （1）求a、b的值； （2）若这次活动中该校有1200人义务献血，估计大约有多少人是型血？ （3）现有4个自愿献血者，2人为型，1人为型，1人为型，若在4人中随机挑选2人，利用树状图或列表法求两人血型均为型的概率． 15. （1）问题：如图①，在中，，D为边上一点（不与点B重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则线段，，之间满足的等量关系式为 ． （2）探索：如图②，在与中，，，将绕点A旋转，使点D落在边上，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论； （3）应用：如图③，在四边形中，．若，，求的长． 16. 在平面直角坐标系中，抛物线l：（）与x轴分别相交于、两点（点在点的左侧），与y轴相交于点，设抛物线l的对称轴与x轴相交于点，且． （1）求m的值； （2）将抛物线向上平移3个单位，得到抛物线，设点、是抛物线上在第一象限内不同的两点，射线、分别交直线于点、，设、的横坐标分别为、，且，求证：直线经过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长郡中学2022级高一入学检测试卷 数 学 时量：90分钟 满分：100分 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 据国家卫健委统计，截至6月2日，我国接种新冠疫苗已超过704000000剂次．把704000000这个数用科学记数法表示为（ ） A. 7.04×107 B. 7.04×106 C. 7.04×108 D. 7.04×109 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数． 【详解】解：解：704000000＝7.04×108． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 3. 已知点在第二象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点在第二象限，列出关于的不等式组，解不等式组，根据不等式组的解集求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限 ∴，解得： 故选C． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点坐标、解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集等知识点，熟练掌握第二象限点坐标的特征是解答本题的关键． 4. 如果外切的两圆和的半径分别为和，那么半径为，与和都相切的圆有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【详解】解：如图所示： 和和都外切的圆，可以画两个； 和内切，外切的圆可以画一个； 和内切，外切的圆可以画一个； 和，都内切的圆可以画一个，共个． 5. x1，x2，x3，…x2022是2022个由1和﹣1组成的数，且满足x1+x2+x3+…+x2022＝202，则（x1﹣1）2+（x2﹣1）2+（x3﹣1）2+…+（x2022﹣1）2的值为（　　） A. 2021 B. 4042 C. 3640 D. 4842 【答案】C 【解析】 【分析】根据x1+x2+x3+…+x2022＝202可知1的个数比﹣1的个数多202个，再代入所求的式子可得答案． 【详解】解：∵x1，x2，x3，…x2022是2022个由1和﹣1组成的数，且满足x1+x2+x3+…+x2022＝202， ∴1的个数比﹣1的个数多202个， ∴1的个数是（2022+202）＝1112（个），﹣1的个数是2022﹣1112＝910（个）， 无论x1，x2，x3，…x2022中哪个数是1，哪个数是﹣1， 均有（x1﹣1）2+（x2﹣1）2+（x3﹣1）2+…+（x2022﹣1）2 ＝910×（﹣1﹣1）2+1112×（1﹣1）2 ＝910×4+0 ＝3640． 故选：C． 【点睛】本题考查规律型：数字的变化类，熟练掌握1和﹣1的乘方的特征是解题关键． 6. 某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是，高是；圆柱体底面半径是，液体高是．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由圆锥的圆锥体底面半径是6cm，高是6cm，可得CD=DE，根据园锥、圆柱体积公式可得液体的体积为63πcm3，圆锥的体积为72πcm3，设此时“沙漏”中液体的高度AD=xcm，则DE=CD=（6-x）cm，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：如图，作圆锥的高AC，在BC上取点E，过点E作DE⊥AC于点D，则AB=6cm，AC=6cm， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∵DE∥AB， ∴△CDE∽△CAB， ∴△CDE为等腰直角三角形， ∴CD=DE， 圆柱体内液体的体积为： 圆锥的体积为， 设此时“沙漏”中液体的高度AD=xcm，则DE=CD=（6-x）cm， ∴， ∴， 解得：x=3， 即此时“沙漏”中液体的高度3cm． 故选：B． 【点睛】本题考查圆柱体、圆锥体体积问题，解题的关键是掌握圆柱体、圆锥体体积公式，列出方程解决问题． 7. 整数a使得关于x，y的二元一次方程组的解为正整数（x，y均为正整数），且使得关于x的不等式组无解，则所有满足条件的a的和为（ ） A. 9 B. 16 C. 17 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】表示出方程组的解，由a为整数且方程组的解为正整数确定出a的值，再由不等式组无解，确定出满足题意a的值，求出之和即可． 【详解】解：方程组， ①−②得：（a−3）x＝10， 解得：x＝， 把x＝代入②得：， 解得：， ∵a为整数，x，y为正整数， ∴a−3＝1或2或5或10， 解得：a＝4或5或8或13， 不等式组整理得：， ∵不等式组无解， ∴a＋2≤10， 解得：a≤8， ∴满足题意a的值为4或5或8，之和为4＋5＋8＝17，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，以及二元一次方程组的解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． 8. 定义：平面直角坐标系中，点的横坐标的绝对值表示为，纵坐标的绝对值表示为，我们把点的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点的折线距离，记为（其中的“＋”是四则运算中的加法），若抛物线与直线只有一个交点，已知点在第一象限，且，令，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】联立方程组求得点坐标，并由只有一个交点条件求得、的关系式， 再由新定义和列出的不等式，，求得的取值范围，由，得出关于的二次函数解析式，再根据函数的性质求得的取值范围． 【详解】解：∵抛物线与直线只有一个交点， ∴方程组只有一组实数解， ∴， ∴， ∴， 即， ∴方程可以化为， 即， ∴， ∴ ∴， ∵点在第一象限， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∵， ∴随的增大而增大， ∵时，， 时，， ∴的取值范围为． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二元二次方程组、一元二次方程及其判别式、一元一次不等式组等知识．把问题转化为方程或方程组，构建二次函数并且利用二次函数的性质解决问题是解题的关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分. 9. 2022年4月16日上午，神舟十三号载人飞船搭载航天员翟志刚、王亚平、叶光富安全返回内蒙古东风着陆场，至此，中国空间站关键技术验证阶段收官之战取得圆满成功．为激励更多同学投身祖国的航天事业，开州某初中开展了航天员模拟选拔活动，从心理素质、身体素质、科学头脑、应变能力四个方面进行考核，每项满分均为100分，最后将四项得分按照4：3：2：1的比例确定成绩，小军四项所得的分数依次是86、85、88、90分，那么小军的最终得分是______分． 【答案】86.5 【解析】 【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可． 【详解】解：小军的最终得分是（分） 故答案为： 【点睛】本题主要考查加权平均数，掌握加权平均数的定义是解此题的关键． 10. 若关于x的方程无解，则m 的值为_________． 【答案】3或1 【解析】 【分析】先去分母，将分式方化为整式方程求解，再根据分式方程无解的情况：有增根或解无意义，即可进行解答． 【详解】解：， ， ， ， ∵原方程无解， ∴或， 解得：或1， 故答案为：3或1． 【点睛】本题主要考查了分式方程无解的情况，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤，以及分式方程无解的情况：有增根或解无意义． 11. 正比例函数与反比例函数的图像相交于A、B两点，已知点A的横坐标为1，当时，x的取值范围是______． 【答案】0＜x＜1或x＜-1 【解析】 【分析】先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B点的横坐标，再由函数图象即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称， ∴A、B两点关于原点对称， ∵点A的横坐标为1， ∴点B的横坐标为-1， 由函数图象可知， 当0＜x＜1或x＜-1时函数的图象在的上方， ∴当时，x的取值范围是0＜x＜1或x＜-1． 故答案为：0＜x＜1或x＜-1． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是掌握正比例函数与反比例函数图象交点关于原点对称． 12. 如图，中，，，，点P在线段上，以为圆心，长为半径的圆与边相交于另一点，点在直线上，且是的切线，则的最小值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】可证明得到，再证明，得到；过点作于点，过点作于点，则，据此可求出；过点作，交直线于点，则四边形是矩形，可得，根据，可得答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ， ， ∴； ∵是的切线， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点作于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴； 如图所示，过点作，交直线于点，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴当点于点重合时，有最小值，最小值为5． 三、解答题：本题共4小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 13. 如图，在同一坐标系中，直线l1：y＝﹣x＋1交x轴于点P，直线l2：y＝ax﹣3过点P． （1）求a的值； （2）点M、N分别在直线l1、l2上，且关于原点对称（说明：点A（x，y）关于原点对称的点A'的坐标为（﹣x，﹣y），求点M、N的坐标和△PMN的面积． 【答案】（1） （2），； 【解析】 【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求得P的坐标，代入直线l2：y=ax-3即可求得a的值； （2）设M的横坐标为x，由题得M （x，-x+1），N（-x，x-1），由N在直线l2上可得x-1=-3x-3，解方程求得x的值，可得出点M、N的坐标，再利用的面积的面积的面积即可求解． 【小问1详解】 解： 直线交x轴于点P， 点P的坐标是， 点也在直线上， ； 【小问2详解】 解：点M、N分别在直线上，且关于原点对称， 又的关系式为y=-x+1，的关系式为， 设，， ， ， ，， ， 的面积的面积的面积 ． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 14. “只要人人献出一点爱，世界将变成美好的人间”．某大学利用“世界献血日”开展自愿义务献血活动，经过检测，献血者血型有“、、、”四种类型，随机抽取部分献血结果进行统计，根据结果制作了如图两幅不完整统计图表（表，图）： 血型统计表 血型 人数 a 10 5 b （1）求a、b的值； （2）若这次活动中该校有1200人义务献血，估计大约有多少人是型血？ （3）现有4个自愿献血者，2人为型，1人为型，1人为型，若在4人中随机挑选2人，利用树状图或列表法求两人血型均为型的概率． 【答案】（1）， （2）估计这1200人中大约有288人是型血； （3） 【解析】 【分析】（1）先计算出型的人数，再计算出型人数，从而可补全上表中的数据； （2）用样本中型的人数除以50得到血型是型的概率，然后用1200乘以此概率可估计这1200人中是型血的人数； （3）画出树状图，根据概率公式即可得到结果． 【小问1详解】 解：抽取的人数为（人）， 型献血的人数为（人）， 型献血的人数为（人）， 综上，，； 【小问2详解】 解：从献血者人群中任抽取一人，其血型是型的概率， ， 估计这1200人中大约有288人是型血； 【小问3详解】 解：画树状图如图所示， 所以． 15. （1）问题：如图①，在中，，D为边上一点（不与点B重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则线段，，之间满足的等量关系式为 ． （2）探索：如图②，在与中，，，将绕点A旋转，使点D落在边上，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论； （3）应用：如图③，在四边形中，．若，，求的长． 【答案】 （1）， 理由如下：连接， 由题意得：，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）， 理由如下：连接， 由（1）得，， ∴，， ∴， ∴， 在中，，又， ∴； （3）6 【解析】 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质解答； （2）连接，根据全等三角形的性质得到，，得到，根据勾股定理计算即可； （3）过点A作，使，连接，证明，得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）过点A作，使，连接，， ∵， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理以及旋转变换的性质，二次根式的乘法等，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 16. 在平面直角坐标系中，抛物线l：（）与x轴分别相交于、两点（点在点的左侧），与y轴相交于点，设抛物线l的对称轴与x轴相交于点，且． （1）求m的值； （2）将抛物线向上平移3个单位，得到抛物线，设点、是抛物线上在第一象限内不同的两点，射线、分别交直线于点、，设、的横坐标分别为、，且，求证：直线经过定点． 【答案】（1） （2）由（1）得 如图，将抛物线向上平移3个单位后得到抛物线：， ∵点、是抛物线上在第一象限内不同的两点， ∴设点，， 由，分别可求得：， ∵点、在直线上， ∴点，， ∵ ∴，即，整理得， 设直线的解析式为，与联立得： ，， 整理得， 由根与系数的关系可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴直线的解析式为，， ∴当时，， ∴直线经过定点． 【解析】 【分析】（1）由顶点式求得对称轴，由x=0处函数值求得C点坐标，根据列方程求解即可； （2）设点，，由原点可得直线PO、QO的解析式，再由y=-2可得点、横坐标，由可得；设直线的解析式为，与联立可得，利用根与系数的关系可得，，代入求得，于是直线为经过定点． 【小问1详解】 解：依题意得：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 在中，令，则， ∴， ∴， ∵， ∴，解得； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $