2026年九年级数学秋季开学学情自测卷（长沙专用，范围：新教材人教版八下+九上第二十五章）

**基本信息** 2026年九年级开学数学学情卷，以八年级下册及九上一元二次方程为范围，通过选择（10题30分）、填空（6题18分）、解答（8题72分）三题型，覆盖代数、几何、统计核心知识，融入中国结、长沙美食等情境，考查抽象能力、推理意识与数据观念，适配开学学情诊断。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次根式意义、平行四边形判定、一次函数性质|第2题以知识竞赛成绩考中位数与众数，体现数据意识| |填空题|6/18|加权平均数、三角形中位线、一元二次方程求解|第12题演讲比赛加权得分计算，考查模型意识| |解答题|8/72|统计图表分析、平行四边形证明、函数与几何综合|第21题长沙美食销售问题，融合方程与不等式解决实际问题；第24题正方形折叠探究，层层递进考查推理能力与几何直观|

2026年秋季九年级开学学情自测卷 数学•答案及评分标准 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D B C C A D A A A D 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 11．2 12．8.6 13．2.5 14．/ 15．， 16．/0.6 3、 4、 解答题：本大题共 8 小题，共计 72 分；其中第 17、18 题每题 6 分，第 19、20题每题 8 分，第 21、22每题10 分，第 23、24每题12 分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．解： ······（4分） ······（5分） ······（6分） 18．解： ，······（2分） 或，······（4分） 解得：， ．······（6分） 19．(1)50，······（2分） (2)解：根据题意，得优秀等级有：（人），······（3分） 故中位数是第25个,26个数据的平均数，故位于良好等级，······（4分） 补图如下： ．······（6分） (3)解：（元）．······（7分） 答：该校用于本次竞赛的奖品费用为6230元．······（8分） 20．(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，······（1分） ∵， ∴，即，······（3分） 又∵， ∴四边形是平行四边形······（4分） (2)解：∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，······（6分） ∴，， ∴，解得（负值舍去），······（7分） 由（1）知， ∴．······（8分） 21．（1）解：设每份臭豆腐的售价为元，糖油粑粑的售价为元，······（1分） 根据题意，得，······（3分） ∴．······（4分） 故每份臭豆腐的售价为25元，糖油粑粑的售价为10元．······（5分） （2）解：设购买臭豆腐份，则购买糖油粑粑份，总费用为元，······（6分） 根据题意得：．······（7分） ∵购买糖油粑粑的份数不超过臭豆腐份数的， ∴， ∴．······（8分） ∵， ∴随的增大而增大． ∴当时，最小，最小值为1760，此时，．······（9分） 故购买臭豆腐64份，则购买糖油粑粑16份，总费用最低为1760元．······（10分） 22．(1)证明：在平行四边形中，． ∵点，分别在，的延长线上， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵，即， ∴平行四边形是矩形；······（5分） (2)．解：在平行四边形中，， ∴， ∵平分， ∴，即， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在矩形中，， ∵， ∴平行四边形的面积为．······（10分） 23．(1)，······（2分） (2)∵点的坐标在直线上， ∴， ∵，以为底，高为点纵坐标， ∵点N在第一象限， ∴， ∴；······（7分） （3）∵，， ∴， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴点是边上的点，， ∴， 解得：， 代入求纵坐标：， 点坐标：．······（12分） 24．(1)······（2分） (2)连接， ∵，， ∴， 由（1）可知：，， ∴， ∴；······（7分） (3)连接， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴．······（12分） $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年秋季九年级开学学情自测卷 数 学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．_________________ 12．___________________ 13．__________________ 14．__________________ 15.___________________ 16.___________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算： 18．（6分） 19．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） 21．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年秋季九年级开学学情自测卷 数学·答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 % 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 意事 体工整、笔迹清晰。 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 1 1 1 内作答，超出区域书写的答案无 23 23 23 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 45 4 破。 6 5. 正确填涂 678 456789 23456789 12345678 789 23456789 123456789 123456789 123456789 123456789 缺考标记 一、 选择题（每小题3分，共30分) 1.A][B][C][D] 5.[A][B][C][DJ 9.[A][B][C][D] 艾南 2-A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4,A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 11 12 警 13. 14. 妇 15. 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或 演算步骤) 17.(6分)计算：√2x(W2-V3)-12V2+2√54 18.(6分) 19.(8分) 竞赛成绩条形统计图 竞赛成绩扇形统计图 个人数 25 20 优秀 5 良好 10 44% 合格 不合格 0 不合格合格良好优秀等级 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) E B 21.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(10分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) y C B MA衣 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) D B 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）: : : : 2026年秋季九年级开学学情自测卷 数学 (考试时间：90分钟试卷满分：120分) 注意事项： : : 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 . 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 : 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 : 4.考试范围：人教版八年级下册全部内容+九上第二十五章一元二次方程 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题 : 目要求的.将唯一正确的答案填涂在答题卡上， 1.下列各数中，可使式子√x-7有意义的x的值是() .: : A.-1 B.3 C.5 D.9 2.为响应低碳生活，和谐长沙号召，某班开展了相关知识竞赛.现随机抽取7名同学成绩进行分析，依 。 次为：94,97,96,97,97,95,98，则这组数据的中位数、众数分别是() A.96,97 B.97,97 C.97,96 D.94,97 O 3.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，不能判定这个四边形是平行四边形的是() : A.AB‖CD,AB=CD B.OA=OC,OB=OD : C.ADI川BC,AB=CD D.∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠BCD 4.对于函数y=-x+2,下列结论正确的是（ : A.当x>1时，y<0 B.它的图象不经过第二象限 : C.它的图象与y轴的交点为(0,2) D.y的值随x的值增大而增大 : 5.下列计算正确的是() A.√2xV5=10 B.3√2-√2=3 C.2+5=5 D.V8÷2=2 6.下列命题中，真命题的是() : A.平行四边形的每一条对角线平分一组对角 B.矩形的对角线互相 : C.菱形的对角线相等 D.正方形的对角线互相垂直平分且相等 : : 7.中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴.云云家有一个菱形中 : 试题第1页（共4页） : : 可学科网·上好课 国结装饰如图1所示，其示意图如图2所示.若AC=8,AD=5,则该 菱形的面积为() A.24 B.32 C.40 D.48 图1 图2 8.已知两点A(1,),B(3,)都在直线y=-2x+b(b为常数)上，则乃，y2的大小关系是() A.1>3 B.片=3 C.片<为 D.不能确定 9.下列方程中是一元二次方程的是() A.x2+1=0 B.x2+1=5 C.(x+102=x2 D.x2-y-5=0 1 10.如图，在长方形ABCD中，AB=3,BC=4,点E在四边形ABCD内部，且点E到BC边的距离为2， 当BE+EC的值最小时，∠ECB的度数为() A.30° B.35 C.40° D.45° 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分. 11.当x=3时，二次根式√1+x的值为 技巧10% T 12.我市举行了“长沙精神”演讲比赛，其中演讲内容，演讲效果，演讲技巧三项按如 效果40% 内容50% 图所示的权重计算得分.已知某选手的三项原始得分分别是内容8分，效果9分，技 巧10分，那么该选手最终比赛成绩为 分 13.如图，在oABCD中，AE=3,BE=2,M,N分别是DE,CE的中点，则MN= 14.一次函数y=-2x-3的图象与坐标轴围成三角形的面积= A M 15.方程(x-7)(x+2)=0的根是一 16.如图，正方形ABCD中，AB=3,DE=2,将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交BC于点G, 则BG的长是 三、解答题：本大题共8小题，共计72分；其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第 21、22每题10分，第23、24每题12分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.计算：V2×(W2-V3)-12÷√2+2-√54. 18.解方程：x2+2x-8=0 试题第2页（共4页） 6学科网·上好课 19.为了培养学生喜爱足球运动的习惯，长沙外国语学校初一年级部在本学期期间开展了“我爱足球的活 动，校学生会组织初一年级学生开展了一场与足球有关的知识竞赛，校学生会随机抽取部分参赛同学的成 绩作为样本，根据调查问卷得分（满分100分）按四个等级进行分类统计：低于60分的为“不合格”，60 分以上（含）且低于80分的为“合格”；80分以上（含）且低于90分的为“良好”；90分以上（含）为优 秀”，汇总后将所得数据绘制成如图所示的不完整的统计图 竞赛成绩条形统计图 竞赛成绩扇形统计图 ·人数 25 20 优秀 15 良好 10 10 44% 合格 不合格 不合格合格良好优秀等级 请根据统计图所提供的信息，解答下列问题： (1)本次抽查的学生人数是 人，圆心角= (2)补全条形统计图，并指出成绩的中位数落在 等级； (3)学校计划给获得“优秀”、“良好等级的同学每人分别奖励价值15元、10元的学习用品，若学校共有700 名学生参加本次竞赛，试估计该校用于本次竞赛的奖品费用 20.如图，在口ABCD中，对角线AC、BD交于点O,E、F是AC上的两点，AE=CF,连结EB、BF、 FD、DE. (1)求证：四边形BFDE是平行四边形： (2)若AC⊥BD,∠AED=135°，DE=2,则线段EF的长为 B 21.“墨方腐块藏奇味，金裹粑团蕴蜜香.”臭豆腐和糖油粑粑作为长沙特色美食，承载湘地韵味，在星城 街道彰显独特魅力，游客返程不忘携特产，将“湘味”记忆带回家，某店销售臭豆腐和糖油粑粑，如下是两 位销售员的对话： 我今日卖出20份臭豆腐，18份 糖油粑粑，共收到680元. 我今日卖出14份臭豆腐，21份 糖油粑粑，共收到560元. (1)求每份臭豆腐和糖油粑粑售价各为多少元？ (2)某公司想购买这两种特产共80份送给员工（两种特产均需购买），且购买糖油粑粑的份数不超过臭豆腐 份数的？，怎样购买才能使购买总费用最低？此时总费用最低是多少元？ 试题第3页（共4页） 22.如图，在口ABCD中，BD平分∠ABC.已知BE⊥DA交DA的延长线于点E,DF∥BE交BC延长线于 .. O 点F. D 公 ()证明：四边形BFDE为矩形： (2)若∠BAD=120°，AB=6,求ABCD的面积. O 兵 张 23.如图，已知四边形OABC为矩形，点M是边OA上的点，点N是对角线AC上的点，OA=4,OC=OM=3, .: 建立如图所示的平面直角坐标系，设点N的坐标为(x,y),解答下列问题： 江 C 游 烂 0 MA衣 (1)写出y关于x的函数关系式为，自变量x的取值范围是： (2)求△OMN的面积s关于x(0≤x<4)的函数关系式； (3)若△OMN的面积等于△OAC面积的一半时，求点N的坐标， S 24.正方形ABCD中，E是BC边上的点，AE⊥EF且AE=EF,连接CF. D D 世 B E E 图1 图2 图3 (1)如图1，直接写出∠ECF=-: (2)如图2，连接AC,证明：AC-FC=√2EC (3)如图3，连接AFBD交于点H,连接EH,证明：AH⊥EH 试题第4页（共4页) 2026年秋季九年级开学学情自测卷 数学•全解全析 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．下列各数中，可使式子有意义的的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解题思路是根据二次根式被开方数为非负数列出不等式，求出的取值范围，再结合选项判断正确结果． 【详解】解：依题意，． 解得． 四个选项中只有，满足条件． 2．为响应“低碳生活，和谐长沙”号召，某班开展了相关知识竞赛．现随机抽取7名同学成绩进行分析，依次为：94，97，96，97，97，95，98，则这组数据的中位数、众数分别是（    ） A．96，97 B．97，97 C．97，96 D．94，97 【答案】B 【分析】根据定义先对数据排序，再分别得到中位数和众数即可，中位数是排序后，奇数个数据的中间位置的数，众数是一组数据中出现次数最多的数． 【详解】解：将原数据从小到大排列得. ∵这组数据共有个数，个数为奇数， ∴中位数为排在第位的数，即中位数为， ∵在这组数据中出现次数最多， ∴众数为． 3．在四边形中，O是对角线的交点，不能判定这个四边形是平行四边形的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定方法逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，又∵，，∴可以判定四边形是平行四边形，本选项不合题意； B、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，又∵，，∴可以判定四边形是平行四边形，本选项不合题意； C、当，时，四边形可能是等腰梯形，无法判定四边形是平行四边形，本选项符合题意； D、∵四边形内角和为，，， ∴，即， ∴， 同理可得， ∴可以判定四边形是平行四边形，本选项不合题意． 4．对于函数，下列结论正确的是（ ） A．当时， B．它的图象不经过第二象限 C．它的图象与轴的交点为 D．的值随的值增大而增大 【答案】C 【分析】根据一次函数的增减性、图象象限分布、点的坐标特征逐一判断选项即可． 【详解】解：对于函数，可得，， A 选项：当时，， ∵随的增大而减小， ∴当时，，不符合题意； B 选项：∵，， ∴函数图象经过第一、二、四象限，不符合题意； C 选项：当时，， ∴它的图象与轴的交点为，符合题意； D 选项：∵， ∴的值随的值增大而减小，不符合题意． 5．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A：，∴A计算正确； 选项B：，∴B计算错误； 选项C：与不是同类二次根式，不能合并，，∴C计算错误； 选项D：，∴D计算错误． 6．下列命题中，真命题的是（     ） A．平行四边形的每一条对角线平分一组对角 B．矩形的对角线互相垂直 C．菱形的对角线相等 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等 【答案】D 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线性质逐一判断命题真假即可． 【详解】解：A．只有菱形和正方形的对角线平分一组对角，普通平行四边形的对角线不平分一组对角，因此A是假命题； B．矩形对角线相等且互相平分，不一定互相垂直，因此B是假命题； C．菱形对角线互相垂直平分，不一定相等，因此C是假命题； D．正方形的对角线互相垂直平分且相等，符合正方形的性质，因此D是真命题； 7．中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．云云家有一个菱形中国结装饰如图1所示，其示意图如图2所示．若，，则该菱形的面积为（     ） A．24 B．32 C．40 D．48 【答案】A 【分析】根据菱形的性质得出，，，根据勾股定理求出，进一步即可求解． 【详解】解：四边形是菱形，， ，，， 又， ， ∴， ∴该菱形的面积为． 8.已知两点，都在直线（为常数）上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】先根据一次函数解析式的比例系数判断函数的增减性，再结合两点横坐标的大小关系即可比较纵坐标的大小． 【详解】解：∵在中，一次项系数， ∴随的增大而减小， ∵， ∴． 9．下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程需同时满足三个条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：A选项：方程，∵是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为，∴是一元二次方程，该选项符合要求． B选项：方程，∵是分式，方程不是整式方程，∴不是一元二次方程，该选项不符合要求． C选项：对展开整理，得，∵未知数的最高次数是，∴不是一元二次方程，该选项不符合要求． D选项：方程，∵方程含有和两个未知数，∴不是一元二次方程，该选项不符合要求． 10．如图，在长方形中，，，点E在四边形内部，且点E到边的距离为2，当的值最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用将军饮马模型求最值．由点E到边的距离为2，可知点E在平行而且到的距离等于2的直线上运动，根据将军饮马模型，作点B关于的对称点，可得，，三点共线时的值最小，再证明为等腰直角三角形，即得结论． 【详解】如图，过点E作分别交，于点F，G，则，作点B关于的对称点，连接与交于点E，即为最短路径． ∵， ， ∴为等腰直角三角形， ∴， 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．当时，二次根式的值为__________． 【答案】2 【详解】解：当时，． 12．我市举行了“长沙精神”演讲比赛，其中演讲内容，演讲效果，演讲技巧三项按如图所示的权重计算得分．已知某选手的三项原始得分分别是内容8分，效果9分，技巧10分，那么该选手最终比赛成绩为__________分． 【答案】8.6 【详解】解：分． 13．如图，在中，，，，分别是，的中点，则________． 【答案】 【分析】证明，进一步利用三角形的中位线的性质求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴． 14．一次函数的图象与坐标轴围成三角形的面积________． 【答案】/ 【分析】求出的图象与坐标轴的交点，利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：在中， 当时，， 当时，，可得， ∴一次函数的图象与坐标轴围成三角形是以和为直角边的直角三角形， ∴一次函数的图象与坐标轴围成三角形的面积为． 15．方程的根是_____． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可． 【详解】解： 或 或 ， 故答案为：，． 16．如图，正方形中，，，将沿对折至，延长交于点，则的长是__________． 【答案】/0.6 【分析】连接，利用折叠性质和正方形性质证明，得到，设，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形，， ∴，． ∵， ∴． ∵沿对折至， ∴，，． ∴，． 在和中，， ∴． ∴． 设，则，，． 在中，由勾股定理得：， 即． 解得． ∴的长是． 3、 解答题：本大题共 8 小题，共计 72 分；其中第 17、18 题每题 6 分，第 19、20题每题 8 分，第 21、22每题10 分，第 23、24每题12 分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．计算：． 【答案】 【详解】解： 18．解方程： 【答案】 ， 【详解】解： ，或， 解得：， ． 19．为了培养学生喜爱足球运动的习惯，长沙外国语学校初一年级部在本学期期间开展了“我爱足球”的活动，校学生会组织初一年级学生开展了一场与足球有关的知识竞赛，校学生会随机抽取部分参赛同学的成绩作为样本，根据调查问卷得分（满分100分）按四个等级进行分类统计：低于60分的为“不合格”，60分以上（含）且低于80分的为“合格”；80分以上（含）且低于90分的为“良好”；90分以上（含）为“优秀”．汇总后将所得数据绘制成如图所示的不完整的统计图． 请根据统计图所提供的信息，解答下列问题： (1)本次抽查的学生人数是___________人，圆心角___________． (2)补全条形统计图，并指出成绩的中位数落在___________等级； (3)学校计划给获得“优秀”、“良好”等级的同学每人分别奖励价值15元、10元的学习用品，若学校共有700名学生参加本次竞赛，试估计该校用于本次竞赛的奖品费用 【答案】(1)50， (2)解：根据题意，得优秀等级有：（人）， 故中位数是第25个,26个数据的平均数，故位于良好等级，补图如下： ． (3)6230元 【分析】（1）根据样本容量等于频数除以所占百分比，圆心角度数的计算公式，解答即可． （2）利用中位数的定义，样本容量等于各频数之和，求解即可． （3）利用样本估计总体计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得良好等级的人数为：（人）， 故样本容量为：； ． （2）略 （3）解：（元）． 答：该校用于本次竞赛的奖品费用为6230元． 20．如图，在中，对角线、交于点，、是上的两点，，连结、、、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，则线段的长为______． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形 (2) 【分析】（1）利用平行四边形对角线互相平分得到，结合得出，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明四边形是平行四边形； (2)由得直角，结合邻补角求出判定为等腰直角三角形，利用勾股定理算出长度，再由即可求得长． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴，解得（负值舍去）， 由（1）知， ∴． 21．“墨方腐块藏奇味，金裹粑团蕴蜜香．”臭豆腐和糖油粑粑作为长沙特色美食，承载湘地韵味，在星城街道彰显独特魅力，游客返程不忘携特产，将“湘味”记忆带回家，某店销售臭豆腐和糖油粑粑，如下是两位销售员的对话： (1)求每份臭豆腐和糖油粑粑售价各为多少元？ (2)某公司想购买这两种特产共80份送给员工（两种特产均需购买），且购买糖油粑粑的份数不超过臭豆腐份数的，怎样购买才能使购买总费用最低？此时总费用最低是多少元？ 【答案】(1)每份臭豆腐的售价为25元，糖油粑粑的售价为10元 (2)购买臭豆腐64份，则购买糖油粑粑16份，总费用最低为1760元 【分析】本题考查列二元一次方程组解应用题、利用一次函数求最值： （1）设每份臭豆腐的售价为元，糖油粑粑的售价为元，根据题中等量关系列出方程组并求解即可； （2）设购买臭豆腐份，购买糖油粑粑份，总费用为元，用m表示出w，根据一次函数的增减性及m的范围即可求出最值． 【详解】（1）解：设每份臭豆腐的售价为元，糖油粑粑的售价为元， 根据题意，得， ∴． 故每份臭豆腐的售价为25元，糖油粑粑的售价为10元． （2）解：设购买臭豆腐份，则购买糖油粑粑份，总费用为元， 根据题意得：． ∵购买糖油粑粑的份数不超过臭豆腐份数的， ∴， ∴． ∵， ∴随的增大而增大． ∴当时，最小，最小值为1760，此时，． 故购买臭豆腐64份，则购买糖油粑粑16份，总费用最低为1760元． 22．如图，在中，平分．已知交的延长线于点，交延长线于点． (1)证明：四边形为矩形； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明：在平行四边形中，． ∵点，分别在，的延长线上， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵，即， ∴平行四边形是矩形； (2)． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，证明四边形是平行四边形，根据可知平行四边形是矩形； （2）根据平行四边形的性质得到，可知，根据平分得到，即，根据等角对等边得到，求出，根据的性质得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）略； （2）解：在平行四边形中，， ∴， ∵平分， ∴，即， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在矩形中，， ∵， ∴平行四边形的面积为． 23．如图，已知四边形为矩形，点是边上的点，点是对角线AC上的点，，，建立如图所示的平面直角坐标系，设点的坐标为，解答下列问题： (1)写出关于的函数关系式为_____，自变量的取值范围是_____； (2)求的面积s关于的函数关系式； (3)若的面积等于面积的一半时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先确定、两点坐标，用待定系数法设直线解析式，代入两点列方程组求解k、b，得到与关系式；再根据线段横向范围确定取值范围． （2）底边在轴上，三角形的高为点纵坐标，代入三角形面积公式，再把代入化简，得到面积关于的函数． （3）先算出面积，取它一半得到面积；将该面积代入函数式解方程求出，再把代入直线解析式算出，得到点坐标． 【详解】（1）解：∵，， ∴直线经过点和点， 设直线的函数表达式为， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式为， ∵点是线段上的点， ∴y关于x的函数关系式为，自变量x的取值范围是； （2）解：∵点的坐标在直线上， ∴， ∵，以为底，高为点纵坐标， ∵点N在第一象限， ∴， ∴； （3）∵，， ∴， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴点是边上的点，， ∴， 解得：， 代入求纵坐标：， 点坐标：． 24．正方形中， E是边上的点， 且，连接． (1)如图1，直接写出 ； (2)如图2， 连接， 证明： (3)如图3， 连接交于点 H， 连接， 证明： 【答案】(1) (2) 连接， ∵，， ∴， 由（1）可知：，， ∴， ∴； (3) 连接， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【分析】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点； （1）在上截取，连接，易得，证明，得到，即可； （2）连接，易得，由（1）可得：，进而得到，即可得证； （3）连接，证明，进而得到，，证明，得到，进而得到，三线合一即可得到． 【详解】（1）解：在上截取，连接， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴，，即：， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）略 （3）略 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年秋季九年级开学学情自测卷 数 学 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教版八年级下册全部内容 +九上第二十五章一元二次方程 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．下列各数中，可使式子有意义的的值是（   ） A． B． C． D． 2．为响应“低碳生活，和谐长沙”号召，某班开展了相关知识竞赛．现随机抽取7名同学成绩进行分析，依次为：94，97，96，97，97，95，98，则这组数据的中位数、众数分别是（    ） A．96，97 B．97，97 C．97，96 D．94，97 3．在四边形中，O是对角线的交点，不能判定这个四边形是平行四边形的是（     ） A．， B．， C．， D．， 4．对于函数，下列结论正确的是（ ） A．当时， B．它的图象不经过第二象限 C．它的图象与轴的交点为 D．的值随的值增大而增大 5．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．下列命题中，真命题的是（     ） A．平行四边形的每一条对角线平分一组对角 B．矩形的对角线互相 C．菱形的对角线相等 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等 7．中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．云云家有一个菱形中国结装饰如图1所示，其示意图如图2所示．若，，则该菱形的面积为（     ） A．24 B．32 C．40 D．48 8.已知两点，都在直线（为常数）上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 9．下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在长方形中，，，点E在四边形内部，且点E到边的距离为2，当的值最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．当时，二次根式的值为__________． 12．我市举行了“长沙精神”演讲比赛，其中演讲内容，演讲效果，演讲技巧三项按如图所示的权重计算得分．已知某选手的三项原始得分分别是内容8分，效果9分，技巧10分，那么该选手最终比赛成绩为__________分． 13．如图，在中，，，，分别是，的中点，则________． 14．一次函数的图象与坐标轴围成三角形的面积________． 15．方程的根是_____． 16．如图，正方形中，，，将沿对折至，延长交于点，则的长是__________． 三、解答题：本大题共 8 小题，共计 72 分；其中第 17、18 题每题 6 分，第 19、20题每题 8 分，第 21、22每题10 分，第 23、24每题12 分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．计算：． 18．解方程： 19．为了培养学生喜爱足球运动的习惯，长沙外国语学校初一年级部在本学期期间开展了“我爱足球”的活动，校学生会组织初一年级学生开展了一场与足球有关的知识竞赛，校学生会随机抽取部分参赛同学的成绩作为样本，根据调查问卷得分（满分100分）按四个等级进行分类统计：低于60分的为“不合格”，60分以上（含）且低于80分的为“合格”；80分以上（含）且低于90分的为“良好”；90分以上（含）为“优秀”．汇总后将所得数据绘制成如图所示的不完整的统计图． 请根据统计图所提供的信息，解答下列问题： (1)本次抽查的学生人数是___________人，圆心角___________． (2)补全条形统计图，并指出成绩的中位数落在___________等级； (3)学校计划给获得“优秀”、“良好”等级的同学每人分别奖励价值15元、10元的学习用品，若学校共有700名学生参加本次竞赛，试估计该校用于本次竞赛的奖品费用 20．如图，在中，对角线、交于点，、是上的两点，，连结、、、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，则线段的长为______． 21．“墨方腐块藏奇味，金裹粑团蕴蜜香．”臭豆腐和糖油粑粑作为长沙特色美食，承载湘地韵味，在星城街道彰显独特魅力，游客返程不忘携特产，将“湘味”记忆带回家，某店销售臭豆腐和糖油粑粑，如下是两位销售员的对话： (1)求每份臭豆腐和糖油粑粑售价各为多少元？ (2)某公司想购买这两种特产共80份送给员工（两种特产均需购买），且购买糖油粑粑的份数不超过臭豆腐份数的，怎样购买才能使购买总费用最低？此时总费用最低是多少元？ 22．如图，在中，平分．已知交的延长线于点，交延长线于点． (1)证明：四边形为矩形； (2)若，，求的面积． 23．如图，已知四边形为矩形，点是边上的点，点是对角线AC上的点，，，建立如图所示的平面直角坐标系，设点的坐标为，解答下列问题： (1)写出关于的函数关系式为_____，自变量的取值范围是_____； (2)求的面积s关于的函数关系式； (3)若的面积等于面积的一半时，求点的坐标． 24．正方形中， E是边上的点， 且，连接． (1)如图1，直接写出 ； (2)如图2， 连接， 证明： (3)如图3， 连接交于点 H， 连接， 证明： 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季九年级开学学情自测卷 数 学 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教版八年级下册全部内容 +九上第二十五章一元二次方程 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．下列各数中，可使式子有意义的的值是（   ） A． B． C． D． 2．为响应“低碳生活，和谐长沙”号召，某班开展了相关知识竞赛．现随机抽取7名同学成绩进行分析，依次为：94，97，96，97，97，95，98，则这组数据的中位数、众数分别是（    ） A．96，97 B．97，97 C．97，96 D．94，97 3．在四边形中，O是对角线的交点，不能判定这个四边形是平行四边形的是（     ） A．， B．， C．， D．， 4．对于函数，下列结论正确的是（ ） A．当时， B．它的图象不经过第二象限 C．它的图象与轴的交点为 D．的值随的值增大而增大 5．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．下列命题中，真命题的是（     ） A．平行四边形的每一条对角线平分一组对角 B．矩形的对角线互相 C．菱形的对角线相等 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等 7．中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．云云家有一个菱形中国结装饰如图1所示，其示意图如图2所示．若，，则该菱形的面积为（     ） A．24 B．32 C．40 D．48 8.已知两点，都在直线（为常数）上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 9．下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在长方形中，，，点E在四边形内部，且点E到边的距离为2，当的值最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．当时，二次根式的值为__________． 12．我市举行了“长沙精神”演讲比赛，其中演讲内容，演讲效果，演讲技巧三项按如图所示的权重计算得分．已知某选手的三项原始得分分别是内容8分，效果9分，技巧10分，那么该选手最终比赛成绩为__________分． 13．如图，在中，，，，分别是，的中点，则________． 14．一次函数的图象与坐标轴围成三角形的面积________． 15．方程的根是_____． 16．如图，正方形中，，，将沿对折至，延长交于点，则的长是__________． 三、解答题：本大题共 8 小题，共计 72 分；其中第 17、18 题每题 6 分，第 19、20题每题 8 分，第 21、22每题10 分，第 23、24每题12 分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．计算：． 18．解方程： 19．为了培养学生喜爱足球运动的习惯，长沙外国语学校初一年级部在本学期期间开展了“我爱足球”的活动，校学生会组织初一年级学生开展了一场与足球有关的知识竞赛，校学生会随机抽取部分参赛同学的成绩作为样本，根据调查问卷得分（满分100分）按四个等级进行分类统计：低于60分的为“不合格”，60分以上（含）且低于80分的为“合格”；80分以上（含）且低于90分的为“良好”；90分以上（含）为“优秀”．汇总后将所得数据绘制成如图所示的不完整的统计图． 请根据统计图所提供的信息，解答下列问题： (1)本次抽查的学生人数是___________人，圆心角___________． (2)补全条形统计图，并指出成绩的中位数落在___________等级； (3)学校计划给获得“优秀”、“良好”等级的同学每人分别奖励价值15元、10元的学习用品，若学校共有700名学生参加本次竞赛，试估计该校用于本次竞赛的奖品费用 20．如图，在中，对角线、交于点，、是上的两点，，连结、、、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，则线段的长为______． 21．“墨方腐块藏奇味，金裹粑团蕴蜜香．”臭豆腐和糖油粑粑作为长沙特色美食，承载湘地韵味，在星城街道彰显独特魅力，游客返程不忘携特产，将“湘味”记忆带回家，某店销售臭豆腐和糖油粑粑，如下是两位销售员的对话： (1)求每份臭豆腐和糖油粑粑售价各为多少元？ (2)某公司想购买这两种特产共80份送给员工（两种特产均需购买），且购买糖油粑粑的份数不超过臭豆腐份数的，怎样购买才能使购买总费用最低？此时总费用最低是多少元？ 22．如图，在中，平分．已知交的延长线于点，交延长线于点． (1)证明：四边形为矩形； (2)若，，求的面积． 23．如图，已知四边形为矩形，点是边上的点，点是对角线AC上的点，，，建立如图所示的平面直角坐标系，设点的坐标为，解答下列问题： (1)写出关于的函数关系式为_____，自变量的取值范围是_____； (2)求的面积s关于的函数关系式； (3)若的面积等于面积的一半时，求点的坐标． 24．正方形中， E是边上的点， 且，连接． (1)如图1，直接写出 ； (2)如图2， 连接， 证明： (3)如图3， 连接交于点 H， 连接， 证明： 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $