第11讲 巧数图形（讲义）2026-2027学年三年级上册奥数人教版

—— 小学三年级上册奥数培优讲义★★★★★—— 第 11 讲　巧数图形 项目 内容 讲次 第 11 讲 专题 巧数图形 适用年级 小学三年级上册（可与人教版教材同步） 建议课时 1 课时（60 分钟） 难度星级 ★★★★☆ 前置知识 线段、角、三角形、长方形（含正方形）的基本特征 核心方法 分类计数法：按端点、按底边、按边长、按小块、按包含关系分类 本讲核心：分类计数，不重不漏 —— 数线段、数角、数三角形、数长方形，一网打尽！ 【学习目标】 学完本讲，你能做到： 维度 具体目标 知识与技能 掌握数线段、数角、数三角形、数长方形（含正方形）的基本方法；能按端点、底边、边长、小块个数分类计数；会运用基本公式快速口算；能解决"含★""不含★"的图形计数问题。 过程与方法 经历"观察图形 → 确定标准 → 分类计数 → 求和验证"的完整过程；体会转化思想（数角变数线段、数三角形变数线段）；学会用两种方法互相检验。 思维品质 培养有序思考、不重不漏的严谨习惯；提升空间想象与图形观察能力；学会化繁为简、把新问题变成会做的老问题。 情感态度 感受图形世界中隐藏的秩序与规律，体验用规律"巧数"的乐趣，增强学习数学的自信心。 【前言】 图形王国里藏着一个好玩的挑战：一个看似普通的图形，里面到底藏着多少个三角形？多少个长方形？有人一眼看过去就乱猜，结果不是多数，就是漏数，怎么也数不对。 其实，只要掌握一件"法宝"，再乱的图形也能数得又快又准。这件法宝就是——分类计数法：先给图形"排好队"（分类），一类一类地数，最后再把结果合起来。只要分类科学、按顺序数，就能做到不重复、不遗漏！ 今天，我们就带着这件法宝，去破解线段、角、三角形、长方形里的"藏宝数"。记住三句口诀：先分类、再计数、后验证！ 一、知识导航 1. 核心思想：分类计数法 分类要科学：所分的类型要"不重不漏"——既不重复计数，也不遗漏任何一种。这是巧数图形的灵魂。 2. 常见分类标准 分类标准 适用题型 方法要点 按端点分类 数线段、数角 固定一个端点（或第一条边），只数"往后"的 按底边分类 数三角形（顶点引线型） 底边上的每一条线段对应一个三角形 按边长分类 数网格大三角形 从小到大分层数，别忘了尖朝下的 按小块个数分类 复杂图形数三角形 由 1 块、2 块、3 块……依次枚举 按包含关系分类 数长方形、含★图形 先算总数，再数含★的；不含★＝总数−含★ 3. 基本公式 图形 条件 公式 线段 一条直线上有 n 个点 线段总数 = (n−1)+(n−2)+…+1 = n(n−1)÷2 角 从一点引出 n 条射线 角的总数 = (n−1)+(n−2)+…+1 = n(n−1)÷2 三角形（顶点引线） 底边被分成 n 段 三角形总数 = n+(n−1)+…+1 = n(n+1)÷2 长方形 m 行 n 列小格 长方形总数 = (1+2+…+m)×(1+2+…+n) 4. 方法路线与解题流程 图1　巧数图形方法路线图 图2　巧数图形解题四步流程 二、易错辨析 ❌ 常见错误 ✅ 正确做法 凭感觉乱数，数到哪算哪 先确定分类标准，一类一类按顺序数 数线段时把"两个方向"都数了一遍 固定左端点，只数向右的线段，避免重复 数角只数小角，漏掉大角 像数线段一样，固定第一条边，大小角都数到 数三角形只数小的，漏掉大的 按小块个数或按边长分类，从小到大逐一检查 网格大三角形只数尖朝上的 边长≥2 时，还要仔细检查尖朝下的三角形 数完不验证，对错心里没底 换一种方法再数一遍，两种结果一致才放心 三、典例精讲 【例1】数线段 —— 两个方法，殊途同归 题目：一条直线上有 A、B、C、D、E、F 共 6 个点（如图3）。以这 6 个点为端点，一共可以数出多少条线段？ 图3　直线上 6 个点 分析：数线段有两个"法宝"，都能做到不重复、不遗漏。 方法一（固定左端点）：以 A、B、C、D、E 为左端点，线段依次有 5、4、3、2、1 条。 方法二（按基本线段）：由 1、2、3、4、5 条小线段组成，线段依次有 5、4、3、2、1 条。 详解： 方法一：5＋4＋3＋2＋1＝15（条）　方法二：5＋4＋3＋2＋1＝15（条） 答：一共可以数出 15 条线段。 验证：两种方法结果相同；再用公式 6×(6−1)÷2＝15（条），完全一致。 💡 【方法点睛】 直线上有 n 个点，线段总数＝n(n−1)÷2。数线段是其他所有图形计数的基础，两种分类方法都要练熟。 【例2】数角 —— 把"角"请到一条线上 题目：从点 O 引出 OA、OB、OC、OD、OE 共 5 条射线（如图4），一共能组成多少个小于 180° 的角？ 图4　从点 O 引出的 5 条射线 分析：角由两条射线组成，这和"两个点确定一条线段"非常相似！ 方法一（固定第一条边）：以 OA 为第一条边，能与 OB、OC、OD、OE 各组成 1 个角，共 4 个；以 OB 为第一条边，有 3 个；以 OC 有 2 个；以 OD 有 1 个。 方法二（转化数线段）：在图中添一条横线，与 5 条射线都相交。每个角都对应这条横线上的一段，数角就变成了数线段。 详解： 方法一：4＋3＋2＋1＝10（个） 方法二：横线上线段总数＝4＋3＋2＋1＝10（个） 答：一共能组成 10 个角。 验证：用公式 5×(5−1)÷2＝10（个），两种方法结果一致。 💡 【方法点睛】 从一点引出 n 条射线，角的总数＝n(n−1)÷2，和数线段是"同一家人"。添辅助线，把角问题变成线段问题，思路更直观。 【例3】数三角形 —— 一条底边，一个三角形 题目：如图5，从三角形顶点 A 向底边 BC 引线段，把底边分成 4 段（分点 D、E、F）。图中共有多少个三角形？ 图5　底边被分成 4 段的三角形 分析：观察发现，底边上的每一条线段，都对应一个以 A 为顶点、以这条线段为底边的三角形。所以三角形总数＝底边上的线段总数。 详解： 底边 BC 上有 B、D、E、F、C 共 5 个点， 线段总数＝4＋3＋2＋1＝10（条） 所以三角形共有 10 个。 答：图中共有 10 个三角形。 验证：用公式 4×5÷2＝10（个）；也可以自上而下分层数：1＋2＋3＋4＝10（个），两种方法一致。 💡 【方法点睛】 从顶点向底边引线的三角形，个数＝底边线段数＝n(n+1)÷2（n 为底边段数）。把三角形问题转化为数线段问题，化繁为简。 【例4】数三角形（复杂型）—— 三线共点，按小块分类 题目：如图6，三角形 ABC 内，AD、BE、CF 三条线段交于一点 P，把大三角形分成了 6 个小三角形。图中共有多少个三角形？ 图6　三条线段交于一点的三角形 分析：图形较复杂，直接数很容易乱。我们按"由几个小三角形组成"来分类计数。 详解： 由 1 个小三角形组成：6 个 由 2 个小三角形组成：3 个 由 3 个小三角形组成：6 个 由 6 个小三角形组成：1 个（整个大三角形） 合计：6＋3＋6＋1＝16（个） 答：图中共有 16 个三角形。 验证：三条线段只要交于一点，不管交在哪里，三角形总数都是 16 个；也可以换"按顶点分类"再数一遍核对。 💡 【方法点睛】 复杂图形数三角形，按小块个数"由小到大"是最可靠的分类方法：既数 1 块的小三角形，也别漏掉由 2 块、3 块拼成的大三角形。 【例5】数三角形（网格大三角形）—— 按边长分类 题目：如图7，边长为 5 的大三角形被分成了许多小三角形。图中共有多少个三角形？ 图7　边长为 5 的大三角形网格 分析：小三角形的大小各不相同，按"边长"分类最清楚。数的时候从上到下一层一层地数，还要特别注意尖朝下的三角形！ 详解： 边长为 1 的三角形：1＋3＋5＋7＋9＝25（个） 边长为 2 的三角形：尖朝上 1＋2＋3＋4＝10（个），尖朝下 3 个，共 13（个） 边长为 3 的三角形：1＋2＋3＝6（个） 边长为 4 的三角形：1＋2＝3（个） 边长为 5 的三角形：1（个） 合计：25＋13＋6＋3＋1＝48（个） 答：图中共有 48 个三角形。 验证：按"边长×数量"再列一遍：25＋13＋6＋3＋1＝48，与逐层计数一致。 💡 【方法点睛】 网格大三角形按"边长"分类：边长为 k 的三角形先数尖朝上的，再检查有没有尖朝下的（本题边长为 2 时尖朝下有 3 个），一个都不能漏！ 【例6】含"★"的长方形 —— 先总数，再相减 题目：如图8，3×3 的方格图中，左上角的格子里有一个"★"。包含★的长方形（含正方形）有多少个？不含★的长方形有多少个？ 图8　3×3 方格图（★在左上角） 分析：先算出 3×3 网格一共的长方形总数，再算包含★的长方形，最后相减得到"不含★"的。 详解： （1）长方形总数＝(1＋2＋3)×(1＋2＋3)＝6×6＝36（个）。 （2）包含★的：★在左上角，按"占几格"分类：1格1个、2格2个、3格2个、4格1个、6格2个、9格1个，共1＋2＋2＋1＋2＋1＝9（个）。 （3）不含★的：36−9＝27（个）。 答：包含★的长方形有 9 个，不含★的长方形有 27 个。 验证：用公式 (1＋2＋3)×(1＋2＋3)＝36 验证总数；含★的按"占格数"再枚举一遍仍是 9 个。 💡 【方法点睛】 "含★"的题分两步走：先算总数，再按★的位置分类数"含★"的，最后总数−含★数＝不含★数。注意：正方形也是长方形，数长方形时别漏掉！ 四、方法总结 题型 推荐方法 核心公式 / 技巧 易错点 数线段 固定左端点 / 按基本线段 n 个点：n(n−1)÷2 两个方向重复数 数角 固定第一条边 / 转化数线段 n 条射线：n(n−1)÷2 漏掉大角 数三角形 （顶点引线） 按底边＝数线段 底边 n 段：n(n+1)÷2 漏掉大的 数三角形 （复杂） 按小块个数分类 由 1 块、2 块、3 块……枚举 拼成的大三角形漏数 数三角形 （网格） 按边长分类 分边长 1、2、3…，查尖朝下 尖朝下的漏数 数长方形 （网格） 公式法 (1+…+m)×(1+…+n) 正方形也是长方形 含★ / 不含★ 总数−含★ 先算总数再相减 总数算错 五、解题口诀 巧数图形有法宝，分类计数最可靠； 数线段，按端点，一个方向数到边； 数角就像数线段，射线条数算个遍； 数三角形看底边，底边线段数得见； 复杂图形分小块，一小块一小块找； 网格三角按边长，尖朝下的别忘掉； 含星图形两步走，先数总数再相减； 数完换种法再验验，不重不漏笑开颜！ 六、习题分层训练 🟦 A 组　基础过关 【A1】数线段 一条直线上有 A、B、C、D、E、F、G 共 7 个点（如图9）。以这些点为端点，一共有多少条线段？ 图9　直线上 7 个点 【A2】数角 从点 O 引出 OA、OB、OC、OD、OE、OF 共 6 条射线（如图10）。一共能组成多少个小于 180° 的角？ 图10　从点 O 引出的 6 条射线 【A3】数三角形 如图11，从顶点 A 向底边 BC 引线段，把底边分成 5 段（分点 D、E、F、G）。图中共有多少个三角形？ 图11　底边被分成 5 段的三角形 🟧 B 组　能力提升 【B1】数三角形（复杂） 如图12，三角形 ABC 中，三条线段 AD、BE、CF 交于一点 P（D、E、F 分别是各边的中点），把三角形分成了 6 个小三角形。图中共有多少个三角形？ 图12　三条线段交于一点的三角形（中点版） 【B2】数长方形 如图13，3 行 2 列的长方形网格中，一共有多少个长方形（含正方形）？ 图13　3 行 2 列网格 【B3】数三角形（网格） 如图14，边长为 4 的大三角形被分成了许多小三角形。图中共有多少个三角形？ 图14　边长为 4 的大三角形网格 🟥 C 组　挑战冲刺 【C1】含"★"的长方形 如图15，3×3 方格图中，★在正中间的格子里。包含★的长方形（含正方形）有多少个？不含★的长方形有多少个？ 图15　3×3 方格图（★在正中间） 【C2】含"★"的三角形 如图16，从顶点 A 向底边引线段，把底边分成 5 段，"★"在第 3 个小三角形里。包含★的三角形有多少个？不含★的三角形有多少个？ 图16　底边分成 5 段、★在中间小三角形 【C3】数正方形 如图17，3×3 方格图中，一共有多少个正方形？ 图17　3×3 方格图（数正方形） 七、参考答案与详细解析 🟦 A 组答案与解析 【A1】答案：21 条。 【解析】 7 个点，线段总数＝6＋5＋4＋3＋2＋1＝21（条）； 也可用公式 7×6÷2＝21（条）。 【A2】答案：15 个。 【解析】6 条射线，角的总数＝5＋4＋3＋2＋1＝15（个）； 也可用公式 6×5÷2＝15（个）。 【A3】答案：15 个。 【解析】底边被分成 5 段，三角形总数＝5＋4＋3＋2＋1＝15（个）； 也可用公式 5×6÷2＝15（个）。 🟧 B 组答案与解析 【B1】答案：16 个。 【解析】 按小块分类——由 1 个小三角形组成的有 6 个；由 2 个组成的有 3 个； 由 3 个组成的有 6 个；由 6 个组成的有 1 个。共 6＋3＋6＋1＝16（个）。 【B2】答案：18 个。 【解析】 3 行 2 列网格，长方形总数＝(1＋2＋3)×(1＋2)＝6×3＝18（个）。 【B3】答案：27 个。 【解析】 边长为 1 的有 16 个；边长为 2 的：尖朝上 6 个＋尖朝下 1 个＝7 个； 边长为 3 的有 3 个；边长为 4 的有 1 个。共 16＋7＋3＋1＝27（个）。 🟥 C 组答案与解析 【C1】答案：含★的有 16 个，不含★的有 20 个。 【解析】 总数＝(1＋2＋3)×(1＋2＋3)＝36（个）。 ★在正中间，包含★的长方形：左右两条竖线分别选"过★"的两侧（2×2 种），上下两条横线同理（2×2 种），共 2×2×2×2＝16（个）。 不含★＝36−16＝20（个）。 【C2】答案：含★的有 9 个，不含★的有 6 个。 【解析】 总数＝5＋4＋3＋2＋1＝15（个）。 ★在第 3 段，包含★的三角形：左端点在★左侧的 3 个点中选 1 个（3 种），右端点在★右侧的 3 个点中选 1 个（3 种），共 3×3＝9（个）。 不含★＝15−9＝6（个）。 【C3】答案：14 个。 【解析】 1×1 的正方形有 9 个，2×2 的正方形有 4 个，3×3 的正方形有 1 个，共 9＋4＋1＝14（个）。 八、本讲小结 ✦ 核心思想：分类计数法 —— 分类科学、按序计数、求和验证，做到不重复、不遗漏。 ✦ 五大基本题型： · 数线段：固定左端点，n 个点 → n(n−1)÷2 条； · 数角：固定第一条边（或转化数线段），n 条射线 → n(n−1)÷2 个； · 数三角形（顶点引线）：看底边线段数，底边 n 段 → n(n+1)÷2 个； · 数三角形（复杂 / 网格）：按小块个数或按边长分类，别漏尖朝下的； · 数长方形：网格用公式 (1+…+m)×(1+…+n)，含★的用"总数−含★"。 ✦ 两大进阶技巧： · 转化思想：数角、数三角形（顶点引线型）都能转化为数线段； · 容斥思想：不含★＝总数−含★。 ✦ 解题流程：观察图形 → 确定分类标准 → 按序分类计数 → 求和 → 换一种方法验证。 九、易错警示 ⚠️ 易错警示 ❌ 错误做法 ✅ 正确做法 凭感觉乱数，看到什么数什么 先确定分类标准，按顺序一类一类数 数线段把两个方向都数进去 固定左端点，只数"往后"的 数角只数小角，漏掉大角 固定第一条边，把所有组合都数到 数三角形只数小的，漏掉拼成的大的 按小块个数从小到大枚举 网格三角形漏掉尖朝下的 每个边长都检查是否有尖朝下的 算完不验证 换一种方法再数一遍，结果一致才放心 十、学习建议 🧠 学习建议 · 在图上做记号：数过的图形用铅笔画个小勾，避免重复和遗漏； · 熟记基本公式：线段、角、三角形、长方形四类公式要背熟，做题速度会快很多； · 复杂图形先"小块分类"：由少到多，不慌不乱； · 善用转化思想：把新问题变成会做的老问题，化繁为简； · 养成验证习惯：两种方法结果一致才放心； · 循序渐进：先线段、角，再三角形、长方形，最后挑战"含★"题，一步步来。 —— 巧数图形，分类计数，不重不漏 —— —————————————————————————————————————— 祝贺你完成了本讲的学习，为加油的自己点赞！👍 学科网（北京）股份有限公司 $