4.4 一次函数的应用 新课预习2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦一次函数应用，以方程与函数关系为核心，整合实际建模与几何综合，提炼数形结合与分段函数等解题方法，形成“概念-应用-拓展”逻辑链，培养抽象能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念应用|6题（如1,3,7,13,20）|数形结合法|一次函数与一元一次方程的转化关系| |实际建模|9题（如2,5,6,8,14-18）|分段函数建模|实际问题中数量关系的数学表达| |几何综合|5题（如4,9,10,12,19）|动态问题分析|函数图像与几何图形性质的综合应用|

4.4 一次函数的应用 新课预习2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．若是方程的解， 则直线的图象与x轴交点的坐标为 （   ） A． B． C． D． 2．某市出租车的计费标准如图（不足1km按1km计算），一天，张叔叔乘坐出租车去上班．设行驶里程为xkm，所付的费用为y元．则下列说法错误的是（   ） A．当行驶里程为2.8km时，所付的费用为10元 B．当时， C．若支付了25元，则行驶的里程数可能是8.8km D．当行驶里程为3.5km时，所付的费用为11元 3．如图是一次函数的图象，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 4．如图1所示，在直角梯形中，，．动点从点出发，沿梯形的边由运动．设点运动的路程为，的面积为．把看作的函数，函数的图象如图2所示，则面积为(    )    A．10 B．16 C．18 D．20 5．“五一”期间，一体育用品商店搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在该商店一次性购物超过100元者，超过100元的部分按九折优惠”在此活动中，小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球个（），则小东应付货款（元）与篮球个数（个）的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 6．爷爷饭后出去散步，从家里出发20min后到一个离家900m的街心花园，与朋友在原地聊天10min后，用15min返回家里．下列四个图象中，能表示爷爷离家的距离y（m）与离家时间x（min）之间函数关系的是（    ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，且）与正比例函数（为常数，且）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 8．小李同学长大后当上了个体老板，一次他准备租用甲、乙两种货车将200吨货物运回眉山卖给厂家，两种货车的载货量和租金如下表所示： 甲种货车 乙种货车 载货量（吨/辆） 25 20 租金（元/辆） 2000 1800 请问：李老板最少要花掉租金（    ）． A．15000元 B．16000元 C．18000元 D．20000元 9．如图，用弹簧测力计拉着重为的木块分别沿倾斜程度不同的斜面向上做匀速直线运动．经测算，在弹性范围内，弹簧测力计的读数与装置高度满足我们学过的某种函数关系．如表，这是一组实验数据，根据表中的数据，当弹簧测力计读数为时，此时装置高度为（    ） 装置高度 0 弹簧测力计的读数 2 4 6 A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，长方形的边在轴的正半轴上，点的坐标为．第四象限内的点在正比例函数的图象上，且，将的图象向上平移得到的图象．若点落在长方形的内部（不含边界），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图是李明、王平两人在一次赛跑中，路程s与时间t之间的函数关系，读图填空： （1）这是一次________m赛跑； （2）先到终点的是________； （3）王平在赛跑中速度是________． 12．如图，在中，，点C在边上，且，点D为的中点，点P为边上的动点，当点P在上移动时，使四边形周长最小的点P的坐标为_________． 13．一次函数中，与的部分对应值，如下表：那么，一元一次方程的解是___________． 0 1 2 0 2 14．已知蜡烛点燃后剩余的蜡烛长度（单位：cm）与燃烧时间（单位：min）之间的关系式为，则15的实际意义是________． 15．已知从山脚起每升高，气温就下降．若测得山脚处的气温为，当从山脚起上升的高度为，所在位置的气温是，则关于的函数表达式为___________． 三、解答题 16．书法是指用毛笔书写汉字的方法和规律，包括执笔、运笔、点画、结构、布局等内容，书法是中华民族的文化瑰宝，是我国基础教育的重要内容．某校为准备举行现场书法大赛，要在某超市购买一批毛笔和宣纸，毛笔每支的价格为19元，宣纸每张的价格为3.6元，该校准备购买毛笔600支，购买宣纸x张（），该超市给出以下两种优惠方案． 方案A：购买一支毛笔，赠送一张宣纸； 方案B：毛笔不打折，但购买的宣纸超出600张的部分打八折． 设方案A的总费用为元，方案B的总费用为元． (1)请分别求出，与x之间的函数关系式． (2)若该校准备购买宣纸5000张，则选择哪种方案更划算？请说明理由． 17．甲、乙两辆摩托车从相距的，两地相向而行，图中，分别表示甲、乙两辆摩托车离地的距离与行驶时间之间的函数关系．求： (1)请写出，的函数关系式． (2)何时甲摩托车离地的距离大于乙摩托车离地的距离？ 18．小明使用出行软件打车回家的行程详情如图（1）所示，爱动脑筋的小明查看了计价规则，如图（2）所示．他发现，在不考虑其他因素的情况下，在其打车的时间段（），3公里以内（含3公里）的起步价为元；超过3公里的部分，按元/公里的标准收取里程费． (1)当行程超过3公里时，判断实际打车费用y元是否是里程x公里的函数，并用含x的代数式表示y； (2)如图（1）所示，小明此次行程的实际路线为公里，那么打车费用是多少元？ 19．(1)在如下图所示的平面直角坐标系内画出正比例函数与的图象． (2)请你用量角器度量一下（1）中这两条直线的夹角，你发现这两条直线的位置关系是________． (3)在同一平面直角坐标系中，直线与直线的位置关系是________． (4)若直线（m为常数）与直线互相垂直，求m的值． 20．已知一次函数的图象如图所示，利用图象解决下列问题： （1）关于x的方程的解是_______． （2）关于x的方程的解是_______． （3）关于x的方程的解是_______． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C A C A A B A B 1．【答案】A 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握方程的解就是一次函数与轴交点的横坐标值．根据一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为（，为常数，）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线确定它与轴交点的横坐标即可得答案． 【详解】解：一元一次方程的解是， 当时，， 故直线的图像与x轴的交点坐标是． 故选：A． 2．【答案】D 【知识点】梯度计价问题 【分析】本题考查了数的混合运算的应用，分级收费问题，需明确分成的级数和每级的收费标准．根据题意计算即可得出答案． 【详解】A．当行驶里程为时，，与原选项相符，正确； B．当时，，即，与原选项相符，正确； C．当时，代入，解得，即实际里程，与原选项相符，正确； D．当行驶里程为时，，与原选项不符，不正确． 故选：D． 3．【答案】C 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，一次函数的图象与x轴交点横坐标的值即为方程的解． 【详解】解：一次函数的图象与x轴相交于点， 关于x的方程的解是． 故选：C． 4．【答案】A 【知识点】动点问题的函数图象、一次函数与几何综合 【分析】由题意知：，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：根据图可知当点在上运动时，的面积不变，与面积相等；且不变的面积是在，之间； 所以在直角梯形中，，． 连接， ∴面积为 故选：A． 【点睛】考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是读懂图意，得到相应的直角梯形中各边之间的关系．此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力． 5．【答案】C 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】根据已知表示出买x个篮球的总钱数以及优惠后价格，进而得出等式即可． 【详解】解：∵凡在该商店一次性购物超过 100元者，超过100元的部分按九折优惠， ∴小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球x个（x＞2）， 则小东应付货款y（元）与篮球个数x（个）的函数关系式是： y=（70x-100）×0.9+100=63x+10（x＞2）， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，根据已知得出货款与篮球个数的等式是解题关键． 6．【答案】A 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了函数图象的实际应用，掌握根据实际行程的不同阶段，分析离家距离与时间的变化关系，从而判断对应的函数图象是解题的关键； 通过分阶段分析爷爷的运动状态，确定每个阶段与的变化情况即可解答． 【详解】解：爷爷的行程分为三个阶段： 第一阶段：从家里出发后到离家的街心花园，此阶段离家距离随时间的增大而增大，持续； 第二阶段：与朋友聊天，此阶段离家距离保持不变，时间从到； 第三阶段：用返回家，此阶段离家距离随时间的增大而减小，从到； 观察选项，只有选项A符合这三个阶段的变化情况． 故选：A． 7．【答案】A 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系．两个一次函数图象的交点的横坐标是相应方程的解是解题的关键． 根据函数图象交点的横坐标是关于x的方程的解可得答案． 【详解】解：由图象可知，当时，， 即， 关于的方程的解为． 故选：A． 8．【答案】B 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】设需要租用甲种货车x辆，则租用乙种货车辆，需要的费用为y元，用x将y表示出来，进行判断即可． 【详解】解：设需要租用甲种货车x辆，则租用乙种货车辆，需要的费用为y元，根据题意得： ， ∵， ∴， ∴当时，y最小，最小值为： （元）， 即李老板最少要花掉租金16000元，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，列出一次函数的解析式是解题的关键． 9．【答案】A 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用、求一次函数解析式，利用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 设一次函数为，根据题意代入和，得出一次函数的解析式，再利用一次函数的性质即可求解． 【详解】解：设一次函数为， 代入和得，， 解得：， 一次函数为， 当时，， 解得：． 故选：A． 10．【答案】B 【知识点】一次函数图象平移问题、一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了长方形的性质，勾股定理，一次函数的图象和性质，函数图象平移的性质，解题的关键是掌握以上性质．过点作于点，交于点，设，则，利用勾股定理列出方程求解，最后根据平移的性质即可得出结果． 【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点， ∵四边形为长方形， ∴，，， ∴， ∵点的坐标为， ∴， 设，则， ∴， 由勾股定理得， 即， 解得，（负值已舍）， ∴， ∴根据平移的性质得，， 故选：B． 11．【答案】 500 李明 5 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查的是用一次函数解决实际问题． （1）根据图象中点的纵坐标即可直接求得； （2）根据图象可得两人所用时间，据此即可判断； （3）根据图象可得王平用了跑了，据此即可求解． 【详解】解：（1）根据两人所跑的路程都是，则这是一次的赛跑． 故答案为：500； （2）根据图象可得，李明到达终点用了，王平到达终点用了，则先到终点的是李明． 故答案为：李明； （3）王平的速度是：． 故答案为：5． 12．【答案】 【知识点】线段问题(轴对称综合题)、坐标与图形变化——轴对称、一次函数与几何综合、用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】先在y轴上截取，证明，得出当点E、P、C共线时四边形周长最小，进而利用一次函数的解析式以及求交点的方法求解即可． 【详解】解：如图，在y轴上截取， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形周长 （当点E、P、C共线时“”成立） ∵，点D为的中点， ∴，， ∴， ∴，， 设直线的解析式为：， 将点，代入解析式可得： ∴， ∴直线的解析式为：； 设直线的解析式为：， 将点代入解析式得：， ∴， ∴直线的解析式为：， 联立和，得， ∴， ∴， ∴ 故答案为： ． 【点睛】本题考查了将军饮马-最短路径问题，涉及到求一次函数解析式，两直线的交点问题，全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是找到符合题意的点位置，再求坐标． 13．【答案】1 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】此题实际上是求当时，所对应的的值，根据表格求解即可． 【详解】解：根据表格可得： 当时，，即一元一次方程的解是， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点与一元一次方程的解的关系是解题的关键． 14．【答案】蜡烛燃烧前的长度 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据一次函数的定义，常数项表示当自变量为零时的函数值，即燃烧时间为0时的蜡烛长度． 【详解】解：在关系式中，令，得， 这表示蜡烛在点燃前（燃烧时间为0时）的长度为，因此15的实际意义是蜡烛的初始长度． 故答案为：蜡烛燃烧前的长度． 15．【答案】 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，熟练掌握根据实际问题建立一次函数模型的方法是解题的关键．先根据题意求出每升高的气温下降值，再结合初始气温，推导出气温与高度的函数关系式． 【详解】解：每升高，气温下降， 每升高，气温下降， 升高，气温下降， ， ， ， 故答案为：． 16．【答案】(1)； (2) 选择方案B更划算． 理由：当时， 方案A：（元）， 方案B：（元）， ∵， ∴， ∴若该校准备购买宣纸5000张，则选择方案B更划算． 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式． （1）根据题意额题目中的数据，可以分别写出，与x之间的函数关系式； （2）将代入（1）中相应的函数解析式，求出相应的y的值，再比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得： 方案A：； 方案B：． （2）略 17．【答案】(1)的函数关系式为，的函数关系式为； (2)出发后甲摩托车离A地的距离大于乙摩托车离A地的距离． 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． （1）分别根据速度=路程÷时间求出甲、乙的速度，再由路程=速度×时间求出对应的函数关系式即可； （2）求出甲、乙相遇的时间，再根据图象可知何时甲摩托车离A地的距离大于乙摩托车离A地的距离即可． 【详解】（1）解：甲的速度为， 则， 乙的速度为，则， ∴的函数关系式为，的函数关系式为； （2）解：当甲、乙相遇时，得， 解得， 根据图象，出发后甲摩托车离A地的距离大于乙摩托车离A地的距离． 18．【答案】(1)y是x的函数， (2)元 【知识点】梯度计价问题、列一次函数解析式并求值 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确列出函数关系式是解题的关键． （1）根据题意，得，化简为即可求解； （2）根据题意，当时，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：由题可得，当里程x超过3公里时，其中3公里以内（含3公里）的起步价为元；超过3公里的部分里程为公里，费用为元， 则实际打车费用，即， 对于每一个超过3公里的x值，都有唯一的y值与之对应， y是x的函数，； （2）当时，， 则打车费用是元． 19．【答案】 （1）解：图像如图所示： （2）互相垂直 （3）互相垂直 （4） 【知识点】一次函数与几何综合、正比例函数的图象、垂线的定义理解 【分析】本题主要考查正比例函数的图像，涉及到正比例函数的性质、垂直的判定等知识. （1）在平面直角坐标系中分别取两点，画出两图像； （2）用量角器度量出两直线的夹角即可； （3）根据（2）作出猜想； （4）利用（2）得出的结论，求出的值即可. 【详解】（1）略 （2）经过测量，两直线的夹角为， 猜想：当两个正比例函数的比例系数之积为：时，两直线的夹角为，这两条直线的位置关系是互相垂直； 故答案为：互相垂直. （3）由（2）的猜想可知： ∵， ∴直线与直线的位置关系是：互相垂直； 故答案为：互相垂直. （4）∵直线（m为常数）与直线互相垂直， ∴， 解得：. 20．【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解、利用图象法解一元一次方程 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是能利用图象解决问题． （1）（2）（3）都可利用函数图象直接得到答案． 【详解】（1）解：由图象知，一次函数的图象过点， ∴是方程的解， 故答案为：． （2）由图象知，一次函数的图象过点， ∴是方程的解， 故答案为：． （3）由图象知，一次函数的图象过点， ∴是方程的解， 故答案为：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $