4.4 一次函数的应用（九大题型）2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦一次函数实际应用与代数几何综合，通过九类典型题型构建“建模-推理-应用”完整训练体系，强化数学建模与图像分析能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分配方案问题|3题|含基础费+里程费的方案比较|一次函数表达式构建与最优解判断| |最大利润问题|3题|销售价-销量关系及利润计算|利用一次函数单调性求最值| |行程问题|3题|含休息、变速的路程-时间图像|函数图像与实际运动过程对应| |梯度计价问题|3题|阶梯水/电/骑行费用计算|分段函数模型的建立与应用| |其他问题|3题|快递件数、充电方案等实际场景|跨领域问题的函数化转化| |几何综合|3题|动点、面积、等腰三角形存在性|一次函数与几何图形性质融合| |方程解与交点|3题|由函数图像求方程解|函数与方程的相互转化| |交点与方程解|3题|直线与x轴交点的方程意义|函数图像与方程解的对应关系| |图像法解方程|3题|一次函数与正比例函数图像交点|利用图像直观解决方程问题|

4.4 一次函数的应用 题型一 分配方案问题 1．已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 2．某通讯公司推出了①②两种收费方式，收费y1，y2(元)与通讯时间x(分钟)之间的函数关系如图所示，若使用资费①更加划算，通讯时间x(分钟)的取值范围是_______． 3．某市公交公司推出企业通勤包车服务，提供两种燃油计费方案，具体如下： 方案一：无基础服务费，每千米燃油费用为0.6元． 方案二：每日固定基础服务费18元，行驶路程不超过时，每千米燃油费0.5元；行驶路程超过时，超出部分每千米燃油费0.4元． (1)设每日通勤燃油总费用为W元，分别求出两种计费方案下W关于行驶路程x的函数解析式． (2)若企业每日通勤行驶路程，请求出该企业选择哪种燃油计费方案更划算． 题型二 最大利润问题 4．在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下关系：设该商品的销售价为x元，售量为y件，估计当x＝137时，y的值可能为（    ） 销售价/元 90 100 110 120 130 140 销售量/件 90 80 70 60 50 40 A．63 B．59 C．53 D．43 5．某商场计划购进两种服装共100件，甲种服装进价160元/件，售价元/件；乙种服装进价元/件，售价160元/件．设购进甲种服装件，两种服装全部售完，商场获利最大利润为4950元，则的值为____________．(其中) 6．某文具店计划购进甲、乙两种笔记本共100本，这两种笔记本的进价、售价如表： 类型 进价/（元/本） 售价/（元/本） 甲种 3 4.5 乙种 5 7 受市场需求限制，乙种笔记本的进货数量不超过甲种笔记本进货数量的2倍，设文具店购进甲种笔记本x本，销售完这批笔记本的总利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)应如何安排进货，才能使销售完这批笔记本的利润最大，最大利润为多少元？ 题型三 行程问题 7．今年端午节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间．设他从山脚出发后所用时间为（分钟），所走的路程为（米），与之间的函数关系如图．下列说法正确的是（     ） A．小明中途休息用了60分钟 B．第90分钟时，小明所走路程为2000米 C．小明休息后爬山的平均速度为每分钟30米 D．小明在上述过程中所走的路程为3000米 8．A，B两地相距，小明从A地出发骑自行车以的速度前往B地，用x（单位：h）表示骑行时间，y（单位：）表示小明与B地的距离，写出y关于x的函数解析式______． 9．随着人工智能的发展，不少物流仓库使用智能机器人分拣货物．某仓库的机器人小仓和小库，从分拣台出发，准备给相距的货架送货，小仓比小库先出发，且速度保持不变．小库出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小仓行走的时间为，小仓和小库行走的路程分别为；与x之间的对应关系如图所示．请根据图象回答下列问题： (1)小库提速前的速度为______； (2)求m的值(m为小库到达货架的时间)； (3)求小仓行走的路程．与行走时间x之间的函数解析式； (4)当小库到达货架时，小仓距离货架还有多远？小库比小仓提前多少秒到达？ 题型四 梯度计价问题 10．市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费（元）与用水量（吨）的函数关系如图所示．若该用户本月用水16吨，则应交水费（     ） A．38.4元 B．48元 C．39.6元 D．57.6元 11．共享单车骑行收费为一次函数关系，起步2元，每骑行1千米加收0.5元，写出费用y（元）与里程x（千米，）的函数解析式：_______． 12．为了鼓励居民节约用电，某市实行居民生活用电阶梯电价方案．当每月用电量不超过时，按元/（）收费；当用电量超过时，超过部分按元/（）收费．设一个家庭某月用电量为，应缴电费为元． (1)求关于的函数解析式． (2)若这个家庭某月的用电量为，则此家庭这个月的电费是多少？ (3)若这个家庭某月的电费为元，则此家庭这个月的用电量是多少？ 题型五 其他问题 13．某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相差100件时的时刻为（     ） A．9点40分 B．10点15分 C．9点45分或9点30分 D．9点40分或10点 14．共享电动车给人们的出行提供了方便．现有A，B两种品牌的共享电动车，收费y（元）与骑行时间（）之间的函数关系如图所示，其中A品牌的收费方式对应，B品牌的收费方式对应．若骑行，则A，B两种品牌的共享电动车收费相差__________元． 15．小明家购买了一辆新能源纯电动汽车，正面临家用充电桩与公共充电桩两种充电方式的选择，经过调研，他收集到以下信息： 方案 一次性安装费用/元 电费/（元/千瓦时） A 家用充电2800 0.55（综合平均价） B 公共充电0 1.12（含服务费均价） （注：家用充电桩需一次性安装费，公共充电站无需安装费，但电价含服务费） (1)请分别求出方案A和方案B的总费用（单位：元）关于充电量（单位：千瓦时）的函数关系式与； (2)已知该款车百公里耗电16千瓦时，预计小明家的车每年行驶15000公里，计划车辆使用时间为6年，通过计算说明哪种充电方案更合算． 题型六 一次函数与几何综合 16．如图，点P是直线上的动点， 在x轴上，当最小时，点P的坐标为（     ） A． B． C． D． 17．如图，点在x轴上，过点作x轴的平行线l与正比例函数的图象相交于点A，连接，点P在直线l上且位于点A的右侧，连接，，则点P的坐标是________． 18．如图，直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，与经过原点的直线相交于点； (1)直接写出点B的坐标为________； (2)求出的面积； (3)在直线上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 题型七 已知直线与坐标交点求方程的解 19．直线经过点和点，则方程的解是（     ） A． B． C． D． 20．已知函数（）的图象经过点，则关于x的方程的解为______． 21．直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．点．      (1)求的面积； (2)点D在第二象限，当为等腰直角三角形时，直接写出点D的坐标； (3)过C作x轴的垂线（即直线），E 为直线上的点，当为等腰三角形时，求出点E的坐标． 题型八 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 22．若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 23．直线与轴的交点的坐标是，则关于的方程的解是______． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点． (1)求m和b的值； (2)若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒2个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①点A的坐标为 ，点D的坐标为 ； ②若点P在线段上，且的面积为10时，求t的值； ③直接写出t为何值时，为等腰三角形． 题型九 利用图像法解一元一次方程 25．在平面直角坐标系中，一次函数，均为常数）与正比例函数（为常数）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ）． A． B． C． D． 26．如图，一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于的方程的解是_____． 27．学习函数时，我们经历了“确定函数解析式、画出函数图象、利用函数图象研究函数性质、利用函数性质解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列问题． (1)列表：与的部分对应值如表：则______，______． … 0 1 2 3 … … 0 1 … (2)描点、连线：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)结合图象，写出一条函数的性质：______． (4)根据函数图象填空： ①方程有______个解； ②若关于的方程无解，则的取值范围是______． ③若关于的方程有两个不相等的实数解，直接写出实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4 一次函数的应用 题型一 分配方案问题 1．已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，设小明行驶里程是x千米，需要花费y元，分别列出A方案和B方案的费用，分别求出选择A方案和B方案行驶的里程，进而可判断出最优方案． 【详解】解：设小明行驶里程是x千米，需要花费y元， A方案：一共需要花费：， B方案∶ 一共需要花费：， 若选择A方案，，解得：， 若选择B方案，得， 由于，则选择B方案是最优租车方案， 故选：C． 2．某通讯公司推出了①②两种收费方式，收费y1，y2(元)与通讯时间x(分钟)之间的函数关系如图所示，若使用资费①更加划算，通讯时间x(分钟)的取值范围是_______． 【答案】x＞300 【分析】根据题意首先将已知点的坐标代入一次函数的解析式求得k值，然后确定两函数图象的交点坐标，从而确定x的取值范围. 【详解】解：由题设可得不等式kx＋30＜x. ∵y1＝kx＋30经过点(500，80)， ∴k＝， ∴y1＝x＋30，y2＝x，解得：x＝300，y＝60. ∴两直线的交点坐标为(300，60)， ∴当x＞300时不等式kx＋30＜x中x成立， 故答案为：x＞300. 3．某市公交公司推出企业通勤包车服务，提供两种燃油计费方案，具体如下： 方案一：无基础服务费，每千米燃油费用为0.6元． 方案二：每日固定基础服务费18元，行驶路程不超过时，每千米燃油费0.5元；行驶路程超过时，超出部分每千米燃油费0.4元． (1)设每日通勤燃油总费用为W元，分别求出两种计费方案下W关于行驶路程x的函数解析式． (2)若企业每日通勤行驶路程，请求出该企业选择哪种燃油计费方案更划算． 【答案】(1)方案一：；方案二：当时，；当时， (2)选方案一更划算 【分析】（1）根据两个方案中的燃油计费规则分别写出函数解析式即可； （2）分别求出当时的燃油费用，然后比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意，方案一：． 方案二：分段计费，分两种情况： 当时，； 当时，； （2）解：当时， ，， ， ∴选方案一更划算． 题型二 最大利润问题 4．在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下关系：设该商品的销售价为x元，售量为y件，估计当x＝137时，y的值可能为（    ） 销售价/元 90 100 110 120 130 140 销售量/件 90 80 70 60 50 40 A．63 B．59 C．53 D．43 【答案】D 【分析】通过待定系数法求出y与x的函数关系式，再将x＝137代入求解． 【详解】解：设售量y件与销售价x元之间的关系为y＝kx+b， 将x＝90，y＝90与x＝100，y＝80分别代入可得：， 解得， ∴y＝﹣x+180， 将x＝137代入可得y＝43， 故选：D． 5．某商场计划购进两种服装共100件，甲种服装进价160元/件，售价元/件；乙种服装进价元/件，售价160元/件．设购进甲种服装件，两种服装全部售完，商场获利最大利润为4950元，则的值为____________．(其中) 【答案】9 【分析】本题考查一次函数的实际应用，设商场获得的利润为，根据总利润等于两种服装的利润之和，列出一次函数关系式，根据一次函数的性质，结合商场获利最大利润为4950元，进行求解即可． 【详解】解：设商场获得的利润为，由题意，得： ， 整理，得：， ∵， 当，即：时，随的增大而减小， ∴当时，商场获得最大利润， 即：，解得：（舍去）； 当时，即：时，随的增大而增大， ∴当时，商场获得最大利润， 即：，解得：； 故答案为：9． 6．某文具店计划购进甲、乙两种笔记本共100本，这两种笔记本的进价、售价如表： 类型 进价/（元/本） 售价/（元/本） 甲种 3 4.5 乙种 5 7 受市场需求限制，乙种笔记本的进货数量不超过甲种笔记本进货数量的2倍，设文具店购进甲种笔记本x本，销售完这批笔记本的总利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)应如何安排进货，才能使销售完这批笔记本的利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)购进甲种笔记本34本，乙种笔记本66本时利润最大，最大利润为183元 【分析】（1）根据总利润等于两种笔记本的利润和，推导得到y与x的函数关系式； （2）根据乙的进货量限制求出x的取值范围，最后利用一次函数的性质求出最大利润． 【详解】（1）解：由题意可知，购进甲种笔记本本，则购进乙种笔记本本， 甲每本利润为元，乙每本利润为元， 总利润， 因此与的函数关系式为， （2）解：由函数可知，系数， ∴随的增大而减小， ∴当取最小值时，可取得最大值， 根据题意列不等式组：， 解得，且为正整数， ，为正整数， 的最小取值为，此时， 将代入函数得最大利润：（元） 答：购进甲种笔记本34本，乙种笔记本66本时，销售完这批笔记本的利润最大，最大利润为183元． 题型三 行程问题 7．今年端午节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间．设他从山脚出发后所用时间为（分钟），所走的路程为（米），与之间的函数关系如图．下列说法正确的是（     ） A．小明中途休息用了60分钟 B．第90分钟时，小明所走路程为2000米 C．小明休息后爬山的平均速度为每分钟30米 D．小明在上述过程中所走的路程为3000米 【答案】D 【分析】根据函数图象获得信息，再逐一分析选项即可． 【详解】解：根据图象可知，到这一段时间，不变， 故小明中途休息用了分钟，A选项错误； 休息后走的路程为米，时间为分钟， 则休息后爬山的平均速度为米每分钟，C选项错误； 从第60分钟到第90分钟，休息后走的路程为米， 小明所走路程为，故B选项错误； 根据图象可知，终点纵坐标为3000，代表全程总路程3000米，故D选项正确． 8．A，B两地相距，小明从A地出发骑自行车以的速度前往B地，用x（单位：h）表示骑行时间，y（单位：）表示小明与B地的距离，写出y关于x的函数解析式______． 【答案】 【分析】根据题意，小明与B地的距离等于A，B两地总距离减去小明骑行的路程，先得到y与x的等量关系，再确定自变量x的取值范围，即可得到函数解析式． 【详解】解：根据题意可得， ∵x是骑行时间，不能为负数，∴， 当小明到达地时，代入得，解得， 因此最大为， 即． ∴y关于x的函数解析式为． 9．随着人工智能的发展，不少物流仓库使用智能机器人分拣货物．某仓库的机器人小仓和小库，从分拣台出发，准备给相距的货架送货，小仓比小库先出发，且速度保持不变．小库出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小仓行走的时间为，小仓和小库行走的路程分别为；与x之间的对应关系如图所示．请根据图象回答下列问题： (1)小库提速前的速度为______； (2)求m的值(m为小库到达货架的时间)； (3)求小仓行走的路程．与行走时间x之间的函数解析式； (4)当小库到达货架时，小仓距离货架还有多远？小库比小仓提前多少秒到达？ 【答案】(1) (2)55 (3) (4)当小库到达货架时，小仓距离货架还有，小库比小仓提前45秒到达 【分析】（1）根据路程与速度，时间的关系，进行求解即可； （2）求出提速后行走的时间，再结合小仓先出发的时间，以及小库提速前所走的时间，即可解答； （3）先求出点A的坐标，再结合小仓出发的时间与速度进行求解即可； （4）当小库到达货架时，小仓所走的路程为，相减即可，求出当时，，再用小仓到达货架的时间减去小库到达货架的时间，即可解答． 【详解】（1）解∶由题图可知，小库从时开始出发，到时走了， 此阶段时间为， 则提速前的速度为； （2）解：结合小库提速后的路程计算到达时间m： 小库提速后行走的路程为总路程， 提速后的速度为， ∴提速后行走的时间为； ∴总时间为， 即． （3）解：由(2)可知，点A的坐标为， 则小仓行走的速度为， 且从时出发， ∴函数解析式为； （4）解：∵， ∴当小库到达货架时，小仓距离货架还有， 当时， ， 解得， ∴， 即小库比小仓提前45秒到达． 题型四 梯度计价问题 10．市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费（元）与用水量（吨）的函数关系如图所示．若该用户本月用水16吨，则应交水费（     ） A．38.4元 B．48元 C．39.6元 D．57.6元 【答案】C 【分析】当时，设直线的解析式为，利用待定系数法求出，再求出当时的值即可． 【详解】解：当时，设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴， 当时，， ∴若该用户本月用水16吨，则应交水费39.6元． 11．共享单车骑行收费为一次函数关系，起步2元，每骑行1千米加收0.5元，写出费用y（元）与里程x（千米，）的函数解析式：_______． 【答案】 【分析】根据收费规则，总费用等于起步费用加上骑行里程对应的加收费用，据此即可列出函数关系式. 【详解】解：根据题意，费用由起步费用和骑行加收费用两部分组成； 起步费用为元，骑行千米的加收费用为元， 因此总费用满足： . 12．为了鼓励居民节约用电，某市实行居民生活用电阶梯电价方案．当每月用电量不超过时，按元/（）收费；当用电量超过时，超过部分按元/（）收费．设一个家庭某月用电量为，应缴电费为元． (1)求关于的函数解析式． (2)若这个家庭某月的用电量为，则此家庭这个月的电费是多少？ (3)若这个家庭某月的电费为元，则此家庭这个月的用电量是多少？ 【答案】(1) (2) 100元 (3) 【分析】（1）根据收费方式，分两种情况，进行讨论求解即可； （2）求出时，对应的函数值即可得出结果； （3）求出时的自变量的值，即可得出结果. 【详解】（1）解：由题意， 当时，； 当时，； 综上：， （2）解：∵， ∴将代入得：（元）； 答：此家庭这个月的电费是100元. （3）解：当时，， ∴用电量， ∴将代入得：， 解得； 答：此家庭这个月的用电量是. 题型五 其他问题 13．某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相差100件时的时刻为（     ） A．9点40分 B．10点15分 C．9点45分或9点30分 D．9点40分或10点 【答案】D 【分析】先分别求出该时段内甲、乙两仓库的快件数量与时间之间的函数关系式，再根据两仓库快递件数相差100件建立方程，解方程即可． 【详解】解：设该时段内甲仓库的快件数量与时间之间的函数关系式为， 将点，代入得：，解得， ∴该时段内甲仓库的快件数量与时间之间的函数关系式为， 设该时段内乙仓库的快件数量与时间之间的函数关系式为， 将点，代入得：，解得， ∴该时段内乙仓库的快件数量与时间之间的函数关系式为， 当两仓库快递件数相差100件时，则有， 整理得：， ∴或， 解得或， ∴从开始经过10分钟或30分钟时，两仓库快递件数相差100件， ∴当两仓库快递件数相差100件时的时刻为9点40分或10点． 14．共享电动车给人们的出行提供了方便．现有A，B两种品牌的共享电动车，收费y（元）与骑行时间（）之间的函数关系如图所示，其中A品牌的收费方式对应，B品牌的收费方式对应．若骑行，则A，B两种品牌的共享电动车收费相差__________元． 【答案】1 【分析】利用待定系数法求出，的表达式，代入分别求出，的值即可得到解． 【详解】解：设， 则，解得， 设当时，， 则，解得， 当时，，， A，B两种品牌的共享电动车收费相差1元． 15．小明家购买了一辆新能源纯电动汽车，正面临家用充电桩与公共充电桩两种充电方式的选择，经过调研，他收集到以下信息： 方案 一次性安装费用/元 电费/（元/千瓦时） A 家用充电2800 0.55（综合平均价） B 公共充电0 1.12（含服务费均价） （注：家用充电桩需一次性安装费，公共充电站无需安装费，但电价含服务费） (1)请分别求出方案A和方案B的总费用（单位：元）关于充电量（单位：千瓦时）的函数关系式与； (2)已知该款车百公里耗电16千瓦时，预计小明家的车每年行驶15000公里，计划车辆使用时间为6年，通过计算说明哪种充电方案更合算． 【答案】(1)； (2)解：6年的总行驶里程为：（公里）， 6年的总充电量为：（千瓦时）， 当时，方案A的总费用为：（元）， 方案B的总费用为：（元）， ， 方案A更合算. 【分析】（1）根据两种方案，分别列出函数关系式即可； （2）求出6年的总充电量，代入函数关系式，求出函数值，比较大小即可. 【详解】（1）解：根据题意得： 方案A的充电费用与充电量的函数关系式为：， 方案B的充电费用与充电量的函数关系式为： （2）略 题型六 一次函数与几何综合 16．如图，点P是直线上的动点， 在x轴上，当最小时，点P的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作点关于直线的对称点，连接，则当点在线段上时，的值最小，求出直线的解析式，联立两条直线解析式，求出点P的坐标即可. 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接， ∴， ∴当点在线段上时，的值最小， ∵，为一三象限角平分线， ∴，， ∴， ∴设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 联立，解得， ∴点P的坐标为. 17．如图，点在x轴上，过点作x轴的平行线l与正比例函数的图象相交于点A，连接，点P在直线l上且位于点A的右侧，连接，，则点P的坐标是________． 【答案】 【分析】点P在点A右侧，根据可知，设直线的解析式是，把点的坐标代入解析式求出直线的解析式，再根据直线上的点的纵坐标是求出点的横坐标． 【详解】解：如下图所示， ∵， ∴， 设直线的解析式是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 当时， 可得：， 解得：， 点坐标是． 18．如图，直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，与经过原点的直线相交于点； (1)直接写出点B的坐标为________； (2)求出的面积； (3)在直线上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)5 (3)或 【分析】（1）求出时y的值即可得到答案； （2）根据列式求解即可； （3）由（2）可得，则，据此求出点M的横坐标，进而求出其纵坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴点B的坐标为； （2）解：∵点B的坐标为， ∴， ∵， ∴； （3）解：由（2）得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， 在中，当时，， ∴点M的坐标为或． 题型七 已知直线与坐标交点求方程的解 19．直线经过点和点，则方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元一次方程的解是一次函数的图象与轴交点的横坐标，即当时对应的自变量的值． 【详解】解：直线经过点， 当时，， 方程的解是． 20．已知函数（）的图象经过点，则关于x的方程的解为______． 【答案】 【分析】根据一次函数图象上点的坐标满足函数解析式，方程的解即为函数值为时对应的自变量的值，结合已知条件即可求解. 【详解】解：函数（）的图象经过点， 当时，， 关于的方程的解为. 21．直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．点．      (1)求的面积； (2)点D在第二象限，当为等腰直角三角形时，直接写出点D的坐标； (3)过C作x轴的垂线（即直线），E 为直线上的点，当为等腰三角形时，求出点E的坐标． 【答案】(1)3 (2)或或 (3)或或 【分析】（1）先求出点的坐标，即可解答； （2）分，，三种情况讨论，构造三角形全等求解即可； （3）设，求出，根据为等腰三角形，分，，，三种情况，利用列方程求解即可． 【详解】（1）解：令，则， 令，则， ∴； （2）解：当，时，过点D作轴，轴，如图， ∵轴，轴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， 设， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴； 当，时，过点D作轴，如图， 同理，， ∴， ∴， ∴； 当，时，过点D作轴，如图， 同理，， ∴， ∴， ∴； 综上，点D的坐标为或或； （3）解：设， ∵，， ∴， ∵为等腰三角形， 当时，即 ∴， 解得：， ∴； 当时，即 ∴， 解得：， ∴； 当时，即 ∴，即， 解得：， ∴； 综上，点E的坐标为：或或． 题型八 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 22．若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，一元一次方程的解，对应直线中时的值，据此可确定直线经过的点． 【详解】解：方程的解是， 当时，， 直线一定经过点． 23．直线与轴的交点的坐标是，则关于的方程的解是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，根据一次函数与一元一次方程的关系即可求解，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵直线与轴的交点坐标是， ∴当时，， ∴方程的解是， 故答案为：． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点． (1)求m和b的值； (2)若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒2个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①点A的坐标为 ，点D的坐标为 ； ②若点P在线段上，且的面积为10时，求t的值； ③直接写出t为何值时，为等腰三角形． 【答案】(1)， (2)①，；②；③为等腰三角形时，t的值为4或或或6 【分析】本题考查一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）将点代入，求出m的值，再代入中求出b即可； （2）把代入直线解析式，即可求得； 利用面积公式列出方程进行求解即可； 分三种情况： ，和分别求t的值即可． 【详解】（1）解：在中， 当时，， 当时，， ，， 点在直线上， ， ， 又点也在直线上， ， 解得，， ，； （2）解：直线与轴相交于点， 由（1）得， ， 解得， 点的坐标为， 由（1）得点的坐标为； 故答案为：，； 过点作于点，即为的高，如图所示， ，， ， 的面积为， ，， ，， ， 设，则， ， 解得； 为等腰三角形有三种情况： 过作于，如图1所示， 则，， ， ， 第一种情况：当时，， ， 此时，解得； 第二种情况：当时，和分别在点两侧，如图2所示， 则， ， ， 或，解得或； 第三种情况：当时，如图3所示， 设，则， ， ， 解得，， 与重合，， ， ，解得； 答：为等腰三角形时，的值为或或或． 题型九 利用图像法解一元一次方程 25．在平面直角坐标系中，一次函数，均为常数）与正比例函数（为常数）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对方程变形，整理得；方程的解，就是直线与直线交点的横坐标，结合图象交点坐标即可求解． 【详解】解：对方程移项变形： ， 方程的几何意义：正比例函数与一次函数的函数值相等． 由图象可知，直线和的交点坐标为，交点横坐标为． 因此方程的解为． 26．如图，一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于的方程的解是_____． 【答案】 【分析】方程的几何意义：求一次函数与正比例函数函数值相等时对应的自变量，也就是两条直线交点的横坐标．交点的横坐标即为方程的解． 【详解】解：方程等价于求时的取值，对应两个函数图像的交点横坐标． 由图可知，直线与的交点坐标为，该点横坐标为． 因此当时，成立，方程的解是． 27．学习函数时，我们经历了“确定函数解析式、画出函数图象、利用函数图象研究函数性质、利用函数性质解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列问题． (1)列表：与的部分对应值如表：则______，______． … 0 1 2 3 … … 0 1 … (2)描点、连线：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)结合图象，写出一条函数的性质：______． (4)根据函数图象填空： ①方程有______个解； ②若关于的方程无解，则的取值范围是______． ③若关于的方程有两个不相等的实数解，直接写出实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)函数的图象关于轴对称．（答案不唯一） (4)①2；②；③ 【分析】本题考查函数的图象和性质，解决本题的关键是读懂函数图象，掌握一次函数的图象性质． （1）将、代入函数解析式即可求解． （2）根据表格描点连线即可． （3）观察函数图象，从对称性等方面得出性质． （4）①根据图象确定方程解的个数； ②观察图象得出结论； ③根据函数图象分情况作答即可； 【详解】（1）解：将、代入函数解析式， 当时，； 当时，； 故，． 故答案为：，； （2）解：根据表格描点、连线，如图所示： （3）解：观察图象，可知：函数的图象关于轴对称． 故答案为：函数的图象关于轴对称； （4）解：①观察图象可知， 的图象与有两个交点， 故方程有2个解； 故答案为：2； ②观察图象可知，的图象与直线有一个交点， 在的下方无交点， 故要使关于的方程无解， 需． 故答案为：； ③当时，， 即函数必过， 当时，如图，当时，与右半段平行，此时与有1个交点， 即当时，与有2个交点，此时； 当时，同理可得当时，与有2个交点，此时； 当时，，由①可知此时与有2个交点； 综上所述，当时，关于的方程有两个不相等的实数解． 1 学科网（北京）股份有限公司 $