4.4 一次函数的应用 课前预习2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦一次函数应用，通过基础概念辨析、图像分析到实际问题解决的三阶设计，强化从数学眼光观察、数学思维推理到数学语言表达的素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|一次函数与方程关系、图像交点|单选题1-3题直接考察概念，如方程解与函数图像关系，培养抽象能力| |中档|图像信息提取、简单实际应用|填空题11-15题结合行程、声速等情境，解答题16-17题涉及方案选择，发展模型意识| |综合|复杂情境与几何综合|解答题18-20题融合动态几何、分段计费，需多步骤推理，提升推理能力与应用意识|

4.4 一次函数的应用 课前预习2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．若关于x的方程4x-b=0的解是x=-2，则直线y=4x-b一定经过点（    ） A． B． C． D． 2．如图表示的是一次函数（、为常数，）的图象，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 3．如图，点A，B，C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为，1，2．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（    ）    A．1 B． C． D．3 4．已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 5．在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下关系：设该商品的销售价为x元，售量为y件，估计当x＝137时，y的值可能为（    ） 销售价/元 90 100 110 120 130 140 销售量/件 90 80 70 60 50 40 A．63 B．59 C．53 D．43 6．如图，A、B两地相距，有甲、乙两车从A地出发去B地，甲车比乙车早出发，图中、分别表示甲、乙两车离开A地的距离与行驶时间之间的函数关系，现有以下四个结论：①甲车的速度为，乙车的速度为；②乙车出发4小时后追上甲车；③乙车到达B地时，甲车离A地的距离为；④乙车到达B地之前，甲、乙两车相距时，甲车行驶时间为或．其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 7．一次函数：与的图象如图所示，下列选项不正确的是（    ） A．随x 的增大而减小 B．函数 的图象不经过第二象限 C． D． 8．某市出租车收费标准如下：起步价元（以内，包含），超出部分每千米加收元（不足按计算）．设乘坐出租车行驶（为正整数且）的费用为元，则关于的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 9．在物理实验探究课上，小明利用滑轮组及相关器材进行提升重物实验时（不计绳重和摩擦），他把得到的拉力F（N）和所悬挂重物的重力G（N）的几组数据用电脑绘制成如图所示的图象，请你根据图象判断以下结论错误的是（    ） A．当拉力时，重物的重力 B．当时， C．拉力随着重物重力的增大而增大 D．当滑轮组不挂重物时，所用拉力为 10．如图，点，点，点，直线交轴于点，若直线和的边有公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 11．两地相距，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发，如图，表示两人离地的距离与时间的关系，请结合图像解答下列问题： 表示乙离地的距离与时间关系的图像是______ 填“”或“； 甲的速度是______ ，乙的速度是______ ． 12．如图，在中，，点C在边上，且，点D为的中点，点P为边上的动点，当点P在上移动时，使四边形周长最小的点P的坐标为_________． 13．一次函数与一元一次方程的关系：从“数”的角度看，一元一次方程（为常数，且）的解，就是一次函数___________的函数值为_______时，相应的自变量x的值；从“形”的角度看，一元一次方程的解就是一次函数___________的图象与_______轴交点的_______坐标． 14．某水池有水，现打开进水管进水，进水速度为，经过这个水池内有水，可得到关系式，请说明关系式中，所表示的实际意义是______． 15．声音在空气中传播的速度（称为声速）y（单位：）是气温x（单位：）的一次函数，下表列出了不同气温时的声速： 0 5 10 15 20 331 334 337 340 343 小明在看到烟花燃烧后才听到声响，当时的气温为，小明与烟花所在地相距______．（光传播所用的时间忽略不计） 三、解答题 16．A县和B县春季分别急需化肥100吨和60吨，C县和D县分别储存化肥110吨和50吨，全部调配给A县和B县．运费如下表所示： 出发地 运费（元/吨） 目的地          C县          D县 A县 40 45 B县 35 50 (1)设从C县运到A县的化肥为x吨，则从C县运往B县的化肥为 吨，从D县运往A县的化肥为 吨，从D县运往B县的化肥为 吨； (2)求总运费W（元）与x（吨）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)求最低总运费，并说明运费最低时的运送方案． 17．甲、乙两辆摩托车从相距的，两地相向而行，图中，分别表示甲、乙两辆摩托车离地的距离与行驶时间之间的函数关系．求： (1)请写出，的函数关系式． (2)何时甲摩托车离地的距离大于乙摩托车离地的距离？ 18．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点，动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动． (1)求A、B两点的坐标； (2)求的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式； (3)在M运动过程中，当时，直接写出此时M点的坐标． 19．在平面直角坐标系中，函数的图像与x轴交于A、B两点，（点A位于点B左侧）． (1)点A坐标为______，点B坐标为______． (2)若点在函数图像上，求n的值． (3)若点在函数图像上，求m的值． (4)点P是函数图像上一动点，其横坐标为a，点P不与点A重合，将图像上P、A之间的部分（包括点P、点A）记作图像G，图像G的最高点和最低点的纵坐标差为h，当时，直接写出h关于a的函数解析式． 20．为了鼓励市民节约用水，某地区采用分档计费的方式计算水费．下表是根据户年用水量进行分档计费的标准： 户年用水量（） 水费单价（元/） 不超过的部分 超过的部分 已知A户去年的户年用水量为，去年整年的水费是元，设户年用水量为（），整年的水费为（元）． (1)的值为________； (2)求关于的函数解析式； (3)已知B户去年整年的水费是元，求B户去年的户年用水量． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D C D D D B B B 1．【答案】C 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】根据方程可知当x=-2时，y=0，从而可判断直线经过点（-2，0）． 【详解】解：由方程可知：当x=-2时，4x-b=0，即当x=-2时，y=0， ∴直线y=4x-b的图象一定经过点（-2，0）． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键． 2．【答案】A 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值． 观察图象找到当时的值即为本题的答案． 【详解】解：观察函数的图象知：的图象经过点， 即当时， 所以关于的方程的解为， 故选：A． 3．【答案】D 【知识点】坐标与图形、一次函数与几何综合 【分析】设轴于点；轴于点；于点，然后求出 各点的坐标，计算出长度，利用三角形面积公式即可计算出答案． 本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及函数图象，根据一次函数上点的坐标特征，得出三个三角形均是底为1，高为2的直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，设轴于点；轴于点；于点    由题意可得: 点坐标为， 点坐标为， 点坐标为， 点坐标为， 点坐标为， 点坐标为， 点坐标为 所以， , 所以图中阴影部分的面积和等于 故选：D． 4．【答案】C 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，设小明行驶里程是x千米，需要花费y元，分别列出A方案和B方案的费用，分别求出选择A方案和B方案行驶的里程，进而可判断出最优方案． 【详解】解：设小明行驶里程是x千米，需要花费y元， A方案：一共需要花费：， B方案∶ 一共需要花费：， 若选择A方案，，解得：， 若选择B方案，得， 由于，则选择B方案是最优租车方案， 故选：C． 5．【答案】D 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】通过待定系数法求出y与x的函数关系式，再将x＝137代入求解． 【详解】解：设售量y件与销售价x元之间的关系为y＝kx+b， 将x＝90，y＝90与x＝100，y＝80分别代入可得：， 解得， ∴y＝﹣x+180， 将x＝137代入可得y＝43， 故选：D． 【点睛】此题主要考查一次函数的实际应用，解题的关键是根据待定系数法求出函数解析式． 6．【答案】D 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】根据速度、时间和路程的关系求解即可，本题考查了一次函数的应用，掌握速度、时间和路程的关系及数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：甲的速度为， 乙的速度为，故①是正确的； 设乙用x小时追上甲，则， 解得，故②是正确的； 乙车到达B地的时间为， 此时甲距A的距离为，故③是正确的； ， ， ∴乙车到达B地之前，甲、乙两车相距时，甲车行驶时间为或， 故④是正确的； 故选：D． 7．【答案】D 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、判断一次函数的增减性、利用图象法解一元一次方程 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式， 一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图像和性质，利用数形结合是解题的关键. 【详解】由图象可得：对于函数来说,随的增大而减小，故A正确，不符合题意； ∵ ∴函数 的图象经过第一，三， 四象限，不经过第二象限，故B正确，不符合题意； ∵一次函数 与 的图象的交点的横坐标为 ， ，故C正确，不符合题意； 当 时, ， 由图象可知 ，即，故D错误，符合题意； 故选: D. 8．【答案】B 【知识点】梯度计价问题 【详解】本题考查了一次函数的应用，根据出租车收费标准，建立费用与行驶里程的函数关系式即可，读懂题意，列出函数关系式是解题的关键． 【分析】解：当行驶里程（为正整数）时，费用由起步价和超出部分费用组成： 起步价：以内，包含为元， 超出部分：超出部分每千米加收元，超出里程为，费用为元， ∴关于的函数关系式是， 故选：． 9．【答案】B 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用．由图可得拉力与重力成一次函数关系，利用待定系数法求出函数解析式，逐项判断即可求解． 【详解】解：由图象可知，拉力与重力成一次函数关系，拉力F随着重力的增加而增大， 故选项C结论正确，不合题意； 设，将和代入，得：， 解得， ， 当拉力时，解得， 故选项A结论正确，不合题意； 由图可得，当时，， 故选项B结论错误，符合题意； 由图可得，当时，， 故选项D结论正确，不合题意； 故选：B． 10．【答案】B 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合 【分析】本题考查一次函数的图象性质、直线与三角形边的交点问题，确定直线的定点是解题关键． 先确定直线恒过定点，结合图形可知，直线绕定点旋转时，与边相交的临界位置是过、，求出直线过顶点、时的值即可得出的取值范围． 【详解】解：对于， 当时，令，即，解得，此时点的坐标为， 当时，令，此时直线为轴，直线经过点， 综上所述，直线一定经过点， 由图可知，直线绕定点旋转时，与边相交的临界位置是过、， 当直线经过点时，，解得； 当直线经过点时，，解得； 由图可知，当直线和的边有公共点时的取值范围为． 故选：． 11．【答案】 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的图像，从函数图像中找到正确的信息是解题的关键． 根据图像可得表示乙离地的距离与时间关系的图象是，由图像可得，甲走需要2小时，乙走需要3小时，即可解答． 【详解】解：由图像，可得表示乙离地的距离与时间关系的图象是； （），（）， ∴甲的速度是，乙的速度是． 故答案为：；30；20． 12．【答案】 【知识点】线段问题(轴对称综合题)、坐标与图形变化——轴对称、一次函数与几何综合、用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】先在y轴上截取，证明，得出当点E、P、C共线时四边形周长最小，进而利用一次函数的解析式以及求交点的方法求解即可． 【详解】解：如图，在y轴上截取， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形周长 （当点E、P、C共线时“”成立） ∵，点D为的中点， ∴，， ∴， ∴，， 设直线的解析式为：， 将点，代入解析式可得： ∴， ∴直线的解析式为：； 设直线的解析式为：， 将点代入解析式得：， ∴， ∴直线的解析式为：， 联立和，得， ∴， ∴， ∴ 故答案为： ． 【点睛】本题考查了将军饮马-最短路径问题，涉及到求一次函数解析式，两直线的交点问题，全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是找到符合题意的点位置，再求坐标． 13．【答案】 横 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握一次函数的图象与一元一次方程的关系是解题的关键． 根据一次函数与一元一次方程的关系填空即可． 【详解】解：一次函数与一元一次方程的关系：从“数”的角度看，一元一次方程(为常数，且)的解，就是一次函数的函数值为0时，相应的自变量的值；从“形”的角度看，一元一次方程的解就是一次函数 的图象与轴交点的横坐标． 故答案为：，横． 14．【答案】进水速度 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，关系式为一次函数形式，其中为一次项系数，表示水量随时间的变化率，即进水速度． 【详解】解：在关系式中，将其与一次函数标准形式对比，可得，则表示每小时进水的体积，即进水速度． 故答案为：进水速度． 15．【答案】1640 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，根据表格数据确定声速与气温的一次函数关系式，求出气温时的声速，再计算距离即可． 【详解】解：设， 把和代入得， 解得， ∴， 当时，， ， ∴小明与烟花所在地相距， 故答案为：． 16．【答案】(1)，， (2) (3)最低运费6350元；从C县运到A县的化肥为50吨，从C县运往B县的化肥为60吨，D县的化肥全运往A县 【知识点】列代数式、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意和题目中的数据，可以写出总运费W（单位：元）关于x（单位：t）的函数解析式，并求出自变量x的取值范围； （3）根据（1）中的函数关系式和一次函数的性质，可以求得最低总运费和此时的运送方案． 【详解】（1）解：从C县运往B县的化肥：， 从D县运往A县的化肥：， 从D县运往B县的化肥：； （2）解：， A县的化肥全从C县运进，则， D县的化肥全运往A县，则， 所以自变量x的取值范围是； （3）解：由（2）知：， ∴w与x成一次函数，，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w最小， （元）， 从C县运到A县的化肥为50吨，从C县运往B县的化肥为吨，从D县运往A县的化肥为吨，D县的化肥全运往A县． 17．【答案】(1)的函数关系式为，的函数关系式为； (2)出发后甲摩托车离A地的距离大于乙摩托车离A地的距离． 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． （1）分别根据速度=路程÷时间求出甲、乙的速度，再由路程=速度×时间求出对应的函数关系式即可； （2）求出甲、乙相遇的时间，再根据图象可知何时甲摩托车离A地的距离大于乙摩托车离A地的距离即可． 【详解】（1）解：甲的速度为， 则， 乙的速度为，则， ∴的函数关系式为，的函数关系式为； （2）解：当甲、乙相遇时，得， 解得， 根据图象，出发后甲摩托车离A地的距离大于乙摩托车离A地的距离． 18．【答案】(1)； (2)； (3)当时，此时M点的坐标为或． 【知识点】一次函数与几何综合、全等三角形的性质、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题主要考查了求一次函数值，一次函数与几何图形，全等三角形的性质和判定， 对于（1），由直线l的函数解析式，令求A点坐标，求B点坐标； 对于（2），由面积公式求出S与t之间的函数关系式； 对于（3），当时，可得并得到M点坐标． 【详解】（1）解：对于直线， 当时，；当时，， 则A、B两点的坐标分别为； （2）解：∵， ∴， 当时，； 当时，， 综上， ； （3）解：M点的坐标为或； 理由如下： ∵， ∴只需，则， 即， 此时，若M在x轴的正半轴时，M点的坐标为； M在x轴的负半轴，则M点的坐标为， 综上，当时，此时M点的坐标为或． 19．【答案】(1)， (2) (3) (4)①，；②，；③， 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，分类讨论是解题的关键． （1）令，分别求出的值，即可A、B两点坐标； （2）当时，代入求值即可； （3）当时，分情况代入求值即可； （4）利用一次函数的增减性，确定图像G的最高点和最低点的纵坐标即可，注意分类讨论． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当时，， ∴， 故答案为：，； （2）解：当时，； （3）解：当，解得， 当，解得， 综上所述：的值为； （4）解：当时，图象G解析式为，此时随的增大而减小，当时，最高点纵坐标为0，当时，最低点纵坐标为， ∴； 当时，图象G解析式为，当时，最高点纵坐标为0，当时，最低点纵坐标为， ∴； 当时，图象G解析式为，当时，最高点纵坐标为，当时，最低点纵坐标为， ∴； 综上所述：①，；②，；③，． 20．【答案】(1) (2) (3) 【知识点】梯度计价问题 【分析】（1）根据A户去年的户年用水量为小于进行计算即可； （2）分情况讨论进行求解即可； （3）先算出B户去年的户年用水量大于，据此计算即可． 【详解】（1）解：∵A户去年的户年用水量为， ∴，解得； （2）解：当时， 关于的函数解析式为， 当时，关于的函数解析式为， 关于的函数解析式为； （3）解：当时，， 户去年的户年用水量大于， 将代入，得， 解得． 答：B户去年的户年用水量为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $