精品解析：湖南株洲市第二中学2027届高三上学期入学考试数学试题

株洲市二中2026年下学期高三年级入学考试试卷 数学试题 时量：120分钟　　分值：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据并集的定义计算即可. 【详解】因为集合，， 所以. 2. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以的虚部为1. 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由函数，可得函数的定义域为， 又由，所以函数为偶函数，图象关于轴对称， 当时，，由对数函数的性质得在单调递减，且， 所以选项D符合题意. 4. 在重大节日里，从古至今我国有悬挂灯笼增加节日气氛的习俗．据文献记载，古代有一座层的塔共挂了盏灯笼，相邻两层中的下一层灯笼数是上一层灯笼数的倍，顶层有盏灯笼，问共有多少层塔？（ ） A. 层 B. 层 C. 层 D. 层 【答案】C 【解析】 【详解】设从上至下，第层的灯笼数为盏， 由题意可知，数列是首项为，公比为的等比数列， 设该数列的前项和为，则，即，解得. 故共有层塔. 5. 的展开式中，的系数为（ ） A. 42 B. 70 C. 84 D. 【答案】A 【解析】 【分析】按多项式乘法配凑出的三组对应项，用二项式定理算出对应次数项，相乘求和即得目标系数. 【详解】的第、、项分别为、、， 所以的展开式中的系数为： . 6. 已知为抛物线：的焦点，点，若为抛物线上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线标准方程以及定义，结合两点之间线段最短，即可求得结果. 【详解】因为抛物线方程为，所以焦点，准线为， 设点到准线的垂线段为，垂足为， 根据抛物线定义得，所以， 根据两点之间线段最短得到，三点共线时等号成立， 且此时，所以，即的最小值为. 7. 已知，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得，利用同角关系式和两角差的余弦公式求解. 【详解】因为，，所以， 已知 ，所以， 因此， 已知，，所以， 则 . 8. 若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，将原不等式变形为同构不等式，结合的单调性得在时恒成立，利用导数求出的最小值即可得解. 【详解】将不等式变形为， 构造函数，其中，所以不等式可以表示为， 对求导，得，因为，所以恒成立，即在上单调递增， 则由不等式可推出对所有的恒成立，即，所以必须小于或等于在时的最小值， 令，则， 当时，，说明在上单调递减； 当时，，说明在上单调递增； 因此，在处取最小值，最小值为， 所以，即的最大值为，故B正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是公比为的等比数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】由等比数列的通项公式结合条件可得，进而求出数列的通项公式与前项和，依此分别判断四个选项即可. 【详解】对于A，由得，即，由得， 代入得，联立，且，解得，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，， 则为定值，故D正确. 故选：ACD 10. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，为上的动点，轴，垂足为，为的中点，为上顶点，则（ ） A. 椭圆的焦距为 B. 的最小值为 C. （为原点）是定值 D. 的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】由离心率求出，再由求出可判断A；利用椭圆的定义、基本不等式可判断B；设，根据中点坐标公式、在上可判断C；求出利用配方法可判断D． 【详解】对于A，由题意，，解得， ，则焦距，A错误； 对于B， ， 当且仅当时，等号成立，B正确； 对于C，设，易知，为上的动点， 则，即，C正确； 对于D， ，即，D错误． 故选：BC. 11. 在中，记，则下列判断正确的是（ ） A. 当时，的最大值为 B. 给定，任意交换，，的位置，的值不会发生改变 C. 当时，为等边三角形 D. 存在满足条件的，使得成立 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用三角形内角和关系对原式做三角恒等变形，为定值时可将整理为关于的函数求最值，通过化简后的式判断角交换时的对称性，结合三角函数有界性可由值推导内角、判断三角形形状，结合三角形内角范围分析的取值上界，即可判断能否成立. 【详解】利用三角形内角和可得：， 结合和，， 得：， 所以， 在A选项中，当时，，代入原式可得： ， 因为，所以，根据余弦函数的性质可得： 最大值为1（当时取到），此时​，A正确， 在B选项中，因为是的加法对称式， 交换任意角只是改变加法顺序，结果不变，B选项正确， 在C选项中，将代入， 则，两边同时乘以可得： ，整理可得： ，因为， 令，，则， 根据三角形内角和可得：， 所以，因为， 所以， 即， 又因为，所以， 所以， ， 利用两角和的余弦公式可得：， 所以， 化简得：， 所以，化简可得：， 在中，若有一个角为钝角，则其余弦值为负， 即乘积，不可能等于，故三角形为锐角三角形， 所以，，对于锐角有： ， 所以，令， 则右侧，是开口向下的二次函数，当时取得最大值， 又因为，恰好取到理论最大值，因此所有不等式必须取等号， ，得出且，所以，故为等边三角形，C正确， 在D选项中，由余弦值域可得： ， 等号要求，即， 不符合三角形内角，所以D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】计算的坐标，利用向量垂直的坐标表示列方程求解即可. 【详解】因为，，则. 又，则  . 即  ，整理得，解得. 13. 在刚过去的“五一”假期，甲、乙、丙、丁四名同学从，，三个景点中选一个景点去旅游.已知每个景点都有人选，且甲没有选景点，则所有不同的选法种数为______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据每个景点都有人选，确定分组情况，再结合甲没有选景点，分情况讨论不同的选法种数，将各种情况种数相加即为所有不同选法种数. 【详解】解：由四名学生选三个景点，且每个景点都有人，则必有一个景点有2人，另外两个景点各1人， 情况1，甲单独去一个景点，由甲没有选景点，则甲选景点或，共有种， 由于甲单独在一个景点，因此需将剩下人分配到剩下两个景点， 则有一个景点有2人，另一个景点1人，有种， 所以根据分步计数原理，这种情况选法种数共有种； 情况2，甲和另外一个人一起去景点或，共有种， 剩下2人选剩下的2个景点，共有种， 所以根据分步计数原理，这种情况选法种数共有种， 因此，每个景点都有人选，且甲没有选景点，则所有不同的选法种数为种. 14. 在正四面体中，取棱上一点T，使，连接，三棱锥的内切球的球心为M，三棱锥的内切球的球心为N，则平面与平面的夹角的正弦值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】画出立体图形和截面图形，结合题意分别确定的位置，再由几何关系求出正弦值. 【详解】 设三棱锥的内切球分别与面、面相切于两点， 易知平分，平分，易知， 取中点为，则在的平分线上， 同理三棱锥的内切球球心在的角平分线上， 易知面，故，同理， 于是为平面与平面的夹角的平面角， 设正四面体棱长为，则，， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在一个周期内的图象如图所示． （1）求的解析式 （2）求的单调递增区间； （3）求在区间上的值域． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的图象确定的值，然后根据图象经过的点坐标求出. （2）根据正弦函数的单调性求出单调区间即可. （3）根据正弦函数的性质求出值域即可. 【小问1详解】 由图象知，，所以， 由图象过点，代入函数得， 所以，，因为，则，所以． 【小问2详解】 令，，解得，， 故函数的单调递增区间为． 【小问3详解】 因为，所以，当时，即时，取最大值，最大值为， 当时，即时，取最小值，最小值为， 所以的值域为． 16. 在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面平面，已知，、分别为、的中点. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）取的中点为，连接、. 因为为的中点，所以，， 因为为的中点，底面是正方形，所以，， 所以且，则四边形是平行四边形，则， 因为平面，平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，求证四边形是平行四边形，再利用线面平行的判定定理求证； （2）利用等体积计算. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点为，连接， 因为侧面是边长为1的正三角形，所以，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为为的中点，所以， 则. 17. 已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆半径为，记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆． （1）求椭圆的标准方程； （2）设AB是过椭圆中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线．若M是l与椭圆的交点，求的面积的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知列方程组求参数值，再由曲线的关系即可得椭圆方程； （2）讨论直线的斜率，并设出直线方程，联立椭圆求交点坐标，再由化简得到定值，结合三角形面积公式及基本不等式求面积最小值. 【小问1详解】 当时，，则，由对称性知内切圆的圆心为原点， 结合题设，有，解得， 因此所求椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 当直线的斜率存在且时，则， 联立，得， 由，解得， 所以，则，同理， 法一：由 ， 当且仅当时等号成立，即时等号成立， 法二：因为， 又， 当且仅当时等号成立，即时等号成立， 此时面积的最小值是， 当时，， 当k不存在时，， 综上所述，的面积的最小值为. 18. 已知函数，，， （1）求函数的图像在点处的切线方程； （2）若，求函数的单调区间，并求当函数有三个零点时，实数m的取值范围； （3）当时，、分别为函数的极大值点和极小值点，且不等式对任意恒成立，求实数t的取值范围. 【答案】（1）； （2）函数的单调增区间为和，单调减区间为； 实数m的取值范围为． （3）． 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程即得； （2）把代入，求出的导数，确定的解集得单调区间，结合极大值、极小值求出的范围； （3）由导数求出，构造函数并借助导数探讨不等式恒成立即可． 【小问1详解】 函数，所以，得，而， 所以切线方程为，即． 【小问2详解】 当时，，，由，得或， 当或时，，当时，， 因此函数的单调增区间为和，单调减区间为； 极大值，极小值， 又， ， 如图所示，函数有三个零点等价于函数的图象与直线有三个交点， 所以函数有三个零点时的取值范围为. 【小问3详解】 因为，所以 令，得或，解得或， 当或时，，当时，， 即函数在，上单调递增，在上单调递减， 因此当时，取得极大值，当时，取得极小值，即有， 而，， 又不等式对任意恒成立，于是， 设， 显然，， 令，求导得， 则函数在上严格递减，有， 当时，， 则有函数在上严格递减， ，符合题意； 当时，存在，使得， 当时，，当时，， 因此函数在上严格递增，有，不符合题意， 所以实数的取值范围为. 19. 有编号为的个空盒子，另有编号为的个球，现将个球分别放入个盒子中，每个盒子最多放入一个球．放球时，先将1号球随机放入个盒子中的其中一个，剩下的球按照球编号从小到大的顺序依次放置，规则如下：若球的编号对应的盒子为空，则将该球放入对应编号的盒子中；若球的编号对应的盒子为非空，则将该球随机放入剩余空盒子中的其中一个．记号球能放入号盒子的概率为． （1）求； （2）当时，求； （3）求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分类讨论1号球放入的盒子应用全概率公式即可计算； （2）分类讨论1号球放入的盒子应用全概率公式即可计算； （3）分三类讨论1号球放入的盒子，1号球放入 号盒中等效于将编号为的球，按照题设规则放入编号为的盒中，做差运算可得迭代得出结论.. 【小问1详解】 1号球放入1号盒中的概率为,此时2,3号球分别放入2,3号盒中； 1号球放入2号盒中的概率为,欲使3号球放入3号盒中，则2号球需放入1号盒中，概率为, 1号球放入3号盒中时，此时3号球不能放入3号盒中; 综上所述： . 【小问2详解】 1号球放入1号,4号，5号，, n 号盒中的概率为，此时3号球可放入3号盒中; 1号球放入2号盒中的概率为,欲使3号球放入3号盒中，则2号球需放入1号，4号，5号，.... n 号盒中，概率为, 1号球放入3号盒中时，此时3号球不能放入3号盒中; 综上所述： 【小问3详解】 1号球放入1号，号，号，号，..., n 号盒中的概率为,此时 k 号球可放入 k 号盒中： 1号球放入 号盒中的概率为,此时2号，3号，....号球都可以放入对应编号的盒中， 剩下编号为 的球和编号为 的空盒， 此时 j 号盒非空， j 号球在所有空盒中随机选择一个放入，此时要让 k 号球放入 k 号盒中的放法总数等效于将编号为的球， 按照题设规则放入编号为的盒中（1号球仍然随机选择一个盒子放入）,所以概率为 1号球放入 k 号盒中时，此时 k 号球不能放入 k 号盒中： 所以 , 整理得： ,① 分别用 和 替换 和 ，可得： ,② 由①②式相减，整理得： 从而 , 等于1号球不放在2号盒的概率，即. 所以 【点睛】关键点点睛： 1号球放入 号盒中的关键是等效于将编号为的球，按照题设规则放入编号为的盒中，做差运算可得迭代得出结论.. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 株洲市二中2026年下学期高三年级入学考试试卷 数学试题 时量：120分钟　　分值：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 在重大节日里，从古至今我国有悬挂灯笼增加节日气氛的习俗．据文献记载，古代有一座层的塔共挂了盏灯笼，相邻两层中的下一层灯笼数是上一层灯笼数的倍，顶层有盏灯笼，问共有多少层塔？（ ） A. 层 B. 层 C. 层 D. 层 5. 的展开式中，的系数为（ ） A. 42 B. 70 C. 84 D. 6. 已知为抛物线：的焦点，点，若为抛物线上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是公比为的等比数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 为定值 10. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，为上的动点，轴，垂足为，为的中点，为上顶点，则（ ） A. 椭圆的焦距为 B. 的最小值为 C. （为原点）是定值 D. 的最大值为 11. 在中，记，则下列判断正确的是（ ） A. 当时，的最大值为 B. 给定，任意交换，，的位置，的值不会发生改变 C. 当时，为等边三角形 D. 存在满足条件的，使得成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，，若，则__________． 13. 在刚过去的“五一”假期，甲、乙、丙、丁四名同学从，，三个景点中选一个景点去旅游.已知每个景点都有人选，且甲没有选景点，则所有不同的选法种数为______. 14. 在正四面体中，取棱上一点T，使，连接，三棱锥的内切球的球心为M，三棱锥的内切球的球心为N，则平面与平面的夹角的正弦值是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在一个周期内的图象如图所示． （1）求的解析式 （2）求的单调递增区间； （3）求在区间上的值域． 16. 在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面平面，已知，、分别为、的中点. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积. 17. 已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆半径为，记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆． （1）求椭圆的标准方程； （2）设AB是过椭圆中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线．若M是l与椭圆的交点，求的面积的最小值． 18. 已知函数，，， （1）求函数的图像在点处的切线方程； （2）若，求函数的单调区间，并求当函数有三个零点时，实数m的取值范围； （3）当时，、分别为函数的极大值点和极小值点，且不等式对任意恒成立，求实数t的取值范围. 19. 有编号为的个空盒子，另有编号为的个球，现将个球分别放入个盒子中，每个盒子最多放入一个球．放球时，先将1号球随机放入个盒子中的其中一个，剩下的球按照球编号从小到大的顺序依次放置，规则如下：若球的编号对应的盒子为空，则将该球放入对应编号的盒子中；若球的编号对应的盒子为非空，则将该球随机放入剩余空盒子中的其中一个．记号球能放入号盒子的概率为． （1）求； （2）当时，求； （3）求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $