湖南株洲市第四中学2026-2027学年高三8月开学考试数学试题

2026.8高三开学考试数学试题 （时量：120分钟 满分：150分 考试范围：高考所有内容） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每道题只有一个答案符合题意． 1．已知复数满足，则 A． B． C． D． 2．已知向量，．若，则 A． B． C． D． 3．已知集合，，则 A． B． C． D． 4．已知双曲线：经过点，则的渐近线方程为 A． B． C． D． 5．已知对于任意，，都有，且，则 A．4 B．8 C．64 D．256 6．已知等差数列的前项和为，公差为，且单调递增．若，则 A． B． C． D． 7．已知，，若，，则 A． B． C． D． 8．中心极限定理是概率论中的一个重要结论．根据该定理，若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的均值与方差近似相等．现投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为 附：若：，则，，． A．0.0027 B．0.5 C．0.8414 D．0.9773 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则 A．若，则 B．若，则 C．若，则在上单调递减 D．若，则在上单调递增 10．指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况．已知为全集且元素个数有限，对于的任意一个子集，定义集合的指示函数，若，，，则（ ） 注：表示中所有元素所对应的函数值之和（其中是定义域的子集）． A． B． C． D． 11．已知空间两条异面直线，所成的角等于，过点与，所成的角均为的直线有且只有一条，则的值可以等于 A． B． C． D． 三、填空题：本题共3道题，每小题5分，共15分 12．的展开式中的系数是__________． 13．设数列的前项和为，等比数列的前项和为，若，，，则__________． 14．已知双曲线，都经过点，离心率分别记为，，设双曲线，的渐近线分别为和．若，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）记的内角，，所对的边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，，求的面积． 16．（15分）已知四面体，，． （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 17．（15分）已知抛物线：的焦点到准线的距离为2，点，过的直线交于，两点，过，分别作的垂线，垂足分别为，，直线，与直线分别交于点，． （1）求的方程； （2）记，的纵坐标分别为，，当时，求直线的斜率； （3）设为轴上一点，记，分别为直线，的斜率．若为定值，求点的坐标． 18．（17分）在数轴的坐标原点放置一个机器人，它每过秒都将以的概率向数轴正方向或负方向移动1个单位长度，机器人每次经过或时都会向雷达发送一次信息，且雷达会瞬间收到．设事件表示“机器人的前次移动均未向雷达发送信息”． （1）求，； （2）已知①②两个结论：①；②设是一列无穷个事件，若存在正数，对于任意的均有，则“中只有有限个事件同时发生”的概率为1． （i）证明：事件；“雷达会收到信息”的概率为1； （ii）求机器人首次发送信息时所在位置为3的概率． 19．（17分）已知函数． （1）判断的奇偶性； （2）若，求证：； （3）若存在，使得对任意，均有，求正实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026.8高三开学考试数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C B D A D D ACD BCD 题号 11 答案 AD 12．8 13． 14．1 15．【详解】（1）由得，而为三角形内角， 故，得，而为三角形内角，或 （2）由得， 又，，故，， 由（1）得，故， ，而为三角形内角，． 又即， 又，而为三角形内角，故， ． 16．（1）证明如下： 取的中点，连，， 由，可得，， 又因为，、平面， 所以平面， 因为平面，所以． （2）方法1：因为，所以， 又因为，所以， 由（1）可得平面，所以平面平面， 作交延长线于点，则平面且， 设点到平面的距离为， 因为，则， 可得， 设直线与平面所成角为，可得， 所以直线与平面取成线面角的正弦值为； 方法2：因为，所以， 又因为，可知， 由（1）可得平面，且平面， 所以平面平面， 作交延长线于点， 则平面且， 如图，以为轴，为轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 可得，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，，可得， 设直线与平面所成角为， 可得， 所以直线与平面取成线面角的正弦值为． 17．【详解】（1）由题意知，所以抛物线方程为． （2） 由题意可设直线的方程为，，，则，，． 所以，得， 所以，． 所以直线的方程为：，与直线的方程联立消去， 解得，同理． 所以．所以． 所以直线的斜率为． （3）设， 因为． 因为，． 所以， 当时，为定值．所以． 18．（1），； （2） （i），因此， ， ， 对于一系列无穷事件，存在正数，对于任意的都有，， 则“中只有有限个事件同时发生”的概率为1，即“中有事件不发生”的概率为1，即“雷达会收到信息”的概率为1． （ii）设事件{机器人从出发，运动至3首次发送信息}， 根据（i），机器人发信息的概率为1，即它会从0运动至或3的概率为1， 再根据对称性，机器人初始位置为0，首次发信息在的概率与初始位置在1， 首次发信息在3的概率相等，即． 设事件表示点移动到1，事件，表示点移动到0，设事件表示点移动到． 易知事件与事件相互独立，故． 又根据全概率公式，若机器人初始位置为0， 第一次移动后的位置为1或，故， 故，① 若机器人初始位置为，第一次移动后的位置为，故， 即，② 解①②，解得，从而雷达第一次收到信息时机器人位置为的概率为． 19．【详解】（1）， 当时，定义域为，当时，定义域为，均关于原点对称， 且， 故为偶函数， （2）当时，为偶函数， 要证，只需要证， 当时，， 只需证明时，，即证， 只需证，即证， 令，，在单调递增，故，所以，得证． （3）由可得， 当时，，故， 故， 令，则， 令，， 令，， ①当时，即，存在，使得对任意，， 故在单调递增，又，所以在恒成立， 从而在单调递增，又，所以在恒成立， 从而在单调递增，结合，得对任意恒成立，符合题意， ②当时，，存在，使得对任意，， 故在单调递减，又，所以在恒成立， 从而在单调递减，又，所以在恒成立， 从而在单调递减，结合，得对任意恒成立，不符合题意， ③当时，令， ，则，类推②同理可得不符合题意， 综上可得 学科网（北京）股份有限公司 $