1.2 数轴、相反数和绝对值(第三课时）学案 2026-2027学年沪科版数学七年级上册

该初中数学导学案聚焦“数轴、相反数和绝对值（第三课时）”，核心内容为理解绝对值的几何与代数定义及求法。课堂导入通过观察数轴上4与-4、+1/2与-1/2到原点的距离，关联上节课相反数及数轴知识，搭建从距离到绝对值概念的学习支架。 此资料特色在于以几何直观引入绝对值概念，发展学生抽象能力与推理意识，通过分层作业设计（必做、选做、综合拓展）结合出租车耗油量等实际问题，培养模型观念与应用意识，助力学生夯实运算能力，提升分析解决问题的能力。

第1章 有理数 1.2 数轴、相反数和绝对值（第三课时） ► 学习目标与重难点 学习目标： 1.借助数轴理解绝对值的几何意义，发展数感与符号意识，利用几何直观体会数与点的对应关系，提升抽象能力。 2.通过观察、归纳得到绝对值的代数性质，发展推理意识；会求有理数的绝对值，夯实有理数相关的运算能力。 3.能用符号表示绝对值，建立绝对值的模型观念，会运用绝对值知识分析简单问题，发展应用意识。 学习重点：理解绝对值的几何与代数定义，会求有理数的绝对值。 学习难点：理解负数的绝对值等于它的相反数，读懂绝对值的分段字母表达式。 ► 预习自测 一、知识链接 1.上节课学习了相反数，互为相反数的两个数符号相反，在数轴上对应的点到原点的距离相等，为本节课从距离角度认识绝对值打下基础。 2.之前学习了数轴的相关知识，数轴上的点到原点存在确定的距离，绝对值的概念正是借助数轴上点到原点的距离来定义的。 3.已经掌握有理数可分为正数、0、负数三类，本节课求绝对值时，需要对正数、负数、0分情况进行分析。 2、 自学自测 1.在数轴上，表示数a的点与原点的距离叫作数a的________，记作|a| 2.|0|=_____；负数的绝对值是它的__________ 3.|- |=________ ► 教学过程 一、创设情境、导入新课 观察：在数轴上，表示4与-4的点与原点的距离各是多少？表示与- 的点与原点的距离各是多少？ 二、合作交流、新知探究 探究一：绝对值的概念与性质 教材第12页 1.绝对值的几何定义：在数轴上，表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，记作|a|.例如+4和-4，它们符号相反，表示它们的点位于原点两侧，但与原点的距离都等于4，即它们的绝对值都是4，记作|+4|=4，|-4|=4. 2.2.特殊值：表示数0的点是原点，0的绝对值是0，即|0|=0. 3.绝对值的代数性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 4.互为相反数的绝对值关系：绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数，也就是说，互为相反数的两个数绝对值相等。 三、课堂练习、巩固提高 【知识技能类作业】必做题： 1.｜2.5｜＝________，｜－2.5｜＝________，即如果数轴上有一点与原点的距离是2.5，那么这个点表示的数是____________. 2. 绝对值小于5的整数共有（ ） A. 11个 B. 9个 C. 7个 D. 5个 3. 如图，数轴的单位长度为1，如果点B，C表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是________. A．原点O在点B 的右侧 B．原点O在点A 的左侧 C．原点O在线段AB 的正中间的位置 D．原点O在点A，B之间的任意位置 4.已知｜a｜＝ ，｜b｜＝4，｜c｜＝5，且有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则a＝________，b＝________，c＝________. 【知识技能类作业】选做题： 1.有下列说法：① 互为相反数的两个数的绝对值相等；② 绝对值等于本身的数只有正数；③ 不相等的两个数的绝对值一定不相等；④ 绝对值相等的数一定相等.其中，正确的共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2.如图，四个有理数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q.若n和q互为相反数，则m，n，p，q四个数中，绝对值最大的是（ ） A. p B. q C. m D. n 3.若｜x＋6｜＋｜y－13｜＝0，则2y－｜x｜＝________. 4.计算：（1）｜－22｜＋｜－9｜；（2）｜－56｜－｜－18｜；（3）＋3×｜－12｜； （4）－ ÷（－1 ）；（5）－3 ×（－1 ）÷｜－1.25｜. 【综合拓展类作业】 1.某一天下午，出租车司机小张的营运全是在东西走向的幸福路上进行的.如果规定向东为正、向西为负，那么他这天下午的行程（单位：km）如下：＋3，＋10，－4，＋7，－5，－4，＋12，－8，－5，＋6，－21，＋9.若出租车的耗油量为0.1L/km，则这天下午小张的出租车共耗油多少升？ 2.同学们都知道｜5－（－2）｜表示5与－2的差的绝对值，也可理解为5与－2两数在数轴上所对应的两点之间的距离. （1）试探索：｜5－（－2）｜＝________. （2）试探索：使得｜x＋5｜＋｜x－2｜＝7成立的整数x有_________________________________. （3）根据以上探索，猜想：对于任何有理数x，｜x－3｜＋｜x－6｜是否有最小值？如果有，请写出最小值；如果没有，请说明理由. 4、 总结反思、拓展升华 【课堂总结】 1.借助数轴上点到原点的距离，引出绝对值的概念，通过+4与‑4到原点距离相等的实例，直观感受绝对值的几何意义。 2.绝对值是数轴上表示数a的点与原点的距离，记作|a|；0的绝对值是0；会求给定有理数的绝对值。 3.正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，可用分段式子表示。 4.能够在数轴描点并求出对应数的绝对值，利用绝对值的规律完成求值填空练习，巩固绝对值的计算方法。 五、【作业布置】 【知识技能类作业】必做题： 1.求下列各数的绝对值 （1）-2026 （2）+3.14 （3）0 （4）- 2.若 |x - 3| + |y + 2| = 0，求 x + y 的值。 3.直接写出结果 ①|+8| = （ ）②|-15| = （ ）③|0| = （ ）④|-3.7| = （ ）⑤-|-4| = （ ）⑥|2 - 7| = （ ） 【知识技能类作业】选做题： 1.已知 a < 0 < b，且 |a| > |b|，判断 a + b 的正负，并说明理由。 2.填空题：①若 |x| = 2026，则 x = （ ）。 ②若 |x + 4| = 3，则 x = （ ）。 ③数轴上点 A 表示 x，点 B 表示 -2，若 AB = 5，则 x = （ ）。 ⑤已知 a < 0 < b，化简 |a - b| - |a| = （ ）。 【综合拓展类作业】 1.已知 a < 0 < c < b，且 |a| > |b|。 （1）判断正负：a + b （ ）0，c - b （ ）0（填">"、"<"或"="）； （2）化简：|a + b| + |c - b| - |a - c|。 2.我们知道 |x| 的几何意义是数轴上表示数 x 的点到原点的距离；类似地，|x - a| 表示数轴上表示数 x 与数 a 的点之间的距离。 （1）|x - 1| + |x + 2| 表示数轴上表示数 x 的点到表示数（ ）和（ ）的点的距离之和；（2）结合数轴，求 |x - 1| + |x + 2| 的最小值，并写出此时整数 x 的取值。 答案 自学自测：1.绝对值；2.0；相反数；3. 【课堂练习】 【知识技能类作业】必做题 1.2.5；-2.5；2.5或-2.5 2.B 3.-4 4. ；4；-5 【知识技能类作业】选做题 1.A 2.A 3.20 4.（1）31（2）38（3）44（4） （5）3 【综合拓展类作业】 1.①求每次行驶路程（取每个数的绝对值）|+3|+|+10|+|-4|+|+7|+|-5|+|-4|+|+12|+|-8|+|-5|+|+6|+|-21|+|+9| =94km ②计算总耗油量：总路程 × 每千米耗油量。94×0.1=9.4（L）答：这天下午小张的出租车共耗油9.4升。 2.（1）7；（2）－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2；（3）答：有最小值，最小值为3 【作业布置】 【知识技能类作业】必做题 1.【解析】根据绝对值法则，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 【详解】(1)|-2026|=2026 (2)|+3.14|=3.14 (3)|0|=0 (4)|- |= 2.【解析】绝对值具有非负性，|x-3|≥0，|y+2|≥0；两个非负数相加等于0，则每一项都必须等于0。【详解】x=3，y=-2，x+y=3+(-2)=1 3.【解析】运用绝对值定义计算，有多层符号时，先算绝对值，再算外侧符号；有运算先计算绝对值内部算式。 【详解】8；15；0；3.7；-4；5 【知识技能类作业】选做题 1.【解析】由a<0<b可知a是负数，b是正数。|a|、|b|分别代表两数到原点的距离，已知|a|>|b|，说明负数的距离更大。异号两数相加，和的符号取绝对值较大数的符号，所以a+b<0，a+b为负数。 【详解】结论：a+b<0，a+b为负数。 理由：∵a<0，说明a是负数；b>0，说明b是正数。|a|表示a到原点的距离，|b|表示b到原点的距离。又∵|a|>|b|，说明在数轴上，负数a离原点的距离比正数b离原点的距离更远。负数的力量更大，正数不足以抵消负数，因此两数相加结果为负数。 2.【解析】总体做题思路：本组填空题围绕绝对值的意义考查。 1.若一个数的绝对值等于正数，这个数有两个，互为相反数； 2.对于含有代数式的绝对值方程，把绝对值里面整体看成一个数，等于正负两个值，再解方程； 3.数轴上两点距离可以转化成绝对值方程求解； 4.化简绝对值，先判断绝对值内部式子正负，再去掉绝对值符号，最后合并化简。 【详解】±2026；-1或-7；3或-7；b 【综合拓展类作业】 1.【解析】(1) a是负数，b是正数，|a|>|b|，异号相加取绝对值大的符号，a+b<0。c<b，小数减大数，c‑b<0。 (2)化简 |a+b|+|c‑b|-|a‑c| 思路：先判断每个绝对值内式子的正负，再依据绝对值性质去掉绝对值符号。 1.a+b<0，则|a+b|=-(a+b) 2.c‑b<0，则|c‑b|=-(c‑b) 3.a<0，c>0，a‑c<0，则|a‑c|=-(a‑c)。之后代入原式计算即可。 【详解】（1）＜；＜ （2）解：原式=|a+b|+|c-b|-|a-c| =(-a-b)+(-c+b)-(-a+c) =-a-b-c+b+a-c =(-a+a)+(-b+b)+(-c-c) =-2c 2.【解析】解析 (1) 根据绝对值几何意义：|x-a|代表数轴上x与a两点间距离。 |x-1|是点x到1的距离；|x+2|=|x-(-2)|是点x到-2的距离。 所以式子表示数轴上数x的点到1和-2两点的距离之和。 (2) 求|x-1|+|x+2|最小值： 把式子理解为数轴上一点x，到-2、1两个点的距离相加。 当点x落在-2与1之间（包含两个端点）时，两点距离之和最小，最小值就是-2到1之间的线段长度：1-(-2)=3。 在-2到1范围内的整数：-2、-1、0、1。 综上：最小值为3，此时整数x取-2、-1、0、1。 【详解】(1)|x-a|表示x与a两点的距离。|x-1|是x到1的距离；|x+2|=|x-(-2)|是x到-2的距离。答案：1和-2 (2)|x‑1|+|x+2|：数轴上点x，到-2和到1的距离之和。当x落在-2与1之间（包含端点-2、1）时，距离和最小；2到1之间的距离：1-(-2)=3，所以最小值是3。此时整数x可取：-2，-1，0，1。答：最小值为3，此时整数x：-2、-1、0、1。 学科网（北京）股份有限公司 $