4.3 一次函数的图象 新课预习2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦一次函数图象，分层设计从基础概念到综合应用，覆盖核心知识点，适配新授课巩固需求，培养抽象能力、几何直观与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一知识点（图象性质、交点坐标）|选择填空为主，如单选1-3判断象限、填空13比较函数值| |中档|知识综合（平移、对称）|结合图象变换，如填空11对称问题、单选10平移与正方形交点| |提升|问题解决（动点、几何应用）|融入几何情境，如解答19动点面积函数图象、20一次函数与三角形面积|

4.3 一次函数的图象 新课预习2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．若正比例函数的图象经过点，则这个图象必经过点（   ） A． B． C． D． 2．已知，在正比例函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 3．一次函数的图象经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 4．一次函数的图像如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．在平面直角坐标系中，一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 6．一次函数的图像与x 轴的交点坐标是（　　） A． B． C． D． 7．对于一次函数，下列结论不正确的是（   ） A．它的图象与轴交于点 B．随的增大而增大 C．它的图象经过第一、二、三象限 D．它的图象与直线平行 8．“利用描点法画函数图象，进而探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式，请试着研究函数，其图象位于（　　） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 9．如图，在矩形ABCD中，，．点P从点A出发，以2cm/s的速度在矩形的边上沿运动，当点P与点D重合时停止运动．设运动的时间为（单位：s），的面积为S（单位：），则S随t变化的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点A的坐标为，直线l的表达式为：，将直线l沿y轴向上平移m个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若一次函数与的图像关于y轴对称，则______ ，______． 12．如图，一次函数的图象经过，两点，那么当时，的取值范围是_____．    13．已知点都在一次函数的图象上，则_____．（填“”或“”） 14．若点是某函数图象上的一点，则把称为该点的“纵横差”，该函数图象上的所有点的“纵横差”的最小值称为该函数的“娇小值”，那么一次函数的“娇小值”是_______． 15．如图，已知直线，分别过轴上的点，作垂直于轴的直线交于点，将，四边形、四边形的面积依次记为，则________． 三、解答题 16．在平面直角坐标系中，画出函数的图像，并写出与坐标轴的交点坐标． 17．已知如下三个正比例函数：，，． (1)对于函数，当时，．请求出k的值并写出时的值； (2)写出这三个正比例函数的图象都具有的一条性质． 18．为了画一次函数的图象，嘉嘉在列表过程中的两组对应值如下． x 3 y 2 (1)①将表格补充完整； ②在坐标系中描出以表格中x，y的值为坐标的两个点，并画出一次函数的图象； (2)若点，在一次函数的图象上，当时，______（填“＞”（”或“＝”）； (3)将一次函数的图象向上平移3个单位，再向左平移1个单位，请直接写出平移后直线的表达式． 19．如图，在中，，，，M为AB边上一动点，，垂足为N．设A，M两点间的距离为xcm（），B，N两点间的距离为ycm（当点M和B点重合时，B，N两点间的距离为0）． 小明根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整． (1)列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值： x/cm 0 0.5 1 1.5 1.8 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 y/cm 4 3.96 3.79 3.47 a 2.99 2.40 1.79 1.23 0.74 0.33 0 请你通过计算，补全表格：______； (2)描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数y关于x的图像； (3)探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：______． (4)解决问题：当时，AM的长度大约是______cm．（结果保留两位小数） 20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，一次函数的图象经过点B，与x轴交于点C． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)求的面积． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B D C C C A D B 1．【答案】D 【知识点】正比例函数的图象 【分析】本题主要考查的是正比例函数图象上点的坐标特点，熟知正比例函数图象上各点的坐标一定符合此函数的解析式是解答此题的关键． 先把点代入正比例函数，求出k的值，可得出此函数的解析式，再把各点代入此函数的解析式进行检验即可解答． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴正比例函数的解析式为． A．由当时，，则不在正比例函数的图象上，故本选项错误； B．由当时，，则不在正比例函数的图象上，故本选项错误； C．由当时，，则不在正比例函数的图象上，故本选项错误； D．由当时，，则在正比例函数的图象上，故本选项正确． 故选：D． 2．【答案】A 【知识点】正比例函数的性质 【分析】将两点横坐标代入解析式得到和，比较大小即可． 【详解】解：∵，在正比例函数的图象上， ∴将代入函数解析式可得，将代入函数解析式可得， ∵， ∴． 3．【答案】B 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了一次函数的图象．根据、的符号与一次函数图象经过的象限之间的关系进行判断即可得出答案． 【详解】解：对于一次函数， ，， 函数图象经过第一、二、四象限， 故选：． 4．【答案】D 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质解答即可，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数图象经过一、三、四象限， ∴，， 故选：． 5．【答案】C 【知识点】判断一次函数的图象 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，），当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；当，图象与y轴的正半轴相交，当，图象与y轴的负半轴相交，当，图象经过原点，据此求解即可． 【详解】解：∵中， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴函数图象与y轴的负半轴相交， ∴一次函数经过第一，三，四象限． 故选：C． 6．【答案】C 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查求一次函数的图像与x 轴的交点坐标，要求一次函数的图像与x 轴的交点坐标，即令，解方程得到x的值，从而得到交点坐标． 【详解】解：令，得， 解得：， ∴交点坐标为． 故选：C． 7．【答案】C 【知识点】判断一次函数的增减性、一次函数图象平移问题、一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、当时，， ∴它的图象与轴交于点，该选项结论正确，不符合题意； 、∵， ∴随的增大而增大，该选项结论正确，不符合题意； 、∵，， ∴它的图象经过第一、三、四象限，该选项结论错误，符合题意； 、∵直线与直线的值相同，值不同， ∴两条直线平行，该选项结论正确，不符合题意； 故选：． 8．【答案】A 【知识点】判断点所在的象限、用描点法画函数图象 【分析】根据的取值，判断的范围即可求解． 【详解】解：当时，，此时点在第一象限， 当时，，此时点在第二象限， 故选：A． 【点睛】本题主要考查函数的图像、描点法等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 9．【答案】D 【知识点】动点问题的函数图象、画一次函数图象 【分析】分点P在AB上运动, 0≤t≤4；点P在BC上运动, 4＜t≤7；点P在CD上运动, 7＜t≤11，分别计算即可 【详解】当点P在AB上运动时, S==6t，0≤t≤4； 当点P在BC上运动时, S==24，4＜t≤7； 点P在CD上运动, S=， 7＜t≤11， 故选D． 【点睛】本题考查了矩形中的动点面积函数图像问题，正确进行分类，清楚函数图像的性质是解题的关键． 10．【答案】B 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】根据题意求得正方形各顶点的坐标，然后根据待定系数法求得直线l的解析式，然后根据平移的规律，设平移后的直线方程为；把点B和D的坐标代入进行解答即可． 【详解】解：∵边长为3的正方形中，点的坐标为， ∴，， 将直线沿轴向上平移个单位后解析式为，， 当直线与正方形有唯一一个交点时，即直线经过点B，D， 当经过点D时，有，解得，； 当经过点B时，有，解得，； ∵直线与正方形有交点， ∴的取值范围是． 11．【答案】 3 【知识点】一次函数图象与对称问题 【分析】此题考查了一次函数的图象与几何变换，关键是能准确理解题意，运用对称性求得m、n的值是解题的关键． 根据函数图像关于y轴对称的性质，对应点坐标满足横坐标互为相反数、纵坐标相等，直线关于y轴对称的直线为，然后通过系数比较即可求解． 【详解】解：直线关于y轴对称的直线为， ∵一次函数与的图像关于y轴对称， ∴， 故答案为：，3． 12．【答案】 【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】根据函数图象，找出当时，自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过， ∴由图可知，当时，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，解题的关键是掌握根据函数图象写出不等式解集的方法． 13．【答案】 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了比较一次函数值的大小． 先根据一次函数的解析式判断函数的增减性，再结合两点横坐标的大小关系比较函数值的大小． 【详解】解：对于一次函数，， 根据一次函数的性质，当时，函数值随自变量的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 14．【答案】 【知识点】求一次函数自变量或函数值、判断一次函数的增减性 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，将代入，可得出，由，利用一次函数的性质，可得出的值随x的增大而减小，再结合，即可求出一次函数的“娇小值”，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键． 【详解】解：将代入得：， ∵， ∴的值随x的增大而减小， 又∵， ∴当取得最小值，最小值为． 故答案为：． 15．【答案】 【知识点】一次函数的规律探究问题 【分析】本题考查了正比例函数解析式与坐标轴的几何规律题，掌握梯形的面积公式是解题的关键． 根据梯形的面积公式求解出的函数解析式即可． 【详解】解：当时，；当时，； 当时，； 当时， ； 则， 由题意知得， 根据梯形的面积公式得，， ， 故我们可以得出， ∵当均成立， ∴成立， 故答案为：． 16．【答案】 解： 令， 令，则， 解得， ∴与坐标轴的交点为，． 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、画一次函数图象 【分析】本题考查了一次函数的图象，主要利用了一次函数图象与坐标轴的交点的求法，以及两点法作一次函数图象． 令分别求出与坐标轴的交点，然后利用两点法作出函数图象即可． 【详解】略 17．【答案】(1)的值为，的值为6 (2)三个函数的图象都是过原点的直线 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题主要考查的是正比例函数的性质，解答本题主要根据正比例函数的性质解答． （1）把时，代入可求出k的值，把代入可得结论； （2）根据正比例函数的性质解答即可． 【详解】（1）在函数中，当时，， ． 解得， 在函数中，当时． 答：的值为，当时，的值为6 （2）三个函数的图象都是过原点的直线 18．【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) (3) 【知识点】求一次函数自变量或函数值、画一次函数图象、一次函数图象平移问题、判断一次函数的增减性 【分析】（1）①把表格数据代入进行计算，即可作答． ②先结合表格数据，再描点，连线，即可画出一次函数的图象 （2）根据②的一次函数的图象，且结合进行分析，即可作答． （3）结合“上加下减，左加右减”得出平移后直线的表达式，即可作答． 【详解】（1）解：①当时，， 当时，即，则， 补全表格如下： x 1 3 y 2 ②描出表格中x，y的值为坐标的两个点，再连线，画出一次函数的图象，如图所示： （2）解： 由②的函数图像可知，y的值随着x的增大而减小， ∵点，在一次函数的图象上， ∴当时，． （3）解：∵将一次函数的图象向上平移3个单位，再向左平移1个单位， ∴ 即平移后直线的表达式为． 19．【答案】(1)3.2 (2) 解：如图所示， (3)y随x的增大而减小 (4)1.67 【知识点】从函数的图象获取信息、用描点法画函数图象、用勾股定理解三角形 【分析】（1）先求出AB边上的高，进而求出AM'，判断出点M与M'重合，即可得出答案； （2）先描点，再连线，即可画出图像； （3）根据图像直接得出结论； （4）利用表格和图像估算出AM的长度． 【详解】（1）解：如图， 在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，根据勾股定理得，AC＝5， 过点C作CM'⊥AB于M， ∴S△ABC＝AC•BC＝AB•CM'， ∴CM'＝， 在Rt△ACM'中，根据勾股定理得，AM'＝， 当a＝1.8时，点M与点M'重合， ∴CM⊥AB， ∵BN⊥CM， ∴点M，N重合， ∴a＝BN＝BM＝AB﹣AM＝3.2， 故答案为：3.2； （2）略 （3）解：由图像知，y随x的增大而减小， 故答案为：y随x的增大而减小； （4）解：如图，直线OD的解析式为， 借助表格和图像得，当BN＝2AM时，AM的长度大约是1.67cm， 故答案为：1.67． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形的面积，函数图像的画法，画出函数图像是解本题的关键． 20．【答案】(1) (2) 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积的计算，掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． （1）分别把、代入求出A、B坐标，将点代入中，得，从而得出点C坐标； （2）先求出，再用三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， 所以点B的坐标为， 把代入，得，解得， 所以点A的坐标为． 把代入，得， 把代入，得，解得， 所以点C的坐标为； （2）解：由（1）知， 所以， 所以． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $