§4.3 导数与函数的极值和最值·专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以导数应用为主线，系统覆盖极值与最值的判定、参数求解及实际优化，构建从图象分析到实际应用的完整逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |由图象判断极值|4题|结合导函数图象分析极值点，考查几何直观|从导数几何意义切入，建立形与数的联系| |求函数极值|3题|直接求解函数极值/极值点，强化运算能力|极值判定定理的直接应用，巩固概念理解| |已知极值求参数|6题|通过极值条件反求参数范围，突出推理意识|深化极值与导数关系，培养逆向思维| |求函数最值|5题|综合极值与端点值求最值，提升综合应用|衔接极值与最值概念，形成知识网络| |已知最值求参数|5题|由最值条件确定参数，强化逻辑推理|进一步拓展参数问题的深度，提升解题策略| |生活优化问题|4题|实际问题建模为最值问题，体现模型意识|实现知识到应用的转化，培养应用能力|

§4.3 导数与函数的极值和最值 目录 题型1：由图象判断函数的极值 2 题型2：求函数的极值（极值点） 3 题型3：已知极值（点）求参数 3 题型4：利用导数求函数的最值 4 题型5：已知最值求参数 4 题型6：利用导数研究生活中的优化问题 5 题型1：由图象判断函数的极值 【例1.1.】 函数的导函数的图象如图所示，则函数在区间上的极值点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例1.2.】 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（    ） A．为函数的一个零点 B．函数在区间上单调递减 C．为函数的一个极大值点 D．是函数的最大值 【例1.3.】 （多选）设函数在上可导，其导函数且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ） A．函数有极大值 B．函数有极大值 C．函数有极小值 D．函数有极小值 【例1.4.】 （多选）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．时，取得最大值 B．时，取得极大值 C． D． 题型2：求函数的极值（极值点） 【例2.1.】 函数的极大值点为（   ） A． B． C． D． 【例2.2.】 函数的极小值是____． 【例2.3.】 已知函数.当时，求的极值. 题型3：已知极值（点）求参数 【例3.1.】 已知函数的极小值为，则实数的值可能为（） A． B． C． D． 【例3.2.】 已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围为_________. 【例3.3.】 已知函数，若函数在时取得极大值，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【例3.4.】 已知函数没有极值点，则______． 【例3.5.】 已知函数（k是常数，e是自然对数的底数）在区间内存在两个极值点，则实数k的取值范围是______． 【例3.6.】 已知函数的定义域为，的极小值大于，则的取值范围为________． 题型4：利用导数求函数的最值 【例4.1.】 若函数在时有极值，试求函数的极值，并求函数在区间上的最值． 【例4.2.】 已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若，求函数在区间上的最大值． 【例4.3.】 函数在上最大值为_______________． 【例4.4.】 已知函数在处取得极值，则函数的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【例4.5.】 已知函数． (1)当时，求的图象在处的切线方程； (2)当时，求在区间上的最大值． 题型5：已知最值求参数 【例5.1.】 若函数的最小值为，则正实数的值为（   ） A． B． C． D． 【例5.2.】 设函数在区间上有最大值23，最小值3，则a=_______，b=________． 【例5.3.】 若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是_________. 【例5.4.】 若函数的最小值为，则___________ 【例5.5.】 已知函数．若在上的最小值为，求的取值范围． 题型6：利用导数研究生活中的优化问题 【例6.1.】 某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为千元与千元，其中，，如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投（    ）千元． A． B． C． D． 【例6.2.】 如图，在河岸同侧有甲、乙两个工厂，甲工厂位于笔直河岸的岸边处，乙工厂位于离河岸40公里的处，BD垂直于河岸，垂足为且与相距50公里.两个工厂要在此岸边A，D之间合建一所供水站，从供水站到甲工厂和乙工厂铺设水管的费用分别为每公里3a元和5a元，供水站建在与甲工厂相距____________公里，可使铺设水管的总费用最省. 【例6.3.】 近日，毛绒卡通玩偶拉布布（LABUBU）火爆全球.已知某款拉布布的头部形状可视为球形，某厂家利用3D打印技术制作该头部模型，一批发商向该厂家定制半径为r（单位：dm）的拉布布头部模型.已知每个这样的模型的打印成本为元，厂家可制作的模型的最大半径为，若批发商以3元/的价格收购，则该厂家售卖单个模型最多可以获利（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【例6.4.】 某工厂制作一个底面为正方形的无盖长方体储物箱，容积为48立方米，底面每平方米的造价为15元，侧面每平方米的造价为10元，当总造价最低时，底面正方形的边长为（   ） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §4.3 导数与函数的极值和最值 目录 题型1：由图象判断函数的极值 2 题型2：求函数的极值（极值点） 5 题型3：已知极值（点）求参数 6 题型4：利用导数求函数的最值 11 题型5：已知最值求参数 17 题型6：利用导数研究生活中的优化问题 21 题型1：由图象判断函数的极值 【例1.1.】 函数的导函数的图象如图所示，则函数在区间上的极值点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】函数（导函数）图像与极值点的关系 【分析】根据给定的函数图象确定的变号零点个数即可. 【详解】函数的图象与轴有3个公共点，从左到右依次记为， 当时，；当时，；当时，， 当且仅当时取等号，则函数在上单调递增，在上单调递减， 因此函数在处取得极大值，在处取得极小值，所以极值点个数为2. 故选：B 【例1.2.】 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（    ） A．为函数的一个零点 B．函数在区间上单调递减 C．为函数的一个极大值点 D．是函数的最大值 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】函数极值点的辨析、求函数的零点、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数最值与极值的关系辨析 【分析】利用导数图象，分析函数的单调性，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，由图象可知，当时，，当时，， 所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以为函数的一个极小值点，不一定为函数的一个零点，A错； 对于B选项，当时，，则函数在区间上单调递增，B错； 对于C选项，当时，，当时，， 所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，为函数的一个极大值点，C对； 对于D选项，因为函数在区间上单调递增，故不是函数的最大值，D错. 故选：C. 【例1.3.】 （多选）设函数在上可导，其导函数且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ） A．函数有极大值 B．函数有极大值 C．函数有极小值 D．函数有极小值 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】函数（导函数）图象与极值的关系 【分析】根据函数解析式的特征，结合函数的图象，判断导数的正负，即可确定函数的极值. 【详解】由图可知，，，且，则，在区间单调递增， 当，，且，则，在区间单调递减， 当，，且，则，在区间单调递减， 当，，且，则，在区间单调递增， 所以函数的极大值为，函数的极小值为. 故选：AD 【例1.4.】 （多选）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．时，取得最大值 B．时，取得极大值 C． D． 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】函数极值的辨析、函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系 【分析】通过导函数图象，确定函数的单调区间，再结合选项逐个判断即可. 【详解】由导函数图象可知当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 选项A：因为 在上单调递增，且，因此在 处取不到最大值，A错误， 选项B：左侧 ， 单调递增；右侧 ， 单调递减， 且，因此 时 取得极大值，B正确， 选项C：由 ，且 在 单调递增，可得 ，C正确， 选项D：在单调递增，因此 ，故不成立，D错误. 题型2：求函数的极值（极值点） 【例2.1.】 函数的极大值点为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求已知函数的极值点、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求导，利用导数判断函数的单调性，利用单调性分析极大值点. 【详解】因为函数的定义域为，且， 令，解得或；令，解得； 可知函数在内单调递减，在，内单调递增， 所以函数的极大值点为. 【例2.2.】 函数的极小值是____． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】求已知函数的极值 【详解】的定义域为. ，令，解得或. 极大值 极小值 的极小值为 【例2.3.】 已知函数.当时，求的极值. 【答案】极小值为，无极大值 【难度】0.85 【知识点】求已知函数的极值 【分析】求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值. 【详解】当时，，其定义域为； 故， 因为在上为增函数， 故在上为增函数，而， 故当时，，当时，， 即可得在上单调递减，在上单调递增， 故在处取极小值且极小值为，无极大值. 题型3：已知极值（点）求参数 【例3.1.】 已知函数的极小值为，则实数的值可能为（） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据极值求参数 【分析】先对函数求导得，找到临界点和，再按、、三种情况判断极小值点，代入极小值求解，验证后得到. 【详解】. 令，得临界点，. ①当时，，，函数单调递增，无极小值，舍去. ②当时，， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增. 故为极小值点，代入得：. 由极小值为，得，解得，即，符合. ③当时，， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增. 故为极小值点，代入得：. 由极小值为，得，解得，不在选项中，舍去. 【例3.2.】 已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围为_________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据极值求参数、根据极值点求参数 【分析】求出函数的导数，利用有两个不等的正根求出范围并验证即可. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由函数既有极大值又有极小值，得方程有两个不等的正根， 则，解得，令是的两个正根， ，则，当或时，； 当时，，函数在处取得极大值，在处取得极小值，符合题意， 所以实数a的取值范围为. 【例3.3.】 已知函数，若函数在时取得极大值，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】根据极值点求参数 【分析】根据极大值的定义，运用二次求导法分类讨论进行求解即可. 【详解】，显然成立. 设， 因为， 所以函数是正实数集上的减函数， 当时，即， 所以当时，，所以在单调递减， 于是有，所以在单调递减， 因为， 所以存在，使得当时，，所以在单调递减， 于是有，所以在单调递增， 所以函数在时取得极大值，符合题意； 若当时，即， 当时，，所以在单调递增， 存在，使得当时，，所以在单调递增， 于是有，所以在单调递增， 此时函数在时没有极大值，不符合题意； 当时，，显然成立. 设， 显然函数是正实数集上的减函数，且， 所以当时，，所以在单调递增， 于是有，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递减， 于是有，所以在单调递减， 所以函数在时不是极值点，不符合题意， 综上所述：的取值范围是. 【例3.4.】 已知函数没有极值点，则______． 【答案】1 【难度】0.45 【知识点】根据极值点求参数 【详解】函数的定义域为且函数没有极值点，即函数是单调函数， 所以函数至多有一个零点， 令，则或或， ∴，即， ∴. 【例3.5.】 已知函数（k是常数，e是自然对数的底数）在区间内存在两个极值点，则实数k的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据极值点求参数 【分析】先因式分解导函数，发现一个固定零点，只需保证另一零点落在区间且不等于 1，就能得到两个相异极值点. 【详解】由，得， 由在存在两个极值点，得在内有两个不等根， 由，解得 或， 因此且，解得且， 则实数k的取值范围是. 【例3.6.】 已知函数的定义域为，的极小值大于，则的取值范围为________． 【答案】 【难度】0.43 【知识点】根据极值求参数、根据极值点求参数 【分析】由函数存在极值，得到有两个不同根，由极小值大于，确定只有一个零点，结合判别式和韦达定理即可求解. 【详解】，. 因为的极小值大于0， 所以存在两个不同的根，，设， 当或时，，则在，上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 则为极大值，为极小值， 又极小值大于0，所以极大值，所以只有一个零点， 又， 显然是的零点，所以方程无实数根， 即，即， 因为，若，因为在上单调递增， 结合，可得，与条件矛盾， 所以，又，，所以， 即的极大值点与极小值点均大于0， 且方程的2个实数根均大于0， 所以，解得， 综上可得：，故b的取值范围为. 题型4：利用导数求函数的最值 【例4.1.】 若函数在时有极值，试求函数的极值，并求函数在区间上的最值． 【答案】函数的极大值为3，极小值为-1，函数在区间上的最大值为，最小值为. 【难度】0.85 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、根据极值求参数、求已知函数的极值、根据极值点求参数 【分析】根据极值点和极值列方程组求出函数解析式，再通过求导即可求出极值，求出在区间端点的函数值，观察大小即可求出最值. 【详解】解：由已知， ，即①， 又②， 由①②得， ，， 令得或， 当时，，当时，，当时，， 所以，， 又当在区间上时， ，. 故在区间上的最大值为，最小值为. 【例4.2.】 已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若，求函数在区间上的最大值． 【答案】(1)当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减． (2)当时，最大值为；当时，最大值为2 【难度】0.62 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求导后，分、及进行讨论即可得； （2）结合函数单调性，分及进行讨论即可得. 【详解】（1）因为，所以， 令，解得或， 当时，恒成立，所以函数在上单调递增； 当时，，所以当或时，， 当时，， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，，所以当或时，， 当时，， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； （2）由（1）可知，当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 所以函数在区间上的最大值为； 当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在区间上的最大值为和中的较大者， 因为，， 解，得，解，得， 所以当时，函数在区间上的最大值为； 当时，函数在区间上的最大值为； 综上，当时，函数在区间上的最大值为； 当时，函数在区间上的最大值为2． 【例4.3.】 函数在上最大值为_______________． 【答案】11 【难度】0.7 【知识点】由导数求函数的最值（不含参） 【分析】求导，确定单调性即可求解. 【详解】， 因为， 由可得：，由可得：，或 故，在单调递减，在和单调递增， 当时，，当时，， 故函数在上最大值为11. 【例4.4.】 已知函数在处取得极值，则函数的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】三角恒等变换的化简问题、根据极值点求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【详解】  函数的定义域为， ， 所以，解得， 则. 法一： 令，则，. 令，解得；令，解得或. 因此函数在上单调递增，在和上单调递减， 因为，，所以函数在上的最大值为. 法二： ， 令，得或， 解得，， 令，得或. 解得，， 因此函数在区间，，，，上单调递增； 在，，，，上单调递减. ，因此函数的最大值为. 【例4.5.】 已知函数． (1)当时，求的图象在处的切线方程； (2)当时，求在区间上的最大值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.56 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求出切点坐标，利用导数求出切线斜率，再用点斜式写出切线方程即可； （2）求导，令，求导可得恒成立，进而可得在上单调递增，分和两种情况讨论可求得在区间上的最大值． 【详解】（1）当时，， 求导得， 所以，， 所以切线方程为， 所以函数的图象在处的切线方程为. （2）由题知，， 求导得， 令，则， 因为，所以，， 所以当时，恒成立， 所以在上单调递增， 即在上单调递增， 计算得，， ①当，即时， 恒成立， 所以在上单调递增， ②当，即时， 因为，， 所以，存在唯一使得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为，， ． 综上所述，函数在区间的最大值为． 题型5：已知最值求参数 【例5.1.】 若函数的最小值为，则正实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.45 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、已知函数最值求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】利用导数求出函数的单调性，根据单调性得到函数的最小值的表达式，结合题意即可求解. 【详解】已知函数，则， 令，由于，正实数，所以得， 令，则，由于，正实数，所以恒成立， 所以是一个单调递增的函数，当时，；当时，； 因此方程有且仅有一个实数根，设为，即， 因为，当时，有，解得，矛盾，因此， 当时，，即，函数单调递减； 当时，，即，函数单调递增； 所以函数在处取得最小值， 由于函数的最小值为，即，则有， 同时极值点满足， 代入上式得，解得， 则有，解得，故A正确. 【例5.2.】 设函数在区间上有最大值23，最小值3，则a=_______，b=________． 【答案】 1 7 【难度】0.65 【知识点】导数的运算法则、基本初等函数的导数公式、已知函数最值求参数 【详解】因为，所以， 令，则或. 由于，，当时，；当时，. 故在处，取得最小值3. 所以或者， 所以，或者，. 若，，则， 而，不合题意，舍去； 若，，则， 而， 故，. 【例5.3.】 若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【难度】0.62 【知识点】已知函数最值求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】利用导数研究函数的单调性，进而确定极值点，再由极值点所在区间求参数范围. 【详解】∵， ∴. 令，解得或. 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 故是的极小值点，极小值为. 令，即，整理得， 因式分解得，解得或. ∵ 函数在开区间上存在最小值，且， 开区间端点处的函数值无法取到，且时； 所以的最小值仅在处可取到， ∴ 极小值点必须落在区间内，即，得； 综上，实数的取值范围是. 【例5.4.】 若函数的最小值为，则___________ 【答案】 【难度】0.4 【知识点】已知函数最值求参数 【分析】利用导数分析函数的单调性，求出函数的极小值（亦即最小值），根据极小值点满足，可得出，可求出的值，进而可得出实数的值. 【详解】易知的定义域为，， 因为函数、在上均为增函数， 所以函数在区间上单调递增， 又当时，；当时，， 所以存在唯一，使得，，即. 当时，；当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以的最小值为. 因为函数在上为增函数，由得， 所以，所以，解得. 故答案为：. 【例5.5.】 已知函数．若在上的最小值为，求的取值范围． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知函数最值求参数 【分析】根据进行分类讨论，确定出的单调性并求解出最小值，注意最小值与的关系，由此可求出的取值范围. 【详解】因为，所以， 当时，因为，所以，所以， 所以，所以在上单调递增，所以，故符合题意； 当时，令，解得或， 若，则，则在上单调递减， 若，则，则在上单调递增， 所以，故不符合题意； 当时，因为，所以，所以， 所以，所以在上单调递减， 所以，故不符合题意； 综上所述，的取值范围是. 题型6：利用导数研究生活中的优化问题 【例6.1.】 某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为千元与千元，其中，，如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投（    ）千元． A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利润最大问题、利用给定函数模型解决实际问题、利用函数单调性求最值或值域、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】设B商品投千元，总收益为，写出利用导数即可求解. 【详解】设B商品投千元，总收益为， 所以， 所以， 所以，令， 则，所以在上大于0，在上小于0， 所以在单调递增，在单调递减， 所以在取得最大值， 即为使总收益最大，则B商品需投千元． 故选：B. 【例6.2.】 如图，在河岸同侧有甲、乙两个工厂，甲工厂位于笔直河岸的岸边处，乙工厂位于离河岸40公里的处，BD垂直于河岸，垂足为且与相距50公里.两个工厂要在此岸边A，D之间合建一所供水站，从供水站到甲工厂和乙工厂铺设水管的费用分别为每公里3a元和5a元，供水站建在与甲工厂相距____________公里，可使铺设水管的总费用最省. 【答案】20 【难度】0.65 【知识点】成本最小问题 【分析】首先设，再列出总费用的函数，利用导数求函数极值点，即可求解. 【详解】设，则，，,, 所以总费用 ，令，得， 当，，函数单调递减，当，，函数单调递增， 所以当时，总费用取得最小值，此时公里. 故答案为： 【例6.3.】 近日，毛绒卡通玩偶拉布布（LABUBU）火爆全球.已知某款拉布布的头部形状可视为球形，某厂家利用3D打印技术制作该头部模型，一批发商向该厂家定制半径为r（单位：dm）的拉布布头部模型.已知每个这样的模型的打印成本为元，厂家可制作的模型的最大半径为，若批发商以3元/的价格收购，则该厂家售卖单个模型最多可以获利（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】利润最大问题、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】由题意可得利润，利用导数可求利润的最大值. 【详解】由题意可得利润， 所以，且. 令，∴， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， ∴利润在时取得最大值，此时， ∴该厂家售卖单个模型最多可以获利元. 故选：D. 【例6.4.】 某工厂制作一个底面为正方形的无盖长方体储物箱，容积为48立方米，底面每平方米的造价为15元，侧面每平方米的造价为10元，当总造价最低时，底面正方形的边长为（   ） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 【答案】D 【难度】0.72 【知识点】面积、体积最大问题 【详解】设底面边长为米，高为米，则，总造价，， 当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时总造价最低，即此时底面正方形的边长为4米． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $