精品解析：北京市第一六一中学分校2026-2027学年初三开学数学收心练习

北京市第一六一中学分校2026—2027学年度初三年级开学练习 一、选择题（共16分，每题2分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A. B. C. D. 2. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. ，3，5 C. 6，8，10 D. 5，12，12 3. 下列各曲线中，不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系xOy中，，B（0，3），P为线段AB的中点，则线段OP的长为（　　） A. B. 2 C. D. 5 5. 某同学将英语演讲比赛中每位选手最终得分绘制成如图所示的统计图，根据图中数据可以得到（ ） ①这次比赛的所有选手得分中，最高分为98分； ②所有选手得分的平均分为85分； ③最高分与最低分相差6分； ④所有选手得分的上四分位数为88分． A. ①②③ B. ②③ C. ②③④ D. ①④ 6. 一个多边形的内角和加上一个外角的和为，则这个多边形是（　　） A. 七边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形 7. 甲、乙两名运动员的8次射击成绩(单位：环)如图所示：甲、乙射击成绩的方差分别为，，则与的关系为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形中，，点E、F是正方形内的两点，且，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 函数中，自变量的取值范围是_______. 10. 比较大小：______． 11. 每年的4月23日是“世界读书日”，某校为了解4月份八年级学生的读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，数据整理如下： 册数 0 1 2 3 4 人数 9 3 20 15 3 由此估计该校八年级学生4月份人均读书______册． 12. 如图，在中，AE⊥BC于点E，点F在BC边的延长线上，只需再添加一个条件即可证明四边形AEFD是矩形，这个条件可以是______（写出一个即可）． 13. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，则________． 14. 平面直角坐标系中，直线与相交于点，下列结论中正确的是________（填写序号）． ①关于x，y的方程组的解是； ②关于x的不等式的解集是； ③． 15. 如图，正方形中，点E为边上一个动点，连接，以为对角线作正方形，连接，．给出下面四个结论：①；②；③；④若，那么正方形的周长的最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 16. 某工厂生产一种产品，每个产品由甲、乙各一个零件组成．该工厂有四条流水线A，B，C，D生产这两种零件，每条流水线一天只能生产同一种零件，第二天可以更换零件类型．每条流水线每天生产零件的数量如下表： 流水线 A B C D 甲零件/个 32 42 34 45 乙零件/个 35 50 56 60 若四条流水线都开通，1天最多生产该产品________个，5天最多生产该产品________个． 三、解答题（共68分，第17题12分，第18题5分，第19题7分，第20-24题每题6分，第25、26每题7分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）解方程：； （4）解方程：． 18. 已知，，求代数式的值． 19. 如图，在中，，DE平分∠BDC交BC于点O，交AB的延长线于点E，连接CE． （1）求证：四边形BECD是菱形； （2）如果，，求四边形BECD的面积． 20. 下面是小芸设计的“作平行四边形ABCD的边AB的中点”的尺规作图过程． 已知：▱ABCD． 求作：点P，使点P为边AB的中点． 作法： ①作射线DA； ②以点A为圆心，BC长为半径画弧， 在点A左侧与射线DA交于点E； ③连接CE交AB于点P． 点P即为所求作的边AB的中点． 根据小芸设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接AC，EB， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AE∥BC． ∵AE＝ ， ∴四边形EBCA是平行四边形，（ ）（填推理的依据） ∴AP＝PB，（ ）（填推理的依据） 点P即为所求作的边AB的中点． 21. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）当取正整数时，求此时方程的根． 22. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象由正比例函数的图象向上平移2个单位长度得到． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于x的每一个值，正比例函数的值小于一次函数的值，直接写出a的取值范围． 23. 某中学为了解家长对课后延时服务的满意度，从七，八年级中各随机抽取50名学生家长进行问卷调查，获得了每位学生家长对课后延时服务的评分数据(记为x)，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．八年级课后延时服务家长评分数据的频数分布表如下（数据分为5组：0≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）： 分组 频数 0≤x＜60 2 60≤x＜70 5 70≤x＜80 15 80≤x＜90 a 90≤x≤100 8 合计 50 b．八年级课后延时服务家长评分在80≤x＜90这一组的数据按从小到大的顺序排列，前5个数据如下： 81，81，82，83，83． c．七，八年级课后延时服务家长评分的平均数，中位数，众数如下表： 年级 平均数 中位数 众数 七 78 79 85 八 81 b 83 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中a＝ ，b＝ ． （2）你认为 年级的课后延时服务开展得较好，理由是 ．（至少从两个不同的角度说明理由） （3）已知该校八年级共有600名学生家长参加了此次调查评分，请你估计其中大约有多少名家长的评分不低于80分． 24. 为研究新能源汽车的能耗表现，某科技小组探究不同行驶速度对两款纯电动汽车的百公里能耗的影响．该科技小组选取A，B两款纯电动汽车，记录了不同行驶速度（单位：）下的百公里能耗（单位：）数据，部分数据如下： 行驶速度 20 40 60 80 100 120 A款车百公里能耗 10.2 8.6 8.7 10.4 13.6 18.5 B款车百公里能耗 10.7 9.5 9.4 10.3 12.2 15.2 对以上数据进行分析，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，补充完成以下内容． （1）在平面直角坐标系中，已画出与的函数图象，在同一坐标系中画出与的函数图象； （2）当A款车的行驶速度约为______（精确到个位）时，其百公里能耗最低；当B款车以的速度行驶时，其百公里能耗约为______（结果保留小数点后一位）； （3）小石和小京分别驾驶A，B两款车从甲地前往乙地，两地相距．两车都先以的速度行驶，随后立即切换至的速度继续行驶，直至到达乙地，则______（填“A”或“B”）款车行驶这的能耗更低． 25. 如图，在正方形ABCD中，点E是直线AC上任意一点（不与点A，C重合），过点E作交直线CD于点F，过点F作交直线AC于点G． （1）如图1，当点E在线段AC上时，猜想EG与AB的数量关系； （2）如图2，当点E在线段AC的延长线上时，补全图形，并判断（1）中EG与AB的数量关系是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． 26. 对于平面直角坐标系xOy中的直线l：与矩形给出如下定义：设直线l与坐标轴交于点M，N（M，N不重合），直线与矩形的两边交于点P，Q（P，Q不重合），称线段，的较小值为直线l的关联距离，记作，特别地，当时，．已知，，． （1）若，则______，______； （2）若，，则的值为______； （3）若，直接写出的最大值及此时以M，N，P，Q为顶点的四边形的对角线交点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第一六一中学分校2026—2027学年度初三年级开学练习 一、选择题（共16分，每题2分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义，即可一一判定． 【详解】解：A.是最简二次根式，符合题意； B.，该选项含有开得尽方的因式，故不是最简二次根式，不符合题意； C.，该选项被开方数含有分母，故不是最简二次根式，不符合题意； D.，该选项含有开得尽方的因数，故不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了最简二次根式，最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开得尽方的因数或因式． 2. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. ，3，5 C. 6，8，10 D. 5，12，12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可． 【详解】解：A．， 以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B．， 以，3，5为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； C．， 以6，8，10为边能组成直角三角形，故本选项符合题意； D．， 以5，12，12为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：C． 3. 下列各曲线中，不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，故A不符合题意； B、满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，故B不符合题意； C、满足对于的每一个取值，有多个值与之对应关系，故C符合题意； D、满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，故D不符合题意． 4. 如图，在平面直角坐标系xOy中，，B（0，3），P为线段AB的中点，则线段OP的长为（　　） A. B. 2 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】勾股定理求出AB，根据直角三角形斜边中线的性质得到OP的长． 【详解】解：∵，B（0，3）， ∴OA=4，OB=3， ∴， ∵P为线段AB的中点， ∴OP==， 故选：C． 【点睛】此题考查了勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，正确掌握勾股定理求出AB是解题的关键． 5. 某同学将英语演讲比赛中每位选手最终得分绘制成如图所示的统计图，根据图中数据可以得到（ ） ①这次比赛的所有选手得分中，最高分为98分； ②所有选手得分的平均分为85分； ③最高分与最低分相差6分； ④所有选手得分的上四分位数为88分． A. ①②③ B. ②③ C. ②③④ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【详解】解：由箱线图可知， 这次比赛的所有选手得分中，最高分为98分； 所有选手得分的中位数为85分，平均数无法确定； 最高分与最低分相差分； 所有选手得分的上四分位数为88分， 结论①、④正确，②、③错误． 6. 一个多边形的内角和加上一个外角的和为，则这个多边形是（　　） A. 七边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形 【答案】C 【解析】 【分析】设该多边形的边数为n，则该多边形的内角和为，则该多边形的这个外角的度数为，再根据这个外角大于0度且小于180度建立不等式组求解即可． 【详解】解：设该多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∵n为正整数， ∴， ∴这个多边形是九边形． 7. 甲、乙两名运动员的8次射击成绩(单位：环)如图所示：甲、乙射击成绩的方差分别为，，则与的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察折线统计图，比较甲、乙两人成绩的波动大小即可判断方差的大小． 【详解】解：观察图象可知，甲的成绩波动较小，乙的成绩波动较大， ∵方差是衡量一组数据波动大小的量，波动越小方差越小， ∴． 8. 如图，在正方形中，，点E、F是正方形内的两点，且，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长交于，由勾股定理的逆定理可得和是直角三角形，进而可证明，得到，，，利用正方形的性质可证明，得到，，，据此可得，，，利用勾股定理即可求解. 【详解】解：延长交于，如图，    ∵四边形是正方形， ∴，，   ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， 同理可得是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， 同理可得， ∴， 又∵， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴. 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 函数中，自变量的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数． 【详解】依题意，得x-3≥0， 解得：x≥3． 【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 10. 比较大小：______． 【答案】 【解析】 【分析】先比较两个数的绝对值，将整数化为二次根式形式，再根据负数比较大小的规则判断，绝对值大的负数反而小． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴． 11. 每年的4月23日是“世界读书日”，某校为了解4月份八年级学生的读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，数据整理如下： 册数 0 1 2 3 4 人数 9 3 20 15 3 由此估计该校八年级学生4月份人均读书______册． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据表格中的数据得出50名学生读书的总册数，然后除以50即可求出平均数． 【详解】解：估计该校八年级学生4月份人均读书（0×9＋1×3＋2×20＋3×15＋4×3）÷50＝2（册）， 由此估计该校八年级学生4月份人均读书2册． 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是加权平均数的计算方法，通过样本去估计总体，总体平均数与样本平均数近似相等． 12. 如图，在中，AE⊥BC于点E，点F在BC边的延长线上，只需再添加一个条件即可证明四边形AEFD是矩形，这个条件可以是______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】先证明 再根据有三个角是直角的四边形是矩形进行补充即可． 【详解】解：∵AE⊥BC， ∴ ， ∴ ∴ 补充：或或， ∴四边形AEFD是矩形， 故答案为：或或（任写一个即可） 【点睛】本题考查的是矩形的判定，掌握“有三个角是直角的四边形是矩形”是解本题的关键． 13. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，则________． 【答案】70 【解析】 【分析】由菱形的性质可得的度数，再根据余角的性质可得答案． 【详解】解：在菱形中，，， ，， ． 故答案为：70． 【点睛】本题考查的是菱形的性质，除平行四边形固有的性质外，菱形的对角线相互垂直，对角线平分对角等，解题的关键是掌握其性质定理． 14. 平面直角坐标系中，直线与相交于点，下列结论中正确的是________（填写序号）． ①关于x，y的方程组的解是； ②关于x的不等式的解集是； ③． 【答案】①②##②① 【解析】 【分析】根据一次函数的性质、一次函数与方程组、一次函数与不等式的关系，利用数形结合的思想求解． 【详解】解：直线与相交于点， 关于，的方程组的解是， 故①的结论正确； 由图知：当时，函数对应的点都在函数下方， 因此关于的不等式的解集是：， 故②的结论正确； 由图知：当时，函数图象对应的点在轴的上方， 因此， 故③的结论不正确； 故答案为：①②． 【点睛】本题考查了一次函数与方程组，一次函数与不等式（组的关系及数形结合思想的应用，解题的关键是仔细观察图形，注意几个关键点，利用数形结合进行求解． 15. 如图，正方形中，点E为边上一个动点，连接，以为对角线作正方形，连接，．给出下面四个结论：①；②；③；④若，那么正方形的周长的最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】③④ 【解析】 【分析】根据正方形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及垂线段最短等知识点，对四个结论逐一进行分析判断即可． 【详解】解：∵四边形和四边形都是正方形，且为正方形的对角线， ∴，， ， ，， 对于①：设与交于点H，如图所示： ∵， ， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴，故①错误； 对于②：在中，根据勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②错误； 对于③：过点G作，交的延长线于点P，过点G作于点Q，过点F作于点M，作于点N，如图所示： 则， ∵， ∴四边形和四边形为矩形， 由①知， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 同理得：， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∴，故③正确； 对于④：正方形的周长为： ， ∴当最小时，正方形的周长最小， ∵点 E为边上一个动点， 又∵垂线段最短， ∴当时，最小， ∴当点E与点D重合时，最小，且最小值为的长， ∵四边形为正方形， ∴， ∴正方形的周长最小值为，故④正确； 综上，正确的结论是③④． 16. 某工厂生产一种产品，每个产品由甲、乙各一个零件组成．该工厂有四条流水线A，B，C，D生产这两种零件，每条流水线一天只能生产同一种零件，第二天可以更换零件类型．每条流水线每天生产零件的数量如下表： 流水线 A B C D 甲零件/个 32 42 34 45 乙零件/个 35 50 56 60 若四条流水线都开通，1天最多生产该产品________个，5天最多生产该产品________个． 【答案】 ①. 87 ②. 460 【解析】 【分析】本题为方案最值问题，每个产品需要甲、乙零件各1个，因此生产产品数等于甲零件总数与乙零件总数的较小值，解题思路为：1天生产枚举所有分工方案，取最小数的最大值；多天生产按各流水线生产甲的相对效率排序，优先安排相对效率高的流水线生产甲，使甲、乙总数尽可能接近，得到最大产量． 【详解】解：若A，B流水线生产甲零件，有个，C，D流水线生产乙零件，则有个，此时生产该产品74个； 若A，C流水线生产甲零件，有个，B，D流水线生产乙零件，则有个，此时生产该产品66个； 若A，D流水线生产甲零件，有个，B，C流水线生产乙零件，则有个，此时生产该产品77个； 若B，C流水线生产甲零件，有个，A，D流水线生产乙零件，则有个，此时生产该产品76个； 若B，D流水线生产甲零件，有个，A，C流水线生产乙零件，则有个，此时生产该产品87个； 若C，D流水线生产甲零件，有个，A，B流水线生产乙零件，则有个，此时生产该产品79个； ∵， ∴四条流水线都开通，1天最多生产该产品87个； 四条流水线生产甲零件与生产乙零件的个数比分别为， ∴优先安排相对效率高的流水线生产甲零件，  设A流水线5天全生产甲，B流水线5天全生产甲，C流水线5天全生产乙，D流水线 x天生产甲零件，天生产乙零件，则生产甲零件共有个， 生产乙零件共有个， 当生产甲零件的个数等于生产乙零件的个数时， ， 解得：，符合实际要求， 所以生产零件的个数为个， 即5天最大产量为460个． 三、解答题（共68分，第17题12分，第18题5分，第19题7分，第20-24题每题6分，第25、26每题7分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）解方程：； （4）解方程：． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： 解得； 【小问4详解】 解： 解得． 18. 已知，，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据，，即可求得x＋y与x−y的值，然后根据平方差公式对所求式子因式分解，再将x＋y与x−y的值代入即可解答本题． 【详解】解：∵，， ∴x＋y＝4，x−y＝， ∴． 【点睛】本题考查因式分解和二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法． 19. 如图，在中，，DE平分∠BDC交BC于点O，交AB的延长线于点E，连接CE． （1）求证：四边形BECD是菱形； （2）如果，，求四边形BECD的面积． 【答案】（1） 证明：∵中，， ∴， ∴． ∵DE平分∠BDC， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴四边形BECD是平行四边形． 又∵， ∴四边形BECD是菱形； （2）24 【解析】 【分析】（1）利用平行线和角平分线的性质证明，推出，结合已知条件证明，，得出四边形BECD是平行四边形，结合即可证明四边形BECD是菱形； （2）利用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵中，，， ∴，， 由（1）知四边形BECD是菱形， ∴，， 在中，由勾股定理可得，， ∴， ∴， 即四边形BECD的面积为24． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定、菱形的面积公式、勾股定理等，掌握菱形的判定方法及面积公式是解题的关键． 20. 下面是小芸设计的“作平行四边形ABCD的边AB的中点”的尺规作图过程． 已知：▱ABCD． 求作：点P，使点P为边AB的中点． 作法： ①作射线DA； ②以点A为圆心，BC长为半径画弧， 在点A左侧与射线DA交于点E； ③连接CE交AB于点P． 点P即为所求作的边AB的中点． 根据小芸设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接AC，EB， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AE∥BC． ∵AE＝ ， ∴四边形EBCA是平行四边形，（ ）（填推理的依据） ∴AP＝PB，（ ）（填推理的依据） 点P即为所求作的边AB的中点． 【答案】（1） 如图，点P即为所求； （2）BC；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；平行四边形的对角线互相平分 【解析】 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）证明四边形AEBC是平行四边形，可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：连接AC，EB， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AE∥BC． ∵AE=BC， ∴四边形EBCA是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ∴AP=PB（平行四边形的对角线互相平分）， 点P即为所求作的边AB的中点． 故答案为：BC；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；平行四边形的对角线互相平分． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 21. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）当取正整数时，求此时方程的根． 【答案】（1）的取值范围为 （2）当取正整数时，此时方程的根为和 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ=b2-4ac＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2）由（1）的结论结合m为正整数，即可得出m=1，将其代入原方程，再利用因式分解法解一元二次方程，即可求出原方程的解． 【小问1详解】 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 的取值范围为； 【小问2详解】 为正整数， ， 原方程为，即， 解得：，， 当取正整数时，此时方程的根为和． 【点睛】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的两个根． 22. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象由正比例函数的图象向上平移2个单位长度得到． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于x的每一个值，正比例函数的值小于一次函数的值，直接写出a的取值范围． 【答案】（1）y＝x＋2 （2）-1≤a＜0或0＜a≤1． 【解析】 【分析】（1）根据平移的规律即可求得． （2）根据点（−1，1）结合一次函数的性质即可求得． 【小问1详解】 解：∵一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象向上平移2个单位长度得到． ∴k＝1，b＝2， ∴这个一次函数的解析式为y＝x＋2； 【小问2详解】 把x＝−1代入y＝x＋2，得y＝1， 把点（−1，1）代入y＝ax，得a＝−1． ∵当x＞−1时，对于x的每一个值，正比例函数y＝ax（a≠0）的值小于一次函数y＝kx＋b（k≠0）的值， ∴a的取值范围是-1≤a＜0或0＜a≤1． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，熟知一次函数的性质是解题的关键． 23. 某中学为了解家长对课后延时服务的满意度，从七，八年级中各随机抽取50名学生家长进行问卷调查，获得了每位学生家长对课后延时服务的评分数据(记为x)，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．八年级课后延时服务家长评分数据的频数分布表如下（数据分为5组：0≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）： 分组 频数 0≤x＜60 2 60≤x＜70 5 70≤x＜80 15 80≤x＜90 a 90≤x≤100 8 合计 50 b．八年级课后延时服务家长评分在80≤x＜90这一组的数据按从小到大的顺序排列，前5个数据如下： 81，81，82，83，83． c．七，八年级课后延时服务家长评分的平均数，中位数，众数如下表： 年级 平均数 中位数 众数 七 78 79 85 八 81 b 83 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中a＝ ，b＝ ． （2）你认为 年级的课后延时服务开展得较好，理由是 ．（至少从两个不同的角度说明理由） （3）已知该校八年级共有600名学生家长参加了此次调查评分，请你估计其中大约有多少名家长的评分不低于80分． 【答案】（1）20，82.5 （2）八年级，理由见解析 （3）估计其中大约有336名家长的评分不低于80分． 【解析】 【分析】（1）根据统计表的意义，各组频数之和为50即可求出a的值，利用中位数的定义可求出八年级得分的中位数，即m的值； （2）根据平均数、中位数的大小进行判断即可； （3）求出家长的评分不低于80分所占的分率，再乘以600即可求解． 【小问1详解】 解：a=50-2-5-15-8=20， 八年级得分的中位数是排在第25、26个数，正好在80≤x＜90这一组的第3、4两个数，分别是82、83， ∴b=（82+83）÷2=82.5． 故答案为：20，82.5； 【小问2详解】 解：八年级的课后延时服务开展得较好，理由如下： 八年级课后延时服务家长评分数据的平均数为81分，高于七年级的78分，说明八年级家长评分整体高于七年级； 八年级课后延时服务家长评分数据的中位数为82.5，七年级为79，说明八年级一半的家长评分高于82.5分，而七年级一半的家长评分仅高于79分； 【小问3详解】 解：×600=336（名）， 答：估计其中大约有336名家长的评分不低于80分． 【点睛】本题考查频数分布表，中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、众数、平均数的意义，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是解决问题的前提． 24. 为研究新能源汽车的能耗表现，某科技小组探究不同行驶速度对两款纯电动汽车的百公里能耗的影响．该科技小组选取A，B两款纯电动汽车，记录了不同行驶速度（单位：）下的百公里能耗（单位：）数据，部分数据如下： 行驶速度 20 40 60 80 100 120 A款车百公里能耗 10.2 8.6 8.7 10.4 13.6 18.5 B款车百公里能耗 10.7 9.5 9.4 10.3 12.2 15.2 对以上数据进行分析，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，补充完成以下内容． （1）在平面直角坐标系中，已画出与的函数图象，在同一坐标系中画出与的函数图象； （2）当A款车的行驶速度约为______（精确到个位）时，其百公里能耗最低；当B款车以的速度行驶时，其百公里能耗约为______（结果保留小数点后一位）； （3）小石和小京分别驾驶A，B两款车从甲地前往乙地，两地相距．两车都先以的速度行驶，随后立即切换至的速度继续行驶，直至到达乙地，则______（填“A”或“B”）款车行驶这的能耗更低． 【答案】（1） 如图，与的函数图象即为所求； （2）50，9.7 （3）B 【解析】 【分析】（1）根据描点、连线即可作图； （2）根据函数图象即可求解； （3）根据函数图象分别计算两款车的总能耗，再进行比较即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由函数图象可得，当A款车的行驶速度约为时，其百公里能耗最低；当B款车以的速度行驶时，其百公里能耗约为； 【小问3详解】 解：由图象可得，A款车前百公里能耗约为，后百公里能耗约为， 则总能耗为； 由图象可得，B款车前百公里能耗约为，后百公里能耗约为， 则总能耗为； 因为 所以B款车行驶这的能耗更低． 25. 如图，在正方形ABCD中，点E是直线AC上任意一点（不与点A，C重合），过点E作交直线CD于点F，过点F作交直线AC于点G． （1）如图1，当点E在线段AC上时，猜想EG与AB的数量关系； （2）如图2，当点E在线段AC的延长线上时，补全图形，并判断（1）中EG与AB的数量关系是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． 【答案】（1）； （2） 解：成立，理由如下： 过点E作交DC延长线于点H，交BC延长线于点P，过点B作于点O，如下图所示， 则， ∴四边形CHEP是矩形， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形CHEP是正方形， ∴． 设CF与BE交于点Q， 在与中， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． ∵ ，， ∴， ∵ ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． ∵ ， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）点E作于点H，于点P，证明，得到．过点B作于点M，证明，进而得出，再利用等腰直角三角形的性质即可得出结论； （2）过点E作交DC延长线于点H，交BC延长线于点P，过点B作于点O，证明，再证，进而得出为等腰直角三角形，即可证得结论． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵ 正方形ABCD， ∴，， 过点E作于点H，于点P，如下图所示， 则， ∴， ∴四边形CHEP是矩形， ∵ ，， ∴与均为等腰直角三角形， ∴，， ∴四边形CHEP是正方形， ∴． ∵ ， ∴， 又∵ ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 过点B作于点M， 则， ∵ ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． ∴， ∴， 即． ∵ ， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等，熟练掌握上述知识点，通过作辅助线构造全等三角形，将所求线段进行等量代换是解题的关键． 26. 对于平面直角坐标系xOy中的直线l：与矩形给出如下定义：设直线l与坐标轴交于点M，N（M，N不重合），直线与矩形的两边交于点P，Q（P，Q不重合），称线段，的较小值为直线l的关联距离，记作，特别地，当时，．已知，，． （1）若，则______，______； （2）若，，则的值为______； （3）若，直接写出的最大值及此时以M，N，P，Q为顶点的四边形的对角线交点坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）的最大值为，四边形的对角线交点坐标为 【解析】 【分析】（1）根据点坐标及画出图形，得到点的位置，利用勾股定理求出； （2）分两种情况：①当较小时，②当较小时，分别求出点的坐标，利用勾股定理列式计算可得的值，同时注意舍去不符合条件的值； （3）先确定，两直线平行并且关于直线对称，勾股定理求出，当时，求出，当时，，且随的减小而增大；当时，，当时，，且随的减小而增大，故当时，有最大值，此时， 此时，，，，求出及，得到四边形是平行四边形，进而得到四边形对角线交点坐标． 【小问1详解】 解：当时， 直线，与轴交点坐标为，与轴交点，此时点与点重合， 直线中，当时，得；当时，得， ∴直线与矩形的交点，， ∴，； 故答案为：，． 【小问2详解】 解：分两种情况： ①当较小时， 直线中，当时，；当时，， ∴图象与坐标轴交点为，， ∴， 解得或（舍去）； ②当较小时， 直线中，当时，，∴与轴交点， 当直线与矩形的边相交时，令，则，∴， ∴， 解得或； 当时，直线，当时，； 当时，直线，当时，，故舍去； 当直线与矩形的边相交时，令，则，∴， ∵， ∴此种情况不成立， 故的值为或． 故答案为：或． 【小问3详解】 解：∵与不重合，与不重合， ∴， ∵与的值相等，值互为相反数， ∴两直线平行并且关于直线对称， ∵直线的图象与坐标轴交点为，， ∴， ∵直线的图象与矩形的两边交点为，， ∴， 当时，， 解得， 图1，当时，，且随的减小而增大； 图3，当时，， 图2，当时，，且随的增大而增大， 故当时，有最大值，此时， 此时，，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴对角线交点的坐标为，即， 综上，的最大值为，四边形对角线交点坐标为． 【点睛】此题考查了一次函数与几何图形，求直线解析式，直线与图形的交点，勾股定理，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，正确理解题意、分情况讨论并画出图形辅助解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $