13.1.3.反证法 课件 2026-2027学年华东师大版八年级数学上册

该初中数学课件核心内容为反证法，课堂导入从勾股定理逆定理（\(a^2 + b^2 = c^2\)是直角三角形）过渡到\(a^2 + b^2 eq c^2\)是否非直角三角形的疑问，通过问题链搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点是以“做一做”动手计算边长平方和、观察图形为起点，结合勾股定理引导猜想，培养数学眼光。通过反证法步骤（假设、推理矛盾、结论）的规范训练，如证明“两直线相交只有一个交点”，发展推理意识。既助学生掌握反证法，又提升数学思维，教师可直接用于教学，提高效率。

如图，当一个三角形的三边长a、b、c（a≤b≤c）满足关系a2 +b2 =c2时，这个三角形一定是直角三角形吗？ c a b A C B 解：由a2 +b2 ＝c2 ，根据勾股定理的逆定理可知∠C=90°，这个三角形一定是直角三角形. 如果此时a2+b2 ≠c2,那么这个三角形是否一定不是直角三角形呢？ 复习导入 22251 13.1.3 反证法 22251 1.了解用反证法证明命题的一般步骤，能运用反证法证明与勾股定理相关的简单命题. 学习目标 22251 作出以如下各组数为边长的三角形，算算较短的两边长的平方和是否等于最长边的平方，再观察它们的图形，你发现了什么？ (1)a=1.0，b=2.4，c=2.6；(2)a=2，b=3，c=4；(3) a=2，b=2.5，c=3. 12+2.42=2.62 22+32≠42 22+2.52≠32 做一做 22251 可以发现，第一组恰好满足a²+b²=c²，由勾股定理的逆定理可知，组成的三角形是直角三角形，与所作图形一致.而另外两个三角形较短的两边长的平方和都不等于最长边的平方，所作图形都不是直角三角形. 可以得到什么样的猜想呢？ 12+2.42=2.62 22+32≠42 22+2.52≠32 新知探究 22251 猜想：当一个三角形的三边长a、b、c(a≤b≤c)存在关系a²+b²≠c²时，这个三角形不是直角三角形. 分析：想从已知条件a²+b²≠c²(a≤b≤c)出发， 直接经过推理得出结论，十分困难. 我们可以换一种思维方式，用如下方法证明这个结论： (1)假设它是直角三角形； (2)根据勾股定理，一定有a²+b²=c²，与已知条件a²+b²≠c²矛盾； (3)因此假设不成立，即它不是直角三角形. 怎样证明这个猜想是正确的呢？ 新知探究 22251 反证法：从命题的结论的反面出发，进行推理论证，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做“反证法”. 步骤： (1)假设结论的反面是正确的； (2)通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件等相矛盾； (3)说明假设不成立，进而得出原结论正确. 归纳 22251 先思考作什么假设，再用反证法写出推理过程. 假设：a²+b²=c² 推理矛盾：∠C≠90°是否成立？ 对于一般的非直角三角形，情况又会如何呢？ 思考 22251 例1 求证：两条直线相交只有一个交点. 已知：两条相交直线l1与l2. 求证：l1与l2只有一个交点. 分析：想从已知条件“两条相交直线l1与l2”出发，经过推理，得出结论“l1与l2只有一个交点”是很困难的，因此可以考虑用反证法. 证明：假设两条相交直线l1与l2不止一个交点，不妨假设l1与l2有两个交点A和B. 这样过点A和点B就有两条直线l1和l2.这与“两点确定一条直线”，即“经过点A和点B的直线只有一条”这个基本事实矛盾. 所以假设不成立，因此两条直线相交只有一个交点. 典例精析 22251 例2 证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°. 已知：△ABC. 求证：△ABC至少有一个内角小于或等于60°. 证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°，即∠A>60°，∠B>60°，∠C>60°. 于是∠A+∠B+∠C > 60°+60°+60°=180 °， 这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾. 所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 典例精析 22251 1. 求证：在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等. 已知：在△ABC中，AB≠AC. 求证：∠C≠∠B. 证明：假设∠C=∠B， 由“等角对等边”可知AB=AC， 这与已知“AB≠AC”矛盾， 所以假设不成立，即∠C≠∠B. 巩固练习 22251 2. 求证：两条直线被第三条直线所截，如果内错角不相等，那么这两条直线不平行. 已知：如图，直线AB、CD分别与直线EF交于点G、H，∠1≠∠2. 求证：AB不平行于CD. 证明：假设AB∥CD，由“两直线平行，内错角相等”可知∠1=∠2，这与已知“∠1≠∠2”矛盾.所以假设不成立，即AB不平行于CD. D C A B E F G H 1 2 巩固练习 22251 步骤 内容 从命题的结论的反面出发，进行推理论证，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法. 1.先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面是正确的； 2.从这个假设出发，通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾； 3.由矛盾判定假设不正确，从而得到原结论正确. 反证法 课堂小结 22251 1. 用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤： ①则∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，所以∠A＝∠B＝90°不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设三角形的三个内角∠A，∠B，∠C中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°. 正确的顺序应为(　　) A．①②③ B．①③② C．②③① D．③①② D 随堂小练 ▷▷基础 22251 2.试说出下列说法的反面： （1）a是实数; 　　 （2）a大于2; （3）a小于2; 　　 （4）至少有2个; （5）最多有一个. 　 　a不是实数 　a小于或等于2 　a大于或等于2 最多有1个 一个也没有 随堂小练 ▷▷基础 22251 3. 用反证法证明：如果a+b>0，那么a，b中至少有一个大于零． 证明：假设a、b都不大于零，即a≤0，b≤0， 因为两个非正数相加还是非正数，所以a+b≤0. 这与已知条件a+b>0矛盾，所以假设不成立， 所以a、b中至少有一个大于零. 随堂小练 ▷▷基础 22251 4.求证：如果整数m的平方是一个偶数，那么m必为偶数. 已知：整数m的平方是一个偶数. 求证：m为偶数. 证明：假设整数m是奇数，那么m可写成2n+1(n为整数)， 则m²=(2n+1)²=4n²+4n+1=2(2n²+2n)+1， 无论n取何值，2(2n²+2n)+1都是奇数. 这与已知“m的平方是偶数”矛盾. 所以假设不成立，所以m为偶数. 随堂小练 ▷▷提升 22251 $