13.1.3 反证法 课件 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦反证法，系统梳理定义、三步核心步骤、结论反面改写及适用场景。通过“王戎识李”故事导入，从勾股定理逆命题探究切入，衔接具体几何命题证明，搭建从生活情境到抽象方法的学习支架。 其亮点在于以推理意识为核心，通过典例分析（如证明“三角形不可能有两个钝角”）和分层练习（必做、选做、综合拓展），培养学生逻辑推理与问题解决能力。易错点总结规范表达，结合生活实例（小球颜色推理）提升应用意识，助力学生掌握间接证明方法，也为教师提供系统教学资源。

华东师大版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月16日 13.1.3 反证法 第十三章 勾股定理 13.1.3 反证法 同步练习题 一、核心知识点 1. 反证法的定义 反证法是一种间接证明法，不直接证明原命题成立，而是先假设原命题不成立，经过正确推理，推出与已知条件、公理、定理、事实相矛盾的结论，从而证明假设错误，原命题成立。 2. 反证法三步核心步骤（必考模板） ① 反设：假设原命题的结论不成立，写出结论的反面； ② 归谬：从假设出发，结合已知条件、定理公理，进行正确推理，推出矛盾； ③ 存真：否定假设，肯定原命题的结论正确。 3. 常用结论的反面改写（高频考点） ① 原结论：是 / 成立 → 反面：不是 / 不成立 ② 原结论：相等 → 反面：不相等 ③ 原结论：平行 → 反面：不平行 ④ 原结论：垂直 → 反面：不垂直 ⑤ 原结论：唯一 / 只有一个 → 反面：至少两个 ⑥ 原结论：至少一个 → 反面：一个也没有 4. 反证法适用场景 ① 命题结论含“至多、至少、唯一、存在”等词语； ② 直接证明难度大、思路受阻的几何命题； ③ 证明否定性命题、唯一性命题、存在性命题。 5. 本章经典应用 用反证法证明：直角三角形最多只有一个直角、三角形中不可能有两个钝角、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 二、选择题（每题 4 分，共 20 分） 1. 反证法的第一步是（） A. 推导矛盾 B. 假设原命题结论不成立 C. 直接证明结论 D. 肯定原命题 2. 用反证法证明“三角形中最多有一个直角”，应先假设（） A. 三角形没有直角 B. 三角形至少有两个直角 C. 三角形有一个直角 D. 三角形最多两个直角 3. 用反证法证明“a=b”，第一步假设正确的是（） A. a≠b B. a＞b C. a＜b D. a=b不成立 4. 下列适合用反证法证明的命题是（） A. 对顶角相等 B. 直角三角形两锐角互余 C. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D. 两直线平行同位角相等 5. 反证法的核心逻辑是（） A. 直接推理证明结论 B. 假设错误，反推原命题正确 C. 举例子验证命题 D. 依据定义直接判定 三、填空题（每题 4 分，共 24 分） 1. 反证法的三大步骤：反设、________、存真。 2. 用反证法证明命题时，首先需要假设原命题的________不成立。 3. 证明“三角形的三个内角中至少有一个不大于60°”，应假设________。 4. 证明“两条直线相交只有一个交点”，反设应为________。 5. 反证法属于________（直接/间接）证明方法。 6. 推理推出矛盾后，即可否定________，肯定原命题正确。 四、解答题（每题 9 分，共 36 分） 1. 基础反设训练：写出下列命题的反设（结论反面） (1) a平行于b (2) 三角形ABC是直角三角形 (3) 线段AB与CD相等 2. 基础证明：用反证法证明“一个三角形中不可能有两个钝角”。 3. 基础证明：用反证法证明“垂直于同一直线的两条直线互相平行”。 4. 概念简答：简述反证法的证明逻辑和适用题型特点。 五、综合应用题（共 20 分） 1. 几何综合证明：用反证法证明“直角三角形的两个锐角互余，且不可能有直角和钝角并存”。（10分） 2. 定理证明：用反证法证明“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直”。（10分） --- 参考答案 一、选择题 1.B 2.B 3.A 4.C 5.B 二、填空题 1. 归谬 2. 结论 3. 三角形三个内角都大于60° 4. 两条直线相交至少有两个交点 5. 间接 6. 假设 三、解答题 1. 解： (1) 反设：a不平行于b； (2) 反设：△ABC不是直角三角形； (3) 反设：线段AB与CD不相等。 2. 证明： 反设：假设△ABC中有两个钝角，不妨设∠A＞90°，∠B＞90°。 归谬：则∠A+∠B＞180°， 又三角形内角和为180°，即∠A+∠B+∠C=180°， 可推出∠C＜0°，与角度定义矛盾。 存真：因此假设不成立，故一个三角形中不可能有两个钝角。 3. 证明： 已知：直线a⊥l，直线b⊥l 反设：假设a、b不平行，则a、b相交。 归谬：a、b相交于一点，则过该点有两条直线都垂直于直线l， 与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的定理矛盾。 存真：假设不成立，故垂直于同一直线的两条直线互相平行。 4. 答： 证明逻辑：先否定原命题结论，通过严谨推理推出矛盾，推翻假设，反向证明原命题正确。 适用题型：含至多、至少、唯一、存在的命题，否定性命题，直接证明难度大的几何命题。 四、综合应用题 1. 证明： 反设：假设直角三角形中，除直角外，至少有一个锐角≥90°，或三角形存在直角与钝角并存。 归谬：已知三角形有一个直角为90°，若另有一个角≥90°， 则三角形内角和＞180°，与三角形内角和定理矛盾。 存真：假设不成立，故直角三角形只有一个直角，剩余两角均为锐角且互余。 2. 证明： 反设：假设过直线外一点P，有两条不同直线a、b都垂直于已知直线l。 归谬：由垂直定义，a与l夹角90°，b与l夹角90°， 则a∥b，与a、b相交于点P矛盾。 存真：假设不成立，故过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。 本节易错点总结 1. 反设错误：不会写结论的反面，尤其是“至少、至多、唯一”类词语的否定。 2. 步骤缺失：遗漏反设、归谬、存真任意一步，证明过程不完整扣分。 3. 矛盾找错：推理后无法精准指出矛盾点（内角和、公理定理、已知条件）。 4. 概念混淆：把反证法当成直接证明，推理逻辑颠倒。 5. 否定不彻底：结论有多类情况时，否定不全面，导致证明失效。 6. 结尾遗漏：推理出矛盾后，忘记否定假设、肯定原命题结论。 课堂导入 从前有个聪明的孩子叫王戎，他7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李子树上结满了果子，小伙伴纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动，有人问王戎为什么，王戎回答说：“树在道边而多子，此必苦李”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李。 思考：王戎是怎么知道李子是苦的呢？他运用了怎样的推理方法？ 新知探究 我们已经知道，当一个三角形的三边长a、b、c（a≤b≤c）满足关系a2+b2=c2时，这个三角形一定是直角三角形，如果此时a2+b2≠c2，那么这个三角形是否一定不是直角三角呢？ 解题思路：（1）假设它是直角三角形； （2）根据勾股定理，一定有a2+b2=c2，与已知条件a2+b2≠c2矛盾； （3）因此假设不成立，即它不是直角三角形 从已知条件a2+b2≠c2（a≤b≤c）出发进行证明有一定的难度，那么我们可以用以上方法进行证明，这种方法叫做”反证法“ 新知探究 ①反设：先假设结论的反面是正确的 ②归谬：通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件等想矛盾； ③结论：从而说明假设不成立，进而得出原结论正确。 反证法步骤 回想一下，以前用过类似的方法吗？ 新知探究 思考 “在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C=90°，那么a2+b2=c2”是一个真命题，对于一般的非直角三角形，情况又会如何呢？即“在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C≠90°，那么a2+b2≠c2”是真命题吗？ 提示：先思考做什么假设，再用反证法推理过程 典例分析 例1 .用反证法证明：已知△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°． 证明：假设∠B≥90° ∵AB=AC，∴∠B=∠C ∵∠B≥90°，∴∠C≥90°，∴∠B+∠C≥180° 又因为：在一个三角形中，三角形内角和为180° ∴不可能有两个内角和大于或等于180° ∴假设矛盾，∴假设不成立 ∴∠B＞90° 变式训练 用反证法证明：如果a+b＞0，那么a，b中至少有一个大于零． 证明：假设a、b都不大于零 即a≤0，b≤0 因为两个非正数相加还是非正数 ∴a+b≤0. 这个与已知条件a+b＞0矛盾 所以假设不成立 所以a、b中至少有一个大于零 典例分析 例2 .已知：m是正整数，且m2是偶数．求证：m是偶数．（注：利用反证法证明） 证明：假设m不是偶数，则m为奇数 设m=2n+1(n为整数) 则m2=（2n+1）2=4n2+4n+1=4(n2+n)+1 因为4（n2+n)为偶数 所以4(n2+n)+1为奇数，与m2为偶数矛盾， 所以假设不成立，故为偶数 变式训练 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是底边BC上的高，请你利用反证法证明∠DAB是一个锐角． 证明：假设∠DAB是钝角或直角 ∵AB=AC，AD是底边BC上的高 ∴∠BAC=2∠DAB ∵∠DAB是钝角或直角 ∴2∠DAB≥180°，不符合三角形内角和定理 ∴假设不成立 ∴∠DAB是一个锐角 新知探究 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1.已知：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C. 若用反证法来证明这个结论，可以假设( ). A. ∠A=∠B B. AB=BC C. ∠B=∠C D. ∠A=∠C C 随堂练习 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 2.用反证法证明结论为“a<b”的命题时，应假设( ) A. a>b B. a≥b C. a=b D. a≤b B 随堂练习 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 3.用反证法证明“同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设( ) . A. a、c不垂直 B. a、b都不与c垂直 C. a⊥b D. a与b相交 D 随堂练习 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 4.求证：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角不互补，那么这两条直线不平行.(用反证法) 已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2___180°. 求证：l1与l2_______. 证明：假设l1 ____l2， 则∠1+∠2_____180°( ). 这与_______相矛盾，故______不成立. 所以________________. ≠ 不平行 ∥ = 两直线平行，同旁内角互补 已知 假设 l1与l2不平行 随堂练习 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 5.小明在用反证法解答“已知△ABC中， AB=AC，求证：∠B<90°”这道题时，写出了下面的四个推理步骤: ①又因为∠A>0°，所以∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形内角和定理相矛盾； ②所以∠B<90°；③假设∠B≥90° ; ④由AB =AC，得∠B=∠C，所以∠C ≥90°; 请写出这四个步骤正确的顺序：_______________.(填序号) ③④①② 随堂练习 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 6.在一次游戏活动中，钟老师将三个颜色不同的小球分发给小雅、小点和小训三个同学，其中有一个小球颜色是红色. 小雅说：“红色球在我手上”； 小点说：“红色球不在我手上”； 小训说：“红色球肯定不在小雅手上”. 三个同学只有一个说对了，则红色球在______的手上. 小点 随堂练习 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 7. 已知：如图，D是△ABC内一点. 求证：△ABD，△BDC，△ADC不可能都是锐角三角形(用反证法证明). 随堂练习 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 7. 证明：假设△ABD，△BDC，△ADC都是锐角三角形， 则∠ADB，∠BDC，∠ADC都是锐角， ∴∠ADB+∠BDC +∠ADC < 360°， 这与 ∠ADB +∠BDC +∠ADC =360°矛盾， ∴假设不成立， ∴△ABD，△BDC，△ADC不可能都是锐角三角形. 随堂练习 1. 用反证法证明命题“四边形中至少有一个角 不是锐角”时，应先假设( ) A. 没有一个角是钝角或直角 B. 至多有一个钝角或直角 C. 没有一个角是锐角 D. 没有一个角是钝角 √ 中考考法 19 2. 如图，在中，，点 为 内一点，连结，， ， ，求证： ，用反证 法证明时，第一步应假设( ) A. B. C. D. √ 返回 中考考法 20 3. 命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相 平行”，用反证法证明时，最终推出与( )矛盾. A. 两点确定一条直线 B. 在同一平面内，过一点与已知直线垂直的直线只有一条 C. 过直线外一点与已知直线平行的直线只有一条 D. 垂直的定义 【点拨】命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线 互相平行”，用反证法证明时，最终推出与在同一平面内，过 一点与已知直线垂直的直线只有一条矛盾. √ 返回 中考考法 21 4.用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补. 【解】已知:如图,,,都被 所截. 求证: . 中考考法 22 证明:假设 . , . , ,这和平角为 矛盾, 假设 不成立,即 . 返回 中考考法 5. 下列对反证法的理解错误的是( ) A. 直接证明命题比较困难时可以考虑反证法 B. 命题的结论是否定形式时可以考虑反证法 C. 反证法的假设可以作为下面证明时的条件 D. 用反证法证得的结论有时不可靠 √ 返回 中考考法 24 课堂小结 基本概念 通过假设命题结论不成立，推导出矛盾 从而证明原命题必然成立 实施步骤 (1) 假设结论不成立 (2) 进行合理推理 (3) 得出与已知条件/公理/定理矛盾的结论 (4) 推翻假设，确认原命题成立 $