13.1.3 反证法 培优课件 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“反证法”，通过“路边苦李”情境和勾股定理逆定理问题导入，从直接证明过渡到间接证明，搭建学习支架帮助学生理解反证法的必要性。 其亮点是结合情境导入、例题示范（如证明两直线相交只有一个交点）和分层练习，培养数学眼光、逻辑推理与规范表达。提供完整习题及答案，教师可高效教学，学生能掌握反证法步骤，提升几何证明能力。

华东师大版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月16日 13.1.3 反证法 第十三章 勾股定理 华东师大版八上13.1.3 反证法同步练习题 一、选择题（每题 4 分，共 20 分） 1. 下列关于反证法的说法正确的是（） A. 反证法是直接证明命题成立的方法 B. 反证法先假设命题的结论不成立 C. 反证法不需要推出矛盾 D. 反证法只能证明假命题 2. 用反证法证明“一个三角形中最多有一个直角”，应先假设（） A. 一个三角形中没有直角 B. 一个三角形中至少有一个直角 C. 一个三角形中至少有两个直角 D. 一个三角形中最多有两个直角 3. 反证法的核心步骤是（） A. 已知、求证、证明 B. 假设结论不成立，推出矛盾，肯定原结论 C. 举例验证结论 D. 利用公式直接推导 4. 用反证法证明“两直线平行，同位角相等”，第一步假设正确的是（） A. 两直线不平行 B. 同位角不相等 C. 同位角相等 D. 两直线平行 5. 下列命题适合用反证法证明的是（） A. 求证线段相等 B. 求证角度相等 C. 求证三角形中最多有一个钝角 D. 求线段长度 二、填空题（每题 4 分，共 24 分） 1. 反证法是一种________证明方法（填“直接”或“间接”）。 2. 反证法的三步流程：①________；②________；③________。 3. 用反证法证明命题时，首先要假设________。 4. 矛盾的常见类型：与已知条件矛盾、与基本事实矛盾、与________矛盾。 5. 证明“三角形的三个内角中至少有一个角不大于60°”，应假设________。 6. 当命题正面证明困难，或出现“至多、至少、唯一”类词语时，适合用________证明。 三、解答题（每题 9 分，共 36 分） 1. 写出下列命题反证法的第一步假设。 （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 （2）三角形中至少有一个锐角 （3）两条直线相交只有一个交点 2. 辨析正误，对的打“√”，错的打“×”。 （1）反证法不需要假设，直接推导结论 （2）反证法推出矛盾后，即可证明原命题成立 （3）所有命题都适合用反证法证明 （4）“至多、至少”类命题常用反证法 3. 用反证法证明：在一个三角形中，不可能有两个钝角。 4. 用反证法证明：垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 四、综合证明应用题（共 20 分） 1. 用反证法证明：在△ABC中，若∠C≠90°，则AC²+BC²≠AB²。（10 分） 2. 用反证法证明：一条线段只有一个中点。（10 分） 参考答案 一、选择题 1.B 2.C 3.B 4.B 5.C 二、填空题 1. 间接 2. 假设结论不成立；推出矛盾；否定假设，肯定原结论 3. 原命题的结论不成立 4. 定理、定义 5. 三角形三个内角都大于60° 6. 反证法 三、解答题 1. 解： （1）假设在同一平面内，过一点有两条直线与已知直线垂直； （2）假设三角形中没有锐角（三个角都是直角或钝角）； （3）假设两条直线相交有两个或两个以上交点。 2.（1）× （2）√ （3）× （4）√ 3. 证明： 假设一个三角形中有两个钝角， 不妨设△ABC中，∠A＞90°，∠B＞90°， 则∠A+∠B＞180°， 又∵ 三角形内角和为180°，即∠A+∠B+∠C=180°， ∴ 与三角形内角和定理矛盾。 ∴ 假设不成立， ∴ 在一个三角形中，不可能有两个钝角。 4. 证明： 假设垂直于同一条直线的两条直线不平行， 则两条直线相交， 已知直线a⊥直线l，直线b⊥直线l，a、b相交， 则过直线l外一点有两条直线与已知直线垂直，与基本事实矛盾。 ∴ 假设不成立， ∴ 垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 四、综合应用题 1. 证明： 假设AC²+BC²=AB²， 由勾股定理逆定理可得，△ABC为直角三角形，且∠C=90°， 这与已知条件∠C≠90°矛盾， ∴ 假设不成立， ∴ 若∠C≠90°，则AC²+BC²≠AB²。 2. 证明： 假设一条线段有两个中点， 设线段AB的中点有M、N两个， 则AM=$$\dfrac{1}{2}$$AB，AN=$$\dfrac{1}{2}$$AB， ∴ AM=AN， 即两点M、N重合，与假设两个中点矛盾。 ∴ 假设不成立， ∴ 一条线段只有一个中点。 知识点拓展讲解（约400字） 反证法是初中几何唯一的间接证明方法，区别于常规的直接推理证明，是本章重难点、考试高频考点，专门解决正面证明困难的命题。核心原理：不从正面证明结论正确，而是假设结论错误，通过严谨推理推出矛盾，从而反向证明原命题正确。 标准三步解题法：反设→归谬→存真。反设：否定原命题结论（最关键、最易错步骤）；归谬：结合已知条件、定理、公理推导，得出矛盾；存真：否定假设，确定原命题成立。 必考题型特征：题干含至多、至少、唯一、不可能、至多一个等限定词，优先选用反证法。高频易错点：反设错误，否定结论不彻底；推导矛盾无依据；混淆直接证明与间接证明。 本节常结合三角形性质、勾股定理、直线位置关系综合考查，是锻炼几何逻辑思维的关键内容。熟练掌握反设技巧和证明步骤，可轻松攻克特殊几何证明难题，完善初中几何证明体系。 学习目标 1.了解反证法的证明步骤，体会反证法证明问题的思想 2.理解并体会反证法的思想内涵. (难点) 3.通过反证法的学习，培养辩证唯物主义观念. 学习目标 情境导入 路边苦李 王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘？ 王戎回答说：“树在道边而多子，此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下，果然是苦李. 王戎是怎么知道李子是苦的呢？他运用了怎样的推理方法？ 02 新知导入 我们已经知道，当一个三角形的三边长a、b、c(a≤b≤c)满足关系 a2+b2=c2时，这个三角形一定是直角三角形. 如果此时a2+b2≠c2，那么这个三角形是否一定不是直角三角形呢? 03 新知探究 探究 反证法 【做一做】作出以如下各组数为边长的三角形，算算较短的两边长的平方和是否等于最长边的平方，再观察它们的图形，你发现了什么? （1）a=1.0，b=2.4，c=2.6； （2）a=2，b=3，c=4； （3）a=2，b=2.5，c=3. 03 新知探究 探究 反证法 我们可以发现，第一组恰好满足a2+b2=c2，由勾股定理的逆定理可知，组成的三角形是直角三角形，与所作图形一致。而另外两个三角形较短的两边长的平方和都不等于最长边的平方，所作图形都不是直角三角形. 由此，可以猜想：当一个三角形的三边长a、b、c(a≤b≤c)存在关系a2+b2≠c2时，这个三角形不是直角三角形. 03 新知探究 探究 反证法 然而，想从已知条件a2+b2≠c2(a ≤b≤c) 出发，直接经过推理得出结论，十分困难. 我们可以换一种思维方式，用如下方法证明这个结论: (1)假设它是直角三角形； (2)根据勾股定理，一定有a2+b2=c2，与已知条件a2+b2≠c2矛盾； (3)因此假设不成立，即它不是直角三角形. 总结归纳 一个命题，当正面证明有困难或者不可能时，就可以尝试用反证法. 用反证法证明命题的步骤： ①先假设结论的反面是正确的； ②通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件等相矛盾； ③由矛盾判断假设不成立，进而得出原结论正确. 拓展提高 反证法是数学证明的一种重要方法，历史上许多著名的命题都是用反证法证明的. 一个命题，当从正面证明有困难或者不可能时，就可以尝试运用反证法，有时问题竟能轻易地被解决，此即所谓“正难，则反”.因此，牛顿就说过:“反证法是数学家最精良的武器之一.”用反证法不是直接证明结论，而是间接地去否定与结论相反的一面，从而得出事物真实的一面. 反证法是一种间接的证明方法. 03 新知探究 【思考】现在再回到勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 即“在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C= 90°，那么a2+b2=c2”是一个真命题. 对于一般的非直角三角形，情况又会如何呢? 即“在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C≠90°，那么a2+b2≠c2”是真命题吗? 03 新知探究 假设a2+b2=c2，∵∠C≠90°，∴△ABC不是直角三角形， ∴由勾股定理得a2+b2≠c2，这与假设相矛盾， ∴假设不成立， ∴在△ABC中，如果AB =c，BC=a，CA= b，且∠C ≠90°， 那么a2+b2≠c2是真命题。 使用反证法证明该命题为真命题，需先假设结论不成立，再根据已知条件推出矛盾，从而证明原命题成立。 03 新知探究 【例5】证明：两条直线相交只有一个交点. 已知：两条相交直线l1与l2. 求证：l1与l2只有一个交点. 分析：想从已知条件“两条相交直线 l1与l2”出发，经过推理，得出结论“l1与l2只有一个交点”是很困难的，因此可以考虑用反证法. 03 新知探究 【例5】证明：两条直线相交只有一个交点. 已知：两条相交直线l1与l2. 求证：l1与l2只有一个交点. 证明：假设两条相交直线l1与l2不止一个交点，不妨假设l1与l2有两个交点A和B. 这样过点A和点B就有两条直线l1和l2 .这与“两点确定一条直线”，即“经过点A和点B的直线只有一条”这个基本事实矛盾. 所以假设不成立，因此两条直线相交只有一个交点. 03 新知探究 【例6】证明:在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°. 已知：△ABC. 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 证明：假设△ABC 中没有一个内角小于或等于60°，即 ∠A> 60°，∠B> 60°，∠C > 60°. 于是 ∠A +∠B+ ∠C > 60°+ 60°+ 60°= 180°， 这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾. 所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 1. 用反证法证明命题“四边形中至少有一个角 不是锐角”时，应先假设( ) A. 没有一个角是钝角或直角 B. 至多有一个钝角或直角 C. 没有一个角是锐角 D. 没有一个角是钝角 √ 中考考法 15 解此题的关键是要懂得反证法的意义及步骤.在假设 结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果 只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必 须一一否定. 返回 中考考法 16 2. 如图，在中，，点 为 内一点，连结，， ， ，求证： ，用反证 法证明时，第一步应假设( ) A. B. C. D. √ 返回 中考考法 17 3. 命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相 平行”，用反证法证明时，最终推出与( )矛盾. A. 两点确定一条直线 B. 在同一平面内，过一点与已知直线垂直的直线只有一条 C. 过直线外一点与已知直线平行的直线只有一条 D. 垂直的定义 【点拨】命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线 互相平行”，用反证法证明时，最终推出与在同一平面内，过 一点与已知直线垂直的直线只有一条矛盾. √ 返回 中考考法 18 4.用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补. 【解】已知:如图,,,都被 所截. 求证: . 中考考法 19 证明:假设 . , . , ,这和平角为 矛盾, 假设 不成立,即 . 返回 中考考法 5. 下列对反证法的理解错误的是( ) A. 直接证明命题比较困难时可以考虑反证法 B. 命题的结论是否定形式时可以考虑反证法 C. 反证法的假设可以作为下面证明时的条件 D. 用反证法证得的结论有时不可靠 √ 返回 中考考法 21 6. 已知在中， ，求证： .下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ，这与三角形内角和为 矛盾； ②因此假设不成立. ; ③假设在中， ; ④由，得 ，即 .这 四个步骤正确的顺序应是( ) A. ④③①② B. ③④②① C. ①②③④ D. ③④①② √ 中考考法 22 【点拨】运用反证法证明这个命题的四个步骤：假设在 中， ；由，得 ， 即 ； ，这与三角 形内角和为 矛盾；因此假设不成立. . 返回 中考考法 23 7.用反证法证明命题：“若，是整数，且 能被5整除，则 ， 中至少有一个能被5整除”时，应假设________________ ____. ，都不能被5整除 8.［2025保定期末］如图，在 中， ，是的平分线，是 边上的中线.用反证法证明点与点 不重合. 返回 中考考法 24 【证明】假设点与点重合.延长到 ， 使，连结 . 是 边上的中线， .又 ， ， ， . 是的平分线， ， 中考考法 25 ， ， ，这与 相矛盾. 点与点 重合是错误的. 点与点 不重合. 返回 中考考法 05 课堂小结 本节课你学到了什么？ 1.一个命题，当正面证明有困难或者不可能时，就可以尝试用反证法. 2.用反证法证明命题的步骤： ①先假设结论的反面是正确的； ②通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件等相矛盾； ③由矛盾判断假设不成立，进而得出原结论正确. $