精品解析：北京市日坛中学2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

2026北京日坛中学高三（上）开学考 数学 命题人：高三数学备课组 时间：120分钟 一、选择共15小题，每小题4分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，是奇函数且在其定义域上单调递增的为（ ） A. B. C. D. 3. 下列两个函数和，的图象不可以由的图象经过平移得到的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列函数中，图象存在与轴平行的切线的是（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，为终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 8. 若角与角的终边关于y轴对称，则必有（ ） A. B. C. D. 9. 定义在上的函数满足，且当时，则（ ） A. B. C. 2 D. 10. 如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，如图是会徽的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 11. 已知函数的定义域为区间，其导函数的图象如图所示，的3个零点分别是，，．下列结论中正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 在处取得极大值 C. 有3个极值点 D. 12. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 13. 当时，方程的解的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 14. 某工厂的产量Q（单位：件）与资本投入K（单位：万元）、劳动投入L（单位：人）满足柯布-道格拉斯生产函数（其中，，为常数）.在劳动投入不变的前提下，要使该工厂的产量提升20%，资本投入需增加60%，则该工厂资本产出的弹性系数约为（ ）（参考数据：，） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 15. 已知函数是定义在上的可导函数，若对于，均有，则有（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 16. 函数的定义域为________________. 17. 已知，，且，则的最小值为______． 18. 已知函数化为(，)，则________，________. 19. 已知，且，．写出满足条件的一组的值___________，___________． 20. 已知点（），（）分别在函数，的图象上，若轴，则的最小值为__________，此时__________． 21. 已知函数，则下列说法中所有正确的序号是______． ① ②若函数有个零点，则实数的取值范围为 ③当时，函数的图象与轴围成的图形的面积为 ④对于实数，不等式恒成立 三、解答题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 22. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求的单调区间，并求其最大值与最小值． 23. 在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，记点的横坐标为，其中． （1）求锐角的值； （2）若，求的值； （3）求函数的最值． 24. 已知椭圆的离心率，点在上，直线与椭圆交于两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）当为何值时，为定值． 25. 已知函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有两个零点，求实数的取值范围. 26. 已知数集，若对任意的，，使得成立，则称数集具有性质．分别判断数集与是否具有性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026北京日坛中学高三（上）开学考 数学 命题人：高三数学备课组 时间：120分钟 一、选择共15小题，每小题4分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】要使根式有意义，需，解得，因此. 不等式，因式分解得，解得，即. 因此. 2. 下列函数中，是奇函数且在其定义域上单调递增的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A，令，，则，函数为偶函数，故错误； C，令，，函数为奇函数，但在定义域上不单调，故错误； 方法一： B，令，，则，函数为奇函数， ，函数单调递减，故错误； D，令，由，解得， ，则，函数为奇函数， ，即函数在定义域上单调递增，故正确. 法二： B，令，，则，函数为奇函数， ∵和是减函数， ∴函数单调递减，故错误； D，令，由，解得， ，，函数为奇函数， ∵和均是增函数，则为增函数， ∴函数在定义域内单调递增，故正确. 3. 下列两个函数和，的图象不可以由的图象经过平移得到的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】A. 因为，所以的图象可以由的图象向上平移个单位得到，A不适合题意； B.因为，所以的图象可以由的图象向左平移2个单位得到，B不适合题意； C.因为，所以先关于轴对称得到，再向右平移1个单位得到的图象，C适合题意； D.因为，所以的图象可以由的一下向左平移个单位得到，D不适合题意. 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用“分段法”来确定正确答案. 【详解】，， ， 所以. 故选：C 5. 已知函数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数判断的单调性，进而比较大小. 【详解】定义域为，，当且仅当时等号成立， 所以在上单调递增，又， 所以，即. 6. 下列函数中，图象存在与轴平行的切线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先明确函数图象存在与轴平行的切线意味着函数在某点处的导数为0，然后分别对各选项中的函数求导，令导数等于0，看是否有解来判断. 【详解】对于A选项，对求导可得.所以的图象不存在与轴平行的切线，A选项错误. 对于B选项，已知，对求导可得. 令，即，此方程无解，所以的图象不存在与轴平行的切线，B选项错误. 对于C选项，已知，其定义域为.求导可得. 令，即，解得，在定义域内，所以的图象存在与轴平行的切线，C选项正确. 对于D选项，求导函数得，令，即， 因为此方程无解，所以的图象不存在与轴平行的切线，D选项错误. 故选：C. 7. 在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，为终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意知为终边上一点，故， 所以. 8. 若角与角的终边关于y轴对称，则必有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据角与角的终边关于y轴对称，有，即可得解. 【详解】角与角的终边关于y轴对称， 所以， ， 即， 故选：D 【点睛】此题考查根据两个角的终边的对称关系求解角的关系，关键在于准确将对称关系转化成代数关系求解. 9. 定义在上的函数满足，且当时，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先得到函数一个周期为2，从而代入计算即可. 【详解】，故的一个周期为2， 所以. 故选：D 10. 如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，如图是会徽的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由条件可得，然后根据扇形的面积公式可得答案. 【详解】设，则，所以， 所以， 故选：D 11. 已知函数的定义域为区间，其导函数的图象如图所示，的3个零点分别是，，．下列结论中正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 在处取得极大值 C. 有3个极值点 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数图象确定原函数的性质，导函数的正负确定原函数的单调性，根据导函数零点左右导数的正负确定极值点的情况. 【详解】，，在区间上单调递减，选项A错误； 时，，当时，，当时，， 所以不是极值点，选项B错误； 的3个零点，，， 当时，，当时，，不是极值点， 当时，，当时，，是极小值点， 当时，，当时，，是极大值点， 有个极值点，选项C错误； ，，在区间上单调递增，，选项D正确. 12. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】将中的角变形，再利用两角和差公式得到，得到或，分别讨论求解，得到充分性不成立；由得到，分别讨论和两种情况进行求解，从而得到必要性不成立. 【详解】充分性分析： ，，， ， ， 或， 当时，，即，， 当时，，即， 综上可得，当时，或， 不能得到，充分性不成立； 必要性分析： ，， 当时，，不一定有成立， 当时，，则有成立， 综上，由不一定得到，故必要性不成立， 故选：D. 13. 当时，方程的解的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】由得， 故或， 又， 结合与的图象知有一解，有两解，且均不相同， 故原方程有3个解. 14. 某工厂的产量Q（单位：件）与资本投入K（单位：万元）、劳动投入L（单位：人）满足柯布-道格拉斯生产函数（其中，，为常数）.在劳动投入不变的前提下，要使该工厂的产量提升20%，资本投入需增加60%，则该工厂资本产出的弹性系数约为（ ）（参考数据：，） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得，又， 两式相除可得，两边取对数可得， 所以，所以. 15. 已知函数是定义在上的可导函数，若对于，均有，则有（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】构造辅助函数，根据题设判断其单调性，利用单调性比较不同点的函数值化简后即可得到结论 【详解】因为对任意，均有，所以， 构造函数，则， 因此在上恒成立，即是上的单调递减函数. 因为，由单调性得，即，化简得. 因为，由单调性得，即，化简得. 因此，. 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 16. 函数的定义域为________________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数定义域的求法直接求解. 【详解】由. 故答案为： 17. 已知，，且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 18. 已知函数化为(，)，则________，________. 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】利用三角恒等变换公式化简函数的表达式即可得解. 【详解】依题意，， 而，，于是得，. 故答案为：2，. 19. 已知，且，．写出满足条件的一组的值___________，___________． 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】根据已知有，，且，即可写出一组. 【详解】由题设，则，，且， 所以，满足条件的一组. 故答案为：（答案不唯一） 20. 已知点（），（）分别在函数，的图象上，若轴，则的最小值为__________，此时__________． 【答案】 ①. 1 ②. 1 【解析】 【分析】根据轴，得到，从而，设，将的最小值转化为的最小值，利用导数求的最小值即可. 【详解】因为轴，所以，即    故，设，则的最小值为的最小值， ，令，， 当时，，因此在上单调递增，又， 所以时，，因此在上单调递增， 故的最小值为，即的最小值为；此时，. 21. 已知函数，则下列说法中所有正确的序号是______． ① ②若函数有个零点，则实数的取值范围为 ③当时，函数的图象与轴围成的图形的面积为 ④对于实数，不等式恒成立 【答案】①②④ 【解析】 【分析】结合分段函数的递推关系，分区间分析函数的表达式与图像特征逐一判断即可. 【详解】先分析函数的基本性质： 当时，，即 图像为顶点在，端点为的三角形. 当时，，即对任意，时，，故， 图像为前一区间图像横向拉伸为原来的2倍，纵向压缩为原来的，区间内的最高点为. 逐一判断各结论： ① ∵ ，∴ ， 又∵ ，∴ ，故①正确. ② 函数有4个零点，等价于时有4个不同实根，即直线与的图像有个交点. 直线过原点，过在的最高点时，斜率，此时直线与段的图像仅交于最高点，共个交点. 过在的最高点时，斜率，此时直线与段的图像交于最高点，共个交点. ∴ 当时，直线与的图像有个交点，即函数有个零点，故②正确. ③ 当时，的图像为三角形，底长为，高为， ∴ 与x轴围成的面积，故③错误. ④ 对任意，设，的最大值为，对应， 此时，其余点处均小于该最大值，故恒成立，即恒成立，故④正确. 三、解答题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 22. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求的单调区间，并求其最大值与最小值． 【答案】（1）. （2）单调递增区间为和，单调递减区间为； 最大值为，最小值为. 【解析】 【小问1详解】 已知，所以， ， 切线斜率， 则曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 因为， 令，解得或，列表如下： 0 0 极大值 极小值 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为， 又因为所以的最大值为，最小值为. 23. 在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，记点的横坐标为，其中． （1）求锐角的值； （2）若，求的值； （3）求函数的最值． 【答案】（1） （2） （3）最小值；最大值． 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义及特殊角的三角函数值求解即可； （2）利用诱导公式及同角三角函数关系求得， ，然后利用二倍角正弦公式求解即可； （3）结合换元法利用余弦函数性质求解最值即可. 【小问1详解】 由于锐角的终边与单位圆相交于点，因此， 又因为为锐角，所以． 【小问2详解】 由（1）知，，故由题意，， 因为， 由，， 所以． 【小问3详解】 由（2）知，，． 因为，所以， 所以即时，； 即时，． （易知在上单调递减，在上单调递增， ；；； 所以在处取得最小值；在处取得最大值．） 24. 已知椭圆的离心率，点在上，直线与椭圆交于两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）当为何值时，为定值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用离心率和椭圆上的点，结合椭圆基本关系求出标准方程； （2）联立直线与椭圆方程，用韦达定理转化目标式，消去参数使表达式为定值． 【小问1详解】 依题意知， ，解得， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 联立，可得， 由，设． 则， 在上， ， ， 若为定值，则与无关， 故需使，解得，此时． 25. 已知函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，求出切线斜率和切点坐标，即得切线方程； （2）函数求导分解因式后，对参数分类讨论导函数的符号即得原函数的单调性； （3）根据（2）的结论，对参数分类，分析函数的单调性，极值以及图象变化趋势，结合特殊值，即得函数的零点情况. 【小问1详解】 当时，函数， 又，则. 所以在点处的切线方程为. 【小问2详解】 由题意知，的定义域为， 显然恒成立， ①若，则，此时在上单调递减； ②若，令，解得. 当时，，当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 若，由（2）知，至多有一个零点； 若，由（2）知，当时，取得最小值为. 设，则， 故在上单调递增，又. （i）当时，，故此时没有两个零点； （ii）当时，， 又， 故在上有一个零点； 当，由可得即，得，则 故，即，又易知 则，即 因此在上也有一个零点. 综上，若有两个零点，实数的取值范围为. 26. 已知数集，若对任意的，，使得成立，则称数集具有性质．分别判断数集与是否具有性质． 【答案】不具有性质；具有性质； 【解析】 【分析】根据新定义判断即可. 【详解】，不具有性质； ，，，具有性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $