精品解析：北京师范大学附属实验中学2026-2027学年第一学期高三年级摸底测试数学试卷

北师大实验中学2026―2027学年度第一学期高三年级摸底测试 数学试卷 班级______姓名______学号______成绩______ 考 生 须 知 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号． 3．试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 若全集，集合，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，， ． 2. 若复数是纯虚数，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据纯虚数的定义得到关于参数的式子进行计算． 【详解】因为复数为纯虚数，故， 解得，综上． 3. 已知，，若和方向相同，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】已知，，若和方向相同，得：  ， 整理得：，解得或， 当时，，此时，两向量方向相同，符合条件； 当时，，此时，两向量方向相反，不符合条件，舍去， 综上，. 4. 现国有六大行五年期定期存款年利率为1.3%即10000元存款5年后本息合计10650元．小明误按复利进行计算，则他算出5年后的利息最接近（ ） A. 642元 B. 650元 C. 659元 D. 667元 【答案】D 【解析】 【详解】小明误按复利进行计算，每一年的本息和=上一年本息和(1年利率)，利息=本息和-本金， ,,,,, 所以小明误按复利进行计算，5年后的利息是元. 5. 双曲线的一条渐近线倾斜角为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用双曲线的渐近线为，可得，则，再利用离心率即可求解. 【详解】双曲线的渐近线为. 因为一条渐近线倾斜角为， 所以，即. 所以双曲线的离心率. 6. 函数的图象的一个对称中心为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据正切函数的性质，的图象的对称中心的横坐标满足，， 解得，， 所以的图象的对称中心为，. 对照各选项，可知时，对称中心为. 7. 已知，，都是正数，则三数，，（ ） A. 都大于2 B. 都小于2 C. 至少有一个不大于2 D. 至少有一个不小于2 【答案】D 【解析】 【分析】将，，三数相加，借助于基本不等式即可说明. 【详解】因都是正数， 由， 当且仅当时，等号成立， 所以，，至少有一个不小于2. 8. 已知，向量满足，抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】作，根据差向量的几何意义确定点的轨迹，然后利用抛物线的定义，结合图形求解可得. 【详解】作，因为，所以， 所以点在以为圆心，1为半径的圆上， ， 过点向抛物线的准线作垂线，垂足为，如图： 由抛物线定义可知， 由图可知，当点在线段上，且垂直于准线时取得最小值， 最小值为. 故选：A 9. 三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮.一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长2，外径长3，筒高4，中部为棱长是3cm的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何体的特点，结合长方体，圆柱体体积的计算公式，求解即可. 【详解】圆筒体积为底面半径，高度为的圆柱体的体积减去底面半径为，高度为的圆柱体的体积， 故其体积； 中间部分的体积为棱长为的长方体的体积减去底面半径为，高为的圆柱体的体积， 故其体积； 故玉琮的体积. 故选：B. 10. 已知函数，，若对，都有是的必要条件，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意得，，先取代入，得，再证明，恒成立. 【详解】若对，都有是的必要条件，等价于，，即恒成立，取代入，得，所以， 当时， 由三角不等式，结合，所以， 先证明，恒成立，设，， 所以在上单调递增，所以，所以，恒成立. 令，得，所以恒成立，即恒成立. 则的取值范围是. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 函数的定义域为________． 【答案】[2，+∞） 【解析】 【详解】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域. 详解：要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为. 点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题. 12. 众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆．已知直线．若直线与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点．则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】就直线与阴影部分的边界在轴上下两部分分别有两个公共点分类讨论可得的取值范围. 【详解】 阴影部分在第一象限内的边界曲线方程为， 若直线与在轴上方的阴影部分的边界曲线有两个不同的交点， 则，解得， 若直线与在轴下方的阴影部分的边界曲线有两个不同的交点， 则即， 当时，直线，此时与阴影部分的边界有两个不同的交点， 两个交点为符合； 综上，， 故答案为： 13. 已知等比数列满足：（），请写出符合上述条件的一个等比数列的通项公式：______． 【答案】（答案不唯一，（，）） 【解析】 【分析】根据给定条件，可得，公比，再写出数列的一个通项公式即可. 【详解】设等比数列的公比为，由，，得， 显然，即，于是，解得， ，满足，， 取，. 故答案为： 14. 的内角，，的对边分别为，，，，则角的大小为______．若角为钝角，则的取值范围为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空：利用正弦定理边化角，进而根据三角恒等变可求得，可求；第二空：利用边化角，结合的范围，可求的取值范围. 【详解】第一空：由，可得， 所以，所以， 因为，所以，所以，又，所以； 第二空：因为角为钝角，所以，所以， 所以, 所以的取值范围. 故答案为：①；②. 15. 已知函数，则下列命题正确的是______． ①在上单调递减； ②若是小于1的最大零点，是大于1的最小零点，则； ③若，为的两个相邻零点，则； ④，，使得在上有两个零点． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①令，则 根据复合函数 “同增异减”判断 的单调性；②零点满足 ，得，对同一个，由韦达定理得；③举出反例，设且推出矛盾；④当时，，零点近似满足 ，即 ,相邻零点间距：,当时间距可任意小，因此对任意长度，总能找到足够密集的两个零点落在长度为的区间内, 【详解】①令，则 在上，，故单调递增，且 ， 因为，所以 在 上单调递减， 根据复合函数 “同增异减”， 在上单调递减，①正确； ② 零点满足 ，得， 对同一个，是小于 1 的最大零点，是大于 1 的最小零点，由韦达定理得，②正确； ③不妨设且，两式相减得， 即，因为，所以，所以，③错误； ④当时，，零点近似满足 ，即 , 相邻零点间距：,当时间距可任意小， 因此对任意长度，总能找到足够密集的两个零点落在长度为的区间内,④正确. 三、解答题（本大题共6小题，共85分） 16. 已知向量，，若，且函数的图象关于直线对称． （1）求函数的解析式，并求使成立的的取值范围； （2）若将的图象先向左平移个单位，再将所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，设函数，求在上的值域． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标表示得到解析式，再由两角和的正弦公式化简，根据函数的对称性求出，即可得到函数解析式，最后由正弦函数的性质解不等式即可； （2）首先求出解析式，即可得到解析式，利用三角恒等变换公式化简，最后由余弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 依题意可得， 又函数的图象关于直线对称，所以， 解得，，，， 令，即，即，解得， 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 将的图象先向左平移个单位得到， 将所有点的横坐标变为原来的2倍得到， 即， 又，所以 ， 因为，所以，所以， 所以，所以在上的值域为. 17. 如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，． （1）求证：： （2）从下面三个条件中选择一个作为已知，使五面体ABCDEF存在．求直线AE与平面BCF所成角的正弦值． 条件①：平面平面 条件②：平面平面 条件③： 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） 因为四边形为矩形，所以， 又平面，平面， 所以平面， 又平面平面，平面， 所以. （2） 若选条件①：平面平面， 则平面平面，, 平面， 所以平面平面所以, 但是，因此不可能，所以选择条件①的五面体不存在， 若选择条件②：平面平面 取的中点，的中点，连接，， 则，由，得，且， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，由平面，得， 建立如图空间直角坐标系，,0,,,0,,,4,,,4,,,0,,,2,, 则， 设为平面的一个法向量， 则,令，得，，所以， ， 设直线与平面所成角为，则． 所以直线与平面所成角的正弦值为． WSD    若选择条件③： 由于，,平面， 所以平面，平面，所以平面平面， 以下如选择条件②相同. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，利用线面平行判定定理证明平面，结合图形即可证明； （2）选择①，根据面面垂直的性质得线面垂直，进而可判断线线垂直，进而判断五面体不存在，若选择②③，根据面面垂直的性质建立如图空间直角坐标系，利用向量法即可求出线面角的正弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 某公司运营慢充、快充、超级快充三种不同充电方式的电动汽车充电桩（每个充电桩只支持一种充电方式）.该公司为了解其运营的所有电动汽车充电桩的使用情况，从中随机抽取个，记录并整理数据如下表： （1）从该公司运营的所有电动汽车充电桩中随机抽取个，估计该充电桩日均使用不超过次的概率； （2）假设该公司运营的每个慢充、快充、超级快充充电桩的日均维护费用分别为元、元、元.从该公司运营的所有电动汽车充电桩中随机抽取个，设为抽取的个充电桩的日均维护费用之和，求的分布列和数学期望； （3）电动汽车充电桩按服务对象与开放属性分为公用充电桩和专用充电桩两种.已知该公司运营的所有快充充电桩中，公用和专用充电桩数量之比为.在日均使用不超过次的快充充电桩中，公用充电桩的占比为；在日均使用超过次的快充充电桩中，公用充电桩的占比为.试比较与的大小.（结论不要求证明） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求出所求事件的概率； （2）分析可知随机变量的所有可能取值有、、，求出随机变量在不同取值下的概率，即可得出随机变量的分布列，进而可得出的值； （3）求出快充充电桩中公用充电桩的个数，并求出日均使用超过次的快充充电桩中公用充电桩的个数，以及日均使用不超过次的快充充电桩中公用充电桩的个数，结合题意可得出关于的等式，解出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 随机抽取个充电桩中，日均使用次数不超过次的有：个， 设事件“从该公司运营的所有电动车充电桩中随机抽取个，估计该充电桩日均使用不超过次”， 则. 【小问2详解】 设事件“从该公司运营的所有电动汽车充电桩中随机抽取个，其所需维护费用为元”， 依题意可得，，， 随机变量的所有可能取值有、、， ，，， 所以随机变量的分布列如下表所示： 故. 【小问3详解】 快充充电桩共个，公用和专用充电桩数量之比为，故公用充电桩的个数为， 日均使用超过次的快充充电桩的个数为个，其中公用占比为， 故公用充电桩的个数为， 日均使用不超过次的快充充电桩的个数为个， 设公用占比为，则公用充电桩的个数为， 由题意可得，解得，故. 19. 已知椭圆：，、分别为左、右焦点，直线过交椭圆于、两点． （1）求椭圆的离心率； （2）若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在直线或满足题意． 【解析】 【分析】（1）从椭圆方程得，，由求，再用离心率公式求解；（2）设直线：，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，面积相等条件列方程求解参数. 【小问1详解】 由椭圆方程知，，得，， 所以，所以椭圆的离心率． 【小问2详解】 ，设，，，， 依题意设直线：， 联立，得． 则，． 直线的方程：，令得纵坐标； 直线的方程：，令得的纵坐标． 则，． 若，即， ， ，， 因为，，所以， 解得． 存在直线或满足题意. 20. 已知函数． （1）若在上单调递增，求a的最大值； （2）若，是否存在，，使得曲线在点和点处的切线互相垂直？说明理由．（参考数据：，） 【答案】（1） （2）存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，将原问题转化为不等式恒成立问题，分离参数，即可求解； （2）求出函数导数，将问题转化为求解导函数的取值范围，看能否成立，即可求解. 【小问1详解】 由，得， 由于在上单调递增，故在时恒成立， 即在上恒成立， 设，则， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 故， 故，即a得最大值为； 【小问2详解】 时，，则， 令，则 若存在，，使得曲线在点和点处的切线互相垂直， 则存在，，使得， 令， 当当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 即时，，故存在，，使得， 例如，，符合题意. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于第二问，要判断是否存在，，使得曲线在点和点处的切线互相垂直，只需求出导函数的取值范围，看能否成立. 21. 已知其中且，一个元排列记为．如果排列满足任意，存在，且使得，称其为凝聚排列． （1）写出时的所有凝聚排列； （2）求证：凝聚排列必有或； （3）求n元凝聚排列的个数． 【答案】（1） ，，，，，，，. （2）证明:假设，，， ①当时，因为，所以存在，其中， 由题意得存在，使得， 因为，所以，继续存在，使得， 因为，，所以，…可得，， 因为，所以， 此时不存在，使得，矛盾． ②当时，因为，所以存在，其中， 由题意得存在，使得， 因为，所以，继续存在，使得， 因为，，所以，…可得，， 因为，所以， 此时不存在使得，矛盾． 所以有或成立． （3） 【解析】 【分析】（1）应用凝聚排列定义写出所有凝聚排列； （2）应用凝聚排列定义计算证明； （3）应用（2）的结论分和两种情况分别计算求解. 【小问1详解】 当，此时必有一项为1，另两项为3、4， 对于为1的项，显然、，不符； 同理，有必有一项为1，另两项为2、4， 对于为4的项，显然、，不符； 当时，，则，或，， 显然不符，所以， ，此时，均满足要求； ，此时，均满足要求； 当时，，则，或，， 显然不符，所以， ，此时，均满足要求； ，此时，均满足要求；， 综上：，，，，，，，. 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 设元凝聚排列的个数为，则，下面考虑元凝聚排列的个数为， 由（2）得或， ①当时，为的一个凝聚排列，所以此时有种不同排列， ②当时，， 记，则排列为的一个凝聚排列， 所以此时，，…，有种不同排列， 所以，所以，且，得． 【点睛】关键点点睛：解题的关键是对数列新定义的理解应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大实验中学2026―2027学年度第一学期高三年级摸底测试 数学试卷 班级______姓名______学号______成绩______ 考 生 须 知 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号． 3．试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 若全集，集合，则（    ） A. B. C. D. 2. 若复数是纯虚数，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，若和方向相同，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 现国有六大行五年期定期存款年利率为1.3%即10000元存款5年后本息合计10650元．小明误按复利进行计算，则他算出5年后的利息最接近（ ） A. 642元 B. 650元 C. 659元 D. 667元 5. 双曲线的一条渐近线倾斜角为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象的一个对称中心为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，都是正数，则三数，，（ ） A. 都大于2 B. 都小于2 C. 至少有一个不大于2 D. 至少有一个不小于2 8. 已知，向量满足，抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 9. 三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮.一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长2，外径长3，筒高4，中部为棱长是3cm的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，，若对，都有是的必要条件，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 函数的定义域为________． 12. 众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆．已知直线．若直线与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点．则的取值范围是_____． 13. 已知等比数列满足：（），请写出符合上述条件的一个等比数列的通项公式：______． 14. 的内角，，的对边分别为，，，，则角的大小为______．若角为钝角，则的取值范围为______． 15. 已知函数，则下列命题正确的是______． ①在上单调递减； ②若是小于1的最大零点，是大于1的最小零点，则； ③若，为的两个相邻零点，则； ④，，使得在上有两个零点． 三、解答题（本大题共6小题，共85分） 16. 已知向量，，若，且函数的图象关于直线对称． （1）求函数的解析式，并求使成立的的取值范围； （2）若将的图象先向左平移个单位，再将所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，设函数，求在上的值域． 17. 如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，． （1）求证：： （2）从下面三个条件中选择一个作为已知，使五面体ABCDEF存在．求直线AE与平面BCF所成角的正弦值． 条件①：平面平面 条件②：平面平面 条件③： 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18. 某公司运营慢充、快充、超级快充三种不同充电方式的电动汽车充电桩（每个充电桩只支持一种充电方式）.该公司为了解其运营的所有电动汽车充电桩的使用情况，从中随机抽取个，记录并整理数据如下表： （1）从该公司运营的所有电动汽车充电桩中随机抽取个，估计该充电桩日均使用不超过次的概率； （2）假设该公司运营的每个慢充、快充、超级快充充电桩的日均维护费用分别为元、元、元.从该公司运营的所有电动汽车充电桩中随机抽取个，设为抽取的个充电桩的日均维护费用之和，求的分布列和数学期望； （3）电动汽车充电桩按服务对象与开放属性分为公用充电桩和专用充电桩两种.已知该公司运营的所有快充充电桩中，公用和专用充电桩数量之比为.在日均使用不超过次的快充充电桩中，公用充电桩的占比为；在日均使用超过次的快充充电桩中，公用充电桩的占比为.试比较与的大小.（结论不要求证明） 19. 已知椭圆：，、分别为左、右焦点，直线过交椭圆于、两点． （1）求椭圆的离心率； （2）若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 20. 已知函数． （1）若在上单调递增，求a的最大值； （2）若，是否存在，，使得曲线在点和点处的切线互相垂直？说明理由．（参考数据：，） 21. 已知其中且，一个元排列记为．如果排列满足任意，存在，且使得，称其为凝聚排列． （1）写出时的所有凝聚排列； （2）求证：凝聚排列必有或； （3）求n元凝聚排列的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $