北京市朝阳区对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）2024-2025学年高三上学期开学检测数学试题

北京市区对外经济贸易大学附属中学2024-2025学年 高三上学期开学检测数学试卷 一、选择题共10题，每题4分，共40分． 1. 已知集合，，则= A. B. C. D. 2. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，则（ ） A. 为直角 B. 为钝角 C. 为直角 D. 为钝角 6. 已知为定义在上的函数，，且为奇函数，则（ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 2 7. 设和的夹角为，是为锐角的（ ）条件 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能够沿着伞柄滑动．如图（2），伞完全收拢时，伞圈已滑动到的位置，且、、三点共线，，为的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈沿着伞柄向下滑动的距离为，则当伞完全张开时，的余弦值是（　　） A. B. C. D. 9. 已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数在上恰有4个不同的零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的定义域为_________． 12. 如图所示，规定每个小方格的边长是1，又已知向量，则_________，________． 13. 能使命题“若，则为等腰三角形”为假命题的一组A，B的值是___________. 14. 已知函数 ①函数的零点个数为__________． ②若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围是________． 15. 已知△的三个内角所对的边分别为，则下列条件能推导出△一定为锐角三角形的是___________． ①；②；③；④. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 在△中，内角的对边分别为． （1）求； （2）若△的面积为，求边上的中线的长． 17. 设函数．若在区间上具有单调性，且．再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，使函数存在． （1）求的解析式； （2）求函数在上的最大值和最小值． 条件①：为奇函数；条件②：；条件③：． 18. 防洪工程对防洪减灾起着重要作用，水库是我国广泛采用的防洪工程之一，既有滞洪作用又有蓄洪作用.北京地区2010年至2019年每年汛末（10月1日）水库的蓄水量数据如下： 年份 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 蓄水量（亿立方米） 11.25 13.25 13.58 17.4 12.4 12.1 18.3 26.5 34.3 34.1 （Ⅰ）从2010年至2019年的样本数据中随机选取连续两年的数据，求这两年蓄水量数据之差的绝对值小于1亿立方米的概率； （Ⅱ）从2014年至2019年的样本数据中随机选取两年的数据，设为蓄水量超过33亿立方米的年份个数，求随机变量的分布列和数学期望； （Ⅲ）由表中数据判断从哪年开始连续三年的水库蓄水量方差最大？（结论不要求证明） 19. 已知函数． （1）若，求函数的最小值； （2）设函数，求函数的单调区间； （3）若在区间上存在，使得成立，求的取值范围． 20. 已知函数，且曲线在处与轴相切． （1）求的值； （2）令，证明函数在上单调递增； （3）求的极值点个数． 21. 对于数列，定义．设的前项和为． （1）设，写出； （2）证明：“对任意，有”的充要条件是“对任意，有”； （3）已知首项为0，项数为的数列满足：①对任意且，有；②．求所有满足条件的数列的个数． 北京市区对外经济贸易大学附属中学2024-2025学年 高三上学期开学检测数学试卷 一、选择题共10题，每题4分，共40分． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】A 【10题答案】 【答案】B 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 ①. 0 ②. 3 【13题答案】 【答案】（不唯一） 【14题答案】 【答案】 ①. 1 ②. 【15题答案】 【答案】②④ 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）答案见解析 （2），． 【18题答案】 【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）分的分布列为： 0 1 2 ； （Ⅲ）2016年. 【19题答案】 【答案】（1）1 （2）当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增 （3）或 【20题答案】 【答案】（1） （2）由（1）知，所以， 所以， 令， 当单调递增，当单调递减， 因此在单调递增，故， 所以函数在上单调递增 （3）1个 【21题答案】 【答案】（1） （2） 证明：必要性：对，有，因此， 对任意，且，有，两式作差，得， 即，因此， 综上，对任意，有． 充分性：若对任意，有，则， 所以， 综上，“对任意”，有”的充要条件是“对任意”，有”． （3）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $