精品解析：黑龙江绥化市哈尔滨师范大学青冈实验中学校2026-2027学年度高二上学期开学初考试数学试题

哈师大青冈实验中学2026—2027学年度开学初考试 高二数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 复数（其中是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先对复数进行分母实数化，化简得到实部和虚部，再根据对应点的坐标符号判断其在复平面的象限. 【详解】对复数的分子分母同乘，得，继续化简得， 复数对应的点坐标为，该点位于第四象限. 故选：D 2. 设，向量，，且，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】因为向量，，且， 则，解得. 3. 某校高一年级有男生160人，女生120人，现需抽调人参与学校“5.4”文艺汇演志愿者工作.若按性别分层，采用比例分配的分层随机抽样.已知男生抽取16人，则（ ） A. 27 B. 28 C. 29 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】根据男生抽取人数求出抽取的比例，再利用分层抽样即可求解. 【详解】由抽取男生人数16人，所以抽取比例为，所以抽取人数为， 故选：B. 4. 为了增强学生的体质，某中学每年都要举行一次全校一分钟跳绳测试．已知某次跳绳测试中，某班学生的一分钟跳绳次数的频数分布直方图如图所示，则该班学生一分钟跳绳次数的中位数的估计值为（结果精确到整数）（ ） A. 127 B. 136 C. 133 D. 138 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位数的定义结合频数分布直方图求解即可. 【详解】该班共有人， 因为， 所以中位数在区间内，设为， 则，解得. 故选：D. 5. 下表记录了上海某个月连续10天的空气质量指数（）： 时间 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 空气质量指数（） 20 28 24 33 31 35 36 38 36 37 则这些空气质量指数的分位数为（ ） A. 35 B. 35.5 C. 36 D. 37 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的概念计算. 【详解】空气质量指数的10个数从小到大排列为：20，24，28，31，33，35，36，36，37，38， 又，所以分位数是． 故选：C． 6. 已知，是两条不同的直线，是平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则，是异面直线 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，若，，则或与相交或，是异面直线，故A错误； 对于B，若，，则或与相交或，是异面直线，故B错误； 对于C，，，则或，故C错误； 对于D，若，，则，故D正确. 7. 已知事件A，B，C满足：，，则下列结论正确的为（ ） A. 若，则C与B相互对立 B. 若，则 C. 若事件A与B相互独立，则 D. 若事件A与B相互独立，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据对立事件的概念可判断A；根据事件的包含关系可判断B；根据并事件的概率和独立事件概率关系可判断CD. 【详解】对于A，因为不一定互斥，所以由得不到C与B对立，错误； 对于B，若，则，错误； 对于C，若事件A与B相互独立，则， 则，正确； 对于D，若事件A与B相互独立，则相互独立， 则，错误. 故选：C 8. 已知的内角 的对边分别为 ， 且， 若， 则 的面积为 （    ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理角化边，结合余弦定理及三角形面积公式即可求解. 【详解】由正弦定理角化边得到：， 即 ， 所以 ，， ， 又， 且， 得，即， 所以 . 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 某中学三个年级学生共人，且各年级人数比例如以下扇形图.现因举办校庆活动，以按比例分配的分层抽样方法，从中随机选出志愿服务小组，已知选出的志愿服务小组中高一学生有人，则下列说法正确的有（ ） A. 该学校高一学生共人 B. 志愿服务小组共有学生人 C. 志愿服务小组中高三学生共有人 D. 某高三学生被选入志愿服务小组的概率为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用扇形图的特点和分层抽样的概念，即可判断. 【详解】对于A：由图可知，高三年级学生人数占总人数的，高二年级学生人数占总人数的， 所以高一年级学生人数占总人数的， 所以高一学生共人，故A正确； 对于B：因为，所以志愿服务小组共有学生人，故B错误； 对于C：因为志愿服务小组中高三学生共有人，故C正确； 对于D：高三学生共人，志愿服务小组中高三学生共有人， 所以某高三学生被选入志愿服务小组的概率为，故D错误； 故选：AC. 10. 中，角，，所对的边分别为，，且，下列说法正确的是（ ） A. B. 若且有唯一解，则 C. 若，则 D. 若，则面积最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正弦定理边角互化及正弦两角和差公式化简可计算出，即可判断A，根据正弦定理和解三角形知识即可判断B，根据和差角公式求解，可判断C，根据余弦定理和三角形的面积公式求解，可判断D. 【详解】由，则， 则， 由于，所以，，，故A正确； 由正弦定理得，即， 又有唯一解，所以或，故B错误； 由，则，， 则，即，, 所以，则，所以，故C正确； 若，则由余弦定理得， 所以有，即，当且仅当时取等号， 的面积为，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，在正四棱锥中，为，的交点，为侧棱的中点，为侧棱上一点（异于P，B两点），若，且，则（ ） A. B. 存在点，使得平面 C. 三棱锥的体积为 D. 异面直线与所成角的余弦值的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A，由，故 ; 选项B，利用反证法，假设存在这样的 ，然后推出矛盾；选项C， ,先求 , 从而得到；选项D，取 的中点 ，因此异面直线 与 所成的角等于 与 的夹角，即 , 由余弦定理得, 求出的取值范围，从而得到的取值范围. 【详解】正四棱锥 底面是边长为 2 的正方形， 为底面中心, 对角线 ，故 ；又 ，所以高 ； 侧棱 ，故 ； 于是 、 均为边长 2 的正三角形. 选项A, 在 中，，，，故 ，A 正确； 选项B, 反证法，假设存在这样的 , 因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；又 平面 。因为 ，故 与 是过点 的两条不同直线，且都在平面 内；于是平面 平面 ,但两平面都过点 ，必相交,矛盾,故不存在这样的点, B 错误; 选项C, 为 的中点， 为公共底面，点 与 到平面 的距离之比为 ， 故, 而, 所以, C 错误; 选项D,取 的中点 ，连接 、, 是 的中位线，所以 ，； 因此异面直线 与 所成的角等于 与 的夹角，即 , 设 （）,由 、 均为边长 2 的正三角形，且 , ，分别由余弦定理得： , , 故 ， 是等腰三角形, 在 中用余弦定理：, 又,所以 ， 从而, 当（此时点 满足题意）时取到最大值 ， D 正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若是纯虚数，则__________． 【答案】2 【解析】 【详解】， 若是纯虚数，则，解得. 13. 已知向量，，则在方向上的投影向量为______. 【答案】 【解析】 【分析】代入投影向量公式，即可求解. 【详解】在方向上的投影向量为. 14. 已知在四棱锥中，，，，，平面平面，平面与平面的夹角为，则该四棱锥的外接球的体积是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】取中点为，证明为该四棱锥的外接球的球心，进而求出四棱锥外接球半径，利用球的体积公式求球的体积. 【详解】如图，取中点，中点，连接，，，. 因为，，， 所以，，均为边长为1的等边三角形. 所以且、，. 又，为中点，所以. 平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又，所以即为二面角的平面角，为. 所以. 所以点为四棱锥外接球的球心，且外接球半径为. 所以四棱锥外接球的体积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，且与的夹角为． （1）求； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量夹角坐标运算求得，再利用模长公式求解即可； （2）由数量积大于0且两向量不同向列不等式求解． 【小问1详解】 向量，可得，且， 因为与的角为，可得， 解得，所以， 则， 所以． 【小问2详解】 由向量， 可得， 由，解得， 当向量与共线时，可得，解得， 所以实数的取值范围为． 16. 某学习小组有男同学3名，女同学2名，现从中随机选出2名同学去参加比赛. （1）求参赛的2名同学都是男同学的概率； （2）求参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 记3名男同学分别为，，；2名女同学分别为，. 从5名同学中选取2名同学参赛， 则样本空间 设事件“参赛的2名同学都是男同学”， 则. 因为抽中样本空间中每一个样本点的可能性都相等， 所以. 【小问2详解】 设事件“参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学”， 则. 因为抽中样本空间中每一个样本点的可能性都相等， 所以，. 17. 某校高二年级半期考试测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩.将成绩分为，，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取15名，则成绩在的同学有几个? （2）根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分和众数； （3）若年级计划对本次测试优异的同学进行表彰，且表彰人数不超过6%，根据样本数据，试估计获得表彰的同学的最低分数. 【答案】（1）4个 （2）平均数为98，众数为100 （3）估计获得表彰的同学的最低分数为138 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，可求得a值，根据分层抽样的性质，计算即可得答案. （2）根据频率分布直方图中平均数的求法，代入数据，即可得平均数，由图象可得众数，即可得答案. （3）分析可得获得表彰的同学的最低分数位于内，且设为x，则，即可得答案. 【小问1详解】 由频率分布直方图性质得， 解得， 所以的人数有个. 【小问2详解】 本次考试的平均分 ， 由频率分布直方图得：众数为100. 【小问3详解】 的频率为， 所以获得表彰的同学的最低分数位于内，且设为x， 则，解得，即最低分数为138. 18. 如图，已知平面平面ABCD，四边形ABCD是正方形，，点E，F，M分别是BC，PB，AD的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明：如图，连接，连接交于点，连接， 因为点为的中点，为中点，且 四边形ABCD是正方形， 所以四边形为矩形， 故为的中点，又因为为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面． （2）证明：由，为的中点，得， 又因为四边形是正方形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，平面， 所以平面． （3） 【解析】 【分析】（1）连接，连接交于点，连接，先得到四边形为矩形，可得为的中点，结合为的中点，可得，进而求证即可； （2）由，为的中点，可得，再根据平面平面可得平面， 进而得到，进而求证即可； （3）取为的中点，作，垂足为，连接，分析得到是二面角的平面角，解三角形即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，取为的中点， 由，得， 又因平面平面，平面平面，平面， 平面， 作，垂足为，连接， 由，，所以， 因为平面， 所以平面，又平面，则， 所以就是二面角的平面角， 在中，，，得， 所以， 故所求二面角的余弦值为． 19. 在中，内角所对的边分别是，且，． （1）求角； （2）若，求边上的角平分线长； （3）若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由诱导公式化简得到，得到； （2）由三角形面积公式和余弦定理得到角平分线长； （3）由向量基本定理和数量积公式可得，由正弦定理和三角恒等变换得到，从而得到中线的取值范围 【小问1详解】 如图： 由， 因为， 所以， 由，得，又，则． 【小问2详解】 由余弦定理，，因为， 所以，又，所以， 由，得， 整理得． 【小问3详解】 因为是边上的中线，则， 两边取平方，， 由（2）已得，代入可得， 由正弦定理，， 则， 所以 ， 因为为锐角三角形，则有，解得， 则， 由正弦函数的图象性质，可得， 故得，从而， 故边上的中线的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈师大青冈实验中学2026—2027学年度开学初考试 高二数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 复数（其中是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 设，向量，，且，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 3. 某校高一年级有男生160人，女生120人，现需抽调人参与学校“5.4”文艺汇演志愿者工作.若按性别分层，采用比例分配的分层随机抽样.已知男生抽取16人，则（ ） A. 27 B. 28 C. 29 D. 30 4. 为了增强学生的体质，某中学每年都要举行一次全校一分钟跳绳测试．已知某次跳绳测试中，某班学生的一分钟跳绳次数的频数分布直方图如图所示，则该班学生一分钟跳绳次数的中位数的估计值为（结果精确到整数）（ ） A. 127 B. 136 C. 133 D. 138 5. 下表记录了上海某个月连续10天的空气质量指数（）： 时间 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 空气质量指数（） 20 28 24 33 31 35 36 38 36 37 则这些空气质量指数的分位数为（ ） A. 35 B. 35.5 C. 36 D. 37 6. 已知，是两条不同的直线，是平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则，是异面直线 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 7. 已知事件A，B，C满足：，，则下列结论正确的为（ ） A. 若，则C与B相互对立 B. 若，则 C. 若事件A与B相互独立，则 D. 若事件A与B相互独立，则 8. 已知的内角 的对边分别为 ， 且， 若， 则 的面积为 （    ） A. B. C. D. 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 某中学三个年级学生共人，且各年级人数比例如以下扇形图.现因举办校庆活动，以按比例分配的分层抽样方法，从中随机选出志愿服务小组，已知选出的志愿服务小组中高一学生有人，则下列说法正确的有（ ） A. 该学校高一学生共人 B. 志愿服务小组共有学生人 C. 志愿服务小组中高三学生共有人 D. 某高三学生被选入志愿服务小组的概率为 10. 中，角，，所对的边分别为，，且，下列说法正确的是（ ） A. B. 若且有唯一解，则 C. 若，则 D. 若，则面积最大值为 11. 如图，在正四棱锥中，为，的交点，为侧棱的中点，为侧棱上一点（异于P，B两点），若，且，则（ ） A. B. 存在点，使得平面 C. 三棱锥的体积为 D. 异面直线与所成角的余弦值的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若是纯虚数，则__________． 13. 已知向量，，则在方向上的投影向量为______. 14. 已知在四棱锥中，，，，，平面平面，平面与平面的夹角为，则该四棱锥的外接球的体积是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，且与的夹角为． （1）求； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 16. 某学习小组有男同学3名，女同学2名，现从中随机选出2名同学去参加比赛. （1）求参赛的2名同学都是男同学的概率； （2）求参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学的概率. 17. 某校高二年级半期考试测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩.将成绩分为，，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取15名，则成绩在的同学有几个? （2）根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分和众数； （3）若年级计划对本次测试优异的同学进行表彰，且表彰人数不超过6%，根据样本数据，试估计获得表彰的同学的最低分数. 18. 如图，已知平面平面ABCD，四边形ABCD是正方形，，点E，F，M分别是BC，PB，AD的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求二面角的余弦值． 19. 在中，内角所对的边分别是，且，． （1）求角； （2）若，求边上的角平分线长； （3）若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $