黑龙江绥化市哈尔滨师范大学青冈实验中学校2026-2027学年度高二上学期开学初考试数学试题

**基本信息** 高二开学初数学试卷，以复数、向量、统计、立体几何、概率、解三角形为核心，通过空气质量指数、跳绳测试等真实情境，考查数学眼光观察、思维推理及语言表达能力，适配开学初基础与能力检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数几何意义、分层抽样、线面关系|基础概念与简单应用结合，如复数象限判断、分层抽样计算| |多选|3/18|统计图表、解三角形性质、立体几何动态问题|选项分层设计，如解三角形面积最值与多解性分析| |填空|3/15|纯虚数、投影向量、外接球体积|聚焦易错点，如投影向量坐标表示、外接球体积计算| |解答|5/77|向量夹角、概率计算、统计直方图、立体几何证明与二面角、解三角形综合|综合性强，如统计题结合平均分与众数估计，立体几何融合面面垂直与二面角求解，解三角形综合角平分线与中线范围问题|

哈师大青冈实验中学2026—2027学年度开学初考试 高二数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.复数（其中是虚数单位）在复平面上对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.设，向量，，且，则 A.-4 B.1 C.2 D.4 3.某校高一年级有男生160人，女生120人，现需抽调人参与学校“5.4”文艺汇演志愿者工作.若按性别分层，采用比例分配的分层随机抽样.已知男生抽取16人，则 A.27 B.28 C.29 D.30 4.为了增强学生的体质，某中学每年都要举行一次全校一分钟跳绳测试.已知某次跳绳测试中，某班学生的一分钟跳绳次数的频数分布直方图如图所示，则该班学生一分钟跳绳次数的中位数的估计值为（结果精确到整数） A.127 B.136 C.133 D.138 5.下表记录了上海某个月连续10天的空气质量指数（）： 时间 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 空气质量指数（） 20 28 24 33 31 35 36 38 36 37 则这些空气质量指数的70%分位数为 A.35 B.35.5 C.36 D.37 6.已知，是两条不同的直线，是平面，则下列命题中正确的是 A.若，，则，是异面直线 B.若，，则 C.若，，则 D.若，，则 7.已知事件A，B，C满足：，，则下列结论正确的为 A.若事件A与B相互独立，则 B.若，则 C.若，则C与B相互对立 D.若事件A与B相互独立，则 8.已知 的内角的对边分别为,且,若,则 的面积为 A. B. C. D.2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9.某中学三个年级学生共人，且各年级人数比例如以下扇形图.现因举办校庆活动，以按比例分配的分层抽样方法，从中随机选出志愿服务小组，已知选出的志愿服务小组中高一学生有人，则下列说法正确的有 A.该学校高一学生共800人 B.志愿服务小组中高三学生共有20人 C.志愿服务小组共有学生96人 D.某高三学生被选入志愿服务小组的概率为 10. 中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c且，下列说法正确的是 A. B.若，则 面积最大值为 C.若，则 D.若且 有唯一解，则 11.如图，在正四棱锥中，为，的交点，为侧棱的中点，为侧棱上一点（异于P，B两点），若，且，则 A. B.存在点，使得平面 C.三棱锥的体积为 D.异面直线与所成角的余弦值的最大值为 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若是纯虚数，则__________. 13.已知向量，，则在方向上的投影向量为______.（用坐标表示） 14.已知在四棱锥中，，，，，平面平面，平面与平面的夹角为，则该四棱锥的外接球的体积是______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）已知向量，，且与的夹角为. (1)求； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 16.(15分)某学习小组有男同学3名，女同学2名，现从中随机选出2名同学去参加比赛. (1)求参赛的2名同学都是男同学的概率； (2)求参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学的概率. 17.(15分)某校高二年级半期考试测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩.将成绩分为，，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取15名，则成绩在的同学有几个? (2)根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分和众数； (3)若年级计划对本次测试优异的同学进行表彰， 且表彰人数不超过6%，根据样本数据，试估计获得 表彰的同学的最低分数. 18.（17分）如图，已知平面平面ABCD，四边形ABCD是正方形，，点E，F，M分别是BC，PB，AD的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求二面角的余弦值. 19.（17分）在中，内角所对的边分别是，且，. (1)求角； (2)若，求边上的角平分线长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围. 哈师大青冈实验中学校2026-2027学年度第一学期开学考试 高二学年数学试题答案 1- --8 DCBD CDAB 9、 AB 10、ABC 11、AD 12、 2 13、 14、 15.（13分）【答案】(1)(2) 【详解】（1）向量，可得，且， 因为与的角为，可得，解得，所以， 则，所以． （2）由向量，可得， 由，解得， 当向量与共线时，可得，解得， 所以实数的取值范围为． 16.(15分)(1) (2) 【详解】（1）记3名男同学分别为，，；2名女同学分别为，. 从5名同学中选取2名同学参赛， 则样本空间 设事件“参赛的2名同学都是男同学”，则. 因为抽中样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以. （2）设事件“参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学”， 则. 因为抽中样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以，. 17．(15分)【答案】(1)4个(2)平均数为98，众数为100(3)估计获得表彰的同学的最低分数为138 【详解】（1）由频率分布直方图性质得， 解得，所以的人数有个. （2）本次考试的平均分 ，由频率分布直方图得：众数为100. （3）的频率为，所以获得表彰的同学的最低分数位于内，且设为x，则，解得，即最低分数为138. 18.（17分）【详解】（1）如图，连接，连接交于点，连接，    因为点为的中点，为中点，且 四边形ABCD是正方形， 所以四边形为矩形， 故为的中点，又因为为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面． （2）由，为的中点，得， 又因为四边形是正方形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以，   又因为，平面， 所以平面． （3）如图，取为的中点， 由，得， 又因平面平面，平面平面，平面， 平面， 作，垂足为，连接，    由，，所以， 因为平面， 所以平面，又平面，则， 所以就是二面角的平面角， 在中，，，得， 所以，故所求二面角的余弦值为． 19（17分）(1)(2)(3) 【详解】（1）由， 因为，所以， 由，得，又，则． （2）如图： 由余弦定理，，因为， 所以，又，所以， 由，得， 整理得． （3）因为是边上的中线，则， 两边取平方，， 由（2）已得，代入可得， 由正弦定理，，则， 所以 ， 因为为锐角三角形，则有，解得，则， 由正弦函数的图象性质，可得，故得，从而， 故边上的中线的取值范围为． 数学试题 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $