5.3.4方案选择问题课件-2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元一次方程的方案选择问题，核心为“列式-求界点-分范围判断”三步法。通过“不同能效空调综合费用比较”探究导入，衔接列代数式与方程应用，搭建从基础到实际问题的学习支架。 亮点在于以生活实例（如空调选择、出租车计费）培养数学眼光，通过分类讨论和方程求解发展数学思维（推理意识、运算能力），用代数式与分段函数模型强化数学语言（模型意识）。分层练习覆盖基础到压轴题，结合河北地方素材，助力学生提升实际问题解决能力，为教师提供系统教学资源。

人教版（新教材）数学七年级上册 第五章 一元一次方程 5.3.4方案选择问题 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026/8/31 本节核心知识点与解题模板（本章压轴必考） 1. 题型特点：同一问题存在两种或多种收费、购买、出行方案，通过列一元一次方程找到费用相等的临界点，再根据取值范围判断最优方案。 2. 核心解题三步法 ① 列式：设未知数，分别列出两种方案的费用表达式； ② 求界点：令两个式子相等，解方程算出费用相同时的未知数取值； ③ 分范围判断：根据界点分情况，判断取值不同时哪种方案更省钱。 3. 常见题型：电话计费问题、购物优惠方案、租车/乘船方案、会员充值优惠、出行收费方案。 4. 高频易错点 无法准确列出两种方案的代数式；只求出临界点，忘记分范围讨论；忽略自变量的实际取值范围（非负整数）；判断方案优劣时范围颠倒。 一、基础填空题（每题4分，共20分） 1. 甲方案收费：$$y_1=2x+10$$，乙方案收费：$$y_2=3x$$，当费用相等时，$$x=$$______。 2. 某书店会员方案：会员费20元，购书一律8折；非会员无会员费，购书原价。设购书原价$$x$$元，会员总费用为________元。 3. 两种打车方案：A方案起步8元+每公里1.5元；B方案无起步费，每公里2元，行驶______公里时，两车费用相同。 4. 若两种方案临界点为$$x=50$$，当$$x>50$$时方案甲更划算，那么$$x<50$$时______方案更划算。 5. 甲套餐：每月固定30元，不限流量；乙套餐：无固定费，每GB流量5元，使用______GB时两套餐费用相等。 二、基础选择题（每题4分，共20分） 6. 两种文具购买方案：甲$$y=4x+20$$，乙$$y=6x$$，当购买数量$$x<10$$时（） A. 甲划算 B. 乙划算 C. 费用相同 D. 无法判断 7. 电话套餐一：月租15元，通话每分钟0.1元；套餐二：无月租，通话每分钟0.2元，每月通话（）分钟时两套餐费用一致。 A. 100 B. 150 C. 200 D. 250 8. 关于方案选择问题，下列说法正确的是（） A. 临界点前后最优方案不变 B. 只需算出相等值，无需分类讨论 C. 不同取值范围对应不同最优方案 D. 所有情况一定有更优方案 9. 租车方案：大车每辆100元，坐20人；小车每辆60元，坐10人，40人出行最省钱的方案是（） A. 4辆小车 B. 2辆大车 C. 1大2小 D. 费用相同 10. 甲商店满100减20，乙商店全场8折，原价（）元时两店优惠后价格相同。 A. 50 B. 100 C. 150 D. 200 三、基础解答题（每题12分，共36分） 11. 某移动公司有两种手机计费方式： 方式一：月租20元，每分钟通话收费0.2元；方式二：无月租，每分钟通话收费0.4元。 （1）设每月通话时间为$$x$$分钟，分别写出两种方式的每月费用； （2）每月通话多少分钟时，两种计费方式费用相同？ （3）简要说明：每月通话时间较多时，哪种方式更划算？ 12. 某文具店推出两种优惠方案： 方案A：购买一张15元会员卡，所有文具8折优惠；方案B：不办会员卡，所有文具9.5折优惠。 （1）设购买文具原价为$$x$$元，分别表示两种方案的实际付款金额； （2）购买原价多少元的文具时，两种方案付款相同？ 13. 学校组织学生外出研学，有两种租车方案： 甲客车：每辆可坐30人，租金300元/辆；乙客车：每辆可坐20人，租金220元/辆。 现有120名学生，如何租车最省钱？求出最低费用。 四、压轴应用题（24分） 14. 某超市新年促销，推出两种购物方案： 方案一：一次性缴纳30元会员费，全场商品享9折优惠； 方案二：不办理会员，购物满200元减30元，无门槛不优惠。 （1）设购物原价为$$x$$元，分别写出两种方案的实际费用； （2）求两种方案费用相等时的购物原价； （3）根据计算结果，直接写出不同购物金额对应的最优方案。 参考答案与详细解析 一、填空题 1. 10 解析：$$2x+10=3x$$，解得$$x=10$$ 2. $$20+0.8x$$ 解析：会员费+折后购书费用 3. 16 解析：$$8+1.5x=2x$$，解得$$x=16$$ 4. 乙 解析：临界点两侧方案优劣相反 5. 6 解析：$$30=5x$$，解得$$x=6$$ 二、选择题 6.B 解析：临界点$$x=10$$，小于10时乙更便宜 7.B 解析：$$15+0.1x=0.2x$$，解得$$x=150$$ 8.C 解析：方案选择核心为分类讨论，不同范围最优方案不同 9.B 解析：2辆大车费用200元，4辆小车240元，1大2小220元 10.B 解析：$$0.8x=x-20$$，解得$$x=100$$ 三、基础解答题 11. 解：（1）方式一费用：$$(20+0.2x)$$元；方式二费用：$$0.4x$$元。 （2）令$$20+0.2x=0.4x$$，移项得$$0.2x=20$$，解得$$x=100$$。 答：通话100分钟时费用相同。 （3）当通话时间大于100分钟时，方式一更划算。 12. 解：（1）A方案：$$(15+0.8x)$$元；B方案：$$0.95x$$元。 （2）令$$15+0.8x=0.95x$$，整理得$$0.15x=15$$，解得$$x=100$$。 答：购买原价100元文具时，两种方案付款相同。 13. 解：120名学生刚好坐满，无空位最省钱。 全租甲客车：$$120\div30=4$$辆，费用：$$4\times300=1200$$元； 全租乙客车：$$120\div20=6$$辆，费用：$$6\times220=1320$$元。 答：租4辆甲客车最省钱，最低费用1200元。 四、压轴应用题 14. 解：（1）方案一费用：$$30+0.9x$$元； 方案二：当$$0<x<200$$时，费用$$x$$元；当$$x\ge200$$时，费用$$(x-30)$$元。 （2）分两种情况讨论： ① $$0<x<200$$时，令$$30+0.9x=x$$，解得$$x=300$$（超出范围，舍去）； ② $$x\ge200$$时，令$$30+0.9x=x-30$$，解得$$x=600$$。 （3）最优方案： 当$$0<x<600$$时，方案二更划算； 当$$x=600$$时，两种方案费用相同； 当$$x>600$$时，方案一更划算。 本节解题总结（满分关键）：方案选择问题是本章最难应用题，固定解题流程：列代数式→求临界点→分类讨论。必须完整写出取值范围对应的最优方案，缺一扣分，尤其注意分段计费问题要分区间列式求解，结合实际情况取舍答案。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 探究一元一次方程解决实际问题的方法技能， 进一步感受数学模型化的思想.（重点） 通过活动探究，掌握一元一次方程解决选择付费方式类型问题的方法和技能.（难点） 探究：不同能效空调的综合费用比较 购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况．某人打算从当年生产的两款空调中选购一台，下表是这两 款空调的部分基本信息．如果电价是0.5元／(kw·h)，请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低. 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kw·h) 1.5 1级 3 000 640 1.5 3级 2 600 800 两款空调的部分基本信息表 探究新知 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kw·h) 1.5 1级 3 000 640 1.5 3级 2 600 800 （1）你能从表格中得到哪些信息？对空调的选择要综合考虑哪些因素？ （2）空调的电费与什么因素有关？如果把空调的售价与电费的和叫作空调的综合费用，如何根据综合费用来选择空调？你觉得选哪款空调更划算？ 空调匹数、能效等级、售价和平均每年的耗电量 空调的售价与电费 使用时间 综合费用＝空调的售价＋电费 探究新知 （3）设空调的使用时间为t年，你能把两款空调的综合费用分别用t表示出来吗？观察列出的两个代数式，可以得出哪款空调的综合费用更低吗？ 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kw·h) 1.5 1级 3 000 640 1.5 3级 2 600 800 1级能效空调的综合费用（单位：元）是 3000＋0.5×640t，即 3000＋320t. 3级能效空调的综合费用（单位：元）是 2600＋0.5×800t，即 2600＋400t. （4）使用时间是多少年时，两款空调的综合费用相等？ 3000＋320t＝2600＋400t， 解得 t＝5. 探究新知 （5）使用时间在什么范围内，1级能效空调的综合费用更低？使用时间在什么范围内时，3级能效空调的综合费用更低？请说明理由。 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kw·h) 1.5 1级 3 000 640 1.5 3级 2 600 800 为了比较两款空调的综合费用，我们把表示3级能效空调的综合费用的式子2600＋400t变形为1级能效空调的综合费用与另外一个式子的和，即 （3000＋320t）＋（80t－400）， 也就是 3000＋320t＋80（t－5）. 这样，当t＜5时，80(t－5)是负数，这表明3级能效空调的综合费用较低；当t＞5时，80(t－5)是正数，这表明1级能效空调的综合费用较低. 探究新知 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kw·h) 1.5 1级 3 000 640 1.5 3级 2 600 800 由此可见，同样是1.5匹的空调，1级能效空调虽然售价高，但由于比较省电，使用年份长（超过5年）时综合费用反而低。根据相关行业标准，空调的安全使用年限是10年（从生产日期计起），因此购买、使用1级能效空调更划算。 通常，1级能效电器既节能又省钱！ 探究新知 1. 石家庄出租车收费标准如下：起步价8元（即行驶路程不超过 ，付车费8元），每增加 ，加收1.6元.小轩从家到河北博物院 的路程为 ，乘出租车需付车费27.2元，则可列方程为( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 8 2.某航空公司规定：乘坐飞机普通舱的旅客每人最多只能免费托运 的行李，超过部分每千克按机票价格的 购买行李票，一位旅 客托运了 的行李，这样，机票和行李票共付了1 339元，则该旅客 的机票价格是( ) B A.1 020元 B.1 030元 C.1 040元 D.1 050元 返回 举一反三 9 练 习 1. 在甲复印店用 A4 纸复印文件，复印页数不超过 20 时，每页收费 0.12 元；复印页数超过 20 时，超过部分每页收费降为 0.09 元，在乙复印店用 A4 纸复印文件，不论复印多少页，每页都收费 0.1 元，复印页数为多少时，两店的收费相同？ 解：设复印页数为 x 时，两店的收费相同. 由题意可知，x > 20 . 根据题意，得 20×0.12 + (x-20)×0.09 = 0.1x . 解得 x = 60. 答：复印页数为 60 时，两店的收费相同. 当堂检测 2. 现有两种地铁机场线计次月票：第一种售价 200 元，每月包含 10 次；第二种售价 300 元，每月包含 20 次. 两种月票超出每月包含次数后都需要另外购票，票价 为25 元/次，某人每月乘坐地铁机场线超过 10 次，他购买哪种月票比较节省费用？ 当堂检测 解：设他每月乘坐地铁机场线 x 次. 当 10 < x < 20 时，购买第一种月票需 [200 + 25(x - 10)] 元， 购买第二种月票需 300 元. 令 200 + 25(x - 10) ＝ 300，解得 x ＝ 14. 当 x ≥ 20 时，购买第二种月票比较节省费用. 因此，当他每月乘坐地铁机场线 14 次时，购买两种月票所需费用相同，超过 10 次且低于 14 次时，购买第一种月票 比较节省费用，超过 14 次时，购买第二种月票比较节省费用. 当堂检测 为了加强居民的节水意识，合理利用水资源，某市采用阶梯价格调控 手段达到节水目的，价目表如图所示． （1）某户居民1月份用水 ，则1月份的水费为____元； 11 返回 举一反三 13 （2）若某户居民5月份共交水费22元，则该户居民5月份实际用水多少 立方米？ 解：因为（元）， （元）， ， 所以该户居民5月份实际用水量超过且不超过 . 设该户居民5月份实际用水 ， 根据题意得，解得 . 答：该户居民5月份实际用水 . 返回 举一反三 14 返回 4.教材P148复习题T14变式某同学花30元购买科技馆会员证(只限本人使用)，凭会员证购入场券每张1元，不凭会员证购入场券每张4元，若购买会员证与不购买会员证花费相同，则该同学去科技馆的次数为(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 C 举一反三 15 返回 5．假期张老师带学生乘车外出参加创新素质实践活动．每张车票40元，甲车主说：“每人八五折．”乙车主说：“学生九折，老师免费．”张老师计算了一下，不论坐谁的车，费用都一样，则张老师带的学生人数为________． 17 举一反三 16 6.（8分） 河北的朱山植物园是一个集观光、娱乐休闲为一 体的旅游胜地.原门票价格为50元/张，某旅行社推出一种团队票 （人数 ），团队票有两种购票优惠方案： 方案一：全体人员打八折； 方案二：有5人可以免票，剩下的人员打九折. 设某团队有 人. （1）该团队选择方案一的费用为_____元，选择方案二的费用为 __________元；（用含 的代数式表示） 返回 举一反三 17 （2）若该团队选择两种方案购票的费用恰好一样，则该团队共有多少人？ 解：由题意得 ， 解得 . 答：该团队共有45人. 返回 举一反三 18 7.［唐山丰南区期末］甲、乙两店以同样价格出售一种商品，并推 出不同的优惠方案，在甲店累计购物超过100元后，超出100元的部分打 九折；在乙店累计购物超过50元后，超出50元的部分打九五折，则顾客 到两店购物花费一样时( ) D A.累计购物不超过50元 B.累计购物超过50元不超过100元 C.累计购物超过100元 D.累计购物不超过50元或刚好为150元 返回 举一反三 19 8．邯郸期末某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价/（元/千瓦时） 第1档 不超过240千瓦时的部分 第2档 超过240千瓦时但不超过400千瓦时的部分 0.65 第3档 超过400千瓦时的部分 已知10月份该市居民老李家用电200千瓦时，交电费120元；9月份老李 家交电费157元. 返回 举一反三 20 (1)表中a的值为________； (2)老李家9月份的用电量为________千瓦时； 0.6 260 返回 举一反三 （3）若8月份老李家用电的平均电价为0.7元/千瓦时，求老李家8月份的 用电量. 解：因为0.7>0.65， 所以老李家8月份的用电量超过400千瓦时． 设老李家8月份的用电量为y千瓦时． 由题意，得240×0.6＋(400－240)×0.65＋(0.6＋0.3)(y－400)＝0.7y， 解得y＝560. 答：老李家8月份的用电量为560千瓦时． 返回 举一反三 22 方案选择问题 列方程 分类讨论 列代数式 　　在分类讨论的某个范围内， 借助字母表达式表示费用 　　不同方案的选择的转折点，可通过列方程计算寻找 弄清如何分类 课堂小结 谢谢观看 THANKS $