5.3.4方案选择问题（课件）-2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦一元一次方程的方案选择问题，通过“购买空调”等生活情境导入，引导学生从售价、电费等数量关系中抽象方程模型，衔接方程解法与实际应用，搭建从数学知识到生活问题的学习支架。 其亮点是以现实情境（通讯套餐、购物优惠等）为载体，通过探究活动培养学生抽象能力和推理意识，如比较空调综合费用时列方程找临界点。分层习题结合中考考点，助学生用数学语言表达实际问题，提升应用能力，也为教师提供系统教学资源。

新人教版数学7年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月18日 5.3.4方案选择问题 第5章 一元一次方程 新人教版七年级上册数学5.3.4方案选择问题练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：40分钟 一、基础选择题（每题5分，共20分） 1. 某通讯公司推出两种手机套餐，套餐A：每月月租30元，每分钟通话费0.2元；套餐B：无月租，每分钟通话费0.5元。若每月通话x分钟，当x满足（ ）时，选择套餐A更省钱 A. x < 100 B. x > 100 C. x = 100 D. 无法确定 2. 某商店推出两种购物优惠方案：方案一：累计购物不超过300元无优惠，超过300元的部分按8折收费；方案二：所有商品一律按9折收费。若顾客累计购物x元（x > 300），当x（ ）时，选择方案一更优惠 A. x > 600 B. x < 600 C. x = 600 D. x > 300 3. 学校准备购买一批笔记本，甲商店：每本5元，买10本送2本；乙商店：每本5元，一律打八五折。若学校需要购买60本笔记本，选择（ ）更省钱 A. 甲商店 B. 乙商店 C. 两家一样 D. 无法判断 4. 关于方案选择问题，下列说法正确的是（ ） A. 只能通过计算具体数值比较方案优劣 B. 核心是找到两种方案费用相等的临界点 C. 选择费用最低的方案一定最合理 D. 所有方案的变量都只有一个 二、填空题（每题5分，共20分） 1. 方案选择问题的核心是通过列代数式表示不同方案的________，再通过比较得出最优方案。 2. 某出租车收费标准：3公里内起步价8元，超过3公里后，每公里加收1.5元，若行驶x公里（x > 3），则车费为________元。 3. 某书店推出两种购书方案：方案一：单本购买，每本12元；方案二：办理会员卡（年费20元），每本享受8折优惠。若一年购买x本，当x = ________时，两种方案费用相等。 4. 某工厂要租用叉车搬运货物，甲公司：每月租金1000元，每搬运1吨货物另收2元；乙公司：无月租，每搬运1吨货物收6元。若每月搬运货物x吨，当x < 250时，选择________公司更省钱。 三、解答题（每题15分，共60分） 1. 某通讯公司有两种手机流量套餐，具体如下： 套餐1：每月费50元，包含100GB流量，超出部分每GB收0.8元； 套餐2：每月费80元，包含200GB流量，超出部分每GB收0.5元。 （1）若每月使用150GB流量，选择哪种套餐更省钱？（2）若每月使用x GB流量（x > 200），分别用代数式表示两种套餐的费用，并说明当x满足什么条件时，选择套餐2更省钱。 2. 学校组织学生参加研学活动，现有两家旅行社可供选择，收费标准如下： 甲旅行社：每人收费120元，满30人可享受8折优惠； 乙旅行社：每人收费100元，无人数优惠。 若学校共有45名学生参加，选择哪家旅行社更省钱？省多少钱？ 3. 某商店销售一种文具，有两种销售方案： 方案一：按标价的8折出售，每件可获利20元； 方案二：按标价的9折出售，每件可获利30元。 求该文具的标价和进价，若每天卖出50件，选择哪种方案获利更多？多获利多少元？ 4. 某同学解决方案选择问题：“某商店推出两种优惠方案，方案一：满200减50；方案二：所有商品打7.5折。若购买一件标价300元的商品，选择哪种方案更优惠？”的过程如下： 解：方案一费用：300 - 50 = 250元；方案二费用：300×7.5 = 2250元。因为250 < 2250，所以选择方案一更优惠。 请判断该同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误并写出正确的解题过程。 参考答案 一、选择题：1.B 2.A 3.A 4.B 二、填空题：1. 费用（或收益）；2. 1.5(x - 3) + 8（或1.5x + 3.5）；3. 50；4. 乙 三、解答题： 1. 解：（1）套餐1费用：50 + (150 - 100)×0.8 = 50 + 40 = 90元；套餐2费用：80元（150GB ≤ 200GB）。因为80 < 90，所以选择套餐2更省钱。（2）套餐1费用：50 + 0.8(x - 100) = 0.8x - 30；套餐2费用：80 + 0.5(x - 200) = 0.5x - 20。令0.5x - 20 < 0.8x - 30，解得x > $\frac{100}{3}$≈33.33，又因为x > 200，所以当x > 200时，选择套餐2更省钱。 2. 解：甲旅行社费用：45×120×0.8 = 4320元；乙旅行社费用：45×100 = 4500元。因为4320 < 4500，所以选择甲旅行社更省钱，省4500 - 4320 = 180元。答：选择甲旅行社更省钱，省180元。 3. 解：设该文具的标价为x元，进价为y元，依题意得：$\begin{cases}0.8x - y = 20 \\ 0.9x - y = 30\end{cases}$，解得x = 100，y = 60。方案一每天获利：50×20 = 1000元；方案二每天获利：50×30 = 1500元。1500 - 1000 = 500元。答：标价为100元，进价为60元；选择方案二获利更多，多获利500元。 4. 不正确，错误在于方案二的折扣计算错误，7.5折应为乘以0.75，而非7.5。正确过程：方案一费用：300 - 50 = 250元；方案二费用：300×0.75 = 225元。因为225 < 250，所以选择方案二更优惠。答：选择方案二更优惠。 探究一元一次方程解决实际问题的方法技能， 进一步感受数学模型化的思想.（重点） 通过活动探究，掌握一元一次方程解决选择付费方式类型问题的方法和技能.（难点） 探究：购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况. 某人打算从当年生产的两款空调中选购一台，下表是这两款空调的部分基本信息. 如果电价是 0.5 元/(kW·h). 请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低. 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kW·h) 1.5 1 级 3 000 640 1.5 3 级 2 600 800 探究点：方案决策问题 1 级 3 级 售价 3000 元 售价 2600 元 电费 (0.5×640×使用年数)元 电费 (0.5×800×使用年数)元 分析： 综合费用 = 空调的售价 + 电费 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kW·h) 1.5 1 级 3 000 640 1.5 3 级 2 600 800 探究点：方案决策问题 设空调的使用年数是 t， 则 1 级效能空调的综合费用 (单位：元) 是 3000 + 0.5×640t， 即 3000 + 320t 3 级效能空调的综合费用 (单位：元) 是 2600 + 0.5×800t， 即 2600 + 400t 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kW·h) 1.5 1 级 3 000 640 1.5 3 级 2 600 800 探究点：方案决策问题 问题1： t 取什么值时，两款空调的综合费用相等？ 3000 + 320t = 2600 + 400t 解得 t = 5. 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kW·h) 1.5 1 级 3 000 640 1.5 3 级 2 600 800 探究点：方案决策问题 问题2：如何比较两款空调的综合费用？ 比较 3000 + 320t 与 2600 + 400t 的大小. 方法一：运用整式的加减 (3000 + 320t) - (2600 + 400t) = 3000 + 320t - 2600 - 400t = 400 - 80t = 80(5 - t) 当 t < 5 时，80(5 - t) > 0， 3000 + 320t > 2600 + 400t； 当 t > 5 时，80(5 - t) < 0， 3000 + 320t < 2600 + 400t. (大数-小数＞0，小数-大数＜0) 探究点：方案决策问题 方法二：把表示 3 级能效空调的综合费用的式子 2600 + 400t 变形为 1 级能效空调的综合费用与另外一个式字的和. 2600 + 400t = (3000 + 320t) + (80t - 400) = (3000 + 320t) + 80(t - 5) 当 t < 5 时，80(5 - t) 是负数， 这表明 3 级能效空调的综合费用较低； 当 t > 5 时，80(5 - t) 是正数， 这表明 1 级能效空调的综合费用较低. 探究点：方案决策问题 问题3：你认为哪种空调更划算呢？ 同样是 1.5 匹的空调，1 级能效空调虽然售价高，但由于比较省电，使用年份长 (超过 5 年) 时综合费用反而低. 根据相关行业标准，空调的安全使用年限是 10 年 (从生产日期计起)，因此购买、使用 1 级能效空调更划算. 当 t = 5 时，两款空调的综合费用相等； 当 t < 5 时，3 级能效空调的综合费用较低； 当 t > 5 时，1 级能效空调的综合费用较低. 探究点：方案决策问题 探究点：方案决策问题 例 某市拨号上网有两种收费方式，用户可以任选其一. (A) 计时制：0.05 元每分钟； (B) 包月制：60 元每月(限一部个人住宅电话上网). 此外，两种上网方式都得加收通信费 0.02 元每分钟. (1) 某用户某月上网时间为 x 小时，请分别写出两种收费方式下该用户应该支付的费用； (2) 你认为采用哪种方式比较合算？ 解：(1) 采用(A)计时制：(0.05＋0.02)×60x＝4.2x (元)， 采用 (B) 包月制：60＋0.02×60x＝(60＋1.2x) (元). (2) 你认为采用哪种方式比较合算？ (2) 由 4.2x＝60＋1.2x，得 x＝20. 又由题意可知，上网时间越长，采用（B）越合算.所以当 0＜x＜20 时，采用（A）方式合算； 当 x＝20 时，采用两种方式费用相同； 当 x＞20 时，采用（B）方式合算. 探究点：方案决策问题 练 习 1. 在甲复印店用 A4 纸复印文件，复印页数不超过 20 时，每页收费 0.12 元；复印页数超过 20 时，超过部分每页收费降为 0.09 元，在乙复印店用 A4 纸复印文件，不论复印多少页，每页都收费 0.1 元，复印页数为多少时，两店的收费相同？ 解：设复印页数为 x 时，两店的收费相同. 由题意可知，x > 20 . 根据题意，得 20×0.12 + (x-20)×0.09 = 0.1x . 解得 x = 60. 答：复印页数为 60 时，两店的收费相同. 随堂练习 2. 现有两种地铁机场线计次月票：第一种售价 200 元，每月包含 10 次；第二种售价 300 元，每月包含 20 次. 两种月票超出每月包含次数后都需要另外购票，票价 为25 元/次，某人每月乘坐地铁机场线超过 10 次，他购买哪种月票比较节省费用？ 随堂练习 解：设他每月乘坐地铁机场线 x 次. 当 10 < x < 20 时，购买第一种月票需 [200 + 25(x - 10)] 元， 购买第二种月票需 300 元. 令 200 + 25(x - 10) ＝ 300，解得 x ＝ 14. 当 x ≥ 20 时，购买第二种月票比较节省费用. 因此，当他每月乘坐地铁机场线 14 次时，购买两种月票所需费用相同，超过 10 次且低于 14 次时，购买第一种月票 比较节省费用，超过 14 次时，购买第二种月票比较节省费用. 随堂练习 1.某保险公司的汽车保险中的汽车修理费是分段赔偿的，具 体赔偿细则如下表.某人在汽车修理后在该保险公司得到的赔 偿金是2 000元，那么此人的汽车修理费是__________. 汽车修理费 元 赔偿率 … … 元 中考考法 15 【点拨】因为 （元）， （元）， （元），且 ， ， ，所以此人的汽车修理 费的取值范围是 ，由题意，得 ，解得 ， 所以此人的汽车修理费是 元. 返回 中考考法 16 2.某市有两家出租车公司，收费标准不同.甲公司收费标准： 起步价9元，超过3千米后，超过的部分按照每千米1.6元收费. 乙公司收费标准：起步价20元，超过8千米后，超过的部分 按照每千米1.3元收费.已知车辆行驶千米.本题中 取整数， 不足1千米的路程按1千米计费. 中考考法 17 （1）根据题意，填写下表： 车辆行驶的路程/千米 1 3 5 8 15 20 … 甲公司收费/元 9 12.2 17 ____ 36.2 … 乙公司收费/元 20 20 20 __ __ 29.1 ____ … 28.2 20 35.6 中考考法 18 【解】由题意得当 时，甲公司收费9元； 当时，甲公司收费 （元）; 当 时，乙公司收费20元； 当时，乙公司收费 （元）. 中考考法 19 （2）当车辆行驶路程超过8千米，且路程为整数时，甲、乙 两公司的收费分别是多少?（结果用化简后的含 的式子表示） 由题意得当车辆行驶路程超过8千米，且路程为整数时，甲 公司的收费为 （元），乙公司 的收费为 （元）. （3）当行驶路程为____千米时，两家公司的费用相同. 18 【点拨】由题意得,解得 ,所以 当行驶路程为18千米时，两家公司的费用相同. 返回 中考考法 20 3.［2025石家庄校级月考］某校为了让学生体验农耕劳动， 开辟了一处耕种园，需采购一批某种菜苗开展种植活动.已知 甲、乙两菜苗基地该种菜苗每捆的标价都是15元（菜苗的质 量一样好），但甲、乙两菜苗基地的优惠条件却不同，如下 所示. 甲菜苗基地：若购买不超过10捆，则按标价付款；若一次性 购买10捆以上，前10捆按标价付款，超过10捆的部分按标价 的 付款； 乙菜苗基地：按标价的 付款. 中考考法 21 （1）若学校决定购买该种菜苗15捆，则在甲菜苗基地购买， 需付款_____元，在乙菜苗基地购买，需付款_____元； （2）设学校购买该种菜苗 捆，补全下列表格 （需化简）； 195 180 的取值范围 在甲菜苗基地购买 的费用/元 在乙菜苗基地购买 的费用/元 小于等于10 _____ 大于10 ________ _____ 中考考法 22 （3）根据购买该种菜苗的捆数选择哪个基地更省钱. 【解】①当 小于等于10时，选择乙菜苗基地更省钱； ②当大于10时，由，得 ， 所以易得当 时，选择乙菜苗基地更省钱； 当 时，选择甲菜苗基地更省钱. 当 时，两个菜苗基地购买费用一样. 返回 中考考法 23 4.小静准备到甲商场或乙商场购买一些商品，两商场同种商 品的标价相同，且各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计 购买满元的商品后，再购买的商品按原价的 收费；在 乙商场累计购买满50元的商品后，再购买的商品按原价的 收费.若累计购物元，当 时，在甲商场需付钱数 （单位：元），当 时，在乙商场需付 钱数（单位：元）为 .下列说法：①在乙商场需付钱数 中考考法 24 （单位：元）为 ；②当累计购物超过50 元时，选择乙商场一定优惠些；③当累计购物超过150元时， 选择甲商场一定优惠些；④ . 其中正确的是________.（填序号） ①③④ 返回 中考考法 综合费用比较 方法 关键 分段计费 此类问题的关键是能够根据已知条件找到合适的分段点，然后建立方程模型分类讨论，从而得出整体选择方案. 解决综合费用比较问题需要明确“哪种方式更省钱”与“使用时间”有关. 课堂小结 $